CN107336842A - 一种高超声速乘波鸭翼气动布局 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种高超声速乘波鸭翼气动布局，属于高超声速飞行器气动布局设计领域。该布局在鸭翼与主翼翼面参数的选取中融入乘波设计，能够在保证容积率的同时提高飞行器的高超声速气动特性；采用的鸭翼布局能够大幅提升飞行器的低速特性，并避免飞行器气动焦点在宽速域内的大幅移动，从而实现低、高速气动/操稳特性的兼顾。同时，通过对乘波鸭翼与乘波主翼间的相对位置进行合理设计，利用乘波鸭翼尾流的上洗流区增加主翼的有效迎角，进一步提升乘波主翼的高超声速气动特性。
Description
技术领域
本发明属于高超声速飞行器气动布局设计领域，具体是一种高超声速乘波鸭翼气动布局。
背景技术
高超声速飞行器设计的主要目标之一是追求巡航状态下的高升阻比与兼顾低、高速气动/操稳特性。
从提高高速气动性能角度来看，乘波构型是高超声速飞行器在巡航状态获得高升阻比的首选方案。乘波构型的原理是通过合理设计使得飞行器下表面产生的激波都附着在前缘，利用附体激波阻碍下表面高压流动泄露至上表面，从而利用下表面的波后高压气体获得较高的升阻比。但高容积率与高升阻比难以兼顾一直是乘波构型的一个设计瓶颈，而将乘波体构型和翼身组合体布局相结合是缓解这一矛盾的途径之一。
从兼顾低、高速气动特性和操稳特性来说，参照亚声速、超声速飞行器的设计经验，合理安排的鸭翼布局对提高飞行器的低速性能、操纵特性都有所助益。对于亚、超声速战斗机，例如歼20，置于主翼之前的鸭翼能够产生正升力，并以更小的翼面获得与常规布局水平尾翼相同的操纵效能。对于亚、超声速运输机，例如图-144，鸭翼设计能够改善飞行器的低速性能，增加主翼的升力并减少诱导阻力，获得更好的配平升阻比。
将乘波概念与采用鸭式布局的翼身组合体相结合应是探索飞行器获得巡航状态下的高升阻比并兼顾低、高速气动/操稳特性的有效途径之一。但是，目前乘波鸭翼布局尚未应用于高超声速飞行器，而由于流动特征的差异，亚、超声速鸭翼的设计经验并不完全适用于高超声速乘波鸭翼。从翼型的角度来看，亚声速鸭翼所用翼型的前缘钝度都较大，而此类翼型直接用于高超声速势必产生脱体激波，不仅无法获得乘波的效果，而且会产生较大的激波阻力，从而降低飞行器高超声速巡航状态的升阻比。从流动特征的角度来看，在亚声速流动中，有限翼展鸭翼的下表面高压会绕过翼梢，形成鸭翼翼梢涡流；这个涡流会对主翼外翼的气流造成上洗，对主翼内翼的气流造成下洗。在超声速流动中，未经乘波设计的鸭翼在翼梢处仍会发生高压泄露，但形成涡流的影响区域仅限于翼梢前缘的马赫锥内，范围远小于亚声速情况。
因此，结合以上两方面原因，高超声速乘波鸭翼布局的设计与亚、超声速鸭翼的设计完全不同。
发明内容
综上所述，本发明针对高超声速飞行器，为了有效提高其巡航状态下的升阻比并兼顾低、高速气动/操稳特性，提出了一种高超声速乘波鸭翼气动布局。在翼面设计中融入乘波概念，利用翼面下表面高压提高飞行器在高超声速巡航状态下的升阻比。鸭翼布局能够在配平状态下对升力产生有利贡献，且具有更高的操纵特性；在巡航状态，通过合理设计乘波鸭翼与乘波主翼间的相对位置，利用乘波鸭翼尾流的上洗流区增加乘波主翼的有效迎角，从而进一步增加其高超声速气动性能；同时，鸭翼布局能够大幅提升飞行器的低速特性，并避免飞行器气动焦点在宽速域内的大幅移动，从而实现低、高速气动/操稳特性的兼顾。
该气动布局的具体步骤如下：
步骤一、设计高超声速飞行器的机身气动外形，并确定机身的波后流场；
首先，依据飞行器的热防护需求设计机身头部，热防护要求越高机身头部曲率越大。
其次，根据热防护和内容积需求设计飞行器的机身；
最后，使用计算流体力学数值模拟方法确定机身的波后流场。
步骤二、初始设计满足乘波要求的主翼翼面参数和鸭翼翼面参数；
主翼翼面参数包括尖前缘翼型、翼面积、展长和展弦比。
鸭翼翼面参数包括尖前缘翼型，展长，展弦比和翼面积。
步骤三、设计鸭翼气动外形，并确定鸭翼与机身组合体的流场。
首先，在分析机身波后流场的基础上，在机身前半部的上洗流区选定鸭翼的安装位置。
其次，依据鸭翼前缘处的马赫数，在保证鸭翼在高超声速巡航状态下能够产生附体激波的前提下，对鸭翼的前缘后掠角和前缘楔角随展向的分布进行设计。
设计原理如下：
由斜激波理论可知，对于一个二维尖楔，在给定的来流马赫数下，存在一个临界楔角，当楔角不大于该临界值时产生附体激波，当楔角大于该临界值时则产生脱体激波。
激波角、楔角与马赫数之间的关系为
(Atan3βe+Ctanβe)tanδe+(1-Btan2βe)＝0 (1)
其中，
M1,e＝M1sinΛ δe＝arctan(tanδ/sinΛ)
式(1)和式(2)中，β表示激波角，δ表示楔角；M1表示波前马赫数，Λ表示后掠角，γ表示比热比，下标e表示考虑后掠角后的等效值。
存在直斜激波的最大楔角δe应满足
联立式(1)和(3)，最大楔角δe对应的激波角βe应满足
ABtan4βe-(BC+3A)tan2βe-C＝0 (4)
因此，最大楔角对应的激波角为
将式(5)代入式(1)得到存在直斜激波的最大楔角δe。最大楔角δe随波前等效马赫数M1,e的增大单调递增，并逐渐趋近于定值arcsin(1/γ)。
因此，利用式(1)、(2)和(5)，对于鸭翼的任意一个展向站位，当依据机身波后流场给定鸭翼前缘处的马赫数时，确定前缘楔角与后掠角保证激波不脱体的临界关系；当给定该展向站位的前缘楔角时，则前缘后掠角只要小于临界关系确定的值即达到乘波要求；当给定该展向站位的前缘后掠角时，则前缘楔角只要小于临界关系确定的值亦达到乘波要求。
最后，采用计算流体力学数值模拟方法确定机身与鸭翼组合体的波后流场。
步骤四、通过分析鸭翼与机身组合体的波后流场，确定鸭翼下游的上洗流区，并在该上洗流区中选定主翼的安装位置；
选择鸭翼下游的上洗流区原理如下：
飞行器以较小的正攻角巡航时，在鸭翼前缘处，下表面产生一道斜激波，上表面产生膨胀扇形区；在鸭翼后缘处，下表面产生膨胀波，上表面产生斜激波。尾流处，由于上、下区域密度不同，从后缘点将拖出一条滑移线。因此，依据鸭翼绕流的流场特征，鸭翼绕流分为上洗流区、扇形膨胀区、跨滑移线区、跨激波区和下洗流区五部分。
对于上洗流区，鸭翼干扰将有利于增大主翼的有效迎角，从而增大主翼升力。同时当主翼相比于鸭翼偏下方时，低速时鸭翼的涡流会减缓主翼背风区的边界层分离，具有更好的低速效应。
对于扇形膨胀区，由于膨胀波的影响，主翼的来流压力将明显小于自由来流压力，从而降低主翼下表面的压力和主翼的升力。
对于跨滑移线和跨激波的区域，滑移线和激波都属于间断，位于这两个区域会导致主翼翼面参数发生突变，对主翼产生不利影响。
对于下洗流区，鸭翼干扰将减小主翼的有效迎角，降低主翼升力。
综上所述，主翼应布置在鸭翼绕流的上洗流区，即纵向方向上主翼应在鸭翼后缘之后，垂直方向上鸭翼位置应略低于主翼。
步骤五、依据主翼前缘处的马赫数，对主翼的后掠角和前缘楔角随展向的分布进行设计。
乘波主翼的设计准则与乘波鸭翼相同。
步骤六、对采用乘波鸭翼布局的高超声速翼身组合体的气动性能进行模拟，优化鸭翼翼面参数和主翼翼面参数；
步骤七、以保证横侧向操稳特性为准则，确定垂尾的面积以及垂尾与主翼间的间距，并加装于翼身组合体上，完成高超声速乘波鸭翼气动布局的设计。
本发明的优点在于：
1、一种高超声速乘波鸭翼气动布局，经过良好乘波设计的高超声速鸭翼，鸭翼与主翼中乘波概念的应用使得翼面下表面产生的激波都附着在前缘，能够合理利用下表面的波后高压气体不会发生较大泄露，为飞行器提供具有更高气动性能的升力面和控制面。
2、一种高超声速乘波鸭翼气动布局，鸭翼布局能够产生正升力，并具有比常规布局平尾更高的操纵性能，能够以更小的舵面面积和更小的舵偏角实现配平，从而有助于减小飞行器的结构重量和配平阻力。
3、一种高超声速乘波鸭翼气动布局，在高超声速巡航状态，通过合理设计鸭翼与主翼间的相对位置，利用鸭翼尾流的上洗流区增加主翼的有效迎角，能够获得相比于常规构型更好的巡航气动性能。
4、一种高超声速乘波鸭翼气动布局，鸭翼布局能够大幅提升飞行器的低速特性，并能够减小飞行器宽速域的气动焦点移动量，从而实现低、高速气动/操稳特性的兼顾。
附图说明
图1为本发明采用乘波鸭翼气动布局的高超声速飞行器的三视图和等轴视图示意图；
图2为本发明鸭翼绕流流场分区示意图；
图3为本发明一种高超声速乘波鸭翼气动布局的流程图；
图4为本发明乘波前缘设计准则验证示意图；
图5为本发明高超声速二维平板流场的特征线法计算的压力系数云图；
图6为本发明高超声速二维平板流场的特征线法计算的马赫数云图。
图中：
1-乘波主翼 2-乘波鸭翼 3-单垂尾
4-机身 5-代表鸭翼的平板 6-激波
7-滑移线 8-上洗流区 9-扇形膨胀波区
10-下洗流区
具体实施例
下面结合附图对本发明的具体实施方法进行详细说明。
本发明一种高超声速乘波鸭翼气动布局，采用乘波鸭翼的高超声速气动布局，由于流场特征不同，其设计原理有别于亚、超声速飞行器。在翼面设计中融入乘波概念，通过设计能够完全产生附体激波的前缘，将前缘激波产生的高压气体控制于下表面，从而增加了鸭翼与主翼的升阻比；相比于位于飞行器重心之后的常规布局平尾，由于鸭翼位于飞行器重心之前，因此能够在配平状态下产生正升力，从而对飞行器气动性能的提升有所助益，具有更高的操纵特性；通过合理设计鸭翼与主翼间的相对位置，利用鸭翼尾流的上洗流区，增大了主翼的有效迎角，从而改善了主翼的气动性能。
本发明飞行器气动布局中，根据内容积和热防护需求设计机身，如图1所示，高超声速飞行器具有一对乘波主翼1、一对乘波鸭翼2、一个单垂尾3和一个具有尖锥/钝锥头部的机身4。其中，主翼1与鸭翼2均沿机身4对称面左右对称安装于机身4上。机身4的尺寸以满足容积要求为准；鸭翼2与主翼1的翼面选取均融入乘波概念，保证高压气体能够较好地控制在各自翼面的下表面。鸭翼2位于机身4前半段，主翼1应处于鸭翼2尾流的上洗流区，在纵向方向上主翼1应在鸭翼2后缘之后，在垂直方向上鸭翼2位置应略低于主翼1；垂尾3根据飞行器的种类及配平需求设计。
如图3所示，具体步骤如下：
步骤一、设计高超声速飞行器的机身气动外形，并确定机身的波后流场；
首先，依据飞行器的热防护需求设计机身头部，热防护要求越高机身头部曲率越大。
其次，根据热防护和内容积需求设计飞行器的机身。
为了降低表面热流率，机身迎风面的曲率应尽可能的大。
最后，使用计算流体力学数值模拟方法确定机身的波后流场。
步骤二、初始设计满足乘波要求的鸭翼翼面参数和主翼翼面参数；
首先，选定主翼的翼型、翼面积、展长和展弦比。对于乘波主翼的翼型，由于超声速飞行器的机翼气动特性对翼型的形状并不敏感，因此翼型为了满足乘波要求应为尖前缘；对于主翼的翼面积、展长和展弦比可参照超声速飞行器机翼总体设计的经验确定。
其次，选定鸭翼的翼型、展长和展弦比。乘波鸭翼翼型的选取原则与乘波主翼相同，只需满足尖前缘要求。鸭翼展长和展弦比可参照超声速飞行器鸭翼总体设计的经验确定。最后，根据配平需求确定鸭翼的翼面积。
步骤三、设计鸭翼气动外形，并确定鸭翼与机身组合体的流场。
首先，在分析机身波后流场的基础上，在机身前半部的上洗流区选定鸭翼的安装位置；鸭翼设计靠近头部。
上洗流区能够增加鸭翼的有效迎角，从而在相同的巡航状态下增大鸭翼的气动力系数并提高其操纵性。
其次，依据鸭翼前缘处的马赫数，在保证鸭翼在高超声速巡航状态下能够产生附体激波的前提下，对鸭翼的前缘后掠角和前缘楔角随展向的分布进行设计。
设计原理如下：
由斜激波理论可知，对于一个二维尖楔，在给定的来流马赫数下，存在一个临界楔角，当楔角不大于该临界值时产生附体激波，当楔角大于该临界值时则产生脱体激波。
激波角、楔角与马赫数之间的关系为
(Atan3βe+Ctanβe)tanδe+(1-Btan2βe)＝0 (6)
其中，
M1,e＝M1sinΛ δe＝arctan(tanδ/sinΛ)
式(1)和式(2)中，β表示激波角，δ表示楔角；M1表示波前马赫数，Λ表示后掠角，γ表示比热比，下标e表示考虑后掠角后的等效值。
存在直斜激波的最大楔角δe应满足
联立式(1)和(3)，最大楔角δe对应的激波角βe应满足
ABtan4βe-(BC+3A)tan2βe-C＝0 (9)
因此，最大楔角对应的激波角为
将式(5)代入式(1)得到存在直斜激波的最大楔角δe。最大楔角δe随波前等效马赫数M1,e的增大单调递增，并逐渐趋近于定值arcsin(1/γ)。
因此，利用式(1)、(2)和(5)，对于鸭翼的任意一个展向站位，若依据机身波后流场给定鸭翼前缘处的马赫数，都能够确定前缘楔角与后掠角保证激波不脱体的临界关系。若给定该展向站位的前缘楔角，则前缘后掠角只要小于临界关系确定的值即可达到乘波要求；若给定该展向站位的前缘后掠角，则前缘楔角只要小于临界关系确定的值亦可达到乘波要求。
最后，采用计算流体力学数值模拟方法确定机身与鸭翼组合体的波后流场。
步骤四、通过分析鸭翼与机身组合体的波后流场，确定鸭翼下游的上洗流区，并在该上洗流区中选定主翼的安装位置；
选择鸭翼下游的上洗流区原理如下：
如2所示，将鸭翼2简化为一个高超声速无粘来流下的二维平板5，忽略三维效应和粘性效应，对鸭翼2绕流特征进行分析：
飞行器通常以较小的正攻角巡航，平板5前缘下表面为迎风面，产生一道斜激波；平板5上表面为背风区，流体膨胀，形成Prandtl-Meyer膨胀扇形区9；在激波和膨胀波后，平板5上下表面附近为均匀流区，且此区相对于来流流线倾角减小，为下洗流。
在平板5后缘处，由于迎风面压力高，背风面压力低，在尾流处为平衡上下的压强和流动方向，迎风面后缘将产生膨胀波，背风面后缘将产生激波，后缘激波与膨胀波间的尾流属于上洗流动；虽然尾流处上下表面压强和流动方向匹配，但从来流到尾流的总压恢复并不相同。因此，上下速度不同，马赫数不同。在无粘流动中，在后缘点将引出一条滑移线7，滑移线7两侧的流体有速度差；在有粘流动中，滑移线7对应涡。因此，依据鸭翼绕流的流场特征，鸭翼绕流可分为上洗流区8、扇形膨胀区9、跨滑移线区7、跨激波区6和下洗流区10五部分。
对于上洗流区8，鸭翼干扰将有利于增大主翼的有效迎角，从而增大主翼升力。同时当主翼相比于鸭翼偏下方时，低速时鸭翼的涡流会减缓主翼背风区的边界层分离，具有更好的低速效应。
对于扇形膨胀区9，由于膨胀波的影响，主翼的来流压力将明显小于自由来流压力，从而降低主翼下表面的压力和主翼的升力。
对于跨滑移线区7和跨激波区6，滑移线和激波都属于间断，位于这两个区域会导致主翼翼面参数发生突变，对主翼产生不利影响。
对于下洗流区10，鸭翼干扰将减小主翼的有效迎角，降低主翼升力。
综上所述，主翼应布置在鸭翼绕流的上洗流区，即纵向方向上主翼应在鸭翼后缘之后，垂直方向上鸭翼位置应略低于主翼。
步骤五、依据主翼前缘处的马赫数，在保证主翼在高超声速巡航状态下能够产生附体激波的前提下，对主翼的后掠角和前缘楔角随展向的分布进行设计。
乘波主翼的设计准则与乘波鸭翼相同，设计原理如下：
由斜激波理论可知，对于一个二维尖楔，在给定的来流马赫数下，存在一个临界楔角，当楔角不大于该临界值时产生附体激波，当楔角大于该临界值时则产生脱体激波。
激波角、楔角与马赫数之间的关系为
(Atan3βe+Ctanβe)tanδe+(1-Btan2βe)＝0 (11)
其中，
M1,e＝M1sinΛ δe＝arctan(tanδ/sinΛ)
式(1)和式(2)中，β表示激波角，δ表示楔角；M1表示波前马赫数，Λ表示后掠角，γ表示比热比，下标e表示考虑后掠角后的等效值。
存在直斜激波的最大楔角δe应满足
联立式(1)和(3)，最大楔角δe对应的激波角βe应满足
ABtan4βe-(BC+3A)tan2βe-C＝0 (14)
因此，最大楔角对应的激波角为
将式(5)代入式(1)得到存在直斜激波的最大楔角δe。最大楔角δe随波前等效马赫数M1,e的增大单调递增，并逐渐趋近于定值arcsin(1/γ)。
因此，利用式(1)、(2)和(5)，对于主翼的任意一个展向站位，若依据机身波后流场给定主翼前缘处的马赫数，都能够确定前缘楔角与后掠角保证激波不脱体的临界关系。若给定该展向站位的前缘楔角，则前缘后掠角只要小于临界关系确定的值即可达到乘波要求；若给定该展向站位的前缘后掠角，则前缘楔角只要小于临界关系确定的值亦可达到乘波要求。
步骤六、对采用乘波鸭翼布局的高超声速翼身组合体的气动性能进行模拟，优化鸭翼翼面参数和主翼翼面参数；
步骤七、根据飞行器类型及横侧向配平需求，以保证横侧向操稳特性为准则，确定垂尾的面积以及垂尾与主翼间的间距，并加装于翼身组合体上，完成高超声速乘波鸭翼气动布局的设计。
实施例1：设计状态来流马赫数为2，楔角为4°，将乘波鸭翼或乘波主翼的前缘简化为两个相连的楔形体，一个有后掠、一个无后掠。由式(1)和(5)确定的乘波后掠角最大值为50.063°，如图4所示，对比了后掠角分别为50°和51°两种情况：当后掠角小于乘波后掠角最大值时，模型前缘为附着激波，如左侧子图所示；当后掠角大于乘波后掠角最大值时，模型前缘激波脱体，有少量高压气体泄露，如右侧子图所示。数值模拟结果表明，本发明所采用的激波不脱体临界关系适用于本发明的翼面乘波设计。
实施例2：设计状态飞行马赫数为6，迎角10°，乘波鸭翼的简化模型二维平板的特征线法数值模拟结果，如图5和图6所示，图5为压力系数云图，图6为马赫数云图。图中可见，平板5前缘的下表面产生斜激波，上表面形成膨胀扇形区；在前缘的激波和膨胀波后，平板上下表面附近为均匀流区；后缘处，下表面后缘产生膨胀波，上表面后缘形成斜激波；尾流处，上下表面压强匹配，但马赫数不同，从后缘点将引出一条滑移线。特征线法的数值模拟结果表明，在不同马赫数下，尾流速度倾角均大于来流迎角，如图6所示，高超声速鸭翼后缘激波与膨胀波间的尾流属于上洗流动。
Claims (4)
1.一种高超声速乘波鸭翼气动布局，其特征在于，在鸭翼与主翼翼面参数的选取中融入乘波设计，并利用乘波鸭翼尾流的上洗流区增加主翼的有效迎角从而提升飞行器的高超声速气动特性，具体设计步骤如下：
步骤一、设计高超声速飞行器的机身气动外形，并确定机身的波后流场；
步骤二、初始设计满足乘波要求的主翼翼面参数和鸭翼翼面参数；
主翼翼面参数和鸭翼翼面参数均包括尖前缘翼型、翼面积、展长和展弦比；
步骤三、设计鸭翼气动外形，并确定鸭翼与机身组合体的流场；
首先，在分析机身波后流场的基础上，在机身前半部的上洗流区选定鸭翼的安装位置；
其次，依据鸭翼前缘处的马赫数，在保证鸭翼在高超声速巡航状态下能够产生附体激波的前提下，对鸭翼的前缘后掠角和前缘楔角随展向的分布进行设计；
最后，采用计算流体力学数值模拟方法确定机身与鸭翼组合体的波后流场；
步骤四、通过分析鸭翼与机身组合体的波后流场，确定鸭翼下游的上洗流区，并在该上洗流区中选定主翼的安装位置；
步骤五、依据主翼前缘处的马赫数，对主翼的后掠角和前缘楔角随展向的分布进行设计；
乘波主翼的设计准则与乘波鸭翼相同；
步骤六、对采用乘波鸭翼布局的高超声速翼身组合体的气动性能进行模拟，优化鸭翼翼面参数和主翼翼面参数；
步骤七、以保证横侧向操稳特性为准则，确定垂尾的面积以及垂尾与主翼间的间距，并加装于翼身组合体上，完成高超声速乘波鸭翼气动布局的设计。
2.如权利要求1所述的一种高超声速乘波鸭翼气动布局，其特征在于：所述的步骤二中，鸭翼与主翼的前缘为能够产生附体激波的尖前缘。
3.如权利要求1所述的一种高超声速乘波鸭翼气动布局，其特征在于，所述步骤四中，选择鸭翼下游的上洗流区原理如下：
飞行器以较小的正攻角巡航时，在鸭翼前缘处，下表面产生一道斜激波，上表面产生膨胀扇形区；在鸭翼后缘处，下表面产生膨胀波，上表面产生斜激波；尾流处，由于上、下区域密度不同，从后缘点将拖出一条滑移线；因此，依据鸭翼绕流的流场特征，鸭翼绕流分为上洗流区、扇形膨胀区、跨滑移线区、跨激波区和下洗流区五部分；
对于上洗流区，鸭翼干扰将有利于增大主翼的有效迎角，从而增大主翼升力；同时当主翼相比于鸭翼偏下方时，低速时鸭翼的涡流会减缓主翼背风区的边界层分离，具有更好的低速效应；
对于扇形膨胀区，由于膨胀波的影响，主翼的来流压力将明显小于自由来流压力，从而降低主翼下表面的压力和主翼的升力；
对于跨滑移线和跨激波的区域，滑移线和激波都属于间断，位于这两个区域会导致主翼翼面参数发生突变，对主翼产生不利影响；
对于下洗流区，鸭翼干扰将减小主翼的有效迎角，降低主翼升力；
综上所述，主翼应布置在鸭翼绕流的上洗流区，即纵向方向上主翼应在鸭翼后缘之后，垂直方向上鸭翼位置应略低于主翼。
4.如权利要求1所述的一种高超声速乘波鸭翼气动布局，其特征在于，所述的步骤三和步骤五中，乘波鸭翼和乘波主翼的气动外形设计原理遵循激波不脱体的临界关系；
激波不脱体的临界关系具体为：
计算激波角、楔角与马赫数之间的关系：
(Atan3βe+Ctanβe)tanδe+(1-Btan2βe)＝0 (1)
其中，
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&gamma;</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msubsup>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>e</mi>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
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<mi>M</mi>
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<mn>1</mn>
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<mn>2</mn>
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<mn>1</mn>
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<mtd>
<mrow>
<mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&gamma;</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msubsup>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>e</mi>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
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</mtd>
</mtr>
<mtr>
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<mtr>
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<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
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<mi>M</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
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<mi>&Lambda;</mi>
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</mtd>
<mtd>
<mrow>
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<mi>&delta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>tan</mi>
<mi>&delta;</mi>
<mo>/</mo>
<mi>sin</mi>
<mi>&Lambda;</mi>
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</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
β表示激波角，δ表示楔角；M1表示波前马赫数，Λ表示后掠角，γ表示比热比，下标e表示考虑后掠角后的等效值；
存在直斜激波的最大楔角δe应满足的条件：
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msub>
<mi>tan&delta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msub>
<mi>tan&beta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>3</mn>
<mi>A</mi>
<mi> </mi>
<msup>
<mi>tan</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<msub>
<mi>&beta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>C</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>tan&delta;</mi>
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>,</mo>
<mi>max</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
<mi>B</mi>
<mi> </mi>
<msub>
<mi>tan&beta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi>A</mi>
<mi> </mi>
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<mi>tan</mi>
<mn>2</mn>
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<msub>
<mi>&beta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>C</mi>
<mi> </mi>
<msub>
<mi>tan&beta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
联立式(1)和(3)，最大楔角δe对应的激波角βe应满足
ABtan4βe-(BC+3A)tan2βe-C＝0 (4)
因此，最大楔角对应的激波角为
<mrow>
<msub>
<mi>tan&beta;</mi>
<mi>e</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>B</mi>
<mi>C</mi>
<mo>+</mo>
<mn>3</mn>
<mi>A</mi>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>B</mi>
<mi>C</mi>
<mo>+</mo>
<mn>3</mn>
<mi>A</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>4</mn>
<mi>A</mi>
<mi>B</mi>
<mi>C</mi>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>A</mi>
<mi>B</mi>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
将式(5)代入式(1)得到存在直斜激波的最大楔角δe；最大楔角δe随波前等效马赫数M1,e的增大单调递增，并逐渐趋近于定值arcsin(1/γ)；
因此，利用式(1)、(2)和(5)，对于鸭翼的任意一个展向站位，当依据机身波后流场给定鸭翼前缘处的马赫数时，确定前缘楔角与后掠角保证激波不脱体的临界关系；当给定该展向站位的前缘楔角时，则前缘后掠角只要小于临界关系确定的值即达到乘波要求；当给定该展向站位的前缘后掠角时，则前缘楔角只要小于临界关系确定的值亦达到乘波要求。
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