CN107783126A - 基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理方法及装置 - Google Patents

Abstract

基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理方法及装置，属于雷达信号处理领域，用于解决自动驾驶汽车防撞的技术问题，技术要点是：对各段波形，将A/D采集到的IQ数据，去除前部分数据点后去直流，进行时频的FFT变换，将时域数据转换成频率数据；将各段波形的经FFT变换后的复数模值做CFAR门限检测，对CFAR门限检测后的数据，令每一个数据为一个距离单元，对每一个距离单元的数据均进行二进制累计，输出过门限的第一个峰值点，计算得到相位；计算锯齿波段的差频频率值、恒频段的多普勒频率值、相对速度值、计算相对距离值、计算方向角中的一种或多种。

Description

基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理方法及 装置

技术领域

本发明属于雷达信号处理领域，涉及一种自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理方法及装置。

背景技术

近年来，随着经济的发展，交通需求日益增加，城市交通拥堵、交通事故频发等成为当前世界各国面临的共同问题。对公路交通事故的分析显示，在司机、汽车、道路三个环节中，司机是可靠性最薄弱的环节，因此近几年来，替代司机驾驶的无人驾驶汽车孕育而生，自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车、电脑驾驶汽车是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。

为提高自动驾驶汽车行驶的安全性，自动驾驶汽车依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆。因此自动驾驶汽车需要判断汽车行驶状况，对车辆的安全性进行预测，自动采取措施防止交通事故的发生，减小事故发生概率的系统，如车道偏离系统、前向车辆碰撞警告系统、前向避障辅助系统、驾驶员注意力监测等。其中，汽车防撞雷达是自动驾驶汽车最主要的传感器之一。主要是由于汽车防撞雷达是一种主动安全设备，可以准确的测量出周围目标的速度和距离，以及目标所在的方位角等信息，可以准确的发现无人驾驶汽车在行驶过程中的潜在危险，并且根据雷达检测到的障碍物信息，自动采取措施消除危险。

目前应用到汽车上的测距方法主要有激光测距，超声波测距，红外线测距，毫米波雷达测距等几种方法。红外、摄像头等光学技术价格低廉且技术简单，但是全天候工作效果不好，防撞性能有限；超声波受天气状态影响大，探测距离较短。而毫米波雷达克服了上述几种探测方式的缺点，具有稳定的探测性能和良好环境适用性。它不仅具有频率高、波长短、频带宽、体积小、重量轻等特点，而且与上述几种传感器相比，毫米波雷达穿透雾、烟、灰尘的能力强，抗干扰能力强，不受光线影响，探测距离远，具有全天候全天时等特点。成本也有所下降，并且雷达的外型尺寸可以做得很小，便于在汽车上安装，故作为目前国内外自动驾驶汽车防撞雷达的普遍选择方式。

综上所述：无论从安全角度还是经济角度而言，自动驾驶汽车防撞雷达的研制都极具应用价值和现实意义。自动驾驶汽车在实现过程中，需要全方位的进行防撞，所以本发明的自动驾驶汽车防撞雷达，可以安装在汽车正前方作为正向防撞雷达使用，同时可以安装在汽车前方的左边或是右边，作为汽车正前方的左边以及右边方向防撞雷达使用，同时可以安装在汽车正后面，作为后向防撞雷达使用，同时可以按照在汽车后方左边和右边作为变道辅助雷达同时作为防撞雷达使用，以及可以按照在汽车左右两侧，作为汽车左右两侧的防碰撞雷达使用。本发明所设计的自动驾驶汽车防撞雷达在以下描述中，主要是针对前向防撞雷达进行描述，但是其他按照地方的雷达可以按此方法进行同理使用。

发明内容

为了解决自动驾驶汽车防撞的技术问题，本发明提出了一种基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，基于该信号处理方法，解算得到单一目标的距离、速度和方位角，以可以对目标检测和跟踪，从而防止自动驾驶汽车碰撞。

为了实现上述目的，本发明的技术方案是：

一种基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，所述组合波形是锯齿波和恒频波的组合波形，该波形的第一段为锯齿波FMCW，第二段为恒频波CW；

所述处理装置包括：

转换模块，对各段波形，将A/D采集到的IQ数据，去除前部分数据点后去直流，进行时频的FFT变换，将时域数据转换成频率数据；

门限检测及二进制累计模块，将各段波形的经FFT变换后的复数模值做CFAR门限检测，对CFAR门限检测后的数据，令每一个数据为一个距离单元，对每一个距离单元的数据均进行二进制累计，输出过门限的第一个峰值点，计算得到相位；

参数计算模块，计算锯齿波段的差频频率值、恒频段的多普勒频率值、相对

速度值、计算相对距离值、计算方向角中的一种或多种。

进一步的，转换模块中的去直流的方法是：

(1)计算通道1锯齿波段和恒频波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值，计算通道2的锯齿波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值；

(2)对于上述的每一个I、Q数据，减掉上一步计算得到的各自I、Q数据的均值，则完成去直流的方式；

(3)IQ数据去直流计算公式为：其中，表示I路数据，I′为去直流后的数据，Q表示Q路数据，Q′为去直流后的数据，N表示去除前部分数据点后剩余数据点数；

去直流后的I、Q数据，合并成I+jQ的数据形式，然后进行加窗处理，将对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，通道2中第一段锯齿波FMCW，各自数据进行加窗处理。

进一步的，门限检测及二进制累计模块中所述二进制累计的方法是：

如果所述距离单元的数据过门限，则记为1，如果没过门限，则记为0，然后进行多周期积累，如果某一个距离单元的门限累计1的个数超过K个，则输出该点坐标值，否则不作为过门限的目标输出，其中K表示累计1的个数；

计算方式分为两步：

(1)将检测的输出量转换成二进制数，量化关系为：

|x_i|表示FFT后的模值大小，γ_i表示门限值；

(2)在N1个周期内对量化脉冲积累，若N1个周期内量化脉冲累计数m，

二进制累积后，当同时满足要求过门限的点数不唯一，只选择输出过门限的第一个峰值点。

进一步的，设通道1中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p1_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p1+1j*b_p1，相位为

恒频波CW第一个过门限点的峰值坐标为p1_cw；

设通道2中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p2_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p2+1j*b_p2，相位为

若过门限的位置点等于1，则认为其是直流分量，不作为目标判定；

其中：a表示I路的数据值，b表示Q路的数据值，a_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，a_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2，b_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，b_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2。

进一步的，所述计算锯齿波段的差频频率值的方法是：通道1中，线性调频锯齿波FMCW，其过门限点幅值最大的点的坐标p1_fmcw，根据如下规则，则该点对应的差频频率值为f_b；

该规则是：

若获得的该过门限点幅值最大的点的个数，符合1≤p1_fmcw≤256，其对应点上的差频频率值

若获得的最大点数p1_fmcw，256＜p1_fmcw≤512，其对应点上的差频频率值f_s表示系统采样频率。

进一步的，计算所述恒频段的多普勒频率值的方法是：通道1中，恒频波CW，过门限点幅值最大的点的坐标p1_cw，根据如下规则计算该点对应的多普勒频率为f_d；

规则如下：若做512点的FFT变换，

点数x，符合1≤x≤256，判断目标靠近，其对应点上的多普勒频率

点数x，符合256＜x≤512，判断目标远离，其对应点上的多普勒频率

进一步的，计算所述相对速度值的方法是：根据计算得到的多普勒频率值f_d，计算目标的速度v，计算目标的速度公式为其中，c为光速，f为中心频率。

进一步的，计算所述相对距离值的方法是：根据恒频段计算得到的多普勒频率值f_d，以及锯齿波段得到的差频频率值f_b，计算目标的距离R，计算距离公式为其中，T为周期，B为调频带宽。

进一步的，由通过通道1和通道2中，线性调频锯齿波段分别计算得到的相位计算其相位差，根据公式：

计算得到相位差Δψ；

根据角度计算公式计算目标的方位角度，其中，d为天线间距，λ为雷达波波长。

进一步的，所述装置还包括滤波跟踪模块，进行滤波跟踪，并预测下一测量时刻的距离以及速度值，作为优选，所述滤波，使用α-β滤波器，其常增益滤波器的预测方程为X(k+1/k)＝ΦX(k/k)；

其滤波方程为

X(k+1/k+1)＝X(k+1/k)+K[Z(k+1)-H(k+1/k)]；

其中，X(k/k)为k时刻的滤波值，X(k+1/k)为k时刻对下一个时刻的预测值，Z(k)是k时刻的观测值；

当目标运动方程采用常速度模型时，常数增益矩阵K＝[α,β/T]^T,其状态转移矩阵此模型的量测矩阵为H＝[1，0]；

其中：0＜α＜1，0＜β＜1。

有益效果：

1、本发明给出了一种基于锯齿波和恒频波的组合波形实现自动驾驶汽车防撞毫米波雷达系统的波形设计；

2、本发明提出采用毫米波雷达设计的自动驾驶汽车防碰撞毫米波雷达信号处理系统，同时该系统可以实现对单一目标的相对距离以及相对速度的检测，同时可以实现目标方向角的检测功能。

附图说明

图1锯齿波FMCW与恒频波CW在一个扫频周期内的频率变化图；

图2自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理流程图。

具体实施方式

实施例1：一种基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理方法，雷达中心频率f为24.125GHz，所述组合波形是锯齿波和恒频波的组合波形，发射波形选择锯齿波和恒频波的组合波形，该波形的第一段为锯齿波，周期为10ms，工作频率变化范围为从24.025GHz变化到24.225GHz，带宽为200MHz。第二段选择恒频波，周期为10ms，工作频率为24.125GHz。发射波形如图1所示。

所述处理方法包括如下步骤：

S1.对各段波形，将A/D采集到的IQ数据，去除前部分数据点后去直流，进行时频的FFT变换，将时域数据转换成频率数据；

作为一种技术方案：步骤S1的时频的FFT变换的方法是：对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，A/D采集到的IQ数据，分别进行时频512点的FFT变换，对通道2中的第二段恒频波CW，A/D采集到的IQ数据，进行时频512点的FFT变换。

所述去除前部分数据点，就是在AD采集到的数据中，先去除掉AD采集到的前部分数据点，一般在50～70个点，比如，如果采集到700个点，去除掉前50个点，从51到700的数据去直流并进行FFT变换。之所以要去除掉这部分点有两个原因，一是这些数据里面，部分数据是由于波形在转变的时候，电压产生的脉冲，导致这部分数据异常，第二个原因是由于距离模糊度的原因。这部分不是之前说的导致距离分辨率降低的原因，其实是发射波形的线性度，导致这个分辨率降低。

步骤S1中的去直流的方法是：

(1)计算通道1锯齿波段和恒频波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值，计算通道2的锯齿波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值；

(2)对于上述的每一个I、Q数据，减掉上一步计算得到的各自I、Q数据的均值，则完成去直流的方式；

(3)IQ数据去直流计算公式为：其中，表示I路数据，I′为去直流后的数据，Q表示Q路数据，Q′为去直流后的数据，N表示去除前部分数据点后剩余数据点数；

去直流后的I、Q数据，合并成I+jQ的数据形式，然后进行加窗处理，将对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，通道2中第一段锯齿波FMCW，各自数据进行加窗处理。可以选择汉宁窗或是海明窗等，降低旁瓣，从而提高目标的检测性能；汉宁窗会导致主瓣加宽并降低，但是旁瓣会显著减小。

汉宁窗计算公式为：

S2.将各段波形的经FFT变换后的复数模值做CFAR门限检测，对CFAR门限检测后的数据，令每一个数据为一个距离单元，对每一个距离单元的数据均进行二进制累计，输出过门限的第一个峰值点，计算得到相位；

作为一种技术方案，步骤S2的所述二进制累计的方法是：

如果所述距离单元的数据过门限，则记为1，如果没过门限，则记为0，然后进行多周期积累，如果某一个距离单元的门限累计1的个数超过K个，K的意思表示累计1的个数，过门限的点记作1，当累计1的个数达到K个的时候，则输出该点坐标值，否则不作为过门限的目标输出；

计算方式分为两步：

(1)将检测的输出量转换成二进制数，量化关系为：

这里N表示512；

|x_i|表示FFT后的模值大小，γ_i表示门限值。即模值超过门限记作1，模值没有超过门限的记作0。

(2)在N1个周期内对量化脉冲积累，若N1个周期内量化脉冲累计数m，

K的意思表示累计1的个数，过门限的点记作1，上面整个流程表示一个周期，每个周期统计一次过门限点的坐标，过门限表示1，没有过就是0，连续统计N1个周期的。之前一个周期就一个值，现在必须N1个周期累计后，满足条件的才会输出值。

二进制累积后，当同时满足要求过门限的点数很多的时候，只选择输出过门限的第一个峰值点，主要是考虑到对自动驾驶汽车飞机危险程度最大的为距离自动驾驶汽车最近的物体，所以并不是找所有过门限的最大峰值点，而是选择第一个过门限的峰值；

在步骤2中，设通道1中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p1_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p1+1j*b_p1，相位为其中：a表示I路的数据值，b表示Q路的数据值，a_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，a_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2，b_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，b_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2。

恒频波CW第一个过门限点的峰值坐标为p1_cw，设通道2中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p2_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p2+1j*b_p2，相位若过门限的位置点等于1，则认为其是直流分量，不作为目标判定；

所述计算锯齿波段的差频频率值的方法是：通道1中，线性调频锯齿波FMCW，其过门限点幅值最大的点的坐标p1_fmcw，根据如下规则，则该点对应的差频频率值为f_b，

该规则是：

若获得的该过门限点幅值最大的点的个数，符合1≤p1_fmcw≤256，其对应点上的差频频率值f_s表示系统采样率的大小；

若获得的最大点数p1_fmcw，256＜p1_fmcw≤512，其对应点上的差频频率值

计算所述恒频段的多普勒频率值的方法是：通道1中，恒频波CW，过门限点幅值最大的点的坐标p1_cw，根据如下规则计算该点对应的多普勒频率为f_d；

规则如下：

若做512点的FFT变换，

点数x，符合1≤x≤256，判断目标靠近，其对应点上的多普勒频率

点数x，符合256＜x≤512，判断目标远离，其对应点上的多普勒频率

S3.计算锯齿波段的差频频率值、恒频段的多普勒频率值、相对速度值、计算相对距离值、计算方向角中的一种或多种。

作为一种技术方案，计算所述相对速度值的方法是：根据计算得到的多普勒频率值f_d，计算目标的速度v，计算速度公式为其中，c为光速，c＝3×10⁸，f为中心频率，f＝24.125GHz。

计算所述相对距离值的方法是：根据恒频段计算得到的多普勒频率值f_d，以及锯齿波段得到的差频频率值f_b，计算目标的距离R，计算距离公式为其中，T为周期，T＝10ms，B为调频带宽，B＝200MHz。

由通过通道1和通道2中，线性调频锯齿波段分别计算得到的相位计算其相位差，根据计算公式得到相位差ΔΨ；

根据角度计算公式，计算目标的方位角度，其中，d为天线间距，λ为雷达波波长。

作为一种技术方案，所述方法，还包括步骤S4.滤波跟踪，并预测下一测量时刻的距离以及速度值。

当自动驾驶汽车防撞毫米波雷达系统完成对单一目标的相对速度、相对距离以及相应的方位角的解算过程后，需要进行滤波跟踪模块。由于系统输出数据刷新率快，在很短时间内距离以及速度等变化量很小，可以近似看作为匀速运动，可以通过一定的算法来估计的变化率，预测下一测量时刻的距离以及速度值等。跟踪与预测方法是自适应跟踪跟踪滤波的前提和基础。主要方法目前有，线性自回归滤波，维纳滤波，加权最小二乘滤波，α-β与α-β-γ滤波，卡尔曼滤波和简化的卡尔曼滤波等。

本发明推荐采用α-β滤波器。由于α-β滤波器适用于跟踪误差变化速率相对较均匀的情况，所以基本适合自动驾驶汽车场景。

α-β滤波器中，其常增益滤波器的预测方程为X(k+1/k)＝ΦX(k/k)，其滤波方程为X(k+1/k+1)＝X(k+1/k)+K[Z(k+1)-H(k+1/k)]，其中，X(k/k)为k时刻的滤波值，X(k+1/k)为k时刻对下一个时刻的预测值，Z(k)是k时刻的观测值。

当目标运动方程采用常速度模型时，常数增益矩阵K＝[α,β/T]^T,其状态转移矩阵此模型的量测矩阵为H＝[1，0]。α-β滤波器就是满足长增益矩阵K，状态转移矩阵Φ以及量测矩阵H分别为上述表达式描述的常增益滤波器，即

α-β滤波器中的参数α和β的选择对于跟踪的响应、收敛速度以及跟踪稳定性都有关系。一般要求0＜α＜1，0＜β＜1。工程中，可以根据公式计算得到α和β的取值，即和其中k为次数，α和β随着k的变化取不同的值，实际在使用中，这两个参数会趋于定值。

经过α-β滤波器对单次结算的目标速度、距离就可以实现滤波跟踪以及预测。可以更好地实现目标的跟踪，同时使得输出的数据更加平滑，减少异常值的出现，有效的提高系统的稳定性。

现有的信号处理方法，一般是采用AD-FFT-门限-解算，在这个新的处理方法里面，增加了AD-去直流-加窗-FFT-门限-二进制累积-解算-预测跟踪。多了更多的环节。尤其是去直流和二进制累积预测和跟踪。

去直流的好处：由于直流数据会抬高附近的门限值，这样对直流附近存在目标的数据

在进行门限检测时存在一定的干扰，所以采用去直流的方式可以有效的提高目标的检测概率。

加窗的好处：选择汉宁窗或是海明窗等，降低旁瓣，从而提高目标的检测性能；汉宁窗会导致主瓣加宽并降低，但是旁瓣会显著减小。

采用二进制累积好处：可以使过门限的点更加稳定，而不至于门限在某些点之间来回跳，提高了系统的可靠性。

实施例2：作为实施例1的技术方案补充，本实施例是针对中心频率在24GHz或77GHz，雷达体制采用连续波体制，波形采用基于锯齿波调制的FMCW波形以及恒频波调制的CW信号组合而成，根据该调制波形实现自动驾驶汽车防撞系统信号处理方法。

根据自动驾驶汽车的最大速度，自动驾驶汽车防撞的距离范围为设计为4m～200m，所以本系统主要是多自动驾驶汽车针对该距离范围内的单个目标的环境物体的防碰撞信号处理的设计，前方障碍物主要为人，汽车、卡车等目标距离、速度以及方位的检测。

本实施例给出一种可实现自动驾驶汽车防撞的系统参数方案，以及后续可以根据应用场景需要或是产品性能需要，进行相关参数的选取。

本实施例设计的雷达中心频率f为24.125GHz。发射波形选择锯齿波和恒频波的组合波形。该波形的第一段为锯齿波，周期为10ms，工作频率变化范围为从24.025GHz变化到24.225GHz，带宽为200MHz。第二段选择恒频波，周期为10ms，工作频率为24.125GHz。发射波形如图1所示。

所以本实施例采用了双通道的方式，实现自动驾驶汽车测距、测速功能，以及测角功能。

如图2所示给出基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理流程图；

所述方法的具体实现步骤如下：

1、对各段波形，A/D采集到的IQ数据，进行去直流处理。由于直流数据会抬高附近的门限值，这样对直流附近存在目标的数据在进行门限检测时存在一定的干扰，所以采用去直流的方式可以有效的提高目标的检测概率。

去直流方法为：

(1)计算通道1锯齿波段和恒频波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值，计算通道2的锯齿波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值；

(2)对于上述的每一个I、Q数据，减掉上一步计算得到的各自I、Q数据的均值，则完成去直流的方式。

(3)IQ数据去直流计算公式为：其中，I表示I路数据，I′为去直流后的数据，Q表示Q路数据，Q′为去直流后的数据，N表示去除前部分数据点后剩余数据点数。

去直流后的I、Q数据，合并成I+jQ的数据形式，然后进行加窗处理，将对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，通道2中第一段锯齿波FMCW，各自数据进行加窗处理，可以选择汉宁窗或是海明窗等，降低旁瓣，从而提高目标的检测性能；汉宁窗会导致主瓣加宽并降低，但是旁瓣会显著减小。

汉宁窗计算公式为：

2、对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，将去直流以及加窗后的数据分别进行时频512点的FFT变换，对通道2中的第一段锯齿波FMCW，将去直流以及加窗后的数据进行时频512点的FFT变换；

3、将各段波形FFT变换后的复数模值做CFAR门限检测，输出过门限的第一个峰值点，主要是考虑到对自动驾驶汽车飞机危险程度最大的为距离自动驾驶汽车最近的物体，所以并不是找所有过门限的最大值，而是选择第一个过门限的峰值。门限检测可选择单元平均选小CFAR的门限检测方法，具体门限方法可根据实际应用场景进行选取。

4、对CFAR门限检测后的数据，令每一个数据为一个距离单元。对每一个距离单元的数据均进行二进制累计，即如果该距离单元的数据过门限，则记为1，如果没过门限，则记为0。然后进行多周期积累，如果某一个距离单元的门限累计1的个数超过K个，则输出该点坐标值，否则不作为过门限的目标输出。

计算方式分为两步：

(1)将检测的输出量转换成二进制数，量化关系为：

这里N表示512；

(2)在N1个周期内对量化脉冲积累，若N1个周期内量化脉冲累计数m，

二进制累积后，当同时满足要求过门限的点数很多的时候，只选择输出过门限的第一个峰值点，主要是考虑到对自动驾驶汽车飞机危险程度最大的为距离自动驾驶汽车最近的物体，所以并不是找所有过门限的最大峰值点，而是选择第一个过门限的峰值。

设通道1中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p1_fmcw，对应的FFT后的数据为a_p1+1j*b_p1，相位恒频波CW第一个过门限点的峰值坐标为p1_cw，设通道2中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p2_fmcw，对应的FFT后的数据为a_p2+1j*b_p2，相位若过门限的位置点等于1，则认为其是直流分量，不作为目标判定；

5、计算得到锯齿波段的差频频率值。

通道1中，线性调频锯齿波FMCW，过门限点幅值最大的点的坐标p1_fmcw，根据如下规则，则该点对应的差频频率值为f_b。即若获得的最大点数在1≤p1_fmcw≤256，其对应点上的差频频率值若点数为256＜p1_fmcw≤512，其对应点上的差频频率值

6、计算得到恒频段的多普勒频率值。

通道1中，恒频波CW，过门限点幅值最大的点的坐标p1_cw，根据如下规则计算该点对应的多普勒频率为f_d。若做512点的FFT，点数在1≤x≤256，判断目标靠近，其对应点上的多普勒频率若点数为256＜x≤512，判断目标远离，其对应点上的多普勒频率

7、计算相对速度值。

根据得到的多普勒频率值f_d，计算目标的速度v，计算速度公式为其中，c为光速，c＝3×10⁸，f为中心频率f＝24.125GHz；

8、计算相对距离值。

根据恒频段计算得到的多普勒频率值f_d，以及锯齿波段得到的差频频率值f_b，计算目标的距离R。计算距离公式为其中，T＝10ms，B为调频带宽，B＝200MHz。

9、计算方向角。

由2描述可知，通过通道1和通道2中，线性调频锯齿波段分别计算得到的相位计算其相位差，根据计算公式

得到相位差为Δψ。

根据角度计算公式，计算目标的方位角度，其中，d为天线间距。

由上述步骤则完成基于锯齿波和恒频波的组合波形实现的自动驾驶汽车防撞毫米波雷达系统的信号处理，对于单一目标的相对速度、相对距离以及相应的方位角的解算过程。

当自动驾驶汽车防撞毫米波雷达系统完成对单一目标的相对速度、相对距离以及相应的方位角的解算过程后，需要进行滤波跟踪模块。由于系统输出数据刷新率快，在很短时间内距离以及速度等变化量很小，可以近似看作为匀速运动，可以通过一定的算法来估计的变化率，预测下一测量时刻的距离以及速度值等。跟踪与预测方法是自适应跟踪跟踪滤波的前提和基础。主要方法目前有，线性自回归滤波，维纳滤波，加权最小二乘滤波，α-β与α-β-γ滤波，卡尔曼滤波和简化的卡尔曼滤波等。

本发明推荐采用α-β滤波器。由于α-β滤波器适用于跟踪误差变化速率相对较均匀的情况，所以基本适合自动驾驶汽车场景。

α-β滤波器中，其常增益滤波器的预测方程为X(k+1/k)＝ΦX(k/k)，其滤波方程为X(k+1/k+1)＝X(k+1/k)+K[Z(k+1)-H(k+1/k)]，其中，X(k/k)为k时刻的滤波值，X(k+1/k)为k时刻对下一个时刻的预测值，Z(k)是k时刻的观测值。

当目标运动方程采用常速度模型时，常数增益矩阵K＝[α,β/T]^T,其状态转移矩阵此模型的量测矩阵为H＝[1，0]。α-β滤波器就是满足长增益矩阵K，状态转移矩阵Φ以及量测矩阵H分别为上述表达式描述的常增益滤波器，即

α-β滤波器中的参数α和β的选择对于跟踪的响应、收敛速度以及跟踪稳定性都有关系。一般要求0＜α＜1，0＜β＜1。工程中，可以根据公式计算得到α和β的取值，即和其中k为次数，α和β随着k的变化取不同的值，实际在使用中，这两个参数会趋于定值。

经过α-β滤波器对单次结算的目标速度、距离就可以实现滤波跟踪以及预测。可以更好地实现目标的跟踪，同时使得输出的数据更加平滑，减少异常值的出现，有效的提高系统的稳定性。

实施例3：作为实施例1或2的方法技术方案对应的装置，本实施例公开了一种基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，所述组合波形是锯齿波和恒频波的组合波形，该波形的第一段为锯齿波FMCW，第二段为恒频波CW；

所述处理装置包括：

转换模块，对各段波形，将A/D采集到的IQ数据，去除前部分数据点后去直流，进行时频的FFT变换，将时域数据转换成频率数据；

门限检测及二进制累计模块，将各段波形的经FFT变换后的复数模值做CFAR门限检测，对CFAR门限检测后的数据，令每一个数据为一个距离单元，对每一个距离单元的数据均进行二进制累计，输出过门限的第一个峰值点，计算得到相位；

参数计算模块，计算锯齿波段的差频频率值、恒频段的多普勒频率值、相对

速度值、计算相对距离值、计算方向角中的一种或多种。

转换模块中的去直流的方法是：

(1)计算通道1锯齿波段和恒频波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值，计算通道2的锯齿波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值；

(2)对于上述的每一个I、Q数据，减掉上一步计算得到的各自I、Q数据的均值，则完成去直流的方式；

(3)IQ数据去直流计算公式为：其中，I表示I路数据，I′为去直流后的数据，Q表示Q路数据，Q′为去直流后的数据，N表示去除前部分数据点后剩余数据点数；

去直流后的I、Q数据，合并成I+jQ的数据形式，然后进行加窗处理，将对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，通道2中第一段锯齿波FMCW，各自数据进行加窗处理。

门限检测及二进制累计模块中所述二进制累计的方法是：

如果所述距离单元的数据过门限，则记为1，如果没过门限，则记为0，然后进行多周期积累，如果某一个距离单元的门限累计1的个数超过K个，则输出该点坐标值，否则不作为过门限的目标输出，其中K表示累计1的个数；

计算方式分为两步：

(3)将检测的输出量转换成二进制数，量化关系为：

|x_i|表示FFT后的模值大小，γ_i表示门限值；

(4)在N1个周期内对量化脉冲积累，若N1个周期内量化脉冲累计数m，

二进制累积后，当同时满足要求过门限的点数不唯一，只选择输出过门限的第一个峰值点。

设通道1中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p1_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p1+1j*b_p1，相位为

恒频波CW第一个过门限点的峰值坐标为p1_cw；

设通道2中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p2_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p2+1j*b_p2，相位为

若过门限的位置点等于1，则认为其是直流分量，不作为目标判定；

其中：a表示I路的数据值，b表示Q路的数据值，a_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，a_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2，b_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，b_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2。

所述计算锯齿波段的差频频率值的方法是：通道1中，线性调频锯齿波FMCW，其过门限点幅值最大的点的坐标p1_fmcw，根据如下规则，则该点对应的差频频率值为f_b；

该规则是：

若获得的该过门限点幅值最大的点的个数，符合1≤p1_fmcw≤256，其对应点上的差频频率值

若获得的最大点数p1_fmcw，256＜p1_fmcw≤512，其对应点上的差频频率值

f_s表示系统采样频率。

计算所述恒频段的多普勒频率值的方法是：通道1中，恒频波CW，过门限点幅值最大的点的坐标p1_cw，根据如下规则计算该点对应的多普勒频率为f_d；规则如下：若做512点的FFT变换，

点数x，符合1≤x≤256，判断目标靠近，其对应点上的多普勒频率

点数x，符合256＜x≤512，判断目标远离，其对应点上的多普勒频率

计算所述相对速度值的方法是：根据计算得到的多普勒频率值f_d，计算目标的速度v，计算目标的速度公式为其中，c为光速，f为中心频率。

计算所述相对距离值的方法是：根据恒频段计算得到的多普勒频率值f_d，以及锯齿波段得到的差频频率值f_b，计算目标的距离R，计算距离公式为其中，T为周期，B为调频带宽。

由通过通道1和通道2中，线性调频锯齿波段分别计算得到的相位计算其相位差，根据公式：

计算得到相位差Δψ；

根据角度计算公式计算目标的方位角度，其中，d为天线间距，λ为雷达波波长。

所述装置还包括滤波跟踪模块，进行滤波跟踪，并预测下一测量时刻的距离以及速度值，作为优选，所述滤波，使用α-β滤波器，其常增益滤波器的预测方程为X(k+1/k)＝ΦX(k/k)；

其滤波方程为

X(k+1/k+1)＝X(k+1/k)+K[Z(k+1)-H(k+1/k)]；

其中，X(k/k)为k时刻的滤波值，X(k+1/k)为k时刻对下一个时刻的预测值，Z(k)是k时刻的观测值；

当目标运动方程采用常速度模型时，常数增益矩阵K＝[α,β/T]^T,其状态转移矩阵此模型的量测矩阵为H＝[1，0]；

其中：0＜α＜1，0＜β＜1。

实施例4：对于上述各方案中，峰值处理，本实施例提供一种应用于自动驾驶汽车信号的峰值处理方法：

设置一个峰值点阈值因子α，其用于限制检测出的过门限最大峰值点与上一周期出现的最大峰值点的差值绝对值，使得该差值绝对值不得大于该峰值点阈值因子α：

表达式如下：

|L_max(k)-L_max(k-1)|≤α；

其中：L_max(k)为k周期的过门限最大峰值点坐标，L_max(k-1)为上一周期的最大峰值点坐标，k表示第k时刻；v_max为自动驾驶汽车最大速度，λ为毫米波雷达波长，fs为采样率，N为FFT的点数；

如果k时刻，过门限最大峰值点与k-1时刻过门限最大峰值点的绝对值差值在所设置的峰值点阈值因子α范围内，则认为第k周期的峰值点有效；如果k时刻，过门限最大峰值点超过所设置的峰值点阈值因子α，则k时刻输出的峰值点用k-1时刻的峰值点进行替换。

作为上述技术手段的解释，在相邻周期的一个时间单元内，当前周期解算出的峰值点，与上个周期的峰值点，如果在相邻周期内，速度没有发生变化，则峰值点在相邻周期内也会保持不变，但是如果在相邻周期时间内，自动驾驶汽车速度发生变化，会导致当前周期的峰值点在上一周期的峰值点发生一定的变化，如果是目标远离自动驾驶汽车，则当前周期的点数会大于上一周期的点数，如果目标靠近自动驾驶汽车，则当前周期的点数会小于上一周期的点数，该峰值点的变化范围即是所设计的峰值点阈值因子α，该因子选取的取值范围，主要取决于在相邻周期内，自动驾驶汽车的最大速度，即公式其中v_max为自动驾驶汽车最大速度，λ为毫米波雷达波长，fs为采样率，N为FFT的点数。

但是如果自动驾驶汽车环境发生突变后，对应的过门限的峰值点数也可能会连续发生超出所设计的阈值因子。如果不进行修正，发生突变后，每个周期检测到的过门限最大峰值点都会超过设置的阈值因子，每次过门限最大峰值点坐标都会被修正为上一时刻的峰值点坐标，即同理值也会保持突变前的值，不能适应突变后的值。为了提高自动驾驶汽车雷达表对各种环境的适应能力，为此引入一个峰值点突变累计因子φ。

设置一个峰值点突变累计因子φ，该峰值点突变累计因子φ的定义为，如果从k时刻开始，连续b个周期，b的取值范围为5～10，过门限最大峰值点与前一周期的过门限最大峰值点相比，都超过阈值门限因子a，则第k+b时刻，将当前时刻解算出的过门限最大峰值点作为当前时刻的过门限最大峰值点。为了保证跟踪的实时性，建议b的取值为5～10个。

通过上一步得出过门限最大峰值点后，为了提高系统值测量的精度，提出提高测距精度的谱最大估计算法。

理想情况下，回波差频信号的频谱只有一个谱线，但是实际在使用过程中，由于采样存在栅栏效应，离散频谱最大幅值谱线必然会发生偏移谱峰位置，从而通过峰值点计算出的距离值与实际距离将会存在一定的误差。当谱峰发生偏移的时候，相对于主瓣峰值所对应的中央谱线将会两种情况，即左偏或是右偏。如果过门限最大值峰值点的左右峰值中，左边峰值大于右边峰值，则中央谱线所在的位置，在最大峰值点与左边峰值点之间，反之，则在最大峰值点与右边峰值点之间。

由于FFT计算得到的频谱对连续距离普等间距采样，其频谱幅值最大点必定位于其曲线的主瓣内，主瓣内有且仅有两个采样点。设过门限最大峰值点A1的坐标为(a1,k1)，其中，a1表示过门限最大峰值点的值，k1表示过门限峰值点对应的幅度值；最大峰值点左右两边，次峰值点坐标为A3(a3，k3)，设所求的中央峰值点A为(amax，kmax)，则e＝amax-a1，则A1点，关于A点对称点A2坐标为(a2,k1)＝(a1+2e,k1)，复包络的零点A4为(a4,k1)＝(a3+e,0)；

其中：a2、a3、a4是对应点的过门限最大峰值点的值，k3、k4是对应点的过门限峰值点对应的幅度值；

A2、A3和A4近似为一条直线，其线性关系为：

令则

设定误差E与偏差e进行比对，如果|e|<E，则此时的过门限峰值点的值则为所要求的中央峰值点的值，如果偏差e大于所设定的误差E时，β为修正因子，取值范围为1.5～1.9，该修正因子的选取理由是：由于初始的时候A点对称点A2坐标为(a2,k1)＝(a1+2e,k1)，初始条件时A点横轴坐标点与A2横轴坐标是关于最大峰值点对称的，即A2的坐标点是a1+2e，如果偏差e大于所设定的误差E时，说明A2的坐标选取过大，也即是最大峰值点在a1+2e之间，2倍的偏差e需要进行取小，本发明采用的修正方法是，通过改变修正因子β的大小从而改变l值，然后进行e的不断迭代，直到e小于设定的误差E为止。修正因子β的取值原则可以根据所需求达到的E值进行选取，如果E需求精度不高，修正因子β可以选择1.9进行修正，如果E需求精度很高，可能需要多次迭代达到要求，则需要修正因子β尽量选择小一点，可以选择1.5进行修正，本发明给出了一个快速解算出最大峰值点的修正因子的区间范围值，即修正因子β＝1.5～1.9。改变修正因子计算出e的值，以计算得到中央峰值点的值amax＝a1+e。

作为另一种实施例，还包括步骤：距离跟踪：设置一个阈值因子ε，其用于限制当前数据H(k)与上一周期出现的数据H(k-1)的差值绝对值，使得该差值绝对值不得大于该阈值因子ε；

表达式如下：

|H(k)-H(k-1)|≤ε，ε取值范围为0.8～1.3；

如果k时刻的数据与k-1时刻的绝对值差值，在所设置的阈值因子ε范围内，则认为第k周期的峰值点有效；如果k时刻，数据超过所设置的阈值因子ε，则k时刻输出的数据用k-1时刻的数据进行替换。

设置一个突变累计因子θ，该突变累计因子θ的定义为，如果从k时刻开始，连续b个周期，数据与前一周期的数据相比，都超过阈值门限因子θ，则第k+b时刻，将当前时刻解算出的数据作为当前时刻的数据。

作为一种实施例，具体到本实施例中，对于上述未执行距离跟踪或执行了距离跟踪的，输出时，对于单次输出的数据，采用滑窗算法进行值的输出；

第k时刻的数据等于滑窗中的N_c个值去掉最大值和最小值后的均值，作为最后的数据输出，其计算公式为

其中N_c表示滑窗所采用的数据点数。

采用峰值跟踪算法和跟踪算法，可以有效避免由于单次或是多次峰值搜索的错误而导致一次或是多次数据解算的异常现象，如在单次峰值搜索过程中，发生峰值跳变，相邻周期之间的峰值差值很大，同时由与峰值的跳变，而引起的发生很大的跳变，即该周期内，峰值跳变引起的的跳变范围，已经远远大于由自动驾驶汽车速度引起的一个周期所产生的距离变化范围。由此峰值跟踪以及跟踪可以有效避免这种异常峰值导致的异常值，从而有效地的提高跟踪的数据的稳定度。

以上所述，仅为本发明创造较佳的具体实施方式，但本发明创造的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明创造披露的技术范围内，根据本发明创造的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明创造的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，所述组合波形是锯齿波和恒频波的组合波形，该波形的第一段为锯齿波FMCW，第二段为恒频波CW；

所述处理装置包括：

转换模块，对各段波形，将A/D采集到的IQ数据，去除前部分数据点后去直流，进行时频的FFT变换，将时域数据转换成频率数据；

门限检测及二进制累计模块，将各段波形的经FFT变换后的复数模值做CFAR门限检测，对CFAR门限检测后的数据，令每一个数据为一个距离单元，对每一个距离单元的数据均进行二进制累计，输出过门限的第一个峰值点，计算得到相位；

参数计算模块，计算锯齿波段的差频频率值、恒频段的多普勒频率值、相对速度值、计算相对距离值、计算方向角中的一种或多种。

2.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，转换模块中的去直流的方法是：

(1)计算通道1锯齿波段和恒频波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值，计算通道2的锯齿波段的去除前部分点后的I、Q数据的均值；

(2)对于上述的每一个I、Q数据，减掉上一步计算得到的各自I、Q数据的均值，则完成去直流的方式；

(3)IQ数据去直流计算公式为：其中，I表示I路数据，I′为去直流后的数据，Q表示Q路数据，Q′为去直流后的数据，N表示去除前部分数据点后剩余数据点数；

去直流后的I、Q数据，合并成I+jQ的数据形式，然后进行加窗处理，将对通道1中的第一段锯齿波FMCW、第二段恒频波CW，通道2中第一段锯齿波FMCW，各自数据进行加窗处理。

3.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，门限检测及二进制累计模块中所述二进制累计的方法是：

如果所述距离单元的数据过门限，则记为1，如果没过门限，则记为0，然后进行多周期积累，如果某一个距离单元的门限累计1的个数超过K个，则输出该点坐标值，否则不作为过门限的目标输出，其中K表示累计1的个数；

计算方式分为两步：

(1)将检测的输出量转换成二进制数，量化关系为：

|x_i|表示FFT后的模值大小，γ_i表示门限值；

(2)在N1个周期内对量化脉冲积累，若N1个周期内量化脉冲累计数m，

二进制累积后，当同时满足要求过门限的点数不唯一，只选择输出过门限的第一个峰值点。

4.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，

设通道1中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p1_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p1+1j*b_p1，相位为

恒频波CW第一个过门限点的峰值坐标为p1_cw；

设通道2中线性调频锯齿波FMCW第一个过门限点的峰值坐标为p2_fmcw，对应的FFT变换后的数据为a_p2+1j*b_p2，相位为若过门限的位置点等于1，则认为其是直流分量，不作为目标判定；

其中：a表示I路的数据值，b表示Q路的数据值，a_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，a_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2，b_p1表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p1，b_p2表示在a+j*b组成的数组中，过门限的峰值点对应的坐标为p2。

5.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，所述计算锯齿波段的差频频率值的方法是：通道1中，线性调频锯齿波FMCW，其过门限点幅值最大的点的坐标p1_fmcw，根据如下规则，则该点对应的差频频率值为f_b；

该规则是：

若获得的该过门限点幅值最大的点的个数，符合1≤p1_fmcw≤256，其对应点上的差频频率值

若获得的最大点数p1_fmcw，256＜p1_fmcw≤512，其对应点上的差频频率值

f_s表示系统采样频率。

6.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，计算所述恒频段的多普勒频率值的方法是：通道1中，恒频波CW，过门限点幅值最大的点的坐标p1_cw，根据如下规则计算该点对应的多普勒频率为f_d；

规则如下：若做512点的FFT变换，

点数x，符合1≤x≤256，判断目标靠近，其对应点上的多普勒频率

点数x，符合256＜x≤512，判断目标远离，其对应点上的多普勒频率

7.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，计算所述相对速度值的方法是：根据计算得到的多普勒频率值f_d，计算目标的速度v，计算目标的速度公式为其中，c为光速，f为中心频率。

8.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，计算所述相对距离值的方法是：根据恒频段计算得到的多普勒频率值f_d，以及锯齿波段得到的差频频率值f_b，计算目标的距离R，计算距离公式为其中，T为周期，B为调频带宽。

9.如权利要求2所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，由通过通道1和通道2中，线性调频锯齿波段分别计算得到的相位计算其相位差，根据公式：

<mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

计算得到相位差Δψ；

根据角度计算公式计算目标的方位角度，其中，d为天线间距，λ为雷达波波长。

10.如权利要求1所述的基于组合波形的自动驾驶汽车防撞雷达系统信号处理装置，其特征在于，还包括滤波跟踪模块，进行滤波跟踪，并预测下一测量时刻的距离以及速度值，作为优选，所述滤波，使用α-β滤波器，其常增益滤波器的预测方程为X(k+1/k)＝ΦX(k/k)；

其滤波方程为

X(k+1/k+1)＝X(k+1/k)+K[Z(k+1)-H(k+1/k)]；

其中，X(k/k)为k时刻的滤波值，X(k+1/k)为k时刻对下一个时刻的预测值，Z(k)是k时刻的观测值；

当目标运动方程采用常速度模型时，常数增益矩阵K＝[α,β/T]^T,其状态转移矩阵此模型的量测矩阵为H＝[1，0]；

<mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>

<mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;alpha;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>;</mo> </mrow>

其中：0＜α＜1，0＜β＜1。