CN107884743A - 适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，本发明针对任意结构的传感器阵列，采用人工智能领域的粒子群优化来实现任意结构阵列的时差测向，利用智能优化方式搜索出最优的信源方位角和俯仰角估计值。为了快速收敛和避免陷入局部最优解，本发明采用线性最小二乘法提供粒子群体方位角与俯仰角的初始估计值，并以三维阵列测向误差平方的累加代价值作为评估准则的适应度函数。该方法的特点在于即使任意结构的传感器阵列也能获得很高的波达方向估计精度。本发明也适用于其他类型的阵列对信源的波达方向估计问题，实现对三维空间信源方位角和俯仰角的精确估计。
Description
技术领域
本发明属于声音阵列的应用业务方面，涉及一种任意结构声音阵列的波达方向估计方法，尤其涉及采用人工智能领域的粒子群优化方法，利用短基线传感器阵列对瞬时性声源的波达方向进行估计的技术。
背景技术
近年来采用传感器阵列进行信源定位和波达方向估计，在阵列信号处理领域引起了学术界和工业界的极大关注。声音信源波达方向估计也称作方向发现或测向，在三维空间中方向的信息包括方位角和俯仰角。对于高声程-阵列基线比的情形，利用到达时间差进行声源的位置计算，则会产生较大的距离估计误差，但可以较准确地估计波达方向。当两个或多个阵列同时对信源进行方向估计时，方向线的交叉结果可以作为信源的估计位置。
当目标信号是短暂脉冲信号时，例如枪声、炮声和爆炸声等，可利用定位系统直接测量信号的到达时间差。通常在这类情形下，传统的波束形成技术是不能采用的，因为目标信号的特征是未知的，可能随时间而变化，只能测量信号的到达时间之差。对这类瞬时性声源的定位，首选的方案是采用传感器阵列进行测向。因此，采用到达时间差的信源波达方向估计技术具有重要的应用价值和意义。
在现有技术中，主要有如下几种基于声音阵列的波达方向估计方法：
(1)针对固定对称结构的声音传感器阵列对信源进行测向。由于阵列结构是固定且对称的，因而可以建立一组方程，利用三角函数关系来求解三维空间中信源的方位角和俯仰角。这种方法的缺点是阵列结构和尺寸不能再改变，结构单一，不是针对任意结构的声音阵列。
(2)基于线性最小二乘原理的到达时间差测向方法。这种方法存在的缺陷在于将波达方向矢量估计的三个分量分别作为参变量，再利用三角函数关系，计算出所需要的声源方位角和俯仰角这两个变量，无形中在优化搜索时增加了一个参变量，从而影响了估计精度。
发明内容
为了解决现有技术中存在的上述技术缺陷，本发明提供一种适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法。
本发明是通过以下技术方案实现的：
适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，所述声音阵列是指若干个声音传感器连接构成的阵列；包括如下步骤：
声音阵列部署和参数获取步骤：
在所需场地设置若干个声音传感器，所述若干个声音传感器连接构成声音阵列，其中一个声音传感器设为基准传感器；测量所述若干个声音传感器的自身坐标；获取场地环境的气象参数，包括风速和风向参数以及气温参数；
各传感器的到达时间差值获取步骤：
利用各声音传感器对声波进行探测，同步采集声源信号；根据低通滤波原理实现去噪，并根据所述声源信号的波峰差值或采用互相关法，确定各传感器相对于基准传感器所接收声源信号的到达时间差值；
粗略波达方向和传播速度估计步骤：
根据所述各传感器到达时间差值，利用线性最小二乘测向法估计出声音信源的粗略波达方向值；根据所述粗略波达方向值中的信源方位角估计，以及获取的所述气象参数，利用声速计算公式估计出现场声波的传播速度；
精确波达方向计算步骤：
执行粒子群智能优化搜索，具体包括：预设粒子总数、最大迭代次数、学习因子参数、惯性权重和粒子飞行速度更新极值，确定初始变量的取值范围，并在方位角和俯仰角取值范围内取随机值，设置各粒子的飞行速度初值为0；计算各粒子的适应度函数；确定当前代数的群体最优解和全局最优解；更新粒子飞行速度和飞行位置；如果更新后的粒子飞行速度绝对值大于极值，则重新计算粒子飞行速度；如果达到最大迭代次数，或全局最优解的适应度在若干代内不再变化，则结束搜索过程，取全局最优解对应的粒子位置参量为波达方向的方位角和俯仰角估计值。
本发明相对于现有技术的有益效果在于：
(1)针对基于线性最小二乘原理的到达时间差测向方法的不足，本发明采用智能优化方法直接获得声源方位角和俯仰角这两个变量的估计值，因而在估计精度方面得到很大的性能提升。
(2)克拉姆-拉奥下界(CRLB)常被用来衡量估计性能的优劣程度，如果一种方法能达到CRLB这一最低误差限，则表明它能实现最优估计。本发明提供的波达方向估计方法适用于任意结构阵列，能使得任意结构阵列在估计精度方面达到CRLB。
附图说明
图1是适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法的总流程图；
图2是采用声音阵列探测远距离声源波达方向的应用示意图；
图3是三维空间波达方向估计问题的原理示意图；
图4是实测的两个传感器接受的瞬时性声波信号波形。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施方式仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
本发明的基本思想如下：(1)根据现场测量的气象参数和线性最小二乘法输出的声源方位角，估计声速参量；(2)以线性最小二乘法输出的方位角和俯仰角为基准，分别在它们的左右范围产生随机角度，作为初始群体的粒子，保证优化搜索过程快速收敛至全局最优解；(3)以波达方向估计误差矢量形成的代价累加，作为适应度评估准则。
本实施例提供的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法已经在PXI多通道测量系统和LabVIEW软件工具上实现，所用的去噪方法是采用LabVIEW信号处理工具包提供的小波变换和低通滤波模块，试验所用的声音传感器和数据采集器分别是北京声望公司生产的MPA201型传声器和MC3680型采集器，采样频率可取至51.2KHz。实现本实施例提供的方法所需的条件和相应措施如下：
(1)采用有线电缆连接各传感器至数据采集器，野外电缆长度应控制在30米左右。过长的电缆会产生较大的电路噪声，影响采集器的同步精度；另一方面，电缆长度太短会降低波达方向的估计精度，因为较大的阵列孔径能保证估计性能。
(2)多通道测量系统的同步精度不应过低，因为声音阵列需要采集非常微小的到达时间差值。采用NI公司的PXI多通道测量系统或者北京中科泛华测控公司的PXI型数据采集卡及其配属设备，采集器的时间同步精度能得到保证。
(3)声音传感器的坐标应精确测量，可采用测距精度为毫米级、测角精度为秒级的全站仪，以第1个传感器为三维空间坐标系的原点和到达时间差的测量基准点，先测量基准点至其他传感器的距离和方位，再换算出各传感器的坐标。
图2是采用声音阵列探测远距离地面声源波达方向的应用示意图，这里声源位置所处范围大约是1公里×1公里的散布区，在一侧区域部署短基线声音传感器阵列，各传感器之间的距离间隔大约在30米左右。目标区域中心点至基准传感器的距离为2～3公里。由于这种声源探测的被动式方案容易部署和维护，具有相对独立、设备量小和隐蔽性强的特点，能满足高效与实时监测声学类目标的需求。
图3是三维空间信源的波达方向示意图，假设目标信源的坐标为P，其在xoy水平面上的投影为P'，信源方位角为φ(从x轴正向到信源在水平面的投影线的夹角)，俯仰角为θ(从z轴正向到信源的夹角)，则波达方向矢量K为：
任意两个传感器之间的时间差等于它们之间的距离矢量在K矢量上的投影，并除以声波传播速度c。假设第1个传感器设定为阵列基准和坐标系原点，Si＝[xi,yi,zi]为第i个传感器的坐标，S＝[S2,S3,…,SN]T为所有非基准传感器坐标构成的位置矢量，T为矩阵或矢量的转置操作，则时间差矢量τ可表达如下：
波达方向估计问题的最优化目标，是根据测量的时间差计算信源的方向矢量估计值(本专利中如果某符号上加“∧”，则表示估计值或测量值)。由于理论值是无法得到的，我们只能利用各种优化方法获得相关的估计值当传感器数目大于3时，方向矢量估计逼近理论值的优化问题是超定的，当采用传统的线性最小二乘估计准则时，最佳估计的表达式如下：
根据波达方向矢量的三个分量，确定的方位角估计值如下：
俯仰角估计值为
任意结构的三维传感器阵列测向的线性最小二乘估计器不是最优的，不能达到方位和俯仰误差的克拉姆-拉奥下界。本发明所设计的粒子群智能优化估计方法，能达到方位角和俯仰角估计误差的理论下界。
如图1所示，适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，包括如下步骤：
步骤S1，声音阵列部署和参数获取步骤：
在所需场地设置若干个声音传感器，所述若干个声音传感器连接构成声音阵列，其中一个声音传感器设为基准传感器；测量所述若干个声音传感器的自身坐标；获取场地环境的气象参数，包括风速和风向参数以及气温参数。
其中，声音阵列中各声音传感器通过有线电缆连接至数据采集器，且相邻声音传感器的间距不超过30米，避免过长电缆产生电路噪声导致采集器同步精度下降。在实际应用中，在野外架设传感器实物时，可在传感器外放置防风球，用于减少风噪声的干扰。
在本实施例中，利用全站仪测量所述若干个声音传感器的自身坐标。全站仪是一种集水平角、垂直角、距离(斜距、平距)、高差测量功能于一体的测绘仪器系统，因其一次安置仪器就可完成测站的全部测量工作，所以称为全站仪，广泛用于大型建筑和施工等精密工程测量领域。在具体应用时，先用全站仪确定基准传感器的位置，再照准测量至其他传感器的斜距和角度。
可以根据有关部门提供的气象通报信息，作为现场的气象参数。如果无法获得气象通报信息，则可以利用测风仪测量场地环境的风速和风向参数；利用温度计测量场地环境的气温参数。
步骤S2，各传感器的到达时间差值获取步骤：
利用各声音传感器对声波进行探测，同步采集声源信号；根据低通滤波原理实现去噪，并根据所述声源信号的波峰差值或采用互相关法，确定各传感器相对于基准传感器所接收声源信号的到达时间差值。
由于瞬时性声波的持续时间一般为毫秒量级，当声音传感器的采样率达到千赫兹级以上就可以较准确地探测到这种声波，能不遗漏地采集到清晰可辨的信号波形。采集声源信号的方法具体为：通过终端计算设备对所述数据采集器进行操控；利用所述数据采集器控制和触发各声音传感器对声波进行探测，同步采集声源信号。终端设计设备可以采用移动笔记本电脑，多通道测量系统作为声音信号的数据采集器。利用移动笔记本电脑来控制操作，数据采集器采用便携式移动电源来供电。
在有效地采集到声波信号之后，根据低通滤波原理实现去噪，并根据所采集信号的波峰差值，或者采用信号处理领域经典的互相关法，确定出各传感器相对于基准传感器的到达时间差值，作为后续波达方向估计的信源测量值。图4所示为实测的两个传感器接受的声波声压信号(单位为帕斯卡)，从该图可以看出，瞬时性声源的波峰明显，比较容易提取出相对到达时间差的数值。
步骤S3，粗略波达方向和传播速度估计步骤：
根据所述各传感器到达时间差值，利用线性最小二乘测向法估计出声音信源的粗略波达方向值；根据所述粗略波达方向值中的信源方位角估计，以及获取的所述气象参数，利用声速计算公式估计出现场声波的传播速度。
具体来说，由于在计算粒子的适应度函数时需要提供估计的声速野外环境影响声速传播的主要因素是气温风速和风向假设现场可测量这三种气象参数，实际中借助常用器材不难获得这些数据。根据线性最小二乘测向法计算声源方位角为则测量的风向与声波之间夹角为按下式估计现场声波的传播速度：
其中，为气温参数，为风速参数，为风向参数。
步骤S4，精确波达方向计算步骤：
执行粒子群智能优化搜索，具体包括：预设粒子总数、最大迭代次数、学习因子参数、惯性权重和粒子飞行速度更新极值，确定初始变量的取值范围，并在方位角和俯仰角取值范围内取随机值，设置各粒子的飞行速度初值为0；计算各粒子的适应度函数；确定当前代数的群体最优解和全局最优解；更新粒子飞行速度和飞行位置；如果更新后的粒子飞行速度绝对值大于极值，则重新计算粒子飞行速度；如果达到最大迭代次数，或全局最优解的适应度在若干代内不再变化，则结束搜索过程，取全局最优解对应的粒子位置参量为波达方向的方位角和俯仰角估计值。
具体包括如下操作过程：
步骤(1)，预设粒子总数目、最大迭代次数、学习因子c1和c2、惯性权重ω、速度的更新极值vMax。
步骤(2)，输入声音传感器总数目N、声波传播速度各传感器的自身坐标、各传感器相对于基准传感器所接收目标信号的到达时间差。
步骤(3)，确定初始粒子的第一维参量即方位角、第二维参量即俯仰角的位置上下界Bound：如果已知到达时间差测量值的标准偏差στ，设定比例缩放因子k，则其值由确定；若不能预先掌握στ的信息，则根据硬件系统的测量精度以及传感器与信源的几何位置关系确定Bound值，通常情况下，Bound值可取30°。
步骤(4)，采用线性最小二乘测向法计算信源的方位角俯仰角
步骤(5)，对所有粒子实施初始化，各粒子的第一维和第二维位置参量分别在 范围内取随机角度值，各维速度的初值均取0。
步骤(6)，根据下式计算各粒子的适应度函数值f(φ,θ)：
步骤(7)，根据各粒子的适应度值，确定第t代群体的最优解Gbest(t)和全局最优解Tbest(t)。步骤(8)，针对第t代群体中第i个粒子的速度vi,j(t)、位置pi,j(t)，j为空间维数(j＝1,2)，假设r1,r2为[0,1]区间内服从均匀分布的随机数，则更新计算：
步骤(9)，如果更新后的粒子速度绝对值大于极值vMax，则
vi,j(t+1)＝sign(vi,j(t+1))·vMax (9)；
其中sign(u)＝1当u＞0时，否则sign(u)＝-1。
步骤(10)，如果达到最大迭代次数，或全局最优解的适应度值在若干代内没有变化，则进化过程结束，逐代形成的全局最优解对应的第一维、第二维位置参量输出为方位和俯仰结果。
下面是一组野外实测数据的试验情况，以及采用本发明所提供的波达方向估计方法的应用效果。
本实施例采用了八个声音传感器，各传感器的三维坐标(单位均为米)如下：(6.06,–26.44,–0.48),(–5.36,–25.13,1.70),(–20.92,–9.99,5.33),(–24.35,–3.50,5.45),(–3.67,29.42,–1.50),(8.86,28.13,–3.21),(25.86,20.88,–5.43),(13.54,–13.36,–1.85)，声音信源坐标为(251.18,–361.50,21.20)，通过坐标平移可使第一个传感器位于坐标系的原点。采集器采用NI公司的RIO-9234型数据获取板，采样频率设置为51.2KHz。所采用的声音传感器的灵敏度为50mV/Pa，响应频率为6.3Hz-20KHz，最大输出电压为4.5Vrms。野外试验持续2小时，现场气温为19℃，平均风速为6m/s，风向大约是沿着第4个传感器吹向第1个传感器。
表1所示为八个传感器在10次瞬时性声源即爆炸声发生时，所测量得到的峰值时刻点。在该表中峰值时刻点不是整数，是由于采用NI公司LabVIEW软件的高数据分辨率精度的输出结果。任意两个传感器之间的到达时间差是将两个峰值点之间的采样数除以采样频率得到的。
表1八个传感器接受到声波的峰值时刻点
这10次声源波达方向的估计误差及其均方根误差(RMSE)如表2所示。均方根误差反映了角度估计的精度，计算式为其中STD为标准偏差，Mean为平均误差。在该表中LLS代表传统的线性最小二乘估计方法，PSO代表粒子群优化智能估计方法。从该表可看出，本发明提供的波达方向智能估计方法在方位角和俯仰角估计的精度方面，都要优于传统的估计方法。
表2实测数据的波达方向估计结果(单位为度)
本领域的技术人员容易理解，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (9)
1.适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，所述声音阵列是指若干个声音传感器连接构成的阵列；其特征在于，包括如下步骤：
声音阵列部署和参数获取步骤：
在所需场地设置若干个声音传感器，所述若干个声音传感器连接构成声音阵列，其中一个声音传感器设为基准传感器；测量所述若干个声音传感器的自身坐标；获取场地环境的气象参数，包括风速和风向参数以及气温参数；
各传感器的到达时间差值获取步骤：
利用各声音传感器对声波进行探测，同步采集声源信号；根据低通滤波原理实现去噪，并根据所述声源信号的波峰差值或采用互相关法，确定各传感器相对于基准传感器所接收声源信号的到达时间差值；
粗略波达方向和传播速度估计步骤：
根据所述各传感器到达时间差值，利用线性最小二乘测向法估计出声音信源的粗略波达方向值；根据所述粗略波达方向值中的信源方位角估计，以及获取的所述气象参数，利用声速计算公式估计出现场声波的传播速度；
精确波达方向计算步骤：
执行粒子群智能优化搜索，具体包括：预设粒子总数、最大迭代次数、学习因子参数、惯性权重和粒子飞行速度更新极值，确定初始变量的取值范围，并在方位角和俯仰角取值范围内取随机值，设置各粒子的飞行速度初值为0；计算各粒子的适应度函数；确定当前代数的群体最优解和全局最优解；更新粒子飞行速度和飞行位置；如果更新后的粒子飞行速度绝对值大于极值，则重新计算粒子飞行速度；如果达到最大迭代次数，或全局最优解的适应度在若干代内不再变化，则结束搜索过程，取全局最优解对应的粒子位置参量为波达方向的方位角和俯仰角估计值。
2.根据权利要求1所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，在所述声音阵列部署和参数获取步骤中，所述声音阵列中各声音传感器通过有线电缆连接至数据采集器，且相邻声音传感器的间距不超过30米。
3.根据权利要求1所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，在所述声音阵列部署和参数获取步骤中，进一步包括：利用全站仪测量所述若干个声音传感器的自身坐标；利用测风仪测量场地环境的风速和风向参数；利用温度计测量场地环境的气温参数。
4.根据权利要求2所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，在所述各传感器的到达时间差值获取步骤中，采集声源信号的方法具体为：通过终端计算设备对所述数据采集器进行操控；利用所述数据采集器控制和触发各声音传感器对声波进行探测，同步采集声源信号。
5.根据权利要求4所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，所述终端计算设备为笔记本电脑；所述数据采集器为多通道测量系统。
6.根据权利要求1所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，在所述粗略波达方向和传播速度估计步骤中，进一步包括：根据线性最小二乘测向法计算声源方位角为则测量的风向与声波之间夹角为按下式估计现场声波的传播速度：
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其中，为气温参数，为风速参数，为风向参数。
7.根据权利要求1所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，在所述精确波达方向计算步骤中，进一步包括：
步骤(1)，预设粒子总数目、最大迭代次数、学习因子c1和c2、惯性权重ω、速度的更新极值vMax；
步骤(2)，输入声音传感器总数目N、声波传播速度各传感器的自身坐标、各传感器相对于基准传感器所接收目标信号的到达时间差；
步骤(3)，确定初始粒子的第一维参量即方位角、第二维参量即俯仰角的位置上下界Bound：如果已知到达时间差测量值的标准偏差στ，设定比例缩放因子k，则其值由确定；若不能预先掌握στ的信息，则根据硬件系统的测量精度以及传感器与信源的几何位置关系确定Bound值；
步骤(4)，采用线性最小二乘测向法计算信源的方位角俯仰角
步骤(5)，对所有粒子实施初始化，各粒子的第一维和第二维位置参量分别在 范围内取随机角度值，各维速度的初值均取0；
步骤(6)，根据下式计算各粒子的适应度函数值f(φ,θ)：
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步骤(7)，根据各粒子的适应度值，确定第t代群体的最优解Gbest(t)和全局最优解Tbest(t)；
步骤(8)，针对第t代群体中第i个粒子的速度vi,j(t)、位置pi,j(t)，j为空间维数(j＝1,2)，假设r1,r2为[0,1]区间内服从均匀分布的随机数，则更新计算：
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
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</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
步骤(9)，如果更新后的粒子速度绝对值大于极值vMax，则
vi,j(t+1)＝sign(vi,j(t+1))·vMax (9)；
其中sign(u)＝1当u＞0时，否则sign(u)＝-1；
步骤(10)，如果达到最大迭代次数，或全局最优解的适应度值在若干代内没有变化，则进化过程结束，逐代形成的全局最优解对应的第一维、第二维位置参量输出为方位和俯仰结果。
8.根据权利要求7所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，在步骤(3)中，若不能预先掌握στ的信息，Bound值取30°。
9.根据权利要求1所述的适用于任意结构声音阵列的波达方向智能估计方法，其特征在于，采用线性最小二乘测向法计算信源的方位角和俯仰角具体为：
根据测量的时间差计算信源的方向矢量估计值波达方向矢量K为
<mrow>
<mi>K</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mi>&theta;</mi>
<mi>c</mi>
<mi>o</mi>
<mi>s</mi>
<mi>&phi;</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mi>&theta;</mi>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mi>&phi;</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>cos</mi>
<mi>&theta;</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
最佳估计的表达式如下：
<mrow>
<mover>
<mi>K</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>S</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>S</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mi>S</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>&tau;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
根据波达方向矢量的三个分量，确定的方位角估计值如下：
<mrow>
<mi>&phi;</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>tan</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>y</mi>
</msub>
<mo>/</mo>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>x</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
俯仰角估计值为
<mrow>
<mover>
<mi>&theta;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>tan</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>/</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>x</mi>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>y</mi>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
其中，S＝[S2,S3,…,SN]T为所有非基准传感器坐标构成的位置矢量，T为矩阵或矢量的转置操作，τ为时间差矢量。
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