CN107543636A - 微小力的动态旋转测量系统及测量与标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微小力的测量与标定方法，基于低温超导微小力动态旋转测量系统。该配套系统包括环状超导导轨，硬磁转子，硬磁转子支撑在超导导轨上；转子由转轴、转子支架、叶片构成，转轴沿周向均匀开有通孔供转子支架一端径向插入，转子支架另一端设置有叶片，叶片为矩形网状薄板，每片叶片上附着所需测量的持续力，并在叶片下方角落处附着一小块反光片用以测量。本发明突破了微小力测量领域对于微电子学系统及其精度的依赖，利用力在时间上的积分效应，更加形象和直观的测量并展示了待测微小力的精确数值，精度可达10^‑9N，且在测量过程中实现了可视化效果，能够更好的监测评判测试过程。

Description

微小力的动态旋转测量系统及测量与标定方法

技术领域

本发明涉及一种微小力的测量与标定的方法，特别是针对低阻力旋转系统的微小力测量与标定的方法。

背景技术

微小力测量指针对10^-5N以下的力进行精确的测量，其在纳米技术、微纳制造、生物医学、航天微推进器等高新领域的发展中，有着广阔的应用前景和不可动摇的实践地位。

文献“D.B.Newell,J.R.Pratt,J.A.Kramar,D.T.Smith and E.R.Williams.TheNIST Microforce Realization and Measurement Project[J].IEEE Transactions onInstrumentation and Measurement,2003,52(2):508-511.”公开了美国国家标准技术研究所基于静电复现原理设计的静电力天平及其配套的测量方法。它实现了对大小在10^-8N～10^-4N范围内的力的测量，相对误差约为10^-4量级。英国国家物理实验室利用静电平衡同样研制了一套微小力测量系统及其配套的测量方法，测量范围为10^-9N～10^-6N，分辨率达到了5×10^-11N。更进一步，文献“Christian Schlegel,Oliver Slanina,Günther Haucke,RolfKumme.Construction of a standard force machine for the range of 100μN-200mN[J].Measurement,2012:1-5.”公开了德国国家物理实验室基于导电圆盘摆和一对平行极板研制出的一种电磁力平衡装置，利用其配套的测量方法可测量10^-5N以下的静态力且分辨率为10^-12N。

在微小力测量方面，国内尚处于初级探索阶段。例如文献“于鹏,董再励等.亚微牛顿级力测量装置:中国,201096557Y[P].2008-08-06.”所公开的中国科学院沈阳自动化研究所基于PVDF压电材料实现的3×10^-6N范围内精度达2×10^-7N的静力测量系统，以及文献“秦海峰，刘永录.微小力值测量装置:中国,201477009U[P].2012-05-19.”公开的中国科学院长春光机采用悬臂梁技术，研制出的用以测量范围在0-3.1×10^-5N，分辨率为4.6×10^-5N的微力传感器都是国内微小力探测方面的尝试，但是基本都属于微电系统应用领域。

以上所述的技术方案均是利用复杂的微电系统和相关效应对微小力进行静态测量，其发展和应用依赖于微电子电路设计的稳定性以及微电子产品的不断更新。其中所涉及的方法与标定，都是基于微电子电路的设计与组合。随着微电子产业的不断发展，相关的技术方案均会越发成熟，但是与此同时会出现边际效应，其进步将越来越大地受限于微电子学的应用极限。因此，从其他领域对微小力测量进行技术方案创新与构造是必要的，这不仅能够丰富测量标定手段，还可以将二者进行对比与参考，得到更加先进、更加精确的方法和结果。

发明内容

本发明的目的是针对现有静态测量技术的不足与偏颇，提供一种不以微电子学科为背景的，基于低阻力旋转系统的微小力动态测量系统及其测量方法与标定方法。

本发明的微小力测量与标定方法采用了微小力有效积累的构思，将消除阻力、简化运动、积累推力等方法结构化，从而大大增加了微小力测量的精确度、反复性、操作性与直观性。

本发明的微小力测量与标定方法针对的是当微小力小于10^-5N时，运动方程满足

的所有旋转系统，其中a,f,b,c为任意正参量，且f特指系统阻力产生的加速度。

其中，上述旋转系统具体是磁悬浮转子系统，包括一环状超导导轨，一硬磁转子，硬磁转子通过支架支撑在超导导轨上；转子由转轴、转子支架、叶片构成，转轴为硬磁材料的扁平圆柱环，根据叶片与支架数量的不同，其上沿周向均匀开有3～12个3mm宽，5mm长的通孔供转子支架一端径向插入，转子支架为轻型钛合金材料矩形长条，转子支架长度在15mm到50mm之间不等，用以配合不同的微小力；转子支架另一端设置有叶片，叶片采用轻型钛合金材料，为矩形网状薄板。叶片个数对应为3-12个，每片叶片上附着所需测量的持续力，附着材料要求厚度小于0.2mm。并在叶片下方角落处附着一小块反光片(32)用以测量。

其中，叶片、转子支架与转轴之间可反复固定和拆卸。

其中，支架为轻型合金材料,高度为2mm～4mm,在非实验状态下和常温状态下用以支撑硬磁转子。

其中，转轴的内径为40mm～50mm，外径为50mm～70mm，高度5mm～8mm。

其中，转子支架自转轴外径起垂直向上有仰角为0°～10°的翘起，以减少可能的接触。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种低阻力旋转系统的微小力测量与标定方法，其特点是包括下述步骤：

a.确定测量与标定中所用的两组臂长

预先估计待测微小力的量级，将待测微小力附着在叶片上，每组转子支架和叶片个数取3-12个，转子支架配有多组不同长度。当支架长度增加时，待测微小力提供的动力距呈线性增加，同时旋转系统所受阻力与系统转动惯量也同时增加，因此存在最优的支架长度。最终，结合实际操作中对支架的长度下限和上限的其他要求，利用模拟程序对系统进行建模并确定转子支架长度，而后增加或减少20mm作为另一组支架的长度，即确定两组转子支架长度。

b.对两种不同支架长度的组合的转动惯量进行标定。

通过落体法，对转动惯量进行标定，采用测角加速度法。

对于某一给定支架长度，系统转动惯量的具体表达式为：

其中m_i,β_i,i＝1,2,3,4为四次测量的落体配重和角加速度；J₁,J₂分别为转轴的转动惯量和固定待测转子后的总转动惯量；R为绕线半径；g为本地重力加速度。

c.标定系统阻力角速度、测量动力角速度

标定时，通过电磁启动给定一个初始转动速度ω₀，而后不提供任何动力，在阻力的作用下转子将会逐渐变慢，经简化其运动规律为：

ω_f＝ω₀-ft

其中，ω_f为转子的角速度，ω₀为转子的初速度，f为系统阻力产生的角加速度，t为时间。

测量时，系统有一定初始速度，在动力的作用下，运动会逐渐加速，利用运动方程可知在实验测量期间满足

ω_c＝ω₀+at

其中，ω_c为转子的角速度，ω₀为转子的初速度，a为动力与阻力同时作用对系统产生的角加速度，t为时间。

对两种不同支架长度的组合进行测量，利用实验中电脑记录的脉冲时间t_i，i＝1,2,3,4，记录点1、2之间和3、4之间转子转过的角度θ，以及记录1、2与记录3、4之间的间隔时间T，得到转子的加速度：

其中，T应当比max{(t₂-t₁),(t₄-t₃)}大至少一个量级。

d.选择测量加速度的时间参数

转子加速度ζ的误差公式为：

选择T>>max{1,(t₂-t₁),(t₄-t₃)}，θ为2π的倍数，则第一项和第二项误差很好控制。旋转开始约20分钟之后测得(Δt)₁。此时可以优化得出当时，误差有最小值根据角速度的近似线性变化规律，选择T使得二者比例接近此最优值。

e.消除微小力力心与旋转中心轴的偏差，得到小推力σ。

两次测量时，不更换叶片，只更换长度不同的支架，对应的角加速度与转动惯量分别为a₁,J₁；a₂,J₂。由于叶片、中心转轴、连接方式均无改变，则两次测量中支架的长度差即为推力半径的长度差ΔL。因此，总推力σ满足：

f.由推力σ与叶片的面积和个数得到所需的推力面密度或推力脉冲大小。

其中，对于标定，为了消除初始角速度的不准确性，取时间间隔较长的两次测量结果进行差分；对于标定，初始转动速度ω₀为0。

本发明的有益效果是：本发明具有很强的操作性和针对性，跳出了微小力测量一直以来所依赖的微电子领域，实现了新的精确的微小力测量方法，也给予了原有方法更多的对比与借鉴。在方法中，所有的参量都是基于动力学系统而得到的具有明确观测对象的物理量，能够清晰具体地观察到运动过程，实现了可视化的动态测量，避免了静态测量严格的实验条件要求以及抽象单调的实验过程与结果。基于真空悬浮技术的微小持续力动态测量系统同时可以根据不同的测量要求以及精度要求，进行灵活的调整，从而实现测量跨度大、精度可调的目的。

附图说明

图1为本发明的微小力测量与标定方法所针对系统的结构示意图。

图中，21.超导导轨，22.叶片，23.支架，24.转轴，25.支架，32.反光片。

具体实施方式

以下介绍的是作为本发明所述内容的具体实施方式，下面通过具体实施方式对本发明的所述内容作进一步的阐明。当然，描述下列具体实施方式只为示例本发明的不同方面的内容，而不应理解为限制本发明范围。

参见图1，图1显示了本发明的微小力测量与标定系统的结构，其中，本发明的微小力测量与标定系统的结构，即磁悬浮转子系统，由一个环装超导导轨(21)与一个硬磁转子构成，硬磁转子由转轴(24)、转子支架(23)、叶片(22)构成。转轴(24)为扁平圆柱环，采用硬磁材料，内径为40mm～50mm，外径为50mm～70mm，高度5mm～8mm，转轴通过对置的两个支架(25)在非实验状态下和常温状态下用以支撑，根据叶片与支架数量的不同，扁平圆柱环转轴沿周向均匀开有3～12个3mm宽，5mm长的通孔，以供转子支架(23)径向插入，转子支架(23)采用轻型钛合金材料矩形长条，自转轴外径起垂直向上有仰角为0°～10°的翘起，以减少可能的接触。转子支架(23)需备有至少2套，长度在15mm到50mm之间不等，用以配合不同的微小力。叶片(22)采用轻型钛合金材料，为矩形网状薄板。叶片(22)个数为12个，每片叶片(22)上附着所需测量的持续力，并在下方角落处附着一小块反光片(32)用以测量。叶片(22)、转子支架(23)与转轴(24)之间可反复固定和拆卸。支架(25)为轻型合金材料,高度为2mm～4mm。

系统的标定与正式测量的形式与方法基本一致，区别在于标定时有初速度无动力而正式测量时没有初速度但是存在动力。同时，测量与标定对于初速度的准确度并无要求。

测量时，该实施例的初速度为0，通过对转子详细尺寸的整合，可得到其运动方程为：

其中，f为系统自身受到的阻力，包括稀薄空气产生的阻力、磁场不均匀产生的阻力以及其他系统扰动。另外，

叶片的上下表面阻力矩：

支架的上下表面阻力矩：

叶片的外表面阻力矩：

M_yw＝nk₁h₁b₁(R₁+a₁/2)²ω

悬浮环的上下表面阻力矩：

悬浮环的内外表面阻力矩：

叶片正面阻力矩：

支架正面阻力矩：

其中的符号含义如下：

叶片中心到系统中心的等效距离为R₁，叶片长度为a₁，叶片高度为b₁，叶片厚度为h₁。叶片的密度为ρ₁，空气阻力系数为c₁，空气摩擦系数为k₁。

支架中心到系统中心的等效距离为R_z，支架长度为a_z，支架高度为b_z，支架厚度为h_z。支架的密度为ρ_z，空气阻力系数为c_z，空气摩擦系数为k_z。

悬浮环的外半径为R₂，其内半径为R₃，悬浮环厚度为h₂。悬浮环的密度为ρ₂，空气摩擦系数为k₂，质心无平动，不考虑空气阻力系数。

腔室的空气密度为ρ₀，系统的总转动惯量为J,微小力的总推力为σ，臂的个数为n。

以上符号的含义适用于整个的实施例分析，而后出现相同符号不再特殊标注，出现新符号时，将会及时解释说明。

该方程的解为：

其中，

无论b是否为0，在时间尺度上，都可以得到局部近似解：

1.t→0时，ω＝(a-f)t

2.t→∞时，ω＝α

测量的时间大约维持在半天到三天，均可视为情况1，即测量中系统的运动满足：

ω＝(a-f)t

标定时，通过电磁启动，给定一个初始转动速度ω₀。而后不提供任何动力，在阻力的作用下转子将会逐渐变慢，同测量的设定，其运动方程为：

其中的符号设定与测量运动方程一致，其解为：

b²/4c的量级为10-¹²，远小于动力与阻力的量级，且若阻力与其量级相同，则阻力可直接忽略。与测量时一致，标定的时间并不长，在该尺度下，t相对的趋近于0。因此，运动方程可以化简为：

ω＝ω₀-ft

根据测量与标定的两个运动方程可知，为了最终得到待测微小力，需要给定的物理量包括转子系统所有的几何尺寸，特别是臂长。同时，在测定、优化或消除转子的转动惯量、系统阻力产生的角加速度、相关时间参数以及力心偏差等物理量之后，即可得到微小力的精确数值。明确起见，以下标定与测量过程包括一个中心转轴、两组不同长度的支架、一组叶片，中心转轴、叶片分别与两组不同长度的支架进行匹配组装得到两个系统。

a.确定测量与标定中所用的两组臂长

预先简单估计待测微小力的量级，将待测微小力附着在叶片上，每组转子支架和叶片个数取3-12个，转子支架配有多组不同长度。当支架长度增加时，待测微小力提供的动力距呈线性增加，同时旋转系统所受阻力与系统转动惯量也同时增加，因此存在最优的支架长度。最终，结合实际操作中对支架的长度下限和上限的其他要求，利用模拟程序对系统进行建模并确定使得转子在预估量级的微小力作用下加速度最高的最优支架长度，并增加或减少20mm作为另一组支架的长度，即确定两组转子支架长度。

实施例中：

以R₁为变量，可以得到在微小推力不变的情况下使角加速度最大的叶片力臂R₁，由此估算最佳支架长度。此时在极值点处，R₁的取值为：

取与R₁最接近的长度作为一组支架的长度，而后在此基础上增加或减少20mm作为另一组支架的长度。

b.对两种不同支架长度的系统的转动惯量进行标定。

分别将两组支架装在转子上组成系统。通过落体法，对两组系统的转动惯量J进行标定，可采用测角加速度法。

配重重量应当小于系统总重量的5％。对每一组系统的标定都分为两个阶段，每个阶段中都用不同质量的落体测量两次以消去轴承摩擦等阻力。第一阶段，得到空转转轴结构的转动惯量；第二阶段，装配并固定目标转子后，利用较大配重得到整体系统的转动惯量。二者相减，即为转子的转动惯量。

对于每一组系统，其具体公式如下所示：

其中m_i,β_i,i＝1,2,3,4为第一阶段小较小配重、第一阶段较大配重、第二阶段较小配重、第二阶段较大配重的落体配重和角加速度；J_X1,J_X2为第一阶段和第二阶段测得的转动惯量，X＝1,2分别表示第一组系统和第二组系统；R为绕线半径；g为本地重力加速度。

由此得到两组系统的精确转动惯量J₁,J₂。测量时与表定时用同一组转动惯量数据，即忽略微小力材料附着在叶片上产生的质量、转动惯量误差。这也要求附着材料尽可能的轻与薄。

c.标定系统阻力角速度、测量动力角速度

标定时，通过电磁启动给定一个初始转动速度ω₀。而后不提供任何动力，在阻力的作用下转子将会逐渐变慢，经简化其运动规律为：

ω_f＝ω₀-ft

关于时间对其取导数，得到：

对一种支架长度的系统进行测量，利用实验中电脑记录的脉冲时间t_i，i＝1,2,3,4，记录点1、2之间和3、4之间转子转过的角度θ，以及记录1、2与记录3、4之间的间隔时间T，可以得到转子的平均加速度：

而实施例中假设角速度是线性变化的，因此：

由此得到一种系统的阻力角加速度f，另一种可以用同样方法测量得到。

与此同时，对于测量过程，类比标定过程，为了消除初始角速度的不准确性，均可以取时间间隔较长的两次测量结果进行差分。

类似于阻力角加速度的计算，测量中系统的运动满足：

ω_c＝(a-f)t

关于时间对其取导数，得到：

用同样的测速方法得到系统角加速度，而f已知，从而进一步得到参数a。

至此，能够得到了两种不同支架长度的系统的参数a₁,a₂。

d.选择测量Δω_f/Δt、Δω_f/Δt时的时间参数

以Δω_f/Δt为例，令ζ＝Δω_f/Δt,(Δt)₁＝(t₂-t₁),(Δt)₂＝(t₄-t₃)

转子加速度ζ的误差公式为：

选择T>>max{1,(t₂-t₁),(t₄-t₃)}，θ为2π的倍数，则第一项和第二项误差很好控制。旋转开始约20分钟之后测得(Δt)₁。此时可以优化得出当时，误差有最小值根据角速度的近似线性变化规律，选择T使得二者比例接近此最优值。

对于时间间隔T，从误差公式中可知其越大越好。而且，待测角加速度很小，也需要一定时间的积累才能对角速度产生明显的改变。实验可取两个小时左右为测量间隔，测量的开始后均由由电脑控制记录，其误差不会超过0.1秒，则对于结果的相对误差影响，不超过万分之一。

δt的来源有采样时间、信号波动、数据传递等因素。其中信号波动与采样时间误差为主要随机误差来源。信号波动具有随机性，可以通过多次测量进行消除。采样时间为固定误差，取到1ms基本可以保证该项误差在1％以内。

由此，两种支架长度系统在标定和测量时的时间参数可完全确定，进一步得到了相对误差最小的系统参数a₁,a₂

e.消除微小力力心与旋转中心轴的偏差，得到小推力σ。

通过对f和J进行标定之后，目标推力大小与R₁成正比关系，而R₁随叶片附膜情况的不同而改变，无法提前预测。因此，采用差量法消除R₁不准确的影响。两次测量时，不更换叶片，只更换长度不同的支架，对应的角加速度与转动惯量分别为a₁,J₁；a₂,J₂。由于叶片、中心转轴、连接方式均无改变，则两次测量中支架的长度差即为推力半径的长度差ΔL。因此，总推力σ满足：

f.由总推力σ与叶片的面积和叶片个数得到所求的附着推力大小或其面密度。

实施例中，若设单个叶片面积为S_y，微小力面密度为p，则微小推力面密度p＝σ/nS₁。

尽管上文对本发明的具体实施方式进行了详细描述和说明，但是应该指明的是，本领域的技术人员可以依据本发明的精神对上述实施方式进行各种等效改变和修改，其所产生的功能作用在未超出说明书及附图所涵盖的精神时，均应在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.微小力的动态旋转测量系统，所述旋转是磁悬浮转子系统，包括一环状超导导轨，一硬磁转子，硬磁转子通过支架支撑在超导导轨上；转子由转轴、转子支架、叶片构成，转轴为硬磁材料的扁平圆柱环，根据叶片与支架数量的不同，其上沿周向均匀开有3～12个3mm宽，5mm长的通孔供转子支架一端径向插入，转子支架为轻型钛合金材料矩形长条，转子支架长度在15mm到50mm之间不等，用以配合不同的微小力；转子支架另一端设置有叶片，叶片采用轻型钛合金材料，为矩形网状薄板；叶片个数对应为3-12个，每片叶片上附着所需测量的持续力，并在叶片下方角落处附着一小块反光片用以测量。

2.如权利要求1所述的动态旋转测量系统，其中，叶片、转子支架与转轴之间可反复固定和拆卸。

3.如权利要求1所述的动态旋转测量系统，其中，支架为轻型合金材料,高度为2mm～4mm,在非实验状态下和常温状态下用以支撑硬磁转子。

4.如权利要求1-3任一项所述的动态旋转测量系统，其中，转轴的内径为40mm～50mm，外径为50mm～70mm，高度5mm～8mm。

5.如权利要求1-3任一项所述的动态旋转测量系统，其中，转子支架自转轴外径起垂直向上有仰角为0°～10°的翘起，以减少可能的接触。

6.一种低阻力旋转系统的微小力测量与标定方法，使用权利要求1-5任一项所述的微小力的动态旋转测量系统，微小力的总推力σ的范围在10^-9～10^-5N；包括下述步骤：

a.确定测量与标定中所用的两组臂长

预先简单估计待测微小力的量级，将待测微小力附着在叶片上，每组转子支架和叶片个数取3-12个，转子支架配有多组不同长度，当支架长度增加时，待测微小力提供的动力距呈线性增加，同时旋转系统所受阻力与系统转动惯量也同时增加，因此存在最优的支架长度；最终，结合实际操作中对支架的长度下限和上限的其他要求，利用模拟程序对系统进行建模并确定使得转子在预估量级的微小力作用下加速度最高的最优支架长度，而后增加或减少20mm作为另一组支架的长度，即确定两组转子支架长度；

b.对两种不同支架长度的组合的转动惯量进行标定

通过落体法，对转动惯量进行标定，采用测角加速度法，

对于一支架长度，具体公式为：

<mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> <mi>R</mi> <mi>g</mi> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mi>R</mi> <mi>g</mi> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>

其中m_i,β_i,i＝1,2,3,4为四次测量的落体配重和角加速度；J₁,J₂分别为转轴的转动惯量和固定待测转子后的总转动惯量；R为绕线半径；g为本地重力加速度；

c.标定系统阻力角速度、测量动力角速度

标定时，通过电磁启动给定一个初始转动速度ω₀，而后不提供任何动力，在阻力的作用下转子将会逐渐变慢，经简化其运动规律为：

ω_f＝ω₀-ft

其中，ω_f为转子的角速度，ω₀为转子的初速度，f为系统阻力产生的角加速度，t为时间；

测量时，系统有一定初始速度，在动力的作用下，运动会逐渐加速，利用运动方程可知在实验测量期间满足

ω_c＝ω₀+at

其中，ω_c为转子的角速度，ω₀为转子的初速度，a为动力与阻力同时作用对系统产生的角加速度，t为时间；

对两种不同支架长度的组合进行测量，利用实验中电脑记录的脉冲时间t_i，i＝1,2,3,4，记录点1、2之间和3、4之间转子转过的角度θ，以及记录1、2与记录3、4之间的间隔时间T，得到转子的加速度：

<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>T</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，T应当比max{(t₂-t₁),(t₄-t₃)}大至少一个量级；

d.选择测量加速度的时间参数

转子加速度ζ的误差公式为：

<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> <mi>&amp;zeta;</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>T</mi> </mrow> <mi>T</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mi>&amp;theta;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow>

选择T>>max{1,(t₂-t₁),(t₄-t₃)}，θ为2π的倍数，则第一项和第二项误差很好控制。标定或测量开始约20分钟之后，可利用电脑测得(Δt)₁，第三项误差有最小值根据角速度的近似线性变化规律，选择T使得二者比例接近此最优值；

e.消除微小力力心与旋转中心轴的偏差，得到小推力σ

两次测量时，不更换叶片，只更换长度不同的支架，对应的角加速度与转动惯量分别为a₁,J₁；a₂,J₂；由于叶片、中心转轴、连接方式均无改变，则两次测量中支架的长度差即为推力半径的长度差ΔL；因此，总推力σ满足：

<mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>L</mi> </mrow> </mfrac> </mrow>

f.由推力σ与叶片的面积和个数得到所需的推力面密度或推力脉冲大小。

7.如权利要求6所述的方法，其中，对于标定，应取时间间隔较长的两次测量结果进行差分。

8.如权利要求6所述的方法，其中，对于测量，其初始转动速度ω₀为0。

9.如权利要求6所述的方法，其中，落体法得到的转动惯量，相对误差应当小于0.5％。

10.如权利要求6所述的方法，其中，首次记录时间位于实验开始后的10～30分钟，时间间隔T为1～4个小时；采集时间的间隔范围为0.3～70ms。