CN107391434A - 一种数值模拟磁感应现象的积分方程法 - Google Patents
一种数值模拟磁感应现象的积分方程法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种采用积分方程法数值模拟磁感应现象的方法，该方法首先把偏微分方程形式的控制方程变为积分方程形式，积分方程中所有积分的积分区域均局限于可导体占据的有限区域，因此避免了对无限大区域的离散，从而减少了计算工作量和对内存的需求。由于积分方程形式的磁感应方程中不包含任何关于未知函数的导数，因此非常适用于求解在局部区域具有不连续或不光滑的磁场的磁感应现象。由于积分方程对于被积函数的要求低，利用积分方程形式的磁感应方程便于求解磁导率或电导率不连续的问题。本发明可用于任何形状的可导体的磁感应现象的数值模拟。特别是可用于研究快速增殖核反应堆的安全问题。
Description
技术领域
本发明涉及一种采用积分方程法进行数值模拟磁感应现象的方法。
背景技术
在快速增殖反应堆和正在研究中的磁约束受控核聚变反应堆中，液态金属均用于冷却剂。在这些工况下，液态金属的流动通常具有大的磁雷诺数，且有可能出现磁流体自激放大发电现象，影响反应堆的安全。同时在反应堆中通常使用具有高磁导率的磁性材料，其有可能引起大的磁感应磁场的产生，影响反应堆的安全。本发明拟提出一种高效和应用范围广的数值模拟这些现象的积分方程法。
通常磁感应现象可由如下pre-Maxwell方程组
和如下欧姆定律
j(r,t)＝σ(r)[E(r,t)+F(r,t)]
(4)
描述。其中，r是位置矢量，t是时间，E是电场，F是电动势，如果可导流体的流动是层流，则有
F(r,t)＝u(r)×B(r,t)
(5)
其中，u是流体流动的速度，如果可导流体的流动是湍流，则有：
其中，包含α的项表示了α效应，包含β的项表示了β效应。设可导流体约束在具有有限体积D的容器中，容器外的无限大区域记为D′。由上述方程可得以磁场为未知函数的磁感应方程如下：
在有限体积D内,磁场满足:
在容器外无限大区域D′内,磁场还满足:
在所有区域上,磁场均满足:
在具有不同的电导率或磁导率的区域的交界面上磁场满足如下连续性条件:
当r＝|r|→∞时
B＝O(r-3)
(10)
其中,B是磁场，u是速度，μ是磁导率，σ是电导率，n是交界面的单位法线矢量。
数值模拟上述方程存在两大困难，一是如何处理可导流体外的无限大区域D′，二是往往会出现两个区域具有差别非常大的磁导率，磁导率在其交界面上的巨大跳跃严重影响现有许多方法的稳定性。目前对第一个问题，一种策略是采用“Vertical fieldcondition”近似的边界条件，从而避免对无限大区域的划分。另一种方法是围绕可导流体做一足够大的球，设在可导流体和球面之间充满低电导率的材料。以上两种处理方法和真实的边界条件相差甚远，必然导致大的计算误差。另外一类方法是对可导性流体的流动采用有限体积或有限元法，而对外面的无限大区域采用边界元，但这一类方法存在如何衔接两种不同的方法的问题，因此至今没有有关和现有实验比较的结果，有待实验验证。
发明内容
本发明要解决的技术问题是克服现有技术的缺陷，提供一种采用积分方程法进行数值模拟磁感应现象的方法。
为了解决上述技术问题，本发明提供了如下的技术方案：
本发明提供一种采用积分方程法进行数值模拟磁感应现象的方法，其包括以下步骤：
考虑可导区域D，其由m个子区域Di(i＝1,2,3,…,m)构成，子区域的表面记为Si。设Di子区域的导电率和导磁率分别是σi和μi。Sij表示Di和Dj的交界面。nij表示垂直于Sij表面的单位法矢量，且从Di指向Dj。设流场是稳态的，则磁场对时间的依赖关系可表示为：～eλt。应用积分理论和边界元法，磁感应方程可表示为如下积分方程组：
把上述积分方程中的积分利用复合梯形公式离散，方程(11)对应的离散方程写成分量形式为：
Bi＝LikBk+λPijAj+Nilφl
(14)
方程(12)对应的离散方程为：
0.5φl+Elmφm＝HlkBk+λDljAj
(15)
或者为
Glmφm＝HlkBk+λDljAj
(16)
其中，Glm＝0.5δlm+Elm。方程(13)对应的离散方程为:
Aj＝QjkBk
(17)
由方程(14)-(17)可得以磁场的分量在节点的值为未知数的代数方程组为：
Bi＝LikBk+λPijQjkBk+Nim(G-1)mlHlkBk+λNil(G-1)lmDmjQjkBk
(18)
求解代数方程组(18)可得磁感应产生的磁场。
本发明所达到的有益效果是：
积分方程形式的磁感应方程中所有积分的积分区域均局限于可导体占据的有限区域，因此避免了对无限大区域的离散，从而减少了计算工作量和对内存的需求。
由于积分方程形式的磁感应方程中不包含任何关于未知函数的导数，因此非常适用于求解在局部区域具有不连续或不光滑的磁场的磁感应现象。
由于积分方程对于被积函数的要求很低，利用积分方程形式的磁感应方程便于求解磁导率或电导率不连续的问题。
本发明可用于任何形状的可导体的磁感应现象的数值模拟。特别是可用于研究快速增殖核反应堆的安全问题。
Giesecke等提出的数值模拟快速增殖反应堆的液态钠在磁性材料的影响下的流动可能引起的磁场自激放大发电现象时，只考虑了局部磁雷诺数小于等于20，相对磁导率小于20的情况。本软件将采用的积分方程法，可用于磁雷诺数和相对磁导率均大于20的情况。
具体实施方式
以下对本发明的优选实施例进行说明，应当理解，此处所描述的优选实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。
一种采用积分方程法进行数值模拟磁感应现象的方法，其包括以下步骤：
考虑可导区域D，其由m个子区域Di(i＝1,2,3,…,m)构成，子区域的表面记为Si。设Di子区域的导电率和导磁率分别是σi和μi。Sij表示Di和Dj的交界面。nij表示垂直于Sij表面的单位法矢量，且从Di指向Dj。设流场是稳态的，则磁场对时间的依赖关系可表示为：～eλt。应用积分方程理论和边界元法，磁感应方程可表示为如下积分方程组：
把上述积分方程中的积分利用复合梯形法离散，方程(19)对应的离散方程写成分量形式为：
Bi＝LikBk+λPijAj+Nilφl
(22)
方程(20)对应的离散方程为：
0.5φl+Elmφm＝HlkBk+λDljAj
(23)
或者为
Glmφm＝HlkBk+λDljAj
(24)
其中，Glm＝0.5δlm+Elm。方程(21)对应的离散方程为:
Aj＝QjkBk
(25)
由方程(22)-(25)可得以磁场的分量在节点的值为未知数的代数方程组为：
Bi＝LikBk+λPijQjkBk+Nim(G-1)mlHlkBk+λNil(G-1)lmDmjQjkBk
(26)
求解代数方程组(26)可得磁感应产生的磁场。
积分方程形式的磁感应方程中所有积分的积分区域均局限于可导体占据的有限区域，因此避免了对无限大区域的离散，从而减少了计算工作量和对内存的需求。
由于积分方程形式的磁感应方程中不包含任何关于未知函数的导数，因此非常适用于求解在局部区域不连续或不光滑的磁场。
由于积分方程对于被积函数的要求很低，利用积分方程形式的磁感应方程便于求解磁导率或电导率不连续的问题的求解。
本发明可用于任何形状的可导体的磁感应现象的数值模拟。特别是可用于研究快速增殖核反应堆的安全问题。
Giesecke等提出的数值模拟快速增殖反应堆的液态钠在磁性材料的影响下的流动可能引起的磁场自激放大发电现象时，只考虑了局部磁雷诺数小于等于20，相对磁导率小于20的情况。本软件将采用的积分方程法，可用于磁雷诺数和相对磁导率均大于20的情况。
最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (1)
1.一种采用积分方程法进行数值模拟磁感应现象的方法，其特征在于，包括以下步骤：
考虑可导区域D，其由m个子区域Di(i＝1,2,3,…,m)构成，子区域的表面记为Si。设Di子区域的导电率和导磁率分别是σi和μi。Sij表示Di和Dj的交界面。nij表示垂直于Sij表面的单位法矢量，且从Di指向Dj。设流场是稳态的，则磁场对时间的依赖关系可表示为：～eλt。应用积分理论和边界元法，磁感应方程可表示为如下积分方程组：
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把上述积分方程中的积分利用数值方法离散，方程(1)对应的离散方程写成分量形式为：
Bi＝LikBk+λPijAj+Nilφl
(4)
方程(2)对应的离散方程为：
0.5φl+Elmφm＝HlkBk+λDljAj
(5)
或者为
Glmφm＝HlkBk+λDljAj
(6)
其中，Glm＝0.5δlm+Elm。方程(3)对应的离散方程为:
Aj＝QjkBk
(7)
由方程(4)-(7)可得以磁场的分量在节点的值为未知数的代数方程组为：
Bi＝LikBk+λPijQjkBk+Nim(G-1)mlHlkBk+λNil(G-1)lmDmjQjkBk
(8)
求解代数方程组(8)可得磁感应产生的磁场。
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Citations (2)
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| US20130003245A1 (en) * | 2011-06-29 | 2013-01-03 | Toyota Motor Engineering & Manufacturing North America, Inc. | Focusing device for low frequency operation |
| CN105487025A (zh) * | 2015-11-27 | 2016-04-13 | 宁波南车时代传感技术有限公司 | 基于磁场积分方程法的磁通门瞬态分析方法 |
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Patent Citations (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20130003245A1 (en) * | 2011-06-29 | 2013-01-03 | Toyota Motor Engineering & Manufacturing North America, Inc. | Focusing device for low frequency operation |
| CN105487025A (zh) * | 2015-11-27 | 2016-04-13 | 宁波南车时代传感技术有限公司 | 基于磁场积分方程法的磁通门瞬态分析方法 |
Non-Patent Citations (2)
| Title |
|---|
| M. H. PHAM ET AL.: "A Model for the Forward Problem in Magnetic Induction Tomography Using Boundary Integral Equations", 《IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS》 * |
| 严家斌 等: "大地电磁三维矢量有限元正演", 《吉林大学学报(地球科学版)》 * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
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| CN107391434B (zh) | 2020-10-30 |
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