CN108052793A - 一种基于模糊加权elm的移动污染源排放浓度预测方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于模糊加权ELM的移动污染源排放浓度预测方法，本发明根据移动污染源污染物的时空分布特点，提出自适应模糊加权超限学习机模型；根据模糊系统的特点，利用移动污染源排放浓度数据集的部分输入数据，完成自适应模糊加权超限学习机初始化，即模糊化处理；由于模糊系统自学习、自调节的特点可以对超限学习机的输入权值和隐层偏置值进行优化，通过对加权超限学习机进行正则化处理，得到移动污染源排放浓度预测方法。

Description

一种基于模糊加权ELM的移动污染源排放浓度预测方法
技术领域
本发明涉及一种数据预测方法，尤其涉及一种基于模糊加权ELM的移动污染源排放浓度预测方法。
背景技术
近年来，大气污染日渐成为一个严峻的问题，尤其是移动污染源超细颗粒物和挥发性有机物造成的大范围雾霾已经成为我国最突出的环境问题之一。超细颗粒物和挥发性有机物不仅对人体健康具有严重的直接危害，同时作为PM2.5的重要前体物和光化学烟雾的主要组成部分，对复合大气污染的形成起着至关重要的作用。由于移动污染源增速快、保有量大、流动范围广，排放污染物种类多、浓度高、持续时间长，其所排放的污染物权重日益加大，减排地位日益凸显。因此，超标排放移动污染源的实时管控和预报预警，不仅关系到为决策者制订相关行业规范、标准、政策提供参考依据，而且关系到进一步改善区域城市大气环境的质量。为此，我们需要对移动污染源污染物浓度进行事先预测，通过对单个监测点检测到的移动污染源污染物浓度进行时间序列的预测为决策者提供参考依据，实现对超标排放移动污染源的实时管控。
目前，基于统计模型的预测方法被广泛应用在预测空气污染物浓度，如多元线性回归模型(multi-linear regression,MLR)，自回归积分滑动平均模型(AutoregressiveIntegrated Moving Average Model,ARIMA)，人工神经网络(artificial neuralnetworks,ANN)，支持向量回归(support vector regression,SVR)，径向基函数(radialbasis function,RBF)网络等。
污染物浓度由于受多种气象条件和大气理化过程影响，会出现各种异常情况，传统的统计模型预测方法往往难以实现对其进行精确的预测。
发明内容
本发明针对现有技术中预测空气污染物浓度的精度不高的问题，提供了一种基于模糊加权ELM的移动污染源排放浓度预测方法。
一种基于模糊加权ELM的移动污染源排放浓度预测方法，其特征在于：该方法具体包括以下步骤：
步骤1：初始化训练样本。采用最大最小法分别对训练集和测试集进行归一化处理，转化为[0,1]之间的值；所述训练样本为污染源，将数据集按照“留出法”划分成训练集和测试集。
步骤2：选择高斯型隶属函数参数并计算各输入变量的隶属度具体方法如下：
1)TSK模糊系统用如下的“If-then”规则形式来定义，在规则为Ri的情况下，模糊推理如下：
其中，为模糊系统的模糊集；为模糊系统参数；yi为根据模糊规则得到的输出，输入部分即if部分是模糊的，输出部分即then部分是确定的，该模糊推理表示输出为输入的线性组合。
2)将输入的精确量xj＝[xj1,xj2,…,xjn]T∈Rn进行模糊化处理，转化为给定论域上的模糊集合，然后激活对应的模糊规则，并且选用模糊推理方法；
ANFIS-WELM模型使用高斯型隶属函数；
式中，为隶属度函数的中心，随机分配高斯模糊隶属函数σ的标准偏差，L为模糊子集数。
步骤3：通过激活对应的模糊规则，对每个模糊规则的激活强度进行归一化处理，计算隐层节点输出矩阵H；具体方法如下：
1)将各隶属度进行模糊计算，采用模糊算子为连乘算子：
2)归一化层，每个模糊规则的激活强度都是由其总和来进行归一化，如下：
对于N个训练样本，l个隐层节点来说，标准SLFNs的数学模型为：给定N个训练数据[xj,tj],j＝1,2,…,N，其中xj＝[xj1,xj2,…,xjn]T∈Rn是样本,tj＝[tj1,tj2,…,tjm]T∈Rm为样本xj的期望输出向量，n和m代表对应着输入和输出的维数。则ANFIS-WELM输出为：
假设有L个规则，用pi表示第i个规则的参数矩阵，表示第i个规则下的第j个输入变量，i＝1,2,…,L，则输出γi可以表示为所有输入的线性组合
因此，ANFIS-WELM的输出
采用矩阵形式，上式简化为：
HN×L(n+1)*PL(n+1)×1＝TN×1 (9)
这里，H是包含模糊规则的归一化激活强度的模糊层输出矩阵，P是模糊系统参数矩阵，T表示ANFIS-WELM模型的期望输出矩阵，如下给出：
步骤4：在训练集上，以最小验证误差为目标找出正则化参数C的最优值；
步骤5：选择合适的σ值，使用局部加权线性回归为ELM分配权重，通过KKT条件对等式约束的WELM目标式子优化，计算输出权值矩阵P。具体方法如下：
等式优化约束的ANFIS-WELM目标式子可写为：
式中，εj＝(εj1,εj2,…,εjm)为对应于样本xj的训练误差向量，h(xj)是输入xj的模糊规则的归一化激活强度的模糊层输出，C为正则化参数。我们定义一个与每个训练样本xj相关的N×N只含对角元素的权重矩阵点h(xj)与H(隐藏层输出矩阵)越近，W(j,j)将会越大，并且σ越小越精确(太小可能会过拟合)。为了使边际距离最大化并使关于每个样本的加权累积误差最小化，考虑对角权重矩阵W。
关于ANFIS-WELM的等价对偶优化问题为：
其中，αj＝[α1,α2,…,αN]T为拉格朗日乘子对应于第j个输入训练数组，利用KKT条件将式(13)转化为无条件最优化问题进行求解，导出优化的必要条件可得，由此得到如下的参数矩阵
步骤6：通过最终参数的选择，计算预测输出矩阵f(x)；
训练结束，模型的权值参数通过局部加权线性回归算法，给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，然后在这个子集上基于最小均方差进行普通的回归。将实时的移动污染源排放物浓度输入到模型中，模型即可输出未来时刻预测的浓度结果。
本发明的预测方法中，使用了模糊系统将输入值进行模糊化处理，能够较好地改善预测误差修正机制，为了降低计算复杂度和具备更好的泛化能力引入超限学习机。该方法不仅可以实现较高的预测精度也可以提高实时性。
附图说明
图1是自适应模糊加权超限学习机结构图
具体实施方式
如图1所示，本发明具体实现如下：
步骤1：初始化训练样本。采用最大最小法分别对训练集和测试集进行归一化处理，转化为[0,1]之间的值；所述训练样本包括一氧化碳CO、一氧化氮NO，将数据集按照80％、20％的比例划分训练集和测试集。
步骤2：选择高斯型隶属函数参数并计算各输入变量的隶属度具体方法如下：
Takagi-Sugeno-Kang(TSK)模糊系统可以隐含地学习和记忆时间信息。TSK模糊系统用如下的“if-then”规则形式来定义，在规则为Ri的情况下，模糊推理如下：
规则Rt：
其中，为模糊系统的模糊集；(j＝1，2，…k)为模糊系统参数；yi为根据模糊规则得到的输出，输入部分(即if部分)是模糊的，输出部分(即then部分)是确定的，该模糊推理表示输出为输入的线性组合。
将输入的精确量xj＝[x1，x2，…，xk]T进行模糊化处理，转化为给定论域上的模糊集合，然后激活对应的模糊规则，并且选用适当的模糊推理方法。为了获取更加良好的抗干扰能力，WELM-ANFIS模型使用高斯型隶属函数，且模糊化的结果更接近污染源浓度。
式中，为隶属度函数的中心，随机分配高斯模糊隶属函数σ的标准偏差，k为输入参数，n为模糊子集数。
步骤3：通过激活对应的模糊规则，对每个模糊规则的激活强度进行归一化处理，计算隐层节点输出矩阵H；具体方法如下：
每个模糊规则的激活强度都是由其总和来进行归一化，如下：
结合ELM输出层的结果，对于ANFIS模糊系统，输出βi是一个输入的线性组合，如下：
其中，i=1，2，…，n，是第j个输入的数组，pi是第i个规则的参数矩阵，
因此，输出可以表示为：
这里，Hi是包含模糊规则的归一化激活强度的模糊层输出矩阵，Pi是模糊系统参数矩阵，Y表示WELM-ANFIS模型的期望输出矩阵，如下给出：
P＝[p1，p2，…，pN]T和Y＝[y1，y2，…，yN]
这里产生最大dn规则来处理输入数据，n是输入向量的维数，d表示隶属函数的数目，i＝1，2，…，n为模糊子集数。
步骤4：在训练集上，以最小验证误差为目标找出正则化参数C的最优值；
步骤5：选择合适的k值，通过KKT条件对等式约束的WELM目标式子的优化，计算输出权值矩阵P；具体方法如下：
为了提高传统ELM的稳定性和泛化能力，Huang提出了等式优化约束的ELM，等式优化约束的ELM的优化式子不仅最小化训练误差ε同时最小化输出权值P，因此等式优化约束的WELM目标式子可写为：
Minimize：
Subjected to：Ht(xf)P＝yj-εj，j＝1，2，…，N
式中，sj＝(sj1，sj2，…，sjM)为对应于样本xj的训练误差向量，Hi是输入xj的模糊规则的归一化激活强度的模糊层输出，C为正则化参数，我们定义一个与每个训练样本xj相关的N×N对角矩阵k越小越精确(太小可能会过拟合)，为了使边际距离最大化并使关于每个样本的加权累积误差最小化，其中采用以下损失函数进行参数优化：
其中，αj＝[α1，α2，…，αN]T为拉格朗日乘子对应于第j个输入训练数组，利用Karush–Kuhn–Tucker(KKT)条件将上式转化为无条件最优化问题进行求解，导出优化的必要条件可得:
因此,由此得到的参数矩阵被写成
步骤6：通过最终参数的选择，计算预测输出矩阵g(xj)；
训练结束，模型的权值参数通过局部加权线性回归算法，给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，然后在这个子集上基于最小均方差进行普通的回归。将实时的移动污染源排放物浓度输入到模型中，模型即可输出预测的浓度结果。
步骤7：对训练得到的自适应模糊加权超限学习机模型进行分析和对比，经分析和对比，相比于其他已有的方法，用自适应模糊加权超限学习机模型可以更好地对实时的移动污染源排放物浓度进行实时预测，且具有较好的预测准确度。
以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，仅仅参照较佳实施例对本发明进行了详细说明。本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种基于模糊加权ELM的移动污染源排放浓度预测方法，其特征在于：该方法具体包括以下步骤：
步骤1：初始化训练样本；采用最大最小法分别对训练集和测试集进行归一化处理，转化为[0,1]之间的值；所述训练样本为污染源，将数据集按照“留出法”划分成训练集和测试集；
步骤2：选择高斯型隶属函数参数并计算各输入变量的隶属度具体方法如下：
1)TSK模糊系统用如下的“If-then”规则形式来定义，在规则为Ri的情况下，模糊推理如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>R</mi> <mi>u</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>:</mo> <mi>I</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi> </mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi> </mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi> </mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi> </mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi> </mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi> </mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mi> </mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi> </mi> <msup> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>w</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi> </mi> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为模糊系统的模糊集；为模糊系统参数；yi为根据模糊规则得到的输出，输入部分即if部分是模糊的，输出部分即then部分是确定的，该模糊推理表示输出为输入的线性组合；
2)将输入的精确量xj＝[xj1,xj2,…,xjn]T∈Rn进行模糊化处理，转化为给定论域上的模糊集合，然后激活对应的模糊规则，并且选用模糊推理方法；ANFIS-WELM模型使用高斯型隶属函数；
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </msub> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>;</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，为隶属度函数的中心，随机分配高斯模糊隶属函数σ的标准偏差，L为模糊子集数；
步骤3：通过激活对应的模糊规则，对每个模糊规则的激活强度进行归一化处理，计算隐层节点输出矩阵H；具体方法如下：
1)将各隶属度进行模糊计算，采用模糊算子为连乘算子：
<mrow> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>*</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </msubsup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>*</mo> <mn>...</mn> <mo>*</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2)归一化层，每个模糊规则的激活强度都是由其总和来进行归一化，如下：
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于N个训练样本，l个隐层节点来说，标准SLFNs的数学模型为：给定N个训练数据[xj,tj],j＝1,2,…,N，其中xj＝[xj1,xj2,…,xjn]T∈Rn是样本,tj＝[tj1,tj2,…,tjm]T∈Rm为样本xj的期望输出向量，n和m代表对应着输入和输出的维数；则ANFIS-WELM输出为：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>L</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
假设有L个规则，用pi表示第i个规则的参数矩阵，表示第i个规则下的第j个输入变量，i＝1,2,…,L，则输出γi表示为所有输入的线性组合
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因此，ANFIS-WELM的输出
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采用矩阵形式，上式简化为：
HN×L(n+1)*PL(n+1)×1＝TN×1 (9)
这里，H是包含模糊规则的归一化激活强度的模糊层输出矩阵，P是模糊系统参数矩阵，T表示ANFIS-WELM模型的期望输出矩阵，如下给出：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>*</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>*</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>*</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤4：在训练集上，以最小验证误差为目标找出正则化参数C的最优值；
步骤5：选择合适的σ值，使用局部加权线性回归为ELM分配权重，通过KKT条件对等式约束的WELM目标式子优化，计算输出权值矩阵P；具体方法如下：
等式优化约束的ANFIS-WELM目标式子写为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>z</mi> <mi>e</mi> <mo>:</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>P</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>C</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mi>W</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mo>:</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，εj＝(εj1,εj2,…,εjm)为对应于样本xj的训练误差向量，h(xj)是输入xj的模糊规则的归一化激活强度的模糊层输出，C为正则化参数；我们定义一个与每个训练样本xj相关的N×N只含对角元素的权重矩阵点h(xj)与H越近，H为隐藏层输出矩阵，W(j,j)将会越大，并且σ越小越精确；为了使边际距离最大化并使关于每个样本的加权累积误差最小化，考虑对角权重矩阵W；
<mrow> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
关于ANFIS-WELM的等价对偶优化问题为：
<mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>P</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>C</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msubsup> <mi>W&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> <mi>P</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，αj＝[α1,α2,…,αN]T为拉格朗日乘子对应于第j个输入训练数组，利用KKT条件将式(13)转化为无条件最优化问题进行求解，导出优化的必要条件可得，由此得到如下的参数矩阵
<mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>H</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>WHH</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>I</mi> <mi>C</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>W</mi> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤6：通过最终参数的选择，计算预测输出矩阵f(x)；
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>*</mo> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>*</mo> <msup> <mi>H</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>WHH</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>I</mi> <mi>C</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>W</mi> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
训练结束，模型的权值参数通过局部加权线性回归算法，给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，然后在这个子集上基于最小均方差进行普通的回归；将实时的移动污染源排放物浓度输入到模型中，模型即可输出未来时刻预测的浓度结果。
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