CN107742019A - 一种frp筋混凝土梁力学性能的简化计算方法 - Google Patents

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Abstract

发明提供一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法。该方法包括建立空间直角坐标系、分析计算FRP筋混凝土梁的材料应力应变表达式、建立FRP筋混凝土梁的运动控制方程和FRP筋混凝土梁力的边界条件和求解得出FRP筋混凝土梁的最终计算模型等步骤。该方法可较精确地计算出混凝土梁的整体抗弯力学性能(荷载‑挠度曲线)，以及FRP筋应变、混凝土应变和混凝土梁中性轴深度等局部力学性能，大大减少了计算量，计算效率得以提高。

Description

一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法
技术领域
本发明涉及土木工程领域，具体涉及一种FRP筋混凝土梁力学性能的计算方法。
背景技术
FRP(Fiber Reinforced Polymer纤维增强复合材料)筋是一种由高强纤维(碳纤维、玻璃纤维、芳纶纤维等)和基底树脂组成，经过特质模具挤压和拉拔成型的新型材料，具有轻质高强、耐腐蚀性强、电磁绝缘性好等特点。由于具有上述特点，用FRP筋取代传统的钢筋作为混凝土结构的加固材料，能有效解决钢筋锈蚀所带来的结构性能退化问题，是一种在建筑结构、桥梁工程等领域有着广泛应用前景的新型复合结构。
目前，对FRP筋混凝土梁力学性能的分析计算，多基于对钢筋混凝土梁计算公式的参考和修正，而这往往难以真实反映FRP筋混凝土梁的工作状态。除此以外，另一条重要的分析途径是有限元方法，但对FRP筋混凝土梁这种复合结构，有限元模型虽然计算结果精度较高，但其计算量往往较大，无法快速、方便地得到计算结果，同时其计算过程还面临非线性迭代不收敛的问题。
发明内容
本发明的目的是提供一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法，以解决现有技术中存在的问题。
为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法，包括以下步骤：
1)以FRP筋混凝土梁A端横截面的对称轴与中性轴的交点o为原点建立空间直角坐标系o-xyz。其中，令横截面对称轴为z轴，方向向下为正。中性轴为y轴。FRP筋混凝土梁变形前的长度方向为x轴，方向指向B端为正。
2)分析计算得出FRP筋混凝土梁上xz截面任意一点(x,z)的材料应力应变表达式。其中，计算准则如下：
(a)将混凝土梁的轴向位移uC、横向位移w和横截面转角φ的表达式对x求导，得出混凝土梁沿z轴方向的应变εC、FRP筋的应变εB、混凝土梁的剪切应变γC。其中：
uC(x,z,t)＝u0(x,t)-zφ(x,t) (1)
w(x,z,t)＝w(x,t) (2)
式中，uC为混凝土梁的轴向位移(mm)，w为横向位移(mm)，φ为横截面转角(rad)，u0为混凝土中性轴的轴向位移(mm)，t为时间。
将式(1)、(2)对x求导得出混凝土梁沿z轴方向的应变εC、FRP筋的应变εB、混凝土梁的剪切应变γC。其中：
εC＝u0,x-zjCφ,x (3)
εB＝u0,x-zjBφ,x (4)
γC＝w,x-φ (5)
式中，εC为混凝土梁沿z轴方向的轴向应变，εB为FRP筋的轴向应变，γC为混凝土梁的剪切应变，(·),x表示对x的一阶导数。zjC为混凝土梁的z坐标，zjB为FPR筋的z坐标。
(b)建立混凝土和FRP筋的材料本构关系。其中：
σC＝ECεC σB＝EBεB τC＝GCγC (6)
式中，σC为混凝土的轴向应力(MPa)，τC为混凝土的剪切应力(MPa)，σB为FRP筋的轴向应力(MPa)，EC为混凝土弹性模量(MPa)，EB为钢筋弹性模量(MPa)，GC为混凝土剪切模量(MPa)。
3)根据Hamilton变分原理建立FRP筋混凝土梁的运动控制方程和FRP筋混凝土梁力的边界条件。其中：
将步骤2)中的材料应力应变表达式带入Hamilton变分原理，得出式(7)。
式中，z1为混凝土梁梁底的z坐标，z2为混凝土梁梁顶的z坐标，L为梁的长度，bC为梁的宽度，NB为FRP加固筋的数量，ABj为各FRP筋的横截面积(mm2)。
利用式推导得出FRP筋混凝土梁的运动控制方程和力的边界条件。其中：
FRP筋混凝土梁的运动控制方程为：
FRP筋混凝土梁力的边界条件为：
N＝A11u0,x-B11φ,x (11)
V＝A22w,x-A22φ (12)
M＝-B11u0,x+D11φ,x (13)
式中，δ为变分符号，表示对括号内变量求时间t的二阶导数，(),x表示对括号内变量求长度x的一阶导数，(),xx表示对括号内变量求长度x的二阶导数。N为轴力，V为剪力，M为弯矩。材料常数如式(14)～(16)所示。
4)求解得出FRP筋混凝土梁的最终计算模型。其中：
利用快速傅里叶变换将位移场表示为式(17)。
式中，ωn为圆频率，kmn为波数。
将式(17)带入式～，可得特征方程式(18)。
其中:
指定某一频率值ωn，求解式(18)的特征根可得到6个波数kmn以及与其对应的6个特征向量Ri。则节点位移可以表示为式(20)。
对于一个长度为L的单元来说，其两节点的位移可以表示为式(21)。
式中，{A}为与边界条件相关的常数向量。
联立式(20)和式(21)，得出节点向量的解为：
式中，[N]为形函数矩阵。
结合式(11)～(13)，得出6阶刚度矩阵[K]。
式便是对FRP筋混凝土梁的最终计算模型。
5)取某一固定频率值近似结构的静力分析。分级施加荷载。每一级荷载施加完成后，利用式(23)计算混凝土在该级荷载下的位移和应变，并进行非线性迭代过程，直到达到最终荷载。
进一步，步骤5)中所述非线性迭代过程具体为：每一级荷载施加完成后，取混凝土在不同应变状态下的割线模量修正混凝土初始弹性模量值，并重新计算梁的位移和应变，如此往复，直到满足收敛条件，则该级荷载计算完成。
本发明的技术效果是毋庸置疑的：
A.可较精确地计算出混凝土梁的整体抗弯力学性能(荷载-挠度曲线)，以及FRP筋应变、混凝土应变和混凝土梁中性轴深度等局部力学性能；
B.利用一维单元模拟FRP筋混凝土梁，仅使用少量单元，大大减少了计算量，计算效率得以提高；
C.完成计算程序编制后，便可以快速、精确地完成建模和计算过程，快速且精确。
附图说明
图1为FRP筋混凝土梁示意图；
图2为FRP筋混凝土梁坐标系示意图；
图3为FRP筋混凝土梁弯曲示意图；
图4为FRP筋混凝土梁横截面及位移关系示意图；
图5为FRP筋混凝土梁试验试件几何尺寸示意图；
图6为荷载-跨中挠度曲线；
图7为荷载-FRP筋跨中应变；
图8为荷载-混凝土梁跨中上部应变；
图9为荷载作用下FRP筋应变纵向分布；
图10为荷载-混凝土梁平均中性轴深度。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
实施例1：
本实施例公开一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法，包括以下步骤：
1)参见图1～图3，以FRP筋混凝土梁A端横截面的对称轴与中性轴的交点o为原点建立空间直角坐标系o-xyz。其中，令横截面对称轴为z轴，方向向下为正。中性轴为y轴。FRP筋混凝土梁变形前的长度方向为x轴，方向指向B端为正。
2)参见图4，分析计算得出FRP筋混凝土梁上xz截面任意一点x,z的材料应力应变表达式。其中，计算准则如下：
(a)将混凝土梁的轴向位移uC、横向位移w和横截面转角φ的表达式对x求导，得出混凝土梁沿z轴方向的应变εC、FRP筋的应变εB、混凝土梁的剪切应变γC。其中：
uC(x,z,t)＝u0(x,t)-zφ(x,t) (1)
w(x,z,t)＝w(x,t) (2)
式中，uC为混凝土梁的轴向位移(mm)，w为横向位移(mm)，φ为横截面转角(rad)，u0为混凝土中性轴的轴向位移(mm)，t为时间。
将式(1)、(2)对x求导得出混凝土梁沿z轴方向的应变εC、FRP筋的应变εB、混凝土梁的剪切应变γC。其中：
εC＝u0,x-zjCφ,x (3)
εB＝u0,x-zjBφ,x (4)
γC＝w,x-φ (5)
式中，εC为混凝土梁沿z轴方向的轴向应变，εB为FRP筋的轴向应变，γC为混凝土梁的剪切应变，(·),x表示对x的一阶导数。zjC为混凝土梁的z坐标，zjB为FPR筋的z坐标。
(b)建立混凝土和FRP筋的材料本构关系。其中：
σC＝ECεC σB＝EBεB τC＝GCγC (6)
式中，σC为混凝土的轴向应力(MPa)，τC为混凝土的剪切应力(MPa)，σB为FRP筋的轴向应力(MPa)，EC为混凝土弹性模量(MPa)，EB为钢筋弹性模量(MPa)，GC为混凝土剪切模量(MPa)。
3)根据Hamilton变分原理建立FRP筋混凝土梁的运动控制方程和FRP筋混凝土梁力的边界条件。其中：
将步骤2)中的材料应力应变表达式带入Hamilton变分原理，得出式(7)。
式中，z1为混凝土梁梁底的z坐标，z2为混凝土梁梁顶的z坐标，L为梁的长度，bC为梁的宽度，NB为FRP加固筋的数量，ABj为各FRP筋的横截面积(mm2)。
利用式7推导得出FRP筋混凝土梁的运动控制方程和力的边界条件。其中：
FRP筋混凝土梁的运动控制方程为：
FRP筋混凝土梁力的边界条件为：
N＝A11u0,x-B11φ,x (11)
V＝A22w,x-A22φ (12)
M＝-B11u0,x+D11φ,x (13)
式中，δ为变分符号，表示对括号内变量求时间t的二阶导数，(),x表示对括号内变量求长度x的一阶导数，(),xx表示对括号内变量求长度x的二阶导数。N为轴力，V为剪力，M为弯矩。材料常数如式(14)～(16)所示。
4)求解得出FRP筋混凝土梁的最终计算模型。其中：
利用快速傅里叶变换将位移场表示为式(17)。
式中，ωn为圆频率，kmn为波数。
将式(17)带入式8～10，可得特征方程式(18)。
其中:
指定某一频率值ωn，求解式(18)的特征根可得到6个波数kmn以及与其对应的6个特征向量Ri。则节点位移可以表示为式(20)。
对于一个长度为L的单元来说，其两节点的位移可以表示为式(21)。
式中，{A}为与边界条件相关的常数向量。
联立式(20)和式(21)，得出节点向量的解为：
式中，[N]为形函数矩阵。
结合式(11)～(13)，得出6阶刚度矩阵[K]。
式23便是对FRP筋混凝土梁的最终计算模型。
5)基于上述理论建立FRP筋混凝土梁的理论模型后，接下来便是计算过程，由于混凝土是一种非线性材料，因此在计算过程中涉及到非线性迭代计算。
首先由于刚度矩阵[K]为与频率相关的动刚度矩阵，故可以取一个很小的频率值(如0.01Hz)来近似结构的静力分析，接下来施加第一级荷载，利用式(23)计算利用混凝土在该级荷载步下的位移和应变，并取其在不同应变状态下的割线模量修正其初始弹性模量值，并重新计算梁的位移和应变，如此往复，直到满足收敛条件，则该级荷载计算完成。施加下一级荷载步，重复上述非线性迭代过程，直到达到最终荷载，完成计算过程。
选取一根FRP筋混凝土梁试件作为对比来验证本实施例的计算精度和效率，试件的几何尺寸和配筋情况如图5所示，各几何和材料参数如表1所示。加载方式为四点加载，用千斤顶逐级施加荷载。压力传感器放于千斤顶与试件之间，用位移传感器量测挠度，用电阻应变片测应变，用静态数据采集仪记录荷载以及梁各测点的挠度与应变值。并与本实施例计算结果对比，结果如图6～10所示。可知本实施例理论计算值与试验值吻合良好。
表1

Claims (2)

1.一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)以FRP筋混凝土梁A端横截面的对称轴与中性轴的交点o为原点建立空间直角坐标系o-xyz；其中，令横截面对称轴为z轴，方向向下为正；中性轴为y轴；FRP筋混凝土梁变形前的长度方向为x轴，方向指向B端为正；
2)分析计算得出FRP筋混凝土梁上xz截面任意一点(x,z)的材料应力应变表达式；其中，计算准则如下：
(a)将混凝土梁的轴向位移uC、横向位移w和横截面转角φ的表达式对x求导，得出混凝土梁沿z轴方向的应变εC、FRP筋的应变εB、混凝土梁的剪切应变γC；其中：
uC(x,z,t)＝u0(x,t)-zφ(x,t) (1)
w(x,z,t)＝w(x,t) (2)
式中，uC为混凝土梁的轴向位移(mm)，w为横向位移(mm)，φ为横截面转角(rad)，u0为混凝土中性轴的轴向位移(mm)，t为时间；
将式(1)、(2)对x求导得出混凝土梁沿z轴方向的应变εC、FRP筋的应变εB、混凝土梁的剪切应变γC；其中：
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γC＝w,x-φ (5)
式中，εC为混凝土梁沿z轴方向的轴向应变，εB为FRP筋的轴向应变，γC为混凝土梁的剪切应变，(·),x表示对x的一阶导数；zjC为混凝土梁的z坐标，zjB为FPR筋的z坐标；
(b)建立混凝土和FRP筋的材料本构关系；其中：
σC＝ECεC σB＝EBεBτC＝GCγC (6)
式中，σC为混凝土的轴向应力(MPa)，τC为混凝土的剪切应力(MPa)，σB为FRP筋的轴向应力(MPa)，EC为混凝土弹性模量(MPa)，EB为钢筋弹性模量(MPa)，GC为混凝土剪切模量(MPa)；
3)根据Hamilton变分原理建立FRP筋混凝土梁的运动控制方程和FRP筋混凝土梁力的边界条件；其中：
将步骤2)中的材料应力应变表达式带入Hamilton变分原理，得出式(7)；
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式中，z1为混凝土梁梁底的z坐标，z2为混凝土梁梁顶的z坐标，L为梁的长度，bC为梁的宽度，NB为FRP加固筋的数量，ABj为各FRP筋的横截面积(mm2)；
利用式(7)推导得出FRP筋混凝土梁的运动控制方程和力的边界条件；其中：
FRP筋混凝土梁的运动控制方程为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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FRP筋混凝土梁力的边界条件为：
N＝A11u0,x-B11φ,x (11)
V＝A22w,x-A22φ (12)
M＝-B11u0,x+D11φ,x (13)
式中，δ为变分符号，表示对括号内变量求时间t的二阶导数，(),x表示对括号内变量求长度x的一阶导数，(),xx表示对括号内变量求长度x的二阶导数。N为轴力，V为剪力，M为弯矩；材料常数如式(14)～(16)所示；
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>B</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>E</mi> <mi>C</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>z</mi> </mtd> <mtd> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>b</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>B</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>G</mi> <mi>C</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>C</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>z</mi> </mtd> <mtd> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>b</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4)求解得出FRP筋混凝土梁的最终计算模型；其中：
利用快速傅里叶变换将位移场表示为式(17)；
<mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <mo>{</mo> <msubsup> <mover> <mi>u</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>}</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>jk</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，ωn为圆频率，kmn为波数；
将式(17)带入式(8)～(10)，可得特征方程式(18)；
<mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>W</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>{</mo> <msup> <mover> <mi>u</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>*</mo> </msup> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中:
<mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>W</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>22</mn> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>jA</mi> <mn>22</mn> </msub> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>jA</mi> <mn>22</mn> </msub> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>22</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
指定某一频率值ωn，求解式(18)的特征根可得到6个波数kmn以及与其对应的6个特征向量Ri；则节点位移可以表示为式(20)；
<mrow> <mo>{</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>u</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <munder> <mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...6</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>jk</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>R</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于一个长度为L的单元来说，其两节点的位移可以表示为式(21)；
<mrow> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，{A}为与边界条件相关的常数向量；
联立式(20)和式(21)，得出节点向量的解为：
<mrow> <mo>{</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>R</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>N</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，[N]为形函数矩阵；
结合式(11)～(13)，得出6阶刚度矩阵[K]；
<mrow> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>K</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(23)便是对FRP筋混凝土梁的最终计算模型；
5)取某一固定频率值近似结构的静力分析；分级施加荷载；每一级荷载施加完成后，利用式(23)计算混凝土在该级荷载下的位移和应变，并进行非线性迭代过程，直到达到最终荷载。
2.根据权利要求1所述的一种FRP筋混凝土梁力学性能的简化计算方法，其特征在于：步骤5)中所述非线性迭代过程具体为：每一级荷载施加完成后，取混凝土在不同应变状态下的割线模量修正混凝土初始弹性模量值，并重新计算梁的位移和应变，如此往复，直到满足收敛条件，则该级荷载计算完成。
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