CN108153328B - 一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法,以威胁区绕行点作为分段节点，在设计分段节点选取算法时主动考虑降低弹间碰撞几率以及较短航迹的要求，生成可行的路径节点集以及相应的航迹。在此基础上根据选取的期望飞行长度，各导弹依照自身航迹分段长度占比进行加权计算，得到各航迹分段期望长度，再求解带有航迹长度约束的优化问题，最终得到航迹长度相等的协同航迹；该算法操作简单，易于拓展，优化模型采用非线性约束优化方法即可求解，求解过程简单，是很有应用前景的一种几何航迹规划算法。

Description

一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法

技术领域

本发明属于制导技术领域，具体涉及一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法。

背景技术

未来的战争向信息化、智能化方向发展，未来战争中，系统间、体系间的对抗以及信息间的持久作战，使得单枚导弹不能充分发挥其应有的作用，多导弹协同作战必然成为未来战争的趋势。如果多枚导弹在保证自己生存能力的前提下，能够从不同方位同时对目标进行攻击，则能大大提高导弹的突防能力和对目标的打击能力。

如果要实现多枚导弹发射后在飞行过程中避免威胁区、最终从不同的方向同时命中目标，则需要对导弹航迹进行规划。从目前已公开的相关文献来看，对单枚导弹的航迹规划研究得较多，对多枚导弹协同航迹规划方法研究得比较少，尤其是同时考虑攻击时间和攻击角度的方法，研究得更少。文献[1]Yao K， Li J，Sun B，et al.An adaptive gridmodel based on mobility constraints for UAV path planning[C]//InternationalConference on Control Science and Systems Engineering.IEEE，2016：207-211，[2]Tan J，Zhao L，Wang Y， et al.The 3D Path Planning Based on A*Algorithm andArtificial Potential Field for the Rotary-Wing Flying Robot[C]//InternationalConference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics.IEEE，2016；以及[3] Ingersoll B T，Ingersoll J K，Defranco P，et al.UAV Path-Planning usingBezier Curves and a Receding Horizon Approach[C]//AIAA Modeling andSimulation Technologies Conference.2015.主要根据A*及其改进算法和其他仿生算法为单个飞行器生成可行航迹，重点研究了如何提高面对突发情况时航迹生成的速度。文献：刘莉，于成龙，王祝，等.小型无人机快速三维航迹规划方法 [J].系统工程与电子技术，2013，35(12)：2521-2526，[5]Upadhyay S，Ratnoo A.Smooth Path Planning forUnmanned Aerial Vehicles with Airspace Restrictions[J].Journal of GuidanceControl&Dynamics，2017：1-17以及[6]Zhang B，Tang L，Roemer M.ProbabilisticWeather Forecasting Analysis for Unmanned Aerial Vehicle Path Planning[J].Journal of Guidance Control&Dynamics，2014，37(37)：309-312主要利用了改进的仿生算法，引入协同变量或协同系数等作为评价指标，直接或间接在单个可行航迹的基础上为多个飞行器生成协同航迹。以上这些文献鲜有同时对攻击时间和攻击角度进行约束，此外，A*等使用栅格法划分空间的方法需要扩展大量节点，十分耗时；而诸如Voronoi图等基于图搜索的规划方法的搜索工作量虽然很小，但在搜索过程中无法考虑航迹约束条件，因此得到的搜索结果难以保证可生成可飞航迹。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是提供一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法，能够得到满足过载约束、攻击角度约束和攻击时间约束的协同航迹。

本发明的一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法，包括如下步骤：

步骤0、假设导弹在二维平面的航迹为三次贝塞尔曲线，其质心坐标 X＝[x，y]^T可表示为：

其中，b_i为导弹航迹中控制点二维坐标，n表示贝塞尔曲线次数，τ∈[0，1]为参数，B_i，n(τ)为伯恩斯坦多项式；

步骤1、基于三次贝塞尔曲线建立导弹航迹模型，其中，假定导弹轨迹由至少一段三次贝塞尔曲线组成，然后基于导弹航迹模型确定满足导弹攻击角度的航迹优化函数：

其中，

表示每段导弹航迹的起点和第二个控制点的模；

表示每段导弹航迹的第三个控制点和末点的模；

表示第i段航迹的长度，n_i(0)和n_i(1)分别表示第i段航迹起点和终点的过载，w₁＞0、w₂＞0为权重；|n_i(τ)|_max为第i段航迹的最大需用过载；n_P为导弹的可用过载；d(τ)_i，j为第i段航迹与第j个威胁区中心的最小距离，r_dj为其最小安全半径；

步骤2、基于步骤1确定的航迹优化函数对单枚导弹的航迹进行优化，具体为：

S201、将环境中的威胁区和禁飞区等效为一个半径为r_o的圆，考虑安全余量 r_s＞0，每个威胁区的最小安全半径定义为：

r_d＝r_o+r_s (1)

假设导弹飞行的环境中有m个威胁区和禁飞区，其等效圆的圆心为O_j、最小安全半径为r_dj，j＝1，2，…m；应用德劳内三角法连接等效圆的圆心，之后进行有效边的判定：如果两个圆心的连线不经过某个等效圆，则这条边为有效边，否则为无效边；将无效边从德劳内三角法所构造的三角连接图中去除，并定义有效边在等效圆外部分的中点为导弹可经过的航迹点，由此得到导弹的航迹节点集合为：

确定单枚导弹的航迹节点集合W：{O_w，j|i，j＝1，2，3...}；其中，j表示威胁区序号；

S202、将航迹节点集合W中节点按照

从小到大进行排列，得到航迹节点序列W′，其中，

表示节点

距离导弹k外其他导弹的初始位置的平均距离；将目标点e加入序列W′中作为第一个节点，则序列W′表示为： W′＝{P₀，P₁，P₂，…P_u}，P_i表示按序排好后的航迹节点

u为航迹节点的总个数，且P₀＝e；

S203、针对单枚导弹航迹的每一段航迹，定义分段起点为S，分段终点为E，可行点集Pick及不可行点集Ban；初始时，有起点S＝s_k，终点E＝e，Pick＝{s_k}和

s_k表示导弹的起点；

S204、针对分段起点为S、终点为E＝P_i的一段航迹，利用步骤1中的航迹优化函数对该段航迹进行优化：

a、如果能够得到优化解，则该段航迹作为解得的一段航迹，将P_i放入可行点集Pick中；接下来以P_i作为分段起点，P₀＝e作为分段终点，再利用步骤1中的航迹优化函数对该段航迹继续优化；

b、如果不能够得到优化解，则取分段终点E＝P_i+1继续优化，如果P_i+1出现以下任一情况：

①出现在可行点集Pick中；②出现在不可行点集Ban中；③P_i+1与目标点之间的距离大于S与目标点之间的距离；

则舍弃节点P_i+1，继续取下一个节点P_i+2的优化，以此类推，再进行判断，直至取到不满足以上三种情况的节点，然后以新取到的节点作为分段终点E，S为分段起点，再继续进行优化；若直到W′种最后一个节点也不能得到优化解，则说明以S为起始点没有可行的路径，即将其从Pick中删除，加入Ban；将可行点集Pick中的最后一个节点作为新的分段起点S，将W′中第一个点即目标点作为新的分段终点E，再按照S204的方法继续进行优化取点；如此反复，直到满足如下终止条件：

①Pick为空或Ban＝{P₁，P₁，…，P_u}，说明该任务无解；或者②Pick中出现终点e；

S205、根据步骤S204最终获得的Pick中的航迹节点以及相应航迹；

步骤3、具有攻击时间约束的多导弹协同航迹规划，具体为：

获得所有导弹航迹的最长航迹l_max；将所有导弹航迹长度扩展成最长航迹 l_max，则得到的航迹为最终的航迹规划结果。

2、如权利要求1所述的一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法，其特征在于，所述步骤3中，获得最长航迹l_max后，计算各枚导弹航迹长度l₁与l_max的差值Δl₁＝l_max-l₁；确定各枚导弹的各段航迹长度，根据各段航迹长度的比例关系，将差值Δl₁分配到各段航迹上，获得各段航迹的给定航迹长度；在步骤 1得到的优化函数的基础上，加入约束：

构成新的优化问题为：

式中，

为给定航迹长度；求解如式(2)所示的优化问题，则得到能够避免威胁区、满足过载约束、航迹长度约束且航迹端点处接近直线的航迹。

本发明具有如下有益效果：

本发明基于分段三次贝塞尔曲线提出一种导弹在飞行过程中能够避免威胁区、同时能够从指定的不同方向同时到达目标的二维航迹规划方法。以威胁区绕行点作为分段节点，在设计分段节点选取算法时主动考虑降低弹间碰撞几率以及较短航迹的要求，生成可行的路径节点集以及相应的航迹。在此基础上根据选取的期望飞行长度，各导弹依照自身航迹分段长度占比进行加权计算，得到各航迹分段期望长度，再求解带有航迹长度约束的优化问题，最终得到航迹长度相等的协同航迹；该算法操作简单，易于拓展，优化模型采用非线性约束优化方法即可求解，求解过程简单，是很有应用前景的一种几何航迹规划算法。

附图说明

图1为本发明中三次贝塞尔曲线控制点与曲线关系图；

图2为本发明中威胁区中心连接图；

图3为本发明实施中导弹#1、#2的可行航迹；

图4为本发明实施中导弹#1、#2的过载随参数τ的变化曲线；

图5为本发明实施中导弹#1、#2原航迹及#2延长后的航迹；

图6为本发明实施中导弹#2的过载随参数τ的变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

为在搜索过程中考虑满足约束并降低搜索工作量，本文采用基于图搜索与可行航迹生成同步进行的方法。在进行图搜索的过程中，通过对航迹节点的参数化主动选择可使弹间碰撞风险较低、航迹长度较短的航迹节点序列。采用分段贝塞尔曲线作为航迹模型，建立优化模型得到在分段航迹端点处较为平直，且满足攻击角度约束的航迹。每枚导弹在得到可飞航迹的基础上计算各自航迹长度，以最大航迹长度为协同变量，每枚导弹根据自身各分段航迹长度加权得到期望长度并进行优化得到等长航迹。由于本文假设导弹速度可控且各导弹速度相等，故生成的航迹可使多导弹同时到达目标，同时满足攻击角度约束等其他约束条件。

1导弹的贝塞尔曲线航迹模型

假设导弹在二维平面的航迹为贝塞尔曲线，其质心坐标X＝[x，y]^T可表示为

式中，b_i为控制点二维坐标，n表示曲线次数，τ∈[0，1]为参数，B_i，n(τ)为伯恩斯坦多项式，其表达式为

第一个控制点b₀与导弹的起始位置重合，最后一个控制点b_n与导弹的终点重合。贝塞尔曲线在起点与终点处的切线方向分别与向量

一致，因此，可通过设置控制点b_n-1来控制导弹攻击目标的方向。为实现满足任意给定起点终点以及攻击方向约束的航迹构造，本文采用三次贝塞尔曲线即n＝3，如图1所示。

由图1可见，调整b₁、b₂后曲线变得更弯曲，但因为调整后并未改变

的方向，故新的曲线在起点与终点处的斜率不发生变化。

由式(1)可见，导弹贝塞尔曲线航迹为参数方程，可用参数方程的弧长公式计算航迹长度为

式中，l为航迹长度，x′_τ、y′_τ分别表示以贝塞尔曲线表示的导弹的x、y坐标对参数τ的一阶导数。

假设导弹的速度为V，当已知导弹的弹道时，弹道上每一点的需用法向过载n_R可计算得到为

式中，g为重力加速度，x_τ″、y_τ″分别表示x、y对参数τ的二阶导数。

本发明中，导弹的航迹由几条贝塞尔曲线组成。假设导弹的速度为常值，要求多枚导弹同时以指定的角度攻击目标。攻击角度约束的满足通过导弹最后一段贝塞尔曲线的倒数第二个控制点的设置来实现。攻击时间约束的满足则要求每枚导弹的航迹长度l相等。在设计每枚导弹的航迹时，要考虑威胁区回避、路径较短以及航迹端点过载尽量小的问题。

2协同航迹规划算法

首先考虑由几段贝塞尔曲线构成的单枚导弹的航迹的设计，然后再综合考虑多枚导弹航迹长度要一致的问题。在设计单枚导弹的航迹时，要考虑回避威胁区，而且要考虑组成航迹的几段贝塞尔曲线长度较短且端点过载较小，因此，涉及到环境中威胁区位置确定，分段贝塞尔曲线首末端点确定，以及在确定端点前提下贝塞尔曲线的优化问题。由于本文中分段贝塞尔曲线首末端点确定和每段贝赛尔曲线航迹的优化是结合进行的，这里首先阐述在首末端点已确定前提下的贝塞尔曲线的优化问题。

2.1分段贝塞尔航迹优化

在首末端点确定的前提下，对于三次贝塞尔曲线来讲，只要确定剩余两个控制点，就可确定整条航迹。在导弹初始速度方向和末端速度方向确定的前提下，只要确定起点(第一个控制点)和第二个控制点的模

以及第三个控制点和末点(第四个控制点)的模

就可确定两个控制点的位置，因此，将

设为优化问题的设计变量。导弹的初始速度方向与末端速度方向由航迹端点处的飞行方向单位矢量

决定。

考虑到路径尽量短以及航迹端点过载尽量小的问题，性能指标函数设为

式中，

表示第i段航迹的长度，n_i(0)、n_i(1)分别表示航迹起点和终点的过载，w₁＞0、w₂＞0为权重。

导弹飞行过程中，其法向过载不能超过导弹的可用过载n_P，另外，导弹航迹上的每一点与威胁区的距离必须要大于最小安全半径，因此有约束

|n_i(τ)|_max≤n_P (9)

d(τ)_i，j≥r_dj (10)

式(6)中，|n_i(τ)|_max为第i段曲线上的最大需用过载。式(7)中，d(τ)_i，j为第i段曲线上每一个点与第j个威胁区中心的距离，r_dj为其最小安全半径。

至此，得到了确定第i段贝塞尔曲线航迹的优化问题，为

采用非线性约束的优化方法求解如式(8)所示的问题，就可得到第i段长度最短、满足可用过载约束、可避免威胁区且能和其他曲线尽量平直连接的贝塞尔曲线航迹。

2.2具有攻击角度约束的单枚导弹多段贝塞尔航迹设计

将环境中的威胁区、禁飞区等不规则外形等效为一个半径为r_o的圆，考虑安全余量r_s＞0，每个威胁区的最小安全半径可定义为

r_d＝r_o+r_s (12)

假设导弹飞行的环境中有m个威胁区，其等效圆的圆心为O_j(j＝1，2，…m)、最小安全半径为r_dj(j＝1，2，…m)。应用德劳内三角法^[8]连接威胁区等效圆的圆心，之后进行有效边的判定：如果两个圆心的连线不经过某个威胁区，则这条边为“有效边”，否则为“无效边”。将无效边从德劳内三角法所构造的三角连接图中去除，并定义有效边在威胁区圆外部分的中点为导弹可经过的航迹点，由此得到导弹的航迹节点集合为

初步定义导弹经过此点时的飞行方向单位矢量

满足：

其中

表示当前航迹节点指向目标点e的向量。

表示由距离目标更远的威胁区圆心指向距离目标较近的威胁区圆心的向量，即要满足

导弹在飞行过程中，并不需要经过W中的每一个节点，需按照一定的原则选取要经过的航迹节点。假设有n枚导弹，其起点分别为s_k(k＝1，2…n)。当为第k枚导弹规划航迹时，定义：

表示节点

距离导弹k外其他导弹的初始位置的平均距离，如果

大，说明节点

距离其他飞行器的初始位置较远，否则说明距离较近。在为导弹k选择航迹节点时，尽量选择

大的点，即令导弹k经过的航迹节点距离其他导弹远些，以降低弹间航迹相交的几率进而降低弹间碰撞几率。引入

表示航迹节点与目标点之间的距离，d_k，e越小，说明距离目标越近，反之则越远。定义

表示导弹k的在航迹节点

的两个属性，另外定义目标点λ_e＝[0，0]。因此，根据同时考虑降低弹间航迹相交几率和航迹长度较短的原则，在为导弹k选取航迹节点时，按照以下原则选取：

1)将节点集W中节点按照

(1)从小到大排列，并将目标点也加入该集，由于目标的λ_e(1)＝0，因此，在序列中目标点是第一个点，假设排好后的航迹节点序列为W′＝{P₀，P₁，P₂，…P_u}，P_i表示按序排好后的

u为

的总个数，且P₀＝e。

2)定义分段航迹的起点为S，分段航迹的终点为E，可行点集Pick及不可行点集Ban。初始时，有S＝s_k、E＝e、Pick＝{s_k}和

考虑一般情况，针对起点为S、终点为E＝P_i的一段航迹，采用(8)中的模型对航迹进行优化，如果能够得到优化解，则将P_i放入可行点集Pick中，接下来以P_i作为分段起点，P₀＝e 作为分段终点，再进行优化；如果不能够得到优化解，则取E＝P_i+1，如果P_i+1出现以下任一情况：

①出现在可行点集Pick中

②出现在不可行点集Ban中

③P_i+1的

大于S的

值

则舍弃P_i+1，继续取下一个值P_i+2，再进行判断，直至取到满足要求的点，以新取的点作为E，再进行优化。所取点不能在可行点集Pick中的原因是：已经在可行点集中的点是导弹已经经过的航迹点，要求导弹不能再重复飞经该点。不可行点集中的点没有通向任何点的可行路径，所以不能取。如果P_i+1的

大于S的

值，说明P_i+1点与目标的距离大于分段起点与目标的距离，也就是导弹往回飞，本文中不允许这种情况。综合以上考虑选取满足要求的点，若直到W′的最后一个点也不满足要求，则说明，以S为起始点没有可行的路径，因此，将其从Pick中删除，加入Ban。令新的起点S为此时可行点集Pick中的最后一个点，新的E指向W′中第一个点即目标点，重新进行优化取点。由初始化可知，第一步是以导弹的起点s_k作为分段起点、目标点e作为分段终点的，如果优化得到最优解，则说明，导弹的航迹由一条贝塞尔曲线即可表征。否则，将P₁作为分段终点，进行优化，如果可得到优化问题的解，则s_kP₁即为得到的一段贝塞尔航迹，接下来以P₁为起点，目标点e为终点再进行优化，得到第二段贝塞尔曲线。如果将P₁作为分段终点进行优化得不到解，则继续取P₂作为终点……，以此类推进行下去。优化过程中，如果出现前段有解而后段无解的情况如s_k至P₂可得到优化解而P₂至W′中所有满足条件点均无优化解，则将P₂加入Ban，返回到以s_k为起点的过程，重新选择P₃作为分段终点，进行优化，如此往复。

3)上述优化过程终止的条件为

①Pick为空或Ban＝{P₁，P₁，…，P_u}，说明该任务无解；

②Pick中出现终点e，说明已经找到从导弹起点到终点的航迹，Pick即为得到的航迹节点集。此时，每枚导弹都得到了一条能够避免威胁区并以指定的攻击角度攻击目标的航迹。由上述搜索过程可见，在节点搜索过程中根据

(1)值优先选择了距离其他导弹较远的航迹节点，根据

值优先选择了节点数较少、更靠近目标方向的航迹节点。

2.3具有攻击时间约束的多导弹协同航迹规划方法

之前得到的每枚导弹的航迹总长度是不同的，因此，导弹到达目标的时间不同。假设第i枚导弹的航迹长度为l_i(i＝1，2，…n)，其中的最大值为 l_max＝max{l₁...l_i...}。由于导弹的飞行速度一样，因此，如果各导弹飞过的路程一样，则它们会在同一时间到达目标点。因此，在获得l_max后，可采取一定方法将其他导弹的航迹长度扩展为l_max，则可保证多导弹同时命中目标。以导弹1为例来说明问题，假设导弹1的航迹由三段组成即l₁＝l_s1+l₁₂+l_2e，导弹1的航迹长度与最长航迹之间的差为Δl₁＝l_max-l₁，然后按照组成l₁的三段航迹分别占总航迹的比例来分配Δl₁，即

式中，l′_s1、l′₁₂和l′_2e分别为扩展后的导弹1的三段航迹。

为了得到给定长度的贝塞尔曲线航迹，在如式(8)所示优化问题的基础上，加入约束

构成新的优化问题为

式中，

为给定的航迹长度。求解如式(14)所示的优化问题，则得到能够避免威胁区、满足过载约束、航迹长度约束且航迹端点处接近直线的航迹。

3仿真分析

假设两枚导弹(#1、#2)协同飞行，其速度均为V＝300m/s，其初始点s、目标点e的位置、初始速度方向γ_s和要求的末端攻击方向γ_e、可用过载情况如表1所示，表中，下标‘s’和‘e’分别表示起始时刻和终端时刻。假设导弹飞行的环境中有11个威胁区O_j(j＝1，2...11)，其具体信息见表2。

表1导弹的初始参数及要求的攻击角度

表2威胁区中心位置及大小信息表

对分段航迹进行优化时，权重为w₁＝1、w₂＝50，采用MATLAB非线性约束优化函数FMINCON，优化变量

的初值均为分段航迹起点与分段航迹终点的距离

包含两枚导弹、目标以及威胁区的战场态势图如图2所示。图中，按照德劳内三角法连接威胁区的中心，并绘出导弹的航迹节点(为了简洁，只绘出部分节点以说明问题)

由图2可见，O₁和O₃中心的连线与O₂所示的威胁区相交，因此，其为无效边。去除无效边并按2.2中定义得到航迹节点集为

对于导弹k，分别计算每个航迹节点对应的

值并按

(1)进行升序排列。如当k＝1时，可根据式()计算得到λ_1，12(1)＝、λ_1，17(1)＝、λ_1，110(1)＝、λ_1，26(1)＝、λ_1，27(1)＝……，再考虑λ_1，e(1)＝0，根据这些值按照从小到大的顺序排列，可得导弹#1的航迹节点序列为

节点序列中，O_w，34距离导弹#2最远，O_w，710距离导弹#2最近，与图相符。

同理，得到导弹#2的航迹节点序列为

对于导弹#1，根据2.2中算法，初始化后，首先选取了目标点作为分段航迹终点，根据模型()进行优化后无解，故在W₁′中顺序选取O_w，34并判断其满足成为分段航迹终点的条件，以其为分段航迹终点，继续进行优化得到最优解，故将O_w，34加入Pick，并以其为分段航迹起点、以目标点为分段航迹终点进行优化，得到优化解，故将目标点e加入Pick，满足算法终止条件。最终得到导弹#1的可行点集为

Pick＝{s₁，O_w，34，e}

同时也得到了导弹#1的两个分段航迹，如图3中黑色实线与黑色虚线所示。

对于导弹#2，初始化后，同样首先选取目标点作为分段航迹终点，进行优化后无解，继续在W′₂中顺序往后选取O_w，811并判断其满足成为分段航迹终点条件，以其为分段航迹终点，继续进行优化后无优化解，如此继续向后选取，O_w，1011仍未得优化解，继续向后选取到O_w，58时得到优化解。故将O_w，58加入Pick，并以其为分段航迹起点、以目标点为分段航迹终点进行优化，得到优化解，故将目标点e 加入Pick，满足算法终止条件。最终得到导弹#2的可行点集为

Pick＝{s₂，O_w，58，e}

同时也得到了导弹#2的两个分段航迹，如图3中红色实线与红色虚线所示。

导弹#1、#2对应的过载如图4所示。由图可见两枚导弹的需用过载均未超过可用过载n_P，且在航迹端点(τ＝0与τ＝1)处过载均接近零，航迹较为平直(由图3也可看出)，导弹留有较大的机动性余量。

在上述生成满足攻击角度约束航迹的基础上，采用2.3中的算法进一步生成长度相同的航迹。由于导弹作速度为300m/s的亚音速等速巡航，故航迹长度相同等价于飞行时长相同。分别计算导弹#1、#2的飞行时长如表3。

表3导弹#1、#2各段飞行时长

取t_c＝max(t₁，t₂)＝343.57s，故导弹#1航迹不作调整，导弹#2各段航迹时长调整为

调整后导弹#2各段期望时长t₂₁′、t₂₂′乘以巡航速度得到各段期望长度

使用式(14)中的优化模型进行优化，得到如图5蓝色曲线所示的延长后的航迹，对应的过载如图6所示。

图5中，蓝色的航迹中的第一段(实线)与第二段(虚线)为按原分段航迹长度占原航迹总长比例被延长的期望长度，调整后的航迹总长与导弹#1航迹等长，飞行时间相等，均为343.57s。至此得到导弹#1、#2能够避免威胁区、满足过载约束、攻击角度约束和攻击时间约束的协同航迹。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤0、假设导弹在二维平面的航迹为三次贝塞尔曲线，其质心坐标X＝[x,y]^T可表示为：

其中，b_i为导弹航迹中控制点二维坐标，n表示贝塞尔曲线次数，τ∈[0,1]为参数，B_i,n(τ)为伯恩斯坦多项式；

步骤1、基于三次贝塞尔曲线建立导弹航迹模型，其中，假定导弹轨迹由至少一段三次贝塞尔曲线组成，然后基于导弹航迹模型确定满足导弹攻击角度的航迹优化函数：

其中，

表示每段导弹航迹的起点和第二个控制点的模；

表示每段导弹航迹的第三个控制点和末点的模；

表示第i段航迹的长度，n_i(0)和n_i(1)分别表示第i段航迹起点和终点的过载，w₁＞0、w₂＞0为权重；|n_i(τ)|_max为第i段航迹的最大需用过载；n_P为导弹的可用过载；d(τ)_i,j为第i段航迹与第j个威胁区中心的最小距离，r_dj为其最小安全半径；

步骤2、基于步骤1确定的航迹优化函数对单枚导弹的航迹进行优化，具体为：

S201、将环境中的威胁区和禁飞区等效为一个半径为r_o的圆，考虑安全余量r_s＞0，每个威胁区的最小安全半径定义为：

r_d＝r_o+r_s

假设导弹飞行的环境中威胁区和禁飞区共有m个，其等效圆的圆心为O_j、最小安全半径为r_dj，j＝1,2,…m；应用德劳内三角法连接等效圆的圆心，之后进行有效边的判定：如果两个圆心的连线不经过某个等效圆，则这条边为有效边，否则为无效边；将无效边从德劳内三角法所构造的三角连接图中去除，并定义有效边在等效圆外部分的中点为导弹可经过的航迹点，由此得到导弹的航迹节点集合为：

确定单枚导弹的航迹节点集合W:{O_w,ij|i,j＝1,2,3...}；

S202、将航迹节点集合W中节点按照

从小到大进行排列，得到航迹节点序列W′，其中，

表示节点

距离导弹k外其他导弹的初始位置的平均距离；将目标点e加入序列W′中作为第一个节点，则序列W′表示为：W′＝{P₀,P₁,P₂,…P_u}，P_i表示按序排好后的航迹节点

u为航迹节点的总个数，且P₀＝e；

S203、针对单枚导弹航迹的每一段航迹，定义分段起点为S，分段终点为E，可行点集Pick及不可行点集Ban；初始时，有起点S＝s_k，终点E＝e，Pick＝{s_k}和

s_k表示导弹的起点；

S204、针对分段起点为S、终点为E＝P_i的一段航迹，利用步骤1中的航迹优化函数对该段航迹进行优化：

a、如果能够得到优化解，则该段航迹作为解得的一段航迹，将P_i放入可行点集Pick中；接下来以P_i作为分段起点，P₀＝e作为分段终点，再利用步骤1中的航迹优化函数对该段航迹继续优化；

b、如果不能够得到优化解，则取分段终点E＝P_i+1继续优化，如果P_i+1出现以下任一情况：

①出现在可行点集Pick中；②出现在不可行点集Ban中；③P_i+1与目标点之间的距离大于S与目标点之间的距离；

则舍弃节点P_i+1，继续取下一个节点P_i+2的优化，以此类推，再进行判断，直至取到不满足以上三种情况的节点，然后以新取到的节点作为分段终点E，S为分段起点，再继续进行优化；若直到W′种最后一个节点也不能得到优化解，则说明以S为起始点没有可行的路径，即将其从Pick中删除，加入Ban；将可行点集Pick中的最后一个节点作为新的分段起点S，将W′中第一个点即目标点作为新的分段终点E，再按照S204的方法继续进行优化取点；如此反复，直到满足如下终止条件：

①Pick为空或Ban＝{P₁,P₁,…,P_u}，说明该任务无解；或者②Pick中出现终点e；

S205、根据步骤S204最终获得的Pick中的航迹节点以及相应航迹；

步骤3、具有攻击时间约束的多导弹协同航迹规划，具体为：

获得所有导弹航迹的最长航迹l_max；将所有导弹航迹长度扩展成最长航迹l_max，则得到的航迹为最终的航迹规划结果。

2.如权利要求1所述的一种基于分段贝塞尔曲线的多导弹协同航迹规划方法，其特征在于，所述步骤3中，获得最长航迹l_max后，计算各枚导弹航迹长度l₁与l_max的差值Δl₁＝l_max-l₁；确定各枚导弹的各段航迹长度，根据各段航迹长度的比例关系，将差值Δl₁分配到各段航迹上，获得各段航迹的给定航迹长度；在步骤1得到的优化函数的基础上，加入约束：

构成新的优化问题为：

式中，

为给定航迹长度；求解新的优化问题，则得到能够避免威胁区、满足过载约束、航迹长度约束且航迹端点处接近直线的航迹。

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