CN107545596B - 一种点云模型最优切割平面的提取方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种点云模型最优切割平面的提取方法，包括下述步骤：通过计算单分支点云的特征向量和特征值确定走势方向，同时根据点云模型的密度求出点云模型切片的厚度σ，选取最小Z值的点作为初始切割点；在切割点出构造多条切割线，将基准切割面绕每个切割线旋转，得到多个旋转切割面，同时将旋转切割面投影，计算投影面积最小的旋转切割面即为最优切割面。本发明提取出的切割面能够准确地反映点云模型在该切割点处的局部趋势特征。
Description
技术领域
本发明属于计算机提取几何特征方法技术领域，涉及一种点云模型最优切割平面的提取方法。
背景技术
最优切割平面是在物体的相关部位利用一个平面进行切割，而此平面的法向方向正好是该物体切割处的局部延伸走向方向。最优切割平面可以应用在多个研究和应用方面，例如：基于最优切割平面进行骨架提取，根据被切割点云模型的走势变化进行动态地选择每个切割点处的最优切割平面，基于最优切割平面求出来的骨架更能准确地表达点云模型的骨架；基于切片进行点云数据预处理中，利用最优切割平面对三维数据进行切片，将切片中的点云数据映射到最优切割平面上，辅助乱点进行排序和重新组织，将原始带噪声的无序结构的三维点集重新组织成更为简洁和有序的形式，为点云的网格化等奠定了基础。
《曲线曲面重建方法研究》利用三组切割平面分别从x、y、z三个方向对点云模型进行切割，重构原物体的形状和拓扑信息。每组切割平面沿所选的一个方向采用等间距的切割平面对点云模型进行切割。该方法主要有两个局限性，一方面是点云模型并非都是整体垂直于xoy平面的，点云模型与xoy平面有夹角的情况简单地从x、y、z三个方向对该点云模型进行切割，会比较粗略；另一方面是点云模型本身往往会有走势变化，粗略地从x、y、z三个方向对点云模型进行切割，并不能准确反映点云模型走势变化，也不能准确反映模型的局部走势的多样性。
《Modelling cloud datausing an adaptive slicing approach》提出基于容差自适应控制切片厚度的方法，该方法采用沿着给定方向使用切割平面对点云模型进行切割，但平面间距是根据其初始切割平面间距在容差控制下迭代估算的合适值。由于每次切片都要根据初始切割平面间距在容差控制下迭代估算可行的切割平面间距，因此该算法效率较低，尤其在处理海量点云数据计算速度非常慢。
《Curve Skeleton Extraction from Incomplete Point Cloud》提出了旋转对称轴(ROSA，Rotational SymmetryAxis)的概念，通过在点云模型上锚点处迭代地构造切割平面，其目的是基于锚点处的最优切割平面构建ROSA点，进而根据ROSA点来构建骨架点。通过迭代地计算锚点处所有切割平面上的法向量与其切割平面附近所有点法向量夹角，将夹角最小的切割平面作为该锚点处的最优的切割平面。该方法在构建锚点处的最优切割平面的时候，对点云模型的形状有一定的约束，仅适用于近似圆柱形的点云模型。
现有的提取切割平面方法不能根据点云模型的走势变化调整切割平面的切割方向，同时提取出的切割面不能准确地反映点云模型在该切割点处的局部趋势特征。
发明内容
本发明的目的是提供一种点云模型最优切割平面的提取方法，提取出的切割面能够准确地反映点云模型在该切割点处的局部趋势特征。
本发明采用的技术方案是，一种点云模型最优切割平面的提取方法，具体按照以下步骤实施：
步骤1，观察点云模型；
单分支的点云模型不作处理直接进行步骤2；
将多分枝的点云模型切分成多个单分支的点云模型，再进行步骤2；
步骤2，经步骤1后，计算点云模型的走势方向，利用主成分分析法，计算每个单分支点云模型中点集的协方差矩阵cov(A)，并计算协方差矩阵cov(A)的特征值和协方差矩阵cov(A)的每个特征值对应的特征向量，将主特征值对应的主特征向量np(npx,npy,npz)作为该点云模型的走势方向；
遍历点云模型中的每个点，找出具有最小Z值的点p1(x1,y1,z1)作为初始切割点；
根据点云模型的密度确定点云模型切片的厚度σ；
步骤3，经步骤2后，根据初始切割点p1(x1,y1,z1)和主特征向量np(npx,npy,npz)，计算第二个点的坐标，依次类推，由前一个切割点的坐标计和主特征向量np(npx,npy,npz)算后一个切割点的坐标，计算出点云模型中其他切割点的坐标和每个切割点处的基准切割平面；
步骤4，经步骤3后，在每个基准切割平面上构造多个旋转轴线。
步骤5，经步骤4后，将基准切割平面沿每个旋转轴线均进行旋转，获取多个旋转切割平面；
步骤6，经步骤5后，将每个旋转切割平面所切割切片上所有的点分别向每个旋转切割平面投影，形成带状点集，并计算每个带状点集所围成的平面图形的面积，投影的平面图形的面积最小的旋转切割平面即为最优切割面。
本发明的特点还在于：
步骤2中点云模型切片的厚度δ由下述步骤求得：
步骤①，在点云模型中随机选取n个点ci，组成点云密度估算集合C；
步骤②，步骤①后，将估算集合C中的每个点ci，利用k-d树在点云模型内找出与其距离点ci较小的m个点，并计算出这m个点中每个点与点ci的距离Di；
步骤③，步骤②完成后，根据估算集合C中距离点ci较小的m个点与点ci的距离Di得到点云模型中点的密度ρ：
步骤④，步骤③完成后，根据点云模型中点的密度ρ计算点云模型切片的厚度：
δ＝λ·ρ (5)；
其中，λ取整数值。
步骤④中，λ取值为8～12。
步骤3中，其他切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的坐标由公式可解得：
切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的基准切割平面Π(k+1)0为过点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)与特征向量np(npx,npy,npz)垂直的平面。
步骤4中的旋转轴线通过下述步骤构造：
步骤4.1，将k+1个切片中的所有点，沿切割点pk+1处的基准切割平面Π(k+1)0的法向量方向np(npx,npy,npz)，向切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0投影，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0形成投影点集C1；
步骤4.2，步骤4.1完成后，在投影点集C1中任选一点pak0，连接pk+1、pak0，得到第k+1个点的初始旋转轴线pk+1pak0；
步骤4.3，步骤4.2完成后，初始旋转轴线pk+1pak0在切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0上沿着初始旋转轴线pk+1pak0的中点多次旋转得到切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的多个旋转轴线。
步骤4.3中初始旋转轴线pk+1pak0在旋转时，每次旋转的角度为
步骤5中旋转切割平面具体通过下述步骤获得：
步骤5.1，将切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的基准切割平面Π(k+1)0，其法向量为np(npx,npy,npz)，将切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)沿法向量方向np(npx,npy,npz)移动γ，可以得到新的点p，点p的坐标计算如下：
p(xk+1+γ*npx,yk+1+γ*npy,zk+1+γ*npz) (7)；
步骤5.2，步骤5.1完成后，连接切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)和点p得到直线pk+1p，将pk+1p绕基准切割平面Π(k+1)0上任一旋转轴线rakj旋转ω度后，点p位置旋转至p'处，p'的坐标计算公式如下：
p′＝R·p (8)；
其中，
其中，a、b和c的值通过下述公式计算得到：
v＝p-pk＝(x-xk,y-yk,z-zk) (13)；
步骤5.3，步骤5.2旋转后，得到旋转切割面，计算旋转切割面的的法向量，计算方法如下：
n(k+1)m＝p'-pk+1＝(x'-xk+1,y'-yk+1,z'-zk+1) (15)；
则旋转切割面为过点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)，且法向量为n(k+1)m的平面；
步骤5.4，重复步骤5.2和步骤5.3，重复4次，得到4个旋转切割面；
步骤5.5，待步骤5.1～步骤5.4完成后，将pk+1p绕基准切割平面Π(k+1)0上每一个旋转轴线旋转，得到pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的所有旋转切割面。
步骤6中的面积通过步骤得到：
步骤6.1，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的i个旋转切割平面，对应的点云切片数据所对应的点集为Mki，该点集Mki中的任意一点p(xp,yp,zp)在该旋转切割平面上的垂直投影点q的坐标为(xq,yq,zq)，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的i个切割平面上的法向量为n(k+1)i(nxi,nyi,nzi)，该旋转切割平面上的切割点pck的坐标为(xk,yk,zk)，则投影后的点q(xq,yq,zq)坐标利用下述公式得到：
步骤6.2，重复步骤6.1，得到切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的第i个旋转切割平面上投影的带状点集Nki的所有的点的坐标；
步骤6.3，步骤6.2后，计算带状点集Nki在Πka平面上围成图形的x轴的最小值xmin和最大值xmax，然后从xmin开始以Δx宽度为步长向xmax移动，每次移动都形成一个宽度为Δx的窄条区域，计算将移动过程中窄条区域在y轴方向上的高度，从而计算出窄条区域的面积，最后将移动过程中获得的所有窄条区域的面积相加起来就是带状点集Nki在Πka平面上围成图形的面积Areaki，计算公式如下：
步骤6.4，重复步骤6.1～步骤6.3，计算出pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)所有旋转切割面的投影的带状点集围成的面积。
本发明的有益效果在于：
(1)本发明的最优切割面的提取方法，提取出的切割面能够准确地反映点云模型在该切割点处的局部趋势特征；
(2)本发明的最优切割面的提取方法，能够适用于各种形状的点云模型；
(3)本发明的最优切割面的提取方法效率高且步骤简单。
附图说明
图1是本发明一种点云模型最优切割平面的提取方法的旋转轴线的构造图；
图2是本发明一种点云模型最优切割平面的提取方法的基准切割平面绕旋转轴线旋转的示意图；
图3是本发明一种点云模型最优切割平面的提取方法的带状点集所围成的平面图形示意图。
具体实施方式
下面根据附图和具体实施方式对本分明进行详细说明。
本发明一种点云模型最优切割平面的提取方法，具体按照下述步骤实施：
步骤1，观察点云模型；
单分支的点云模型不作处理直接进行步骤2；
将多分枝的点云模型切分成多个单分支的点云模型，再进行步骤2；
步骤2，待步骤1完成后，计算单分支点云模型的走势方向，具体包括下述步骤：
步骤a，将点云模型中的每个点的坐标(ai1,ai2,ai3)，组成矩阵A：
步骤b，经步骤a后，计算矩阵A三列的期望E(a1),E(a2),E(a3)，矩阵A第j列的期望为：
步骤c，经步骤b后，计算出组成矩阵A的协方差矩阵cov(A)的第i行第j列的元素为：
步骤d，经步骤c后，计算出协方差矩阵cov(A)的每个特征值和特征值对应的特征向量，并将最大的主特征值对应的主特征向量np(npx,npy,npz)作为点云模型的走势方向；
遍历点云模型中的每个点，找出具有最小Z值得点p1(x1,y1,z1)作为初始切割点；
根据点云模型的密度确定点云模型切片的厚度δ，具体按照下述步骤进行：
步骤①，在点云模型中随机选取n个点ci，组成点云密度估算集合C；
步骤②，经步骤①后，将估算集合C中的每个点ci，利用k-d树在点云模型内找出与其距离点ci较小的m个点，并计算出这m个点中每个点与点ci的距离Di；
步骤③，经步骤②后，根据估算集合C中距离点ci较小的m个点与点ci的距离Di得到点云模型中点的密度ρ：
步骤④，经步骤③后，根据点云模型中点的密度ρ计算点云模型切片的厚度δ：
δ＝λ·ρ (5)；
其中λ取8～12的整数值。
步骤3，待步骤2完成后，根据初始切割点p1(x1,y1,z1)和主特征向量np(npx,npy,npz)，计算第二个点的坐标，依次类推，由前一个切割点的坐标计和主特征向量np(npx,npy,npz)算后一个切割点的坐标，计算出点云模型中其他切割点的坐标和每个切割点处的基准切割平面；
其中，点云模型中第k+1个切割点的pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的坐标由公式算出：
点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的基准切割平面Π(k+1)0为过点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)与特征向量np(npx,npy,npz)垂直的平面。
步骤4，待步骤3完成后，在每个基准切割平面上通过下述步骤构造多个旋转轴线：
步骤4.1，将k+1个切片中的所有点，沿切割点pk+1处的基准切割平面Π(k+1)0的法向量方向np(npx,npy,npz)，向点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0投影，点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0形成投影点集C1；
步骤4.2，经步骤4.1后，在投影点集C1中任选一点pak0，连接pk+1、pak0，得到第k+1个点的初始旋转轴线pk+1pak0；
步骤4.3，经步骤4.2后，如图1所示，将初始旋转轴线pk+1pak0在点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0上沿着初始旋转轴线pk+1pak0的中点多次旋转
得到点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的多个旋转轴线，其中
优选为10°。
步骤5，待步骤4完成后，将基准切割平面沿每个旋转轴线均通过下述步骤进行旋转，获取多个旋转切割平面：
步骤5.1，如图2所示，将点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的基准切割平面Π(k+1)0，其法向量为np(npx,npy,npz)，将点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)沿法向量方向np(npx,npy,npz)移动γ，可以得到新的点p，点p的坐标计算如下：
p(xk+1+γ*npx,yk+1+γ*npy,zk+1+γ*npz) (7)；
步骤5.2，经步骤5.1后，连接点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)和点p得到直线pk+1p，将pk+1p绕基准切割平面Π(k+1)0上任一旋转轴线rakj旋转1度后，点p位置旋转至p'处，p'的坐标计算公式如下：
p'＝R·p (8)；
其中，
其中，a、b和c的值通过下述公式计算得到：
v＝p-pk＝(x-xk,y-yk,z-zk) (13)；
步骤5.3，经步骤5.2旋转后，得到旋转切割面，计算旋转切割面的的法向量，计算方法如下：
n(k+1)m＝p'-pk+1＝(x'-xk+1,y'-yk+1,z'-zk+1) (15)；
则旋转切割面为过点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)，且法向量为n(k+1)m的平面；
步骤5.4，重复步骤5.2和步骤5.3，重复4次，得到4个旋转切割面，；
步骤5.5，重复步骤5.1～步骤5.4，将pk+1p绕基准切割平面Π(k+1)0上每一个旋转轴线旋转，得到pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的所有旋转切割面。
步骤6，待步骤5完成后，将每个旋转切割平面对应的切片上所有的点分别向每个旋转切割平面投影，形成带状点集，并通过下述步骤计算带状点集所围成的平面图形的面积：
步骤6.1，点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的i个旋转切割平面，对应的第k+1个点云切片数据所对应的点集为Mki，该点集Mki中的任意一点p(xp,yp,zp)在该旋转切割平面上的垂直投影点q的坐标为(xq,yq,zq)，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的i个切割平面上的法向量为n(k+1)i(nxi,nyi,nzi)，该旋转切割平面上的切割点pck的坐标为(xk,yk,zk)，则投影后的点q(xq,yq,zq)坐标利用下述公式得到：
步骤6.2，重复步骤6.1，得到切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的第i个旋转切割平面上投影的带状点集Nki的所有的点的坐标；
步骤6.3，经步骤6.2后，如图3所示，计算带状点集Nki在Πka平面上围成图形的x轴的最小值xmin和最大值xmax，然后从xmin开始以Δx宽度为步长向xmax移动，每次移动都形成一个宽度为Δx的窄条区域，计算将移动过程中窄条区域在y轴方向上的高度，从而计算出窄条区域的面积，最后将移动过程中获得的所有窄条区域的面积相加起来就是带状点集Nki在Πka平面上围成图形的面积Areaki由以下计算公式得到：
步骤6.4，重复步骤6.1～步骤6.3，计算出pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)所有旋转切割面的投影的带状点集围成的面积，并找出最小的带状点集围成的面积，所对应的旋转切割面，该切割面即为点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)最优切割面。
本发明一种点云模型最优切割平面的提取方法，提取出的切割面能够准确地反映点云模型在该切割点处的局部趋势特征。
Claims (6)
1.一种点云模型最优切割平面的提取方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：
步骤1，观察点云模型；
单分支的点云模型不作处理直接进行步骤2；
将多分枝的点云模型切分成多个单分支的点云模型，再进行步骤2；
步骤2，经步骤1后，计算点云模型的走势方向，利用主成分分析法，计算每个单分支点云模型中点集的协方差矩阵cov(A)，并计算协方差矩阵cov(A)的特征值和协方差矩阵cov(A)的每个特征值对应的特征向量，将主特征值对应的主特征向量np(npx,npy,npz)作为该点云模型的走势方向；
遍历点云模型中的每个点，找出具有最小Z值的点p1(x1,y1,z1)作为初始切割点；
根据点云模型的密度确定点云模型切片的厚度δ；
步骤3，经步骤2后，根据初始切割点p1(x1,y1,z1)和主特征向量np(npx,npy,npz)，计算第二个点的坐标，依次类推，由前一个切割点的坐标计和主特征向量np(npx,npy,npz)算后一个切割点的坐标，计算出点云模型中其他切割点的坐标和每个切割点处的基准切割平面；
步骤4，经步骤3后，在每个基准切割平面上构造多个旋转轴线；
旋转轴线通过下述步骤构造：
步骤4.1，将k+1个切片中的所有点，沿切割点pk+1处的基准切割平面Π(k+1)0的法向量方向np(npx,npy,npz)，向切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0投影，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0形成投影点集C1；
步骤4.2，步骤4.1完成后，在投影点集C1中任选一点pak0，连接pk+1、pak0，得到第k+1个点的初始旋转轴线pk+1pak0；
步骤4.3，步骤4.2完成后，初始旋转轴线pk+1pak0在切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的基准切割平面Π(k+1)0上沿着初始旋转轴线pk+1pak0的中点多次旋转得到切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的多个旋转轴线；
步骤5，经步骤4后，将基准切割平面沿每个旋转轴线均进行旋转，获取多个旋转切割平面；
旋转切割平面具体通过下述步骤获得：
步骤5.1，将切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的基准切割平面Π(k+1)0，其法向量为
将切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)沿法向量方向np(npx,npy,npz)移动γ，可以得到新的点p，点p的坐标计算如下：
p(xk+1+γ*npx,yk+1+γ*npy,zk+1+γ*npz) (7)；
步骤5.2，步骤5.1完成后，连接切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)和点p得到直线pk+1p，将pk+1p绕基准切割平面Π(k+1)0上任一旋转轴线rakj旋转ω度后，点p位置旋转至p'处，p'的坐标计算公式如下：
p′＝R·p (8)；
其中，
其中，a、b和c的值通过下述公式计算得到：
v＝p-pk＝(x-xk,y-yk,z-zk) (13)；
步骤5.3，步骤5.2旋转后，得到旋转切割面，计算旋转切割面的的法向量，计算方法如下：
n(k+1)m＝p′-pk+1＝(x′-xk+1,y′-yk+1,z′-zk+1) (15)；
则旋转切割面为过点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)，且法向量为n(k+1)m的平面；
步骤5.4，重复步骤5.2和步骤5.3，重复4次，得到4个旋转切割面；
步骤5.5，待步骤5.1～步骤5.4完成后，将pk+1p绕基准切割平面Π(k+1)0上每一个旋转轴线旋转，得到pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的所有旋转切割面；
步骤6，经步骤5后，将每个旋转切割平面所切割切片上所有的点分别向每个旋转切割平面投影，形成带状点集，并计算每个带状点集所围成的平面图形的面积，投影的平面图形的面积最小的旋转切割平面即为最优切割面。
2.根据权利要求1所述的一种点云模型最优切割平面的提取方法，其特征在于，所述步骤2中点云模型切片的厚度δ由下述步骤求得：
步骤①，在点云模型中随机选取n个点ci，组成点云密度估算集合C；
步骤②.，步骤①后，将估算集合C中的每个点ci，利用k-d树在点云模型内找出与其距离点ci较小的m个点，并计算出这m个点中每个点与点ci的距离Di；
步骤③，步骤②后，根据估算集合C中距离点ci较小的m个点与点ci的距离Di得到点云模型中点的密度ρ：
步骤④，步骤③后，根据点云模型中点的密度ρ计算点云模型切片的厚度：δ＝λ·ρ (5)；
其中，λ取整数值。
3.根据权利要求2所述的一种点云模型最优切割平面的提取方法，其特征在于，所述步骤④中，λ取值为8～12。
4.根据权利要求1所述的一种点云模型最优切割面的提取方法，其特征在于，所述步骤3中，其他切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)的坐标由公式可解得：
(xk、yk、zk)表示第k个切割点pk的坐标；
切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+处的基准切割平面Π(k+1为过点pk+1(xk+1,yk+1,zk+与特征向量np(npx,npy,npz)垂直的平面。
5.根据权利要求1所述的一种点云模型最优切割平面的提取方法，其特征在于，所述步骤4.3中初始旋转轴线pk+1pak0在旋转时，每次旋转的角度为
6.根据权利要求1所述的一种点云模型最优切割平面的提取方法，其特征在于，所述步骤6中的面积通过步骤得到：
步骤6.1，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的i个旋转切割平面，对应的点云切片数据所对应的点集为Mki，该点集Mki中的任意一点p(xp,yp,zp)在该旋转切割平面上的垂直投影点q的坐标为(xq,yq,zq)，切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk处的i个切割平面上的法向量为n(k+1)i(nxi,nyi,nzi)，该旋转切割平面上的切割点pck的坐标为(xk,yk,zk)，则投影后的点q(xq,yq,zq)坐标利用下述公式得到：
步骤6.2，重复步骤6.1，得到切割点pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)处的第i个旋转切割平面上投影的带状点集Nki的所有的点的坐标；
步骤6.3，步骤2完成后，计算带状点集Nki在Πka平面上围成图形的x轴的最小值xmin和最大值xmax，然后从xmin开始以Δx宽度为步长向xmax移动，每次移动都形成一个宽度为Δx的窄条区域，计算将移动过程中窄条区域在y轴方向上的高度，从而计算出窄条区域的面积，最后将移动过程中获得的所有窄条区域的面积相加起来就是带状点集Nki在Πka平面上围成图形的面积Areaki，计算公式如下：
步骤6.4，重复步骤6.1～步骤6.3，计算出pk+1(xk+1,yk+1,zk+1)所有旋转切割面的投影的带状点集围成的面积。
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| Publication number | Publication date |
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