CN107545101A - 一种设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，包括以下步骤：S1、初选设计变量区间；S2、调整设计变量可行域；S3、进行试验设计；判断待分析的问题是否为有准确理论数学模型的问题，若是则直接执行步骤S5；否则根据设计变量属性、设计变量数量、研究目的和仿真/试验的难易程度选择试验设计方法；S4、通过近似模型构建函数映射关系；S5、设定置信等级或冲突等级；S6、计算设计变量在给定置信等级下的最优区间。本发明的优化设计方法计算量小、速度快、精度高，能够通过寻优策略准确求解带有约束条件的线性、非线性函数区间映射问题，实现设计变量的区间求解，对进行多变量系统的误差控制和提升系统的鲁棒性具有重要的实用价值。
Description
技术领域
本发明属于优化设计技术领域，特别涉及一种设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法。
背景技术
近年来，随着工业过程系统的规模日趋庞大以及能源需求供应的来源日趋紧张，生产者对于产品设计和制造的良品率以及成本控制日趋严格，从而在产品成型之前就投入大量经费对其进行正向设计。同时，为了减少产品制造成本和后期服务费用，生产者不再单单满足于单一设计目标匹配单一设计变量组合的方法体系，因为最优值的获取通常需要更严格的参数匹配，这不利于产品的成本控制，因此希望在不增加成本的条件下，能够有尽量多的设计变量组合同时满足制定的设计目标要求。然而，目前已有的优化设计方法，例如线性规划、遗传算法、粒子群算法等，均为在单一最优设计目标要求下对单一最优设计变量(组合)进行求解，不能实现在区间设计目标要求下对区间设计变量进行求解。因此，找到一种能够以区间范围进行求解的优化设计算法具有重要的理论价值与现实意义。
具体而言，由于设计目标可能取值范围的扩张有利于降低设计和制造难度，并能够更大程度地包容设计、制造以及使用过程中相关不确定性因素的影响。因此就单个目标而言，总是希望其可能取值范围尽量扩大。然而，在实际问题中，这种扩张要受到目标元素之间关联性的牵制，形成既对立又统一的关系，具体体现为设计变量内部的局部竞争性和设计变量与设计目标之间的整体协调性。相应地，针对目标元素可能取值范围界定的研究也在两个层次上进行并形成互动：一是在设计变量内部调控相关目标元素之间的竞争以实现其可能趋势范围的局部平衡；二是对设计变量内部局部平衡的可能趋势范围实施统筹以达到全局最优。这实际上是一个高度复杂的决策问题，系统工程的思想与机器学习技术可为本问题的解决提供有效的工具与途径。至于目标元素最佳取值的确定，需依据目标元素间的直接定量关系，在全局最优的目标元素可行范围约束下，引入近似模型技术、智能优化技术以及寻优策略加以解决。
综上所述，现有的优化设计方法不能实现在区间设计目标要求下对区间设计变量进行求解，应用受到很大局限。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种计算量小、计算速度快、计算精度高，能够通过寻优策略准确求解带有约束条件的线性、非线性函数区间映射问题，实现设计变量的区间求解的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，包括以下步骤：
S1、初选设计变量区间；
S2、调整设计变量可行域；
S3、进行试验设计；判断待分析的问题是否为有准确理论数学模型的问题，若是则直接执行步骤S5；否则根据设计变量属性、设计变量数量、研究目的和仿真/试验的难易程度选择试验设计方法；
S4、通过近似模型构建函数映射关系；
S5、设定置信等级或冲突等级，
S6、计算设计变量在给定置信等级下的最优区间。
进一步地，所述步骤S2具体包括以下子步骤：
S21、对初选设计变量区间进行离散化分，并初始化i＝1；
S22、计算单个设计变量xi的离散点与其余设计变量在所有离散点处组合的目标函数值；
S23、判断是否有符合设计要求的目标函数值，若是则认为该设计变量在该离散点处可行，将该离散点加入该设计变量的可行域；否则认为该设计变量在该离散点处不可行，不操作；
S24、判断设计变量xi的所有离散点可信性判断是否完成，若是则i＝i+1，执行步骤S26，；否则执行步骤S25；
S25、取设计变量xi下一个离散点，返回步骤S22；
S26、判断i是否大于imax，若是则根据步骤S24的操作获得设计变量可行域；否则返回步骤S22，其中，imax表示设计变量的个数。
进一步地，所述步骤S3采用的试验设计方法包括正交设计、均匀设计、拉丁超立方设计或配方设计。
进一步地，所述步骤S4具体实现方法为：选择BP神经网络、广义回归神经网络、极限学习机、支持向量机或者深度信念网络模型进行映射；并采用遗传算法、粒子群算法或模拟退火算法进行模型参数优化；采用平均绝对误差MAPE、最大绝对误差MAE、均方根误差RMSE、决定系数R2和方差VAR几个参数还来对模型的拟合精度进行评价，参数计算方法为：
式中，xi为样本实际值，xi'为样本预测值，是样本实际平均值，N是样本总数；
MAPE、RMSE和R2从不同的方面反映层级映射模型的整体精度，MAE表征层级映射模型的局部精度，由于层级映射模型属于启发式监督算法，可能导致每次构造的模型参数有所不同，VAR的引入可对层级映射模型的稳定性进行评价；具体地，模型运行T次以后对这T个MRPE和MRE进行方差分析即可评估模型的整体稳定性和局部稳定性。
进一步地，所述步骤S5所述置信等级，指在特定的设计变量取值区间内，满足设计目标的设计变量组合数量占所有设计变量组合数量的百分比；所述冲突等级是置信等级的相反表达，即不满足设计目标的设计变量组合数量占所有设计变量组合数量的百分比。
进一步地，所述步骤S6具体包括以下子步骤：
S61、求解设计变量最优解；
S62、选择设计变量最优解的ε邻域；
S63、进行大范围变量区间扩张搜索；
S64、计算大范围变量区间扩张搜索后的置信等级，并判断计算得到的置信等级与步骤S5设置的置信等级的大小，若计算出的置信等级小于设置的置信等级则进行变量区间精细化扩张搜索；否则返回步骤S63，设置新的搜索参数，重新进行大范围变量区间扩张搜索；
S65、计算变量区间精细化扩张搜索后的置信等级，并判断计算得到的置信等级与步骤S5设置的置信等级的大小，若计算出的置信等级小于设置的置信等级则将变量区间精细化扩张搜索的结果作为设计变量最优区间；否则设置新的搜索参数，重新进行变量区间精细化扩张搜索。
进一步地，所述步骤S63所述的大范围变量区间扩张搜索包括以下步骤：
S631、将所有设计变量双边扩张5％～10％；
S632、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将所有设计变量双边收缩5％～10％，否则返回步骤S631；
S633、将所有设计变量双边扩张1％～2％；
S634、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将所有设计变量双边收缩1％～2％，否则返回步骤S633。
进一步地，所述步骤S64所述变量区间精细化扩张搜索包括以下步骤：
S641、将单个设计变量单边扩张0.1％～1％；
S642、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将单个设计变量的单边收缩0.1％～1％，否则返回步骤S641。
进一步地，所述步骤S64中的单边扩张采用先左边后右边的扩张方式，步骤S642所述的单边收缩与步骤641中的单边扩张为同一边。
本发明的有益效果是：
1、本发明提出了一种设计变量和设计目标均为区间的优化设计方法，该方法计算量小、计算速度快、计算精度高，能够通过寻优策略准确求解带有约束条件的线性、非线性函数区间映射问题，从而实现了设计变量的区间求解，对进行多变量系统的误差控制和提升系统的鲁棒性具有重要的实用价值；
2、提出了解区间“置信等级”和“冲突等级”概念，将解的置信概率引入优化设计方法当中，从而实现了通过调整“置信等级”或“冲突等级”来控制解区间大小，并可以此权衡产品的质量和经济性指标；
3、本发明所提出的优化设计方法能够解决实际中有理论数学模型的问题和无理论数学模型的问题，从而使得在不用清晰掌握所分析系统机理的情况下仍可进行优化设计，提升了方法的泛化性。
附图说明
图1为本发明的优化设计方法流程图；
图2为本发明的调整设计变量可行域的流程图；
图3为本发明的计算设计变量在给定置信等级下的最优区间的流程图；
图4为本发明的设计变量区间扩张搜索和设计变量精细化扩张搜索的流程图；
图5为实施例1的设计变量在初选设计变量区间内的可行性示意图；
图6为实施例1在100％置信等级条件下最优区间内各设计变量离散点的置信等级和冲突等级示意图；
图7为实施例1在95％置信等级条件下最优区间内各设计变量离散点的置信等级和冲突等级示意图；
图8为实施例2初选设计变量区间组合对应的目标函数值分布图；
图9为实施例2调整后的设计变量区间组合对应的目标函数值分布图；
图10为实施例2的各模型在训练集样本上的预测结果分布图；
图11为实施例2的各模型在测试集样本上的预测结果分布图；
图12为实施例2最优区间内的设计变量离散点置信等级示意图。
具体实施方式
本发明的技术方案具体涉及以下三个方面的知识：
1、数据获取平台搭建。实际问题按照建模难度可分为有理论数学模型的问题和无理论数学模型的问题，其中有理论数学模型的问题指分析的问题可建立明确的解析式，使得问题具有解析解；而无准确理论数学模型的问题指分析的问题十分复杂，无法通过明确的解析式描述其数学模型。对于较简单的问题可通过建立准确理论数学模型来搭建数据获取平台；而对于复杂的工程问题常将其系统视为“黑匣子”，并利用仿真分析或者试验测试的方法收集数据从而搭建其数据获取平台。另外，由于仿真计算时间和试验成本的限制，基础数据的样本数量不能随意设置，为了得到足够数量的样本数据同时控制时间与成本，往往结合试验设计的方法。试验设计是在整个设计空间中选取有限数量的样本点，使之尽可能地反应原始设计空间的特性。常用的试验设计方法有正交设计、均匀设计、拉丁超立方设计、配方设计等。值得一提的是，无论是通过试验测试还是仿真分析均会带来误差，其中以试验测试进行试验设计主要的误差来源为试验过程中的随机误差，而以仿真分析进行试验设计主要的误差来源为模型误差。
2、近似模型构建。对于有理论数学模型的问题，由于可用准确理论数学模型进行机理表达，因此不需要引入近似模型。但是，对于无准确理论数学模型的问题则需要通过数据获取平台收集的基础数据来构建设计变量与设计目标之间的近似模型。近似模型指通过非线性迭代拟合，利用已知的样本数据来预测或分类未知点处响应的近似数学模型，并可利用所构建的近似模型来替代复杂的仿真模型或试验进行相关的优化设计，减少计算成本。这样，近似模型的拟合精度就代表仿真分析模型的计算精度或试验测试的准确度。常用的近似模型有BP神经网络模型、广义回归神经网络模型(GRNN,General RegressionNeural Network)、极限学习机(ELM,Extreme Learning Machine)、支持向量机(SVM,Support Vector Machine)和深度信念网络(DBN,Deep Belief Networks)等。
3、区间求解算法设计。在工程实际问题中，产品的参数会由设计、制造和装配带来误差，同时受到某些不确定性因素的影响和实际条件的限制，导致传统优化设计方法计算得到的单一解存在一定局限性。为了提升优化解的鲁棒性，同时为工程应用提供更多的选择，在优化设计的过程中，“优化解”不能仅局限于一个确切的目标数值，而需以一个目标向量的可能取值区间所替代，这样其求解也无法直接采用传统的优化设计方法，需提出全新的方法才能解决这一问题。具体而言，求解中不再以单点数值作为最终优化目标，而是以区间范围作为优化目标，如式(1)所示，这样，在一定的求解策略下计算得到的优化解也为区间范围，该方法的关键技术问题在于制定最优解区间的寻优策略。
opt ym＝f(x1,x2,...,xn),i＝1,2,...,I-1
s.t.hk(x)＝0,k＝1,2,...,K
gj(x)≤0,j＝1,2,...,J
Var.xn∈Ln,n＝1,2,...,N
ym∈Lm，m＝1,2,...,M
式中，y为设计目标区间，x为设计变量区间，f()为强非线性映射函数，hk和gj分别为等式与不等式约束条件，Ln和Ln分别为设计变量和设计目标范围。需要特别注意的是，式(1)中的“优化目标”已不再是一个确切的目标数值，而是一个目标向量的可能取值区间所替代，此处为与经典优化设计方法的不同之处。
下面结合附图和具体实施例进一步说明本发明的技术方案。
如图1所示，一种设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，包括以下步骤：
S1、初选设计变量区间；若设计变量的初始取值区间已知，则可直接进入S2。若在实际的优化设计问题中，由于缺乏相关参数导致设计变量的取值区间模糊，此时可根据经验初选设计变量区间，以便进行后续分析工作。
S2、调整设计变量可行域；在实际优化设计问题当中，设计变量取值区间过大会导致优化过程缓慢，同时可能陷入局部极值；而设计变量区间取值过小可能会遗漏潜在的最优解，同时也可能进入无解区间。因此调整设计变量可行域能提升计算准确度与效率。具体流程如图2所示，包括以下子步骤：
S21、对初选设计变量区间进行离散化分，并初始化i＝1；
S22、计算单个设计变量xi的离散点与其余设计变量在所有离散点处组合的目标函数值；
S23、判断是否有符合设计要求的目标函数值，若是则认为该设计变量在该离散点处可行，将该离散点加入该设计变量的可行域；否则认为该设计变量在该离散点处不可行，不操作；
S24、判断设计变量xi的所有离散点可信性判断是否完成，若是则i＝i+1，执行步骤S26，；否则执行步骤S25；
S25、取设计变量xi下一个离散点，返回步骤S22；
S26、判断i是否大于imax，若是则根据步骤S24的操作获得设计变量可行域；否则返回步骤S22，其中，imax表示设计变量的个数。
S3、进行试验设计；判断待分析的问题是否为有准确理论数学模型的问题，若是则直接执行步骤S5；否则根据设计变量属性、设计变量数量、研究目的和仿真/试验的难易程度选择试验设计方法；试验设计方法包括正交设计、均匀设计、拉丁超立方设计或配方设计。
S4、通过近似模型构建函数映射关系；近似模型的准确度直接影响到最终层级设计的结果，因此近似模型的选取和模型参数的设置十分重要。为了较好地拟合出设计变量和设计目标之间的非线性特性，一般选择非线性能力较强的BP神经网络、广义回归神经网络(GRNN)、极限学习机(ELM)、支持向量机(SVM)或者深度信念网络模型(DBN)进行映射；并采用遗传算法、粒子群算法或模拟退火算法进行模型参数优化；采用平均绝对误差MAPE、最大绝对误差MAE、均方根误差RMSE、决定系数R2和方差VAR几个参数还来对模型的拟合精度进行评价，参数计算方法为：
式中，xi为样本实际值，xi'为样本预测值，是样本实际平均值，N是样本总数；
MAPE、RMSE和R2从不同的方面反映层级映射模型的整体精度，MAE表征层级映射模型的局部精度，由于层级映射模型属于启发式监督算法，可能导致每次构造的模型参数有所不同，VAR的引入可对层级映射模型的稳定性进行评价；具体地，模型运行T次以后对这T个MRPE和MRE进行方差分析即可评估模型的整体稳定性和局部稳定性。
S5、设定置信等级或冲突等级，所述置信等级，指在特定的设计变量取值区间内，满足设计目标的设计变量组合数量占所有设计变量组合数量的百分比；所述冲突等级是置信等级的相反表达，即不满足设计目标的设计变量组合数量占所有设计变量组合数量的百分比。例如，设计目标为f(x1,x2,x3)<10，设计变量x1,x2,x3在特定区间[a,b]内各被划分成为20等份，这样所有设计变量的组合数量为203＝8000，假设满足设计目标的设计变量组合数量为6000组，另外2000个组合不满足设计目标，这样该目标函数在特定区间的置信等级为75％(6000/8000)，冲突等级为25％(2000/8000)。在最优设计变量区间求解之前，可事先设定需求的置信等级下限，然后根据设定的置信等级计算出满足要求的设计变量区间。另外，对每个设计变量求解的实际置信等级进行平均为平均置信等级。
S6、计算设计变量在给定置信等级下的最优区间；目前，在优化设计中暂无计算设计变量最优区间的方法，对于该问题的解决需涉及寻优策略的制定。由于求解的问题是区间范围而不是单一取值，所以寻优策略需要结合智能优化算法和区间搜索技术。具体地，可通过区间收缩或扩张进行计算。对于区间的收缩，其主要思想是将变量区间从可行域逐渐通过目标函数构造的适应度值进行判断缩减，直至最优区间的置信等级达到所设定的阈值为止；而对于区间的扩张，其主要思想是将设计变量从最优解的ε邻域内逐渐通过目标函数构造的适应度值进行判断拉申，直至最优区间的置信等级达到所设定的阈值为止。考虑到数值分析的计算复杂度和时间复杂度，区间扩张算法要相对优于区间缩减算法，同时由于区间扩张算法在区间划分精度上比区间收缩算法更为精细，此处选择区间扩张算法进行范围寻优。基于此，建立最优设计变量区间求解策略流程如图3所示，该流程主要包含两大模块：智能优化设计模块和设计变量区间搜索模块。其中智能优化设计的目的在于找出数学模型的全局最优解，在最优解的基础上通过设计变量区间搜索即可扩展为最优区间，而设计变量区间搜索策略是整个优化设计的核心内容，其具体搜索策略如图4所示，主要包含大范围变量区间扩张搜索和变量区间精细化扩张搜索。对于大范围变量区间扩张搜索，其主要目的在于快速找出所有最优设计变量区间的大致边缘位置，使得后续的精细化搜索位于较好的初始位置；对于变量区间精细化扩张搜索，在之前寻找的最优区间粗略边缘上对每一个设计变量进行小范围精细化搜索，便可求得设计变量最优区间的准确边缘，从而完成优化设计。需要指出的是，这里的寻优策略和区间扩张技术亦可在实际工作中根据需要进行调整或者改进。包括以下子步骤：
S61、求解设计变量最优解；
S62、选择设计变量最优解的ε邻域；ε为用户自行设置的参数，用户可以根据具体分析的问题来自行确定，可以是最优解取值左、右邻域的一定百分比，比如0.1％、1％等，也可以是一个绝对数值，比如0.1、1等；
S63、进行大范围变量区间扩张搜索；如图4所示，所述大范围变量区间扩张搜索包括以下步骤：
S631、将所有设计变量双边扩张5％～10％；
S632、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将所有设计变量双边收缩5％～10％，否则返回步骤S631；
S633、将所有设计变量双边扩张1％～2％；
S634、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将所有设计变量双边收缩1％～2％，否则返回步骤S633；
S64、计算大范围变量区间扩张搜索后的置信等级，并判断计算得到的置信等级与步骤S5设置的置信等级的大小，若计算出的置信等级小于设置的置信等级则进行变量区间精细化扩张搜索；否则返回步骤S63，设置新的搜索参数，重新进行大范围变量区间扩张搜索；变量区间精细化扩张搜索流程图如图4所示，包括以下步骤：
S641、将单个设计变量单边扩张0.1％～1％；
S642、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将单个设计变量的单边收缩0.1％～1％，否则返回步骤S641；
S65、计算变量区间精细化扩张搜索后的置信等级，并判断计算得到的置信等级与步骤S5设置的置信等级的大小，若计算出的置信等级小于设置的置信等级则将变量区间精细化扩张搜索的结果作为设计变量最优区间；否则设置新的搜索参数，重新进行变量区间精细化扩张搜索。
所述步骤S64中的单边扩张采用先左边后右边的扩张方式，步骤S642所述的单边收缩与步骤641中的单边扩张为同一边。
下面分别以有准确理论数学模型的问题求解和无准确理论数学模型的问题求解两个实施例来验证本发明的设计方法的可行性。
实施例1
有准确理论数学模型的问题求解——验证模型(A)
设计目标：目标函数f<50的最优设计变量区间。
目标函数：f＝x1 2+2x2 2+2x3 2+3x4 2+x5 2+x1*x2-2x3*x4-x3*x5 (7)
设计变量约束区间：
对于该问题的求解过程如下：
第一步：初选设计变量区间。由于设计变量区间在约束条件式(8)中已经给出，所以初选的设计变量区间即为各设计变量的约束区间。
第二步：调整设计变量可行域。首先将设计变量区间离散划分为50等份，这样5个设计变量的全组合就有505组，依次试算每个设计变量的离散点与其它设计变量组合的目标函数，如果至少有一个组合满足设计目标，那么该设计变量在该离散点就是可行的，否则在该离散点不可行。图5所示为5个设计变量在初选设计变量区间内的可行性，其中纵坐标为1表示设计变量在该离散点可行，为0表示设计变量在该离散点不可行。这样，设计变量的不可行区间就可进一步进行排除，从而只针对可行域进行变量寻优以提升计算速度和准确度。因此，根据图5所示的设计变量可行性分析，调整后的设计变量区间为：
需要指出的是，如果初选设计变量区间过小，那么在计算设计变量可行域时会出现整个区间的可行性都为1，这时可以通过扩大设计变量初选区间来重新进行可行域和变量可行性计算。
第三步：设置置信等级(或冲突等级)。置信等级的设置与研究对象和研究目标有关，若将置信等级设置为100％，即表示所求取的最优设计变量区间中所有变量组合都满足设计目标。但是，在一些实际工程问题当中，100％置信等级要求可能会比较苛刻，所以可以根据实际情况适当地降低置信等级。在本问题中，取平均置信等级下限为100％和95％分别求取其对应的最优设计变量区间。
第四步：计算设计变量在给定置信等级下的最优区间。首先通过智能优化算法求取目标函数的最优值，这里选择遗传算法作为优化算法，其参数设置如表所示。在调整后的设计变量可行域内进行目标函数的最优值计算，所得结果如表2所示，在此基础上即可通过区间搜索策略求取设计变量在设计目标要求下的最优区间。
表1 遗传算法参数设置
| 参数 | 参数值 |
| 种群规模 | 500 |
| 遗传代数 | 200 |
| 交叉概率 | 0.85 |
| 变异概率 | 0.15 |
| 终止进化次数 | 20 |
表2 满足设计目标的最优解
根据第三步设定的置信等级分别求取各设计变量在置信等级下的最优区间。表3所示为100％置信等级下的最优设计变量区间，即在该区间内设计变量的任意组合均满足设计目标。图6所示为在100％置信等级条件下最优区间内各设计变量离散点的置信等级和冲突等级，由于设置了100％平均置信等级下限，所以设计变量的所有离散点的置信等级均为100％。表4所示为95％置信等级下的最优设计变量区间，即在该区间内设计变量至少有95％的组合(或95％的概率)能满足设计目标。图7所示为在95％平均置信等级下限条件下最优区间内设计变量离散点的置信等级和冲突等级，可以看出对于设计变量x1，x3和x5，在其最优区间内各自的离散点置信等级都较高，而对于设计变量x2和x4，在其最优区间的右边界位置附近置信等级逐渐降低，从而导致整体的平均置信等级降低。对比表3和表4可以看出，设置的置信等级下限由100％下降到95％后，设计变量的最优区间有一定程度的扩大，这与理论相符，并且两者的计算时间均在7s以内。为了验证所求得的变量区间准确度，这里任意选取10组100％置信区间内的变量组合反代入目标函数计算，所得结果如表5所示，从表中可以看出计算所得结果全部满足设计目标，验证了所提方法的可行性与正确性。
表3 100％置信等级下的最优设计变量区间
表4 95％置信等级下的最优设计变量区间
表5 设计变量反代验证结果
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | 目标函数 | |
| 设计变量组合1 | 1.05 | 2.1 | 1.1 | 2.1 | 1.05 | 23.105 |
| 设计变量组合2 | 1.10 | 2.2 | 1.2 | 2.2 | 1.10 | 25.320 |
| 设计变量组合3 | 1.15 | 2.3 | 1.3 | 2.3 | 1.15 | 27.645 |
| 设计变量组合4 | 1.20 | 2.4 | 1.4 | 2.4 | 1.20 | 30.080 |
| 设计变量组合5 | 1.25 | 2.5 | 1.5 | 2.5 | 1.25 | 32.625 |
| 设计变量组合6 | 1.30 | 2.6 | 1.6 | 2.6 | 1.30 | 35.280 |
| 设计变量组合7 | 1.35 | 2.7 | 1.7 | 2.7 | 1.35 | 38.045 |
| 设计变量组合8 | 1.40 | 2.8 | 1.8 | 2.8 | 1.40 | 40.920 |
| 设计变量组合9 | 1.45 | 2.9 | 1.9 | 2.9 | 1.45 | 43.905 |
| 设计变量组合10 | 1.50 | 3.0 | 2.0 | 2.1 | 1.50 | 36.830 |
需要指出的是，上述数学模型由于设计目标不是单纯地寻找最值，而是寻找目标函数在设定区间范围内的解区间，这可能会导致以上问题的解不唯一，即还存在除了最优解(包含设计目标全局最小值的设计变量解区间)之外的其它次优解(包含设计目标局部最小值的设计变量解区间)，并且最优解和次优解之间没有定量关系，这是由于目标函数的非线性与多极值特点所导致。
实施例2
无准确理论数学模型的问题求解——验证模型(B)
设计目标：目标函数f<50的最优设计变量区间。
目标函数：未知黑匣子。实际参考函数为：
f＝x1 2+2x2 2+2x3 2+3x4 2+x5 2+x1*x2-2x3*x4-x3*x5 (10)
设计变量及初始区间：
该问题具体的求解步骤如下：
第一步：初选设计变量区间。
由于该问题仅给出设计变量的下限(式(11)所示)，为了进行后续试验设计，还需给出设计变量的上限，因此可初步拟定设计变量的初始区间如下：
第二步：选择试验设计方法。由于该问题复杂度不高，所以可选择较多的样本点进行建模，这样可使近似模型的拟合精度更高，本实施例选择拉丁超立方试验设计方法。
第三步：调整设计变量可行域并收集样本数据。5个设计变量在初始区间内按照拉丁超立方试验设计方法产生1000组样本点，然后将这1000组样本点带入“黑匣子”(参考函数)进行计算得到1000个样本点组合对应的目标函数值，部分样本组合及其对应的目标值如表6和图8所示。根据表6可以计算出目标函数值满足设计目标的比例为1.4％，这意味着拉丁超立方试验设计在初始设计变量区间内的组合只有14组满足目标值小于50的要求。若利用初选设计变量区间内的组合去映射设计变量和设计目标之间关系会导致设计变量区间过大从而影响后续分析结果。
表6 根据初始设计变量区间进行试验设计分析
| 组号 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | f |
| #1 | 1.6106 | 5.8599 | 3.7377 | 5.3874 | 3.1872 | 153.6944 |
| #2 | 4.8438 | 4.6507 | 2.7668 | 5.984 | 4.5786 | 187.1651 |
| #3 | 1.5556 | 3.2132 | 4.0581 | 5.1992 | 1.0851 | 96.6753 |
| … | … | … | … | … | … | … |
| #999 | 3.0571 | 2.0761 | 1.8959 | 2.3724 | 1.6807 | 39.0294 |
| #1000 | 2.5566 | 5.7317 | 2.2162 | 2.969 | 4.9139 | 123.259 |
因此，根据初选区间调整设计变量区间如下：
在调整后的设计变量区间内进行拉丁超立方试验设计，同样产生1000组样本点并将这些组合带入“黑匣子”进行计算，所得的目标函数值如表7和图9所示。根据
表计算出目标函数值满足设计目标的比例为40.2％，即拉丁超立方试验设计在初始设计变量区间内的组合有402组满足目标值小于50的要求，这样拉丁超立方试验设计在该区间内产生的组合可以较好地反映“黑匣子”在设计目标周围的函数特性。因此，对于该问题可在调整后的区间内建立设计变量和设计目标之间的映射关系。
表7 调整设计变量区间进行试验设计分析
| 组号 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | f |
| #1 | 1.6106 | 5.8599 | 3.7377 | 5.3874 | 3.1872 | 153.6944 |
| #2 | 4.8438 | 4.6507 | 2.7668 | 5.984 | 4.5786 | 187.1651 |
| #3 | 1.7658 | 2.7768 | 4.6086 | 3.2332 | 2.1211 | 62.2044 |
| … | … | … | … | … | … | … |
| #999 | 3.0571 | 2.0761 | 1.8959 | 2.3724 | 1.6807 | 39.0294 |
| #1000 | 2.5566 | 5.7317 | 2.2162 | 2.969 | 4.9139 | 123.259 |
第四步：选择近似模型并调试(构建设计变量和设计目标的映射关系)。
近似模型的选取和参数设置关系到设计变量与设计目标之间的拟合精度，并且直接影响层级设计的结果。这里选择非线性能力强的BPNN和SVM模型进行设计变量和设计目标之间的关系映射。随机选取800组样本作为训练集，剩下的200组样本作为测试集对各个模型进行训练。各模型需要进行调整和设置的参数如表8所示。
图10所示为构建的2种映射模型对训练集样本的预测数据，图11所示为测试集样本的预测数据，可知各模型对训练样本和测试样本的预测精度都较高。表9和表10分别为各映射模型对训练集和测试集样本的误差分析，可以看出，各模型对训练集样本的预测准确率要高于测试集样本，这是由于模型的构建基于训练样本从而使其对训练样本的拟合精度较高。对比分析各映射模型，其预测数据决定系数(R2)均高于0.9，表明拟合效果很好；测试集的平均绝对误差(MAPE)、最大绝对误差(MAE)和均方根误差(RMSE)在BPNN和SVM模型上逐渐降低，表明模型预测准确度逐渐提升。由此可知，SVM模型的预测准确度相对较好。同时，SVM的计算时间为BPNN的五分之一左右，可知SVM模型的计算效率高于BPNN模型。
综上，SVM模型的预测效果和计算效率均高于BPNN模型，因此，可选择SVM模型作为近似模型进行后续计算。
表8 近似模型的参数设置与优化
表9 近似模型在训练集上的误差分析
| 映射模型 | MAPE | MAE | RMSE | R2 | VAR1 | VAR2 | Time(sec) |
| BPNN | 0.1677 | 1.3029 | 0.1114 | 0.9987 | 0.2555 | 3.44E-04 | 1.2364 |
| SVM | 0.0141 | 0.0797 | 0.0091 | 0.9999 | 5.79E-04 | 3.59E-06 | 0.1219 |
MAPE为平均绝对误差；MAE为最大绝对误差；RMSE为均方根误差；R2为决定系数；VAR1为运行50次后的MAPE方差，VAR2为运行50次后的RMSE方差。
表10 近似模型在测试集上的误差分析
| 映射模型 | MAPE | MAE | RMSE | R2 | VAR1 | VAR2 | Time(sec) |
| BPNN | 0.2085 | 1.0858 | 0.1461 | 0.9989 | 0.0017 | 0.0361 | 0.3232 |
| SVM | 0.0265 | 0.175 | 0.0193 | 0.9999 | 2.24E-05 | 0.0021 | 0.0651 |
第五步：设置置信等级(或冲突等级)。设置平均置信等级为100％，即设计变量在所求取区间内的任意组合都满足设计目标。
第六步：计算设计变量在给定置信等级下的最优区间。智能优化算法仍选择遗传算法，其参数设置同表11。与具有准确理论数学模型的问题求解相比，该问题利用SVM模型近似理论目标函数，并基于该模型预测目标函数值。图12所示为该问题在100％平均置信等级条件下最优区间内设计变量离散点的实际置信等级，可知求解出的设计变量各置信等级也为100％。表11所示为解得的设计变量最优区间，将计算结果与理论值相比可知其最优区间的相对误差在1％～2％左右，并且最大误差没有超过3％，计算结果准确可靠，由于引入了近似模型，计算时间有所增加，但仍在2min内获得结果。综上，采用合适的近似模型来近似未知系统进行求解，其误差在一般工程问题的允许范围内，因此可运用所提方法解决实际问题。
表11 100％置信等级下的最优设计变量区间
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。
Claims (9)
1.一种设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、初选设计变量区间；
S2、调整设计变量可行域；
S3、进行试验设计；判断待分析的问题是否为有准确理论数学模型的问题，若是则直接执行步骤S5；否则根据设计变量属性、设计变量数量、研究目的和仿真/试验的难易程度选择试验设计方法；
S4、通过近似模型构建函数映射关系；
S5、设定置信等级或冲突等级，
S6、计算设计变量在给定置信等级下的最优区间。
2.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S2具体包括以下子步骤：
S21、对初选设计变量区间进行离散化分，并初始化i＝1；
S22、计算单个设计变量xi的离散点与其余设计变量在所有离散点处组合的目标函数值；
S23、判断是否有符合设计要求的目标函数值，若是则认为该设计变量在该离散点处可行，将该离散点加入该设计变量的可行域；否则认为该设计变量在该离散点处不可行，不操作；
S24、判断设计变量xi的所有离散点可信性判断是否完成，若是则i＝i+1，执行步骤S26，；否则执行步骤S25；
S25、取设计变量xi下一个离散点，返回步骤S22；
S26、判断i是否大于imax，若是则根据步骤S24的操作获得设计变量可行域；否则返回步骤S22，其中，imax表示设计变量的个数。
3.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S3采用的试验设计方法包括正交设计、均匀设计、拉丁超立方设计或配方设计。
4.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S4具体实现方法为：选择BP神经网络、广义回归神经网络、极限学习机、支持向量机或者深度信念网络模型进行映射；并采用遗传算法、粒子群算法或模拟退火算法进行模型参数优化；采用平均绝对误差MAPE、最大绝对误差MAE、均方根误差RMSE、决定系数R2和方差VAR几个参数还来对模型的拟合精度进行评价，参数计算方法为：
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式中，xi为样本实际值，xi'为样本预测值，是样本实际平均值，N是样本总数。
5.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S5所述置信等级，指在特定的设计变量取值区间内，满足设计目标的设计变量组合数量占所有设计变量组合数量的百分比；所述冲突等级是置信等级的相反表达，即不满足设计目标的设计变量组合数量占所有设计变量组合数量的百分比。
6.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S6具体包括以下子步骤：
S61、求解设计变量最优解；
S62、选择设计变量最优解的ε邻域；
S63、进行大范围变量区间扩张搜索；
S64、计算大范围变量区间扩张搜索后的置信等级，并判断计算得到的置信等级与步骤S5设置的置信等级的大小，若计算出的置信等级小于设置的置信等级则进行变量区间精细化扩张搜索；否则返回步骤S63，设置新的搜索参数，重新进行大范围变量区间扩张搜索；
S65、计算变量区间精细化扩张搜索后的置信等级，并判断计算得到的置信等级与步骤S5设置的置信等级的大小，若计算出的置信等级小于设置的置信等级则将变量区间精细化扩张搜索的结果作为设计变量最优区间；否则设置新的搜索参数，重新进行变量区间精细化扩张搜索。
7.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S63所述的大范围变量区间扩张搜索包括以下步骤：
S631、将所有设计变量双边扩张5％～10％；
S632、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将所有设计变量双边收缩5％～10％，否则返回步骤S631；
S633、将所有设计变量双边扩张1％～2％；
S634、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将所有设计变量双边收缩1％～2％，否则返回步骤S633。
8.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S64所述变量区间精细化扩张搜索包括以下步骤：
S641、将单个设计变量单边扩张0.1％～1％；
S642、判断扩张后的置信等级是否小于S5设置的置信等级，若是则将单个设计变量的单边收缩0.1％～1％，否则返回步骤S641。
9.根据权利要求1所述的设计目标与设计变量均为区间的优化设计方法，其特征在于，所述步骤S64中的单边扩张采用先左边后右边的扩张方式，步骤S642所述的单边收缩与步骤641中的单边扩张为同一边。
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