CN107742156A - 基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法 - Google Patents

Abstract

量子并行性是量子计算机远远快于经典计算机的最主要的因素，而量子相干性又是量子并行性的重要的组成部分。优化量子随机行走搜索算法可以相当可观的对经典算法二次加速，它的重要性在于，经典算法中基于搜索技术的可以搬用量子搜索算法。本发明提出一种基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法，在这种算法成功演化的过程中，计算出对应的相干性值，然后用matlab数值计算得出结论。结果证明，当这种算法演化成功的概率最大时，它的相干性减到最小。即量子相干性是量子搜索算法一种重要的影响因素，以后可以用相干性的值来检测量子搜索算法成功的可能性。

Description

基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法

技术领域

本发明提出一种基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法，将超 维空间上的随机行走，映射到直线上的随机行走，并在硬币算符和置换算符的 作用下，计算出它的l₁测度下的相干性和相对熵测度下的相干性，然后在matlab 上绘制出相应算法成功的概率与相干性的曲线图像。

背景技术

量子相干性作为一种量子资源，它能通过合适的操作转换成量子纠缠和量 子分离[1-3]。某种程度上来说，量子相干性是比量子纠缠更重要的资源,它在量 子算法中起到了很重要的作用，所以研究相干性在量子搜索算法中的作用可以 促进以后的量子算法的发展。

离散量子随机行走对量子算法的发展有着重要的意义。与经典量子随机行 走相似，它可以在量子计算机上实现。通过一些方法，可以将行走这个行为用 带有若干门的电路来模拟，这些门是用量子位的多项式来表示。这两种行走的 结构非常的类似，为了说明这一点，假设有一种有效的方法来实现经典的随机 行走，即执行硬币的翻转和随后的位移，这一转变的前提是硬币的结果决定的 了下一步的方向。这种经典的随机行走的电路模型，可以相似的转换成量子电 路模型。如果有一个有效的程序来翻转随机行走的经典硬币，那相应的也会有 一种方法来实现量子硬币。

值得注意的是，如果没有测量，量子行走只是由酉操作算子控制，而不是 随机的。它比经典随机行走有更高的的扩散速度，更短的混合时间。通过[4-6] 的论文，获得了离散量子随机行走的的另一个特性是它的撞击时间[6,7]，与经典 的相比，它的加速是指数级的，因此人们希望利用这些性质建立起比经典算法 更有效的量子算法，本发明优化量子随机行走算法就是基于离散的量子随机行 走的基础上的。

参考文献

[1]E.Chitambar and M.-H.Hsieh,Phys.Rev.Lett.117,020402(2016).

[2]A.Streltsov,U.Singh,H.S.Dhar,M.N.Bera,and G.Adesso,Phys.Rev.Lett.115,020403(2015).

[3]J.Ma,B.Yadin,D.Girolami,V.Vedral,and M.Gu,Phys.Rev.Lett.116,160407(2016).

[4]D.Aharonov,A.Ambainis,J.Kempe,and U.Vazirani,in Proceedings of ACMSymposium on Theory of Computing(STOC)(ACM,New York,NY),pp.50–59, LANLpreprint quant-ph/0012090(2001).

[5]A.Ambainis,E.Back,A.Nayak,A.Vishwanath,and J.Watrous,in Proc.33rdSTOC(ACM,New York,NY),pp.60–69(2001).

[6]J.Kempe,quant-ph/0205083(2002).

[7]T.Yamasaki,H.Kobayashi,and H.Imai,quant-ph/0205045(2002).

发明内容

本发明提出一种基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法，包括 以下几个步骤

S1)在优化量子随机行走搜索算法下，将量子计算机的初态制备成节点空间 的等权叠加态与硬币空间的等权叠加态的直积态；

S2)对于给定的硬币算符C'，C'是用来翻转标记位的相位，它对未标记态 用C₀＝G算符，对标记态用C₁＝-I算符，应用这个演化算符在初始态|ψ₀ ^e>上t_f次；

S3)测量末态基上的概率，在每一次迭代后，在此时测量的末态上计算出目 标态的概率，即算法成功可能的概率；

S4)在优化量子随机行走搜索算法下，每一次的迭代情况下，就计算出对应 的相干性的值。

附图说明

图1是在n＝18时优化量子随机行走搜索算法的l₁测度下的相干性曲线和算 法成功可能概率曲线，图2是在n＝18时优化量子随机行走搜索算法的相对熵测 度下的相干性曲线和算法成功可能概率曲线

具体实施方式

下面结合本发明的具体步骤对本发明的技术方案做进一步描述。

1量子随机行走搜索算法以及基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法

离散的量子随机行走是在一个特定的空间下，有一个量子粒处于一个初始 位置，然后通过硬币算符和置换算符的不停作用下，然后到达下一个位置。根 据离散量子随机行走的过程，如果将量子粒的初始位置设置成所有态归一化叠 加态，到达的位置设置成想要搜索结果的末态，然后再找到硬币算符对应的硬 币态，置换算符对应的置换态，再将这两个态经过一系列的组合生成一个酉操 作。然后将这个酉操作在初态和末态这两个基上展开，最后不停用这个酉操作 作用在初态上，直到到达末态。就相当于从初态这个基上开始不停的在这两个 基上旋转，最后旋转到两个基中的另一个末态基上，然后在这个末态基上得到 它的目标态。这就实现量子随机行走搜索算法。

因为优化量子随机行走搜索算法是在量子随机行走搜索算法的基础上演变 过来的，简要说明量子随机行走搜索算法是为了更好研究优化量子随机行走搜 索算法相干性的性质。所以优化量子随机行走搜索算法的相干性计算和量子随 机行走搜索算法相干性的计算很类似，基于优化量子随机行走搜索算法的相干 性方法如下：

S1)在优化量子随机行走搜索算法下，将量子计算机的初态制备成节点空间 的等权叠加态与硬币空间的等权叠加态的直积态；

S2)对于给定的硬币算符C'，C'是用来翻转标记位的相位，它对未标记态 用C₀＝G算符，对标记态用C₁＝-I算符，应用这个演化算符在初始态|ψ₀ ^e>上t_f次；

S3)测量末态基上的概率，在每一次迭代后，在此时测量的末态上计算出目 标态的概率，即算法成功可能的概率；

S4)在优化量子随机行走搜索算法下，每一次的迭代情况下，就计算出对应 的相干性的值。

通过上面的步骤计算出它的相干性，然后比较算法成功可能概率的曲线和 相干性的曲线得出结论。

2量子相干性的表达式

量子相干性在l₁测度下可以定义为：

量子相干性在相对熵测度下可以定义为：

3量子随机行走搜索算法的相干性

在量子随机行走搜索算法下，硬币算法起到了oracle的作用，具体说来， 就是用特殊硬币来标记一个需要搜索的节点，在原有的置换对称硬币算符中加 入一个微扰。为了不失一般性，我们可以假设标记的节点为全零的串所以硬币翻转算符可以表示为

其中C₀＝G，G是Grover搜索算法的的扩散算符，标记的硬币算符可以是不同的 n阶方阵的幺正矩阵，为了简单一点，让C₁＝-I，所以加入微扰后，总的演化矩 阵U'可以写成

其中

超维空间里的每一个态都是由一个n比特串的决定它在超立方体中的位 置，和一个方向d指出硬币所处的态。

为了使超维空间的维度减少，更利于以后的实现，我们用2n个基 |R,0>,|L,1>,|R,1>,…,|R,n-1>,|L,n>来表示上面的量

其中

所以置换算符为

非微扰硬币矩阵表示为

其中的它的第一部分作用在{|R>,|L>}的空间上， 它的第二部分作用在这个直线{|0>,…|n>}的位置上。这酉矩阵U在这些基上可表示为

相似的微扰算子

U'＝U+ΔU＝U-2|L,1><R,0|。 (12)

所以近似的映射到二维基上的空间上为

(U')^t|ψ₀>≈cosω'₀t|ψ₀>-sinω'₀t|ψ₁>。 (13)

其中

其中的c是归一化的常量

可以令|ψ(t)>＝cosω'₀t|ψ₀>-sinω'₀t|ψ₁>，其中的t代表的是迭代次数。从上面的 分析可知，随着迭代次数的增加，ψ(t)会由初态|ψ₀>逐渐转变接近于末态|ψ₁>， 在这个过程中，研究它的相干性的变化。由相关的性质可知，它的密度矩阵可 表示为

ρ＝|ψ(t)><ψ(t)|。 (17)

由前面的l₁测度下的相干性定义和相对熵测度下相干性定义，且它的初态和 末态是在2n个基上面展开的。如果通过理论计算，它的式子会特别庞大，不能 化简和整合。所以通过数值计算它的特性。由于这个分析的是由初态|ψ₀>最终到 |ψ₁>态的过程，再从|ψ₁>态分离出目标态其算法成功可能的概率为

其中的

因为这个算法在|ψ₀>和|ψ₁>这两个基上旋转，而它的这两个基又在2n个基上 展开，我们通过密度矩阵计算出它的l₁测度下的相干性和相对熵测度下的相干 性。

4优化量子随机行走搜索算法下的量子相干性

优化量子随机行走和量子随机行走的步骤非常相似，它是从量子随机行走 搜索算法的基础上演变过来的，它只是相应的增加了一位奇偶校验位。能映射 到2ⁿ⁺¹维的空间上，所以它近似的映射到二维基上的空间上为

(UU')^t|ψ₀ ^e>≈cosω'₀t|ψ₀ ^e>-sinω'₀t|ψ₁>。 (21)

它的微扰算子为UU'，其中

其中的c的表示如下

和分析上面的算法的相干性一样的，可以令|ψ(t)>＝cosω'₀t|ψ₀ ^e>-sinω'₀t|ψ₁>， 其中的t代表的是迭代次数。随着迭代次数的增加，ψ(t)会由初态|ψ₀ ^e>逐渐转变 接近于末态|ψ₁>，在这个过程中，研究它的相干性的变化。由量子相干性的性质 可知，我们的密度矩阵和上面的一样ρ＝|ψ(t)><ψ(t)|，算法的成功的可能的概率 其中我们取所以通过密度矩阵计算出它的l₁测度下的 相干性和相对熵测度下的相干性，最后在matlab计算得到它的结果，通过相干 性结果和优化量子随机行走搜索算法成功可能概率我们可以分析它的结论。

实施例

1优化量子随机行走搜索算法的相干性实验结果

在N＝2ⁿ维上，令n＝18，n是可以变化的维度量。优化量子随机行走搜索算 法理论迭代次数是t_f≈415.6414637709413，如附图1和附图2，当t＝416时，它的 成功可能概率最大0.936011438597562，当t＝416时，它的l₁测度下的相干性减到 最小2.791755623796863，当t＝415时，它的相对熵测度下的相干性也减到最小0.964046016303532，由于是离散的，迭代次数为整数，所以可能出现一个迭代 次数的偏差。其它n的情况，和下面附图结果曲线趋势是一样的。

2总结

由于很多的量子搜索算法都是由量子随机行走的基础上演变过来的。研究 优化量子随机行走搜索算法的机理是很有必要，而量子相干性又是量子并行性 的一种重要资源，所以研究优化量子随机行走搜索算法的相干性，可能会找到 量子算法和量子相干性的某种关联。通过数值计算得到结论，当优化量子随机 行走搜索算法的成功可能的概率达到最大时，它的l₁测度下的相干性和相对熵测 度下的相干性都减到最小。这个结论可以直接通过相干性的值来检测算法成功 的可能。

Claims (1)

1.本发明提出一种基于优化量子随机行走搜索算法的量子相干性方法，包括以下几个步骤：

S1)在优化量子随机行走搜索算法下，将量子计算机的初态制备成节点空间的等权叠加态与硬币空间的等权叠加态的直积态；

S2)对于给定的硬币算符C'，C'是用来翻转标记位的相位，它对未标记态用C₀＝G算符，对标记态用C₁＝-I算符，应用这个演化算符在初始态|ψ₀ ^e>上t_f次；

S3)测量末态基上的概率，在每一次迭代后，在此时测量的末态上计算出目标态的概率，即算法成功可能的概率；

S4)在优化量子随机行走搜索算法下，每一次的迭代情况下，就计算出对应的相干性的值。