CN107958103B

CN107958103B - 基于妥协决策的零件结构拓扑优化设计方法

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Publication number: CN107958103B
Application number: CN201711087940.9A
Authority: CN
Inventors: 王国新; 陈舒婷; 阎艳
Original assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Current assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Priority date: 2017-11-07
Filing date: 2017-11-07
Publication date: 2019-02-22
Anticipated expiration: 2037-11-07
Also published as: CN107958103A

Abstract

本发明针对零件拓扑结构设计过程中存在多目标之间相互矛盾的问题，提出一种基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法。该方法利用拓扑优化求解多组不同材料去除率下的零件结构的布局，并通过原始结构的静力学分析以及比较不同材料去除率下布局的重叠图，确定影响结构性能的关键几何参数以及结构的初步布局模型；同时利用目标要求分析确定关键材料参数以及妥协决策目标变量、偏差变量。然后将由上述方法确定的关键几何参数与材料参数作为妥协决策的系统变量，通过响应面分析和回归分析，得到目标变量与系统变量之间的函数关系，结合变量约束条件，建立妥协决策数学模型。

Description

基于妥协决策的零件结构拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种优化设计方法，具体涉及一种零件拓扑优化设计方法，属于机械设计领域。

背景技术

结构的拓扑关系影响结构的物理性能表达，因此可以通过改变结构的拓扑关系优化结构的物理性能。在产品概念设计阶段，对于完全陌生或是需要进行程度较大的改型设计的产品，拓扑优化可以有效、快捷、准确地确定产品初始结构构型。因此，拓扑优化技术已广泛运用于工程设计中。

由于拓扑优化是无参数优化，无法直接求解结构构型的具体尺寸；此外，在多目标设计问题中，设计目标不仅包括结构的物理性能指标，还包括非物理性能指标(例如制造成本、时间成本等)，且当不同目标之间存在相互冲突、相互矛盾的制约关系时，设计者必须对各个目标做出妥协权衡。妥协决策数学模型正是用于解决在实际约束的条件下，求解多目标设计问题。妥协决策数学模型在概念上融合了传统数学规划与目标规划，并在其基础上对多个目标进行权衡、对约束条件进行妥协，寻找最接近设计要求的满意方案。

发明内容

有鉴于此，本发明提供一种基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，利用拓扑优化技术结合妥协决策数学模型，能够有效解决设计要求之间存在矛盾的多目标零件构型设计问题。

所述的基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，其步骤为：

步骤一：依据设计要求建立零件的原始几何结构模型；

步骤二：对步骤一所建立的原始几何结构模型进行静力学分析，得到原始几何结构模型的等效应力图；

步骤三：对步骤一中所建立的原始几何结构模型进行设定的、不同材料去除率的拓扑优化设计，得到不同材料去除率下的拓扑优化结果图；然后将不同材料去除率下的拓扑优化结果图进行图像叠加处理，得到重叠图像；

步骤四：结合步骤二静力学分析结果中等效应力较小部位，将步骤三中得到的重叠图像中变化较大的结构尺寸确定为影响结构性能的关键几何结构尺寸参数，并通过重叠图像确定零件结构初步构型；

分析与设定的设计目标相关的材料参数，将该材料参数作为关键材料参数；

步骤五：确定目标变量与关键几何结构尺寸参数与关键材料参数之间的关系

将设计目标表示为目标变量A_i(V)，i＝1，2...N，其中N为目标变量的个数，每个目标变量对应一个设计目标，V为系统变量；建立目标变量与系统变量之间的回归关系，所述系统变量为步骤四所确定的关键几何结构尺寸参数和关键材料参数；

步骤六：建立基于妥协决策的零件结构拓扑模型

所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型的系统变量V为：

V＝(X,Y)，其中：

X＝(X₁,X₂,X₃,...,X_n),X_r≥0r＝1,2,3...,n

Y＝(Y₁,Y₂,Y₃,...,Y_k),Y_t≥0t＝1,2,3...,k

X表示关键几何结构尺寸参数，n为步骤四所确定的关键几何结构尺寸参数的个数；

Y表示关键材料参数，k为步骤四所确定的关键材料参数的个数；

所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型的偏差变量d_i为：d_i＝G_i-A_i(V)i＝1,2,3...,N；其中，A_i(V)表示目标变量的实际值，G_i表示目标变量的理想值，每个目标变量对应一个偏差变量；

所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型的约束条件包括系统约束和目标约束，其中系统约束为所述系统变量中两个以上参数所需满足的约束条件；

目标约束为：

对于目标最大化的目标约束，则A_i(V)≤G_i，即：

对于目标最小化的目标约束，则A_i(V)≥G_i，即：

若在目标最小化的理想值G_i＝0，则

其中A_i ^max(V)表示目标变量实际值的最大值；

所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型的边界条件为所述系统变量中单个参数的上限值和下限值；

在该数学模型中，以最小化偏差函数作为优化函数反映设计方案的优劣情况，偏差函数由偏差变量按照优先级原则或者阿基米德原则表达；

由此通过所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型得到零件的关键几何结构尺寸参数和关键材料参数。

有益效果

(1)该方法为基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，能够有效解决设计要求之间存在矛盾的多目标零件构型设计问题。

(2)通过将拓扑优化设计与妥协决策数学模型结合，实现了同时处理几何尺寸设计以及材料选择的问题，提高了设计效率。

附图说明

图1为基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法原理图；

图2为飞行器运载小车结构三维图；

图3为单个车架初步构型布局平面图；

图4为个单车架几何尺寸示意图1；

图5为单个车架几何尺寸示意图2；

图6为七种权重情况图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例，对本发明作进一步说明。

本实施例提供一种基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，如图1所示，该方法利用拓扑优化技术建立零件初步结构构型，并在妥协决策数学模型基础上建立零件结构拓扑模型，即基于妥协决策的零件结构拓扑模型(简称T&C数学模型)，通过求解T&C数学模型解决多目标拓扑结构设计问题，从而得到最接近设计要求的满意方案。

本实施例以“飞行器运载小车拓扑结构设计”为例，其设计要求如下：

(1)小车用于承载一个长度大于1.5米，直径20厘米的圆柱体带翼飞行器，其翼板的宽度为0.5米；

(2)小车总长度小于1.2米，宽度做好防止小车侧翻设计即可；

(3)小车与飞行器接触部分要能够满足圆柱体飞行器旋转要求，以便维修；

(4)小车需要有肋板支撑；

(5)考虑小车在运动过程中承受上下左右颠簸产生的2g载荷；

(6)运载飞行器的最大质量为200千克，因此小车承重要大于等于200千克；

(7)总体追求的目标是：质量最轻、承载性能最好、价格最低。

采用基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法对该小车进行设计的步骤为：

步骤一、利用拓扑优化技术建立零件初步结构构型

1-1、根据上述设计要求，初步建立运载小车几何模型

图2为初步建立的简化的运载小车几何模型，将运载小车的车轮部分简化为平面，包括前后两个车架和连接两个车架的横梁，车架为中空的梯形框架，车架的中部设置有竖直的肋板支撑，车架上表面设置有用于放置飞行器弧形凹槽，该弧形凹槽的内弧面为运载小车与飞行器的接触面，以满足圆柱体飞行器旋转要求；整个小车长度为1.2米，中间横梁长0.9米、宽0.3米、高0.125米；两端车架整体厚度为0.15米(考虑到车架与飞行器的接触面积大于0.1米)、高度为1.075米(高度参考人体站姿的最佳高度设计)、宽度为1.2米(考虑了防侧翻要求以及操作中心与操作人员的距离)。小车车架为前后对称结构。

1-2、对步骤1-1建立的运载小车几何模型进行静力学分析

将步骤1-1建立的运载小车几何模型导入有限元分析软件ANSYS WORKBENCH的静力学分析模块进行静力学分析。依据运载小车的工作状态可知小车共受到两类外加载荷影响，一是小车所承载的飞行器重量(200千克)；二是飞行器运输途中由飞行器产生的2g的振荡载荷。考虑最大工作强度，将这两种载荷同时以压强的形式施加在小车与飞行器的接触面上，通过物理计算，飞行器重力施加压强是33000Pa，方向为垂直于地面；振荡载荷为21000Pa，方向为垂直于飞行器与小车的接触面。在该分析中，小车所受外界影响只考虑上述的两个因素，不考虑热应力等其他影响因素。考虑到小车仅在平面的三个自由度(前后、左右和旋转)上运动，所以对小车添加固定约束，即在其两个车架底面简化为平面的部分添加固定约束。由此进行的静力学分析显示，结构受外载荷影响最大的部分集中在小车与飞行器直接接触的圆弧面，其次为小车两侧的肋板支撑处。从等效应力的数值上分析，最大等效应力不到1兆帕，说明该结构在正常工况下，还远不到被破坏的阶段。此外，前后车架结构的静力学分析结果一致，且车架横梁受到的载荷影响最小。

1-3、对步骤1-1建立的运载小车几何模型进行拓扑优化布局设计

在给定的外载荷和边界条件下，对运载小车结构进行拓扑优化设计。在ANSYSWORKBENCH默认材料下的不同材料去除率(即除了材料去除率不同之外，其他约束条件均相同)的整车结构拓扑优化布局情况，得到各个材料去除率结构布局图，材料去除率可随机选取，本实施例中分别进行了材料去除率为80％、60％、50％、40％的拓扑优化。从不同材料去除率下的拓扑优化结果图可以看出，前后车架结构的拓扑优化布局对称分布，中间的横梁结构均被建议删除。拓扑优化结果基本与静力学分析结构保持一致，即车架结构主要受力部分为车架直接与飞行器接触的圆弧支撑结构以及两侧肋板，故这两部分在优化结果中基本都被保留。而车架中间肋板则变为简单的细杆件作为辅助支持项目，由于材料去除率的变化，形状不一。车架底座部分从原始结构的规则形状变为曲折构造。

整车结构的主要变化集中前后的车架部分，为更直观研究小车的拓扑结构，可将三维车架结构转变为二维平面结构进行分析，并将不同材料去除率下得到的结果布局图进行图像重叠处理。通过重叠图的结果对比(根据多图的相似处)，得到优化后的结构为一个内部有两根细支柱的类三角架结构，如图3为车架初步构型布局平面图。

步骤二、运载小车关键参数分析

2-1、确定运载小车关键几何参数

对比原始零件车架结构材料布局以及拓扑优化后的各组结果的差异，确定影响结构质量与结构刚度的关键几何参数。初步结构几何建模是在原始零件布局的基础上采用混合建模方法，去除材料部分利用体素进行布尔运算，通过合并、分割和相交等方式建立的新构型布局。由多组拓扑优化结果图对比可知，车架顶部宽度、车架两侧肋板厚度、车架底部宽度均有不同程度减小的变化。通过尺寸之间相互制约关系，改变图4中的尺寸H24、H25可以同时改变顶部宽度、两侧肋板厚度以及车架底部宽度的尺寸，故选择尺寸H24、H25(车架结构为对称结构，故H24＝H25)为系统变量，记为h。由于车架底部留有车轮固定接触面积以及受原始零件设计范围约束，设计关键几何参数h的上下边界为0.01≤h≤0.035(单位：米)，其中下边界的设计主要考虑到软件运行的内部限制。

除此之外，通过拓扑优化结果图对比可知，车架结构中间整块矩形肋板在不同材料去除率下均简化为两条细支柱，且在不同的材料去除率下均有肋板倾斜角度以及粗细不同的变化。如图5所示，图5所示的角度尺寸A28、A29控制两支柱的倾斜程度，记为关键几何参数α，几何结构约束其上下界为81°≤α＜90°(角度)；图5所示的尺寸L30、L31控制两肋板横向宽度，记为关键几何参数r，几何结构约束其上下边界为0.01≤r＜0.15(米)。由于细柱是在原有的矩形肋板设计范围内进行优化，通过几何关系分析得到该角度尺寸与横向宽度尺寸之间还存在以下几何约束关系：

两细支柱纵向厚度是由原始零件通过布尔减前后对称的体素得到，故记体素厚度为关键几何参数k。几何参数k在几何约束以及软件内部计算限制下的上下边界为0.01≤k≤0.075(米)。

从拓扑优化结果分析看，除关键几何参数h、r、α、k在不同去除率下的拓扑布局图中均有明显不同的变化，其他位置的尺寸尽管与原始零件有区别，但在不同材料去除率下变化不明显，即这些位置尺寸在去除率变化时对结构的性能的影响不大，在设计中可忽略。结合原始零件结构布局静力学分析，可确定h、r、α、k为关键几何参数。

2-2、确定运载小车关键材料参数

根据飞行器运载小车的设计要求分析，设计目标包括质量、等效应力以及成本费用。根据基础物理学，质量＝体积×密度，即材料的密度参数与结构几何参数共同影响运载小车的质量指标；根据理论力学，结构等效应力的计算仅与结构几何参数有关，材料参数仅在校验部分参与。且依据静力学分析结果，小车工况远没到材料所承受的极限值，故仅利用几何参数计算小车结构应力。此外，参考Nagesh Kulkarni齿轮几何设计与材料选取并行设计中成本的经验公式(如下式)，可知成本与材料密度以及材料抗压强度相关。

式中，C表示总成本；M表示结构质量；a₀表示单位质量的制造费用；b₀表示单位质量的材料费用；C_s为材料抗压强度；(C_s)_max与(C_s)_min分别为最大抗压强度与最小抗压强度。通过上述分析可得，选定材料密度ρ、材料抗压强度C_s为关键材料参数，且依据经验以及响应面分析结果确定二者边界为7065≤ρ≤8635(kg·m^-3)、225≤C_s≤275(MPa)。

步骤三、运载小车关键参数关系分析

将步骤二中集成产品与材料设计所得到的关键几何参数h、r、α、k和关键材料参数ρ、C_s作为妥协决策系统变量，利用车架初步构型布局通过ANSYS WORKBENCH响应面分析模块探索系统变量与相关目标之间的函数关系。在ANSYS WORKBENCH响应面分析模块中选择Kriging插值模型，并利用Latin Hypercube Sampling方法进行仿真实验，得到78组设计点数据。分析自变量参数之间的几何关系，自定义如下质量回归关系模型：

其中：M表示单个车架质量；V表示单个车架体积，x_i(i＝1,2,3,4)表示待定系数；h、r、α、k为车架关键几何参数，ρ为关键材料参数。将响应面分析得到的78个设计点数据导入利用EXCEL进行回归分析，结果如式：

统计量结果如表1、2所示。

Multiple R	0.849222
		R Square	0.721178
Adjusted R Square	0.7059
		标准误差	0.004001
观测值	78

表1质量目标回归统计结果

	df	SS	MS	F	Significance F
						回归分析	4	0.003022	0.000756	47.20385747	1.55234E-19
残差	73	0.001169	1.6E-05
						总计	77	0.004191

表2质量目标方差分析结果

如表2所示，Multiple R(复相关系数R)＝0.849222表明变量之间的关系为高度正相关；R Square＝0.721178说明自变量对因变量变差的影响程度为72.1178％。Adjusted RSquare表示调整后的R Square，其数值为0.7059，说明自变量对因变量M的影响程度达到70.59％，而剩余的29.41％则是受到其他因素的限制。标准误差的作用是来判断拟合程度的好坏，当标准误差值越小时，说明该回归分析的拟合程度越好。表2中的观察值表示计算回归方程所用到的数据个数。

表3主要通过观察F检验值来判断回归模型的回归效果。该分析中F检验值远小于显著性水平0.05，故可以接受此回归方程回归效果，且方程中至少有一个回归系数不为0。

同理得到等效应力回归关系，如下式：

其中：ES表示最大等效应力；h、r、α、k为车架几何参数。统计量结果如表3、4所示。

Multiple R	0.881372493
		R Square	0.776817471
Adjusted R Square	0.764588291
		标准误差	116089.8719
观测值	78

表3刚度目标设计点数据回归统计结果

表4：刚度目标设计点数据方差分析结果

如表3所示，Multiple R值为0.88，表明变量之间的关系为高度正相关；R Square值为0.7768，表明自变量对因变量变差的影响程度为77.68％。Adjusted R Square值为0.7645，说明自变量能说明因变量M的76.45％，其余25.55％受其他因素的影响。在表4中F检验值远小于显著性水平0.05，故判断该回归方程回归效果显著，且方程中至少有一个回归系数明显不为0。通过F检验值以及拟合值判断接受几何变量、材料变量与质量变量，以及几何变量与最大等效应力的回归关系。

由于抗压强度C_s与成本的关系f(M,C_s)已确定，结合并结合M(h，r,α，k,)，故不需另外再进行回归分析。根据市场行情分析，单位质量的制造费用a₀取每千克0.4885计算；单位质量的材料费用b₀取抗压强度为800MPa的铁，每千克3.908元计算；最大抗压强度(C_s)_max与最小抗压强度(C_s)_min，取值按照已选定的材料范围，这里分别取值为500MPa和200MPa。具体成本表达式如式所示。

根据有限元分析软件ANSYS WORKBENCH响应面分析结果得到最小质量为M_min＝173.33kg、最大等效应力最小值为ES_min＝226680Pa。结构质量最小且所用材料抗压强度最小时，所用成本最小，故计算得成本最小值为C_min＝643元。

步骤四、建立运载小车拓扑结构T&C数学模型

建立该模型的假定条件为：忽略运载小车本身的质量、热应力对结构性能的影响，仅考虑静力载荷的影响；材料密度与抗压强度之间相互独立。

目标为：(1)质量最轻，且M_min＝173.33kg；

(2)刚度最好，即最大等效应力最小，且ES_min＝226680Pa；

(3)成本最小，且C_min＝643元。

目标参数的表达式为：

质量

刚度

成本

该模型的系统变量为：几何参数X＝(r,h,α,k)、材料参数Y＝(ρ,C_s)；

偏差变量为d_i＝G_i-A_i(V)，由于d_i值存在正值或者负值的情况，为了便于之后的计算，用两个恒为正的来替代d_i，具体情况如下：

其中，A_i(V)表示目标变量的实际值，G_i表示目标变量的理想值；d_i表示目标变量A_i(V)与目标变量理想值G_i的差值，当A_i(V)大于G_i时，由于假设故同理，当A_i(V)小于G_i时，

每个目标变量对应一个偏差变量。

模型的系统约束为：

边界条件为：

0.01≤r＜0.15(m)

0.01≤h≤0.035(m)

81°≤α＜90°(角度)

0.01≤k≤0.075(m)

7065≤ρ≤8635(kg·m^-3)

225≤C_s≤275(MPa)

偏差变量的约束条件为：

d_i ^-·d_i ⁺＝0，且d_i ^-，d_i ⁺≥0，其中i＝1，2，3

最小化函数采用阿基米德原则：

Z(d^-,d⁺)＝W₁(d₁ ^--d₁ ⁺)+W₂(d₂ ^--d₂ ⁺)+W₃(d₃ ^--d₃ ⁺)

且W_i≥0其中

采用该T&C数学模型得到的系统变量的值即为同时满足设计要求的小车结构以及成本的最优值。将阿基米德偏差函数权重分为7种情况讨论，具体情况如图6。

在上述对T&C数学模型实际问题进行假设时，考虑实际零件结构模型工况与理想零件结构模型工况的差异(例忽略重力、忽略热应变等)。此外，当模型求解得到的材料参数不能够与实际材料参数值完全重合时，需在实际的备选材料中选择最接近计算结果的即可。若出现最终方案交叉的情况(该种情况极少)，则依据目标重要程度选择。

T&C数学模型的系统变量V由拓扑优化过程确定的影响零件结构性质的关键几何结构尺寸X和由目标要求分析得到的关键材料参数Y组成。

在T&C数学模型中，约束条件分为系统约束、目标约束。其中系统约束可通过零件初步构型模型的几何分析以及材料参数分析确定。对于目标约束，首先通过目标分析确定目标变量。由于设计目标包括非物理性能目标和物理性能目标，对于非物理性能目标(例如零件制造成本、时间成本)，其目标变量A_i(V)与系统变量V的关系主要依靠经验公式获得。对于物理性能目标，若其目标变量A_i(V)与系统变量V之间的关系比较简单或者存在经验公式，可直接应用已存在的函数关系。而对于复杂零件结构而言，则确定系统变量与目标变量之间的关系。

T&C数学模型的边界条件通过设计者经验以及设计规则确定，例几何参数变量的约束条件可以根据实际问题描述以及现实物理条件给出，材料参数变量边界约束则可根据“Ashby”原则进行筛选。

在T&C数学模型中，以最小化偏差函数作为优化函数反映设计方案的优劣情况。偏差函数由偏差变量按照优先级原则或者阿基米德原则表达。优先级相当于按照目标等级逐层筛选方案，因此在优先级中对目标的排序就比较重要。优先级主要应用在设计初期，设计者所得到的问题信息比较少，或者是在无法确定每个目标的权重的大小，但是可以依据设计者的经验以及仅有的信息判断目标轻重、划分目标等级。阿基米德原则注重的是比较每个方案中所有目标的偏差加权之和的大小，即相当于对所有目标同步推进优化比较。阿基米德原则适用于详细设计过程。

综上，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，其特征在于：

步骤一：依据设计要求建立零件的原始几何结构模型；

步骤五：确定目标变量与关键几何结构尺寸参数及关键材料参数之间的关系

步骤六：建立基于妥协决策的零件结构拓扑模型

所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型的系统变量V为：

V＝(X,Y)，其中：

X＝(X₁,X₂,X₃,...,X_n)，X_r≥0 r＝1，2，3...，n

Y＝(Y₁，Y₂,Y₃,...,Y_k),Y_t≥0 t＝1,2，3...,k

所述基于妥协决策的零件结构拓扑模型的偏差变量d_i为：d_i＝G_i-A_i(V)；i＝1,2,3...,N；其中，A_i(V)表示目标变量的实际值，G_i表示目标变量的理想值，每个目标变量对应一个偏差变量；

目标约束为：

对于目标最大化的目标约束，则A_i(V)≤G_i，即：

对于目标最小化的目标约束，则A_i(V)≥G_i，即：

若在目标最小化的理想值G_i＝0，则

其中A_i ^max(V)表示目标变量实际值的最大值；

2.如权利要求1所述的基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，其特征在于：所述步骤六中：所述系统约束通过零件原始几何结构模型的几何分析以及材料参数分析确定；

确定所述目标约束时，首先通过给定的设计目标确定目标变量，设计目标包括：非物理性能目标和物理性能目标，对于非物理性能目标，其目标变量与系统变量的关系由经验公式获得；对于物理性能目标，若其目标变量与系统变量间的关系存在经验公式，则直接应用经验公式；若没有经验公式，则通过步骤五建立目标变量与系统变量之间的回归关系。

3.如权利要求1或2所述的基于妥协决策的零件拓扑优化设计方法，其特征在于：所述步骤五中：构造Kriging插值模型对步骤四中所确定的零件结构初步构型进行响应面分析试验，得到的响应面分析数据即为零件结构初步构型的系统变量与目标变量的设计点数据；通过物理几何关系分析系统变量与目标变量之间的回归关系，再利用EXCEL数学回归分析工具对响应面分析得到的设计点数据建立数学回归分析模型。