CN108088770A - 氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法 - Google Patents

氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法 Download PDF

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CN108088770A CN201711187430.9A CN201711187430A CN108088770A CN 108088770 A CN108088770 A CN 108088770A CN 201711187430 A CN201711187430 A CN 201711187430A CN 108088770 A CN108088770 A CN 108088770A
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Abstract

本发明提供了一种氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，应用变阶数分形导数对流扩散方程描述氯离子的扩散速度，采用差分方法离散扩散方程，空间上采用隐格式离散，根据所要数值模拟物质所分布的尺度确定网格点数，整理离散后控制方程，得到矩阵形式的方程组，解线性方程组，得到任意点在某一时刻氯离子浓度的扩散数据。通过与已有的非线性模型和分数阶导数模型比较，结果显示本发明变阶数分形导数模型结构清晰，没有卷积计算，能够反映出扩散速率的时间依赖，计算简单快速，易于实施，可以较精确地模拟氯离子在混凝土中反常扩散过程和时间演化特性。本发明能够预测氯离子扩散过程中峰值到达的时间和推进速度，为工程结构设计和防护提供可靠的指导。

Description

氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法
技术领域
本发明涉及一种混凝土结构，具体涉及一种氯离子在混凝土中扩散模拟方法。
背景技术
氯离子侵蚀是影响混凝土结构耐久性的主要原因之一，其研究的核心问题是氯离子在混凝土中的输运机理分析与建模。传统的方式是在Fick扩散定律的基础上做一些修正模型来描述氯离子在混凝土中的扩散行为，然而，混凝土是一种典型的多孔材料，具有不均匀和各向异性的特征，在不同的水灰比情况下，混凝土对氯离子的结合效应和水化作用对氯离子的阻碍效果一方明显占优的情况下时，这个时间段中，氯离子的扩散速度会随着时间的增加或减弱，经典的Fick扩散定律在这种条件下不再适用，实际工程中也会出现传统模型预测的使用时间比实际工程中预测的时间短的情况。
发明内容
发明目的：本发明的目的在于针对现有技术的不同，提供了一种氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，能够预测氯离子扩散过程中峰值到达的时间和推进速度，为工程结构设计和防护提供可靠的指导。
技术方案：本发明提供了一种氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，包括以下步骤：
(1)在所考察物质的内部和边界配置测试点，获得这些测试点的氯离子浓度和边界氯离子的质量分数，确定初边条件；
(2)氯离子在混凝土中反常扩散时间内，应用变阶数分形导数对流扩散方程描述氯离子的扩散速度，确定扩散方程的参数；
(3)采用差分方法离散扩散方程，空间上采用隐格式离散，根据所要数值模拟物质所分布的尺度确定网格点数，整理离散后控制方程，得到矩阵形式的方程组；
(4)解线性方程组，得到任意点在某一时刻氯离子浓度的扩散数据；
(5)分析氯离子的扩散数据，指导工程实践。
进一步，步骤(2)有变阶数分形导数对流扩散方程：
其中，x为空间位置，t为时间，Ω为物理边界，C(x，t)为不同时间下混凝土不同位置氯离子的质量分数，A为对流参数，D为扩散参数，一般考虑D为常数，由实际测量获得；
判断混凝土是否处于水饱和状态，在水饱和混凝土中氯离子的输运以扩散作用为主，此时简化模型，令A＝0；而在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式，A≠0；
为变阶数分形导数，定义为α(t)为变阶数分形阶数的时间相关函数，一般情况下表达式为α(t)＝α+gt，α为起始阶数；结合混凝土在不同水灰比的情况下，混凝土对氯离子的结合效应与水化作用对氯离子的阻碍效果不同：当水灰比小于0.5的情况下，混凝土对氯离子的结合效应弱，水化作用对氯离子的阻碍效果强，此时阶数函数中的g小于0；相反，当水灰比大于0.8的情况下，混凝土对氯离子的结合效应强，水化作用对氯离子的阻碍效果弱，此时的阶数函数中的g大于0。
进一步，步骤(3)时间变阶数分形导数的离散形式为：
此处
空间离散采用隐格式的离散方式：
其中h＝L/Nx，L为空间长度，Nx为总空间段，xi为第i个点的位置，tk为第k个时间节点的时刻；
由于在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数对流扩散方程的离散格式：
整理得：
写成矩阵形式的AC＝b，其中方阵A为：
向量C为[C(x1，tk+1)，C(x2，tk+1)，…，C(xNx，tk+1)，C(xNx+1，tk+1)]′，
向量b为
由于在水饱和混凝土中，氯离子的输运以扩散作用为主，此时简化模型，令A＝0，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数扩散方程的离散格式：
整理得：
可写成矩阵形式的AC＝b，其中方阵A为：
向量C为[C(x1，tk+1)，C(x2，tk+1)，…，C(xNx，tk+1)，C(xNx+1，tk+1)]′，
向量b为
进一步，步骤(5)根据氯离子扩散的数值结果对应氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命，在钢筋锈蚀发展的第一阶段预备期对钢筋进行有效的维护。
有益效果：本发明利用分形导数模型的尺度变换效应，结合混凝土在不同的水灰比的情况下，混凝土对氯离子的结合效应与水化作用对氯离子的阻碍效果不同，这个时间段中，氯离子的扩散速度会随这时间的增加或减弱，从而在实际工程中也会出现传统的模型预测的使用时间比实际工程中预测的时间短或者长的情况，得到了描述氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数扩散方程。通过与已有的非线性模型和分数阶导数模型比较，结果显示变阶数分形导数模型结构清晰，没有卷积计算，能够反映出扩散速率的时间依赖，计算简单快速，易于实施，可以较精确地模拟氯离子在混凝土中反常扩散过程和时间演化特性。本发明通过氯离子反常扩散过程模拟和统计特征分析，预测氯离子扩散过程中峰值到达的时间和推进速度，为工程结构设计和防护提供可靠的指导。
附图说明
图1是本发明的方法流程示意图。
图2是本发明的氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命图。
图3(a)为本发明100天时的变阶数分形模型模拟氯离子在低水灰比条件下混凝土中扩散的效果示意图；(b)为本发明200天时的变阶数分形模型模拟氯离子在低水灰比条件下混凝土中扩散的效果示意图。
具体实施方式
下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。
一种氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，如图1所示，根据氯离子扩散的数值结果对应氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命图(图2)，在t1时间段即钢筋锈蚀发展的第一阶段预备期对钢筋进行有效的维护，t2时间段即钢筋锈蚀发展的第二阶段发展期，t3时间段即钢筋锈蚀发展的第三阶段发展期。预备期是指从混凝土结构浇筑成型、投入使用开始，随着外界环境中氯离子的不断侵入，直到钢筋表面处的氯离子浓度累积到一定程度(即临界氯离子浓度)，钢筋表面钝化膜破坏，钢筋开始绣蚀为止，这段时间用t1表示；发展期是指从钢筋开始锈蚀发展到混凝土表面由于钢筋锈蚀而发生比较严重的开裂，层裂或剥落，必须经过一定的维护才能继续使用为止，这段时间可以用t2表示；破坏期是指混凝土中的钢筋锈蚀已经扩大到了结构的区域性破坏程度，不能再继续安全使用，这段时间可以用t3来表示。由此可知，氯盐环境下的混凝土结构设计使用寿命可以表示为t＝t1+t2+t3。
钢筋锈蚀造成混凝土保护层开裂或剥蚀，环境中的氯离子会沿着裂缝更加快速的到达钢筋表面，使钢筋锈蚀加剧。有研究表明，氧气在顺筋裂缝中直接扩散到达钢筋表面的速度要比通过混凝土毛细孔快1000倍，而相应的钢筋锈蚀速度要快10倍。钢筋的锈蚀又会反过来促使混凝土保护层更快的破坏，如此反复，恶性循环。一般情况下存在关系t1＜＜t2＜＜t3。因此，对混凝土结构加强检查，及时处理，在t1和t2期间对混凝土结构进行有效的维护往往可以起到事半功倍的效果。
考虑如下氯离子在水饱和混凝土中输运问题，采用Khitab等利用普通硅酸盐水泥，水灰比0.4条件下浇筑的钢筋混凝土样本进行了一系列的氯化物浸泡试验，并且获得了样本在暴露一定时间后的氯离子浓度分布结果。用变阶数分形模型拟合实验数据，变阶数分形模型方程为：
其中b为右边界，c为污染物浓度。根据混凝土样本暴露100天的氯离子分布数据，在水灰比为0.4，小于0.5～0.8区间的情况下，混凝土对氯离子的结合效应弱，水化作用对氯离子的阻碍效果比较强，此时阶数函数中的g要小于0利用最小二乘拟合方法可以得到相关的模型参数其中阶数的时间函数α(t)＝α+gt中α＝0.9、g＝-0.0013、查阅相关文献扩散系数D＝1mm2/day0.9、对流系数A＝0，c＝2.8。
拟合结果见图3(a)(b)，从图中可以看出变阶数分形导数模型可以对低水泥比0.44的情况下的实验结果进行有效的拟合和预测，从而可以指导工程实践工作。
并且表1的运行条件为Inter(R)Core(TM)i5-5490 CPU@3.30GHz，显示了变阶数分形模型和变阶数分数阶模型在不同点数下的运行时间，从中可以发现变阶数分形导数模型在计算效率上明显优于分数阶导数模型，可以有效的描述粒子在复杂介质中的反常扩散现象，具有精确模拟氯离子在混凝土中的反常扩散行为和较高的计算效率的优势。
表1 变阶数分数阶模型和变阶数分形模型计算效率的比较

Claims (4)

1.一种氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，其特征在于：包括以下步骤：
(1)在所考察物质的内部和边界配置测试点，获得这些测试点的氯离子浓度和边界氯离子的质量分数，确定初边条件；
(2)氯离子在混凝土中反常扩散时间内，应用变阶数分形导数对流扩散方程描述氯离子的扩散速度，确定扩散方程的参数；
(3)采用差分方法离散扩散方程，空间上采用隐格式离散，根据所要数值模拟物质所分布的尺度确定网格点数，整理离散后控制方程，得到矩阵形式的方程组；
(4)解线性方程组，得到任意点在某一时刻氯离子浓度的扩散数据；
(5)分析氯离子的扩散数据，指导工程实践。
2.根据权利要求1所述的氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，其特征在于：步骤(2)有变阶数分形导数对流扩散方程：
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其中，x为空间位置，t为时间，Ω为物理边界，C(x，t)为不同时间下混凝土不同位置氯离子的质量分数，A为对流参数，D为扩散参数，一般考虑D为常数，由实际测量获得；
判断混凝土是否处于水饱和状态，在水饱和混凝土中氯离子的输运以扩散作用为主，此时简化模型，令A＝0；而在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式，A≠0；
为变阶数分形导数，定义为0＜α，α(t)为变阶数分形阶数的时间相关函数，一般情况下表达式为α(t)＝α+gt，α为起始阶数；结合混凝土在不同水灰比的情况下，混凝土对氯离子的结合效应与水化作用对氯离子的阻碍效果不同：当水灰比小于0.5的情况下，混凝土对氯离子的结合效应弱，水化作用对氯离子的阻碍效果强，此时阶数函数中的g小于0；相反，当水灰比大于0.8的情况下，混凝土对氯离子的结合效应强，水化作用对氯离子的阻碍效果弱，此时的阶数函数中的g大于0。
3.根据权利要求1所述的氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，其特征在于：步骤(3)时间变阶数分形导数的离散形式为：
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空间离散采用隐格式的离散方式：
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其中h＝L/Nx，L为空间长度，Nx为总空间段，xi为第i个点的位置，tk为第k个时间节点的时刻；
由于在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数对流扩散方程的离散格式：
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写成矩阵形式的AC＝b，其中方阵A为：
向量C为[C(x1，tk+1)，C(x2，tk+1)，…，C(xNx，tk+1)，C(xNx+1，tk+1)]′，
向量b为
由于在水饱和混凝土中，氯离子的输运以扩散作用为主，此时简化模型，令A＝0，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数扩散方程的离散格式：
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整理得：
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可写成矩阵形式的AC＝b，其中方阵A为：
向量C为[C(x1，tk+1)，C(x2，tk+1)，…，C(xNx，tk+1)，C(xNx+1，tk+1)]′，
向量b为
4.根据权利要求1所述的氯离子在混凝土中反常扩散的变阶数分形导数模拟方法，其特征在于：步骤(5)根据氯离子扩散的数值结果对应氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命，在钢筋锈蚀发展的第一阶段预备期对钢筋进行有效的维护。
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