CN107440712A - 一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法 - Google Patents

一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法 Download PDF

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周小龙
张阳阳
陈胜勇
何煜
邱慧丽
李军伟
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Abstract

一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，包括以下步骤：1)利用彩色相机和深度感应器相结合相机组作为采集设备在五个角度对目标进行数据采集；2)对五个角度采集的彩色图像进行EEG电极采集，得到EEG电极的图像坐标；3)将EEG电极的二维坐标转换为三维空间位置；4)将五个角度的电极空间坐标统一转换到同一个坐标系下，完成电极摄影测量。本发明充分的利用了深度感应器可直接获取三维信息的优势，并设计了在五个角度采集目标数据的摄影测量框架，这使得在操作和计算的过程中更快，更便捷，获取的不同类型电极位置结果更加稳定。

Description

一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法
技术领域
本发明属于计算机视觉领域，尤其是涉及一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法。
背景技术
随着脑电图(Electroencephalography,EEG)技术的发展和成熟，以及很多相关新技术的问世，EEG研究在医学领域也取得了较大的研究成果，并且，因其使用方便、经济、安全并具有非侵入性的检测特性而广泛应用到临床医学上。例如，现在EEG是诊断癫痫最为重要的辅助检查手段。医生可以根据EEG来判断病人是否有患有某种疾病，成为了临床医学诊断的重要手段，但在采集EEG信号时，需要准确的获取信号的位置和来源，只有这样才可以更有效的对EEG进行分析，从而判断病情。基于EEG技术的脑功能研究的一个重要目标就是定位产生头皮信号部位在大脑皮层中的位置。但是EEG上的单个波形由大脑皮层上数百或者数千个椎体神经元的突触后电位诱发形成，通过头皮EEG信号来定位信号源位置相当困难。于是将信号源的定位独立出来研究的问题被称为源定位技术。源定位技术是指结合核磁共振成像技术(MRI)找出脑电信号源在病人脑部的具体位置。要完成源定位需要以下三个步骤：(1)利用电流偶极子源(ECD)或者分布式源模型对脑电场进行建模；(2)利用MRI数据生成具有电磁场及几何属性的真实头模型；(3)为了能够对脑电信号源的解剖学位置进行定位，病人大脑中必须产生电生理活动。源定位技术的关键是解决MRI与EEG信号的一致性，而这两种技术是否能准确结合又取决于是否能够精确定位出病人头部的EEG电极的位置。在定位EEG电极位置的问题上国外提出了很多基于计算机视觉的方法，主要分为以下几类：
1.基于运动投影模型法的单目摄影测量方法。其实验操作流程如下，设计一个单目轨迹模型架，病人或头模具位于架子的中心位置，并在拍摄的过程中固定不动，然后让相机按照之前预设好的方向和角度旋转，从而在不同时刻得到同一个电极点的视差图。该方法虽然只用一个相机减少了成本，但需要病人在拍摄过程中一直保持不动，如果病人有所移动将会对计算的结果有较大的影响，而这种数据采集方式并不适合有运动障碍的病人。
2.基于单相机双置法原理的单目摄影测量方法。利用两面成51.7°的平面镜巧妙的一次性采集到了所有EEG电极的信息，其中电极用不同颜色的同心圆表示。投影模型法在拍摄中病人不能移动的缺点，在该系统中，必须在数据采集的场景中摆放两面成51.7°的平面镜。该角度不能过大或过小，否则会出现数据采集不完整或重复情况，影响后期的计算。这样的实验方案虽然巧妙但距离临床的应用还有一段距离。
3.使用12个CCD相机实现的用于EEG电极定位的摄影测量系统。该方法用一个可放置12个相机的架子作为采集框架，其中，12个相机分别放在架子的不同角度，人头部在框架中心位置，便于拍摄。主要流程是通过12个相机获取所有的单电极，然后根据各相机之间的3D转换关系求出所有电极的位置。
4.使用11个相机分别放在多面体的11个角度位置。也可以一次性获取所有电极，其优势就是数据采集时间非常的短，因此，在图像采集的过程中，病人或者被试者可以自由的移动。但另一方面，该系统也有很大的劣势。首先，该系统需要使用者了解详细的操作规范，并且被试者必须要用相关的设备和产品即Geodesic Sensor Net(GSN)。除此之外，电极的检测需要手工去标注和识别，对128个电极帽来说这需要花费15-20分钟的时间去标注，还另外需要15-20分钟的时间去核实被标注的电极和修复那些没有被精确标注的电极位置。
发明内容
为了克服已有EEG定位技术的不足，本发明不再只选用彩色相机采集设备进行实验，而是基于彩色相机和深度感应器结合的采集设备的摄影测量方案，提出了一种新的基于深度感应器的测量方法，本方法可以更快更方便的得到各个角度的电极三维坐标，然后再将各个角度的电极配准到同一个坐标系下，相比于之前的实验方案具有更快，更便捷，更稳定的优点。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，所述方法包括以下步骤：
1)用五组已进行过标定的彩色相机和深度感应器的相机组，分别在头部的前、后、左、右、上五个位置进行数据采集；
2)检测从五个角度采集的彩色图像的EEG电极图像坐标，过程如下：
2.1)用预设阈值对彩色图像进行二值化；
2.2)用户选取感兴趣区域ROI，在此选取包含头部电极的区域；
2.3)计算出所有的连通区域，进行标记，并计算出每个连通区域的面积，记为Si，i＝1,2,3,…,n，其中n表示连通区域的数目；
2.4)调整面积阈值Sy，将连通区域面积大于面积阈值的连通区域保留，滤掉小于阈值的连通区域；
2.5)计算保留下来的连通区域的中心坐标(x,y)，该连通区域中心即为电极的中心，用该中心点的坐标作为电极的图像位置坐标；
3)根据已有的彩色相机和深度感应器标定数据，将彩色图像上的电极二维坐标映射到点云数据的三维坐标，得到了五个不同角度的电极三维坐标；
4)得到了五个不同角度的电极三维坐标之后，接着需要将五个角度的坐标统一转换到同一个坐标系下，即将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系，完成电极摄影测量。
进一步，所述步骤4)中，将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系的过程如下：
4.1)分别在前后左右四个角度拍摄到的电极中找到和上方拍摄到图像中的重复电极点，该重复电极点需要达到5个以上；
4.2)利用重复的电极点数据，采用奇异值分解SVD坐标转换法，分别计算前后左右四个角度到上方角度坐标系的旋转矩阵R和平移矩阵T；
4.3)由上述步骤计算出旋转矩阵R和平移矩阵T，对前后左右四个角度的三维电极点进行坐标转换，即可得到在上方坐标系下的所有电极点坐标。
再进一步，所述步骤4.2)中，SVD坐标转换法的过程如下：
假设P、Q为Rd空间中的两组对应点集，其中P＝{p1,p2,…,pn}，Q＝{q1,q2,…,qn}；想要根据这两组点集的数据来计算出它们之间的刚性转换信息，即计算着两组点集之间的转换关系；求转换关系转为最小二乘求优问题，如下式：
其中wi>0，是点云中每个点对的权重；
要求(1)式中的最小值，通过计算上式对R和t求导使导数为零的解；计算位移，将上式得R设为不变量对t进行求导，同时令F(t)＝(R,t)，对F(t)求导得：
其中，
将上式代入(1)得：
由以上公式看出，问题转化为简单的对原来的点云进行一个减中心的预处理；
计算旋转量：
将(7)式用矩阵表示形式展开：
由于旋转矩阵R是正交矩阵，因而有RTR＝1；同时上式(8)中Yi TRXi和Xi TRTYi都是标量，而一个标量的转置仍然等于标量本身，因此有：
Xi TRTYi＝(Xi TRTYi)T＝Yi TRXi (9)
‖RXi-Yi‖2＝Xi TXi-2Yi TRXi+Yi TYi (10)
因为其中只有一项与R相关，转化为求其可变量的最小值，即：
上式的转换是将累加转换成矩阵相乘，其中W是n*n的对角矩阵，X和Y是3*n的矩阵，这些矩阵相乘后的迹等于等式左边的值；同时，对于矩阵的迹，其变换关系如下所示：
tr(AB)＝tr(BA) (14)
tr(WYTRX)＝tr((WYT)(RX))＝tr(RXWYT) (15)
S＝XWYT,svd(S)→S＝U∑VT (16)
tr(RXWYT)＝tr(RS)＝tr(RU∑VT)＝tr(∑VTRU) (17)
上述变换中(17)式也用到了(14)式的性质，由于U、R、V都是正交矩阵，那么M＝VTRU也是正交矩阵；
由上述两式可知，要求最大迹，就必须使得mii的值等于1，而M又是正交矩阵，那么M就必须是单位矩阵，即：
在计算目标前方角度和上方角度的转换关系，那么P、Q的点集数据分别代表在目标前方角度和上方角度拍摄到的同一个电极的空间坐标，分别是在前方角度的坐标系下和上方角度的坐标系下，由此计算出两个坐标系的转换关系，即旋转矩阵R和平移矩阵T；
在计算其他三个角度的坐标转换关系中做同样的操作。
本发明的有益效果主要表现在：基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，利用深度感应器作为其中主要的数据采集设备，该设备可以直接获取物体的三维坐标，再结合彩色相机可以很方便的得到电极的三维空间坐标。同时，采用五个角度来采集数据的摄影测量框架，避免了基于彩色相机的摄影测量方法中复杂的框架设计，以及计算电极空间位置的复杂计算。这使得在操作和计算的过程中更快，更便捷，获取的不同类型电极位置结果更加稳定。
附图说明
图1是基于深度感应器的脑电信号电极采集系统的操作流程图。
图2是在二维图像上的EEG电极检测流程图，其中，(a)是二值化后的图像，(b)是检测到的连通区域的图像示意图，(c)是过滤掉非电极点的电极标记图，(d)是在彩色图上的电极标记示意图。
图3是五个角度的EEG电极二维坐标到三维点云坐标的转换流程图。
图4是所有EEG电极位置采集完成的结果展示图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。
参照图1～图4，一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，所述方法包括以下步骤：
1)用五组已进行过标定的彩色相机和深度感应器的相机组，分别在头部的前、后、左、右、上五个位置进行数据采集；
2)检测从五个角度采集的彩色图像的EEG电极图像坐标，过程如下：
2.1)用预设阈值对彩色图像进行二值化；
2.2)用户选取感兴趣区域ROI，在此选取包含头部电极的区域；
2.3)计算出所有的连通区域，进行标记，并计算出每个连通区域的面积，记为Si，i＝1,2,3,…,n，其中n表示连通区域的数目；
2.4)调整面积阈值Sy，将连通区域面积大于面积阈值的连通区域保留，滤掉小于阈值的连通区域；
2.5)计算保留下来的连通区域的中心坐标(x,y)，该连通区域中心即为电极的中心，用该中心点的坐标作为电极的图像位置坐标；
3)根据已有的彩色相机和深度感应器标定数据，将彩色图像上的电极二维坐标映射到点云数据的三维坐标，得到了五个不同角度的电极三维坐标；
4)得到了五个不同角度的电极三维坐标之后，接着需要将五个角度的坐标统一转换到同一个坐标系下，即将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系，完成电极摄影测量。
进一步，所述步骤4)中，将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系的过程如下：
4.1)分别在前后左右四个角度拍摄到的电极中找到和上方拍摄到图像中的重复电极点，该重复电极点需要达到5个以上；
4.2)利用重复的电极点数据，采用奇异值分解SVD坐标转换法，分别计算前后左右四个角度到上方角度坐标系的旋转矩阵R和平移矩阵T；
4.3)由上述步骤计算出旋转矩阵R和平移矩阵T，对前后左右四个角度的三维电极点进行坐标转换，即可得到在上方坐标系下的所有电极点坐标。
再进一步，所述步骤4.2)中，SVD坐标转换法的过程如下：
假设P、Q为Rd空间中的两组对应点集，其中P＝{p1,p2,…,pn}，Q＝{q1,q2,…,qn}；想要根据这两组点集的数据来计算出它们之间的刚性转换信息，即计算着两组点集之间的转换关系；求转换关系转为最小二乘求优问题，如下式：
其中wi>0，是点云中每个点对的权重；
要求(1)式中的最小值，通过计算上式对R和t求导使导数为零的解；计算位移，将上式得R设为不变量对t进行求导，同时令F(t)＝(R,t)，对F(t)求导得：
其中，
将上式代入(1)得：
由以上公式看出，问题转化为简单的对原来的点云进行一个减中心的预处理；
计算旋转量：
将(7)式用矩阵表示形式展开：
由于旋转矩阵R是正交矩阵，因而有RTR＝1；同时上式(8)中Yi TRXi和Xi TRTYi都是标量，而一个标量的转置仍然等于标量本身，因此有：
Xi TRTYi＝(Xi TRTYi)T＝Yi TRXi (9)
‖RXi-Yi‖2＝Xi TXi-2Yi TRXi+Yi TYi (10)
因为其中只有一项与R相关，转化为求其可变量的最小值，即：
上式的转换是将累加转换成矩阵相乘，其中W是n*n的对角矩阵，X和Y是3*n的矩阵，这些矩阵相乘后的迹等于等式左边的值；同时，对于矩阵的迹，其变换关系如下所示：
tr(AB)＝tr(BA) (14)
tr(WYTRX)＝tr((WYT)(RX))＝tr(RXWYT) (15)
S＝XWYT,svd(S)→S＝U∑VT (16)
tr(RXWYT)＝tr(RS)＝tr(RU∑VT)＝tr(∑VTRU) (17)
上述变换中(17)式也用到了(14)式的性质，由于U、R、V都是正交矩阵，那么M＝VTRU也是正交矩阵；
由上述两式可知，要求最大迹，就必须使得mii的值等于1，而M又是正交矩阵，那么M就必须是单位矩阵，即：
在计算目标前方角度和上方角度的转换关系，那么P、Q的点集数据分别代表在目标前方角度和上方角度拍摄到的同一个电极的空间坐标，分别是在前方角度的坐标系下和上方角度的坐标系下，由此计算出两个坐标系的转换关系，即旋转矩阵R和平移矩阵T；
在计算其他三个角度的坐标转换关系中做同样的操作。
本实施例的基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，包括以下步骤。
1)用五组已进行过标定的彩色相机和深度感应器的相机组，分别在头部的前、后、左、右、上五个位置进行数据采集；
2)检测从五个角度采集的彩色图像的EEG电极图像坐标，过程如下：
2.1)用预设阈值对彩色图像进行二值化，如图2(a)所示；
2.2)用户选取感兴趣区域ROI，在此选取包含头部电极的区域；
2.3)计算出所有的连通区域，进行标记，如图2(b)所示，并计算出每个连通区域的面积，记为Si，i＝1,2,3,…,n，其中n表示连通区域的数目；
2.4)调整面积阈值Sy，将连通区域面积大于面积阈值的连通区域保留，滤掉小于阈值的连通区域，过滤结果如图2(c)所示；
2.5)计算保留下来的连通区域的中心坐标(x,y)，该连通区域中心即为电极的中心，用该中心点的坐标作为电极的图像位置坐标；
3)根据已有的彩色相机和深度感应器标定数据，将彩色图像上的电极二维坐标映射到点云数据的三维坐标，得到了五个不同角度的电极三维坐标，如图3所示；
4)得到了五个不同角度的电极三维坐标之后，接着需要将五个角度的坐标统一转换到同一个坐标系下，即将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系，完成电极摄影测量。
进一步，所述步骤4)中，将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系的过程如下：
4.1)分别在前后左右四个角度拍摄到的电极中找到和上方拍摄到图像中的重复电极点，该重复电极点需要达到5个以上；
4.2)利用重复的电极点数据，采用奇异值分解SVD坐标转换法，分别计算前后左右四个角度到上方角度坐标系的旋转矩阵R和平移矩阵T；
4.3)由上述步骤计算出旋转矩阵R和平移矩阵T，对前后左右四个角度的三维电极点进行坐标转换，即可得到在上方坐标系下的所有电极点坐标，如图4所示。

Claims (3)

1.一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：
1)用五组已进行过标定的彩色相机和深度感应器的相机组，分别在头部的前、后、左、右、上五个位置进行数据采集；
2)检测从五个角度采集的彩色图像的EEG电极图像坐标，过程如下：
2.1)用预设阈值对彩色图像进行二值化；
2.2)用户选取感兴趣区域ROI，在此选取包含头部电极的区域；
2.3)计算出所有的连通区域，进行标记，并计算出每个连通区域的面积，记为Si，i＝1,2,3,…,n，其中n表示连通区域的数目；
2.4)调整面积阈值Sy，将连通区域面积大于面积阈值的连通区域保留，滤掉小于阈值的连通区域；
2.5)计算保留下来的连通区域的中心坐标(x,y)，该连通区域中心即为电极的中心，用该中心点的坐标作为电极的图像位置坐标；
3)根据已有的彩色相机和深度感应器标定数据，将彩色图像上的电极二维坐标映射到点云数据的三维坐标，得到了五个不同角度的电极三维坐标；
4)得到了五个不同角度的电极三维坐标之后，接着需要将五个角度的坐标统一转换到同一个坐标系下，即将前后左右四个角度的三维坐标转换到上方角度坐标系，完成电极摄影测量。
2.如权利要求1所述的一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，其特征在于：所述步骤4)中，将前后左右四个角度的三维坐标转换到顶部角度坐标系的过程如下：
4.1)分别在前后左右四个角度拍摄到的电极中找到和顶部拍摄到图像中的重复电极点，该重复电极点需要达到5个以上；
4.2)利用重复的电极点数据，采用奇异值分解SVD坐标转换法，分别计算前后左右四个角度到顶部角度坐标系的旋转矩阵R和平移矩阵T；
4.3)由上述步骤计算出旋转矩阵R和平移矩阵T，对前后左右四个角度的三维电极点进行坐标转换，即可得到在顶部坐标系下的所有电极点坐标。
3.如权利要求2所述的一种基于深度感应器的脑电信号电极采集方法，其特征在于：所述步骤4.2)中，SVD坐标转换法的过程如下：
假设P、Q为Rd空间中的两组对应点集，其中P＝{p1,p2,…,pn}，Q＝{q1,q2,…,qn}；想要根据这两组点集的数据来计算出它们之间的刚性转换信息，即计算着两组点集之间的转换关系；求转换关系转为最小二乘求优问题，如下式：
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其中wi>0，是点云中每个点对的权重；
要求(1)式中的最小值，通过计算上式对R和t求导使导数为零的解；计算位移，将上式得R设为不变量对t进行求导，同时令F(t)＝(R,t)，对F(t)求导得：
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将上式代入(1)得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Rp</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>Rp</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>R</mi> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>armgin&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由以上公式看出，问题转化为简单的对原来的点云进行一个减中心的预处理；
计算旋转量：
将(7)式用矩阵表示形式展开：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>X</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于旋转矩阵R是正交矩阵，因而有RTR＝1；同时上式(8)中Yi TRXi和Xi TRTYi都是标量，而一个标量的转置仍然等于标量本身，因此有：
Xi TRTYi＝(Xi TRTYi)T＝Yi TRXi (9)
‖RXi-Yi‖2＝Xi TXi-2Yi TRXi+Yi TYi (10)
因为其中只有一项与R相关，转化为求其可变量的最小值，即：
<mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>armgin&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>RX</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>WY</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>R</mi> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
上式的转换是将累加转换成矩阵相乘，其中W是n*n的对角矩阵，X和Y是3*n的矩阵，这些矩阵相乘后的迹等于等式左边的值；同时，对于矩阵的迹，其变换关系如下所示：
tr(AB)＝tr(BA) (14)
tr(WYTRX)＝tr((WYT)(RX))＝tr(RXWYT) (15)
S＝XWYT,svd(S)→S＝U∑VT (16)
tr(RXWYT)＝tr(RS)＝tr(RU∑VT)＝tr(∑VTRU) (17)
上述变换中(17)式的变换也用到了(14)式的性质，由于U、R、V都是正交矩阵，那么M＝VTRU也是正交矩阵；
<mrow> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>m</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>d</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;DoubleRightArrow;</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;DoubleRightArrow;</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&lt;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由上述两式可知，要求最大迹，就必须使得mii的值等于1，而M又是正交矩阵，那么M就必须是单位矩阵，即：
<mrow> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>V</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mo>&amp;DoubleRightArrow;</mo> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mo>&amp;DoubleRightArrow;</mo> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>VU</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在计算目标前方角度和顶部角度的转换关系，那么P、Q的点集数据分别代表在目标前方角度和顶部角度拍摄到的同一个电极的空间坐标，分别是在前方角度的坐标系下和顶部角度的坐标系下，由此计算出两个坐标系的转换关系，即旋转矩阵R和平移矩阵T；
在计算其他三个角度的坐标转换关系中做同样的操作。
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