CN107332232A - 一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提出一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法，属于电力系统优化技术领域。该方法首先建立同步发电机无功功率上、下限与有功功率间的一次函数关系并得到相关参数，确定在低负荷阶段发电机做类同步调相机运行的场景数量，建立类同步调相机优化配置模型；将模型分解为主问题模型和子问题模型；对主问题模型求解，得到类同步调相机优选结果；将主问题模型的解带入子问题模型，在每个场景下，子问题模型对主问题模型解进行交流可行性校验，迭代循环求解，直到得到主问题模型的最优解。本发明通过合理配置类同步调相机，增强了大型城市电网的电压控制手段，更好发挥了城市电网自身存在的电压无功调节潜力，保障了电力系统的安全稳定运行。

Description

一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法
技术领域
本发明属于电力系统优化的技术领域，具体地涉及一种大型城市电网的类同步调相机的优化方法。
背景技术
城市电网泛指为城市供电的各电压等级电力系统，不仅是城市重要基础设施，还是区域电力系统的重要组成部分，具有用量大、负荷密度高、供电质量要求高等特点。
按照2014年国务院发布的《关于调整城市规模划分标准的通知》，我国符合超大型城市标准的有北京、上海、天津、重庆、广州、深圳6座城市，符合特大型标准的有南京、杭州、武汉等10座城市，符合大型标准的有124座。受我国能源结构调整、发展策略及环保排放方面影响，区外来电比重增加、区内电源数量减少正逐渐成为大型城市电网的主要特征。
同步发电机是电力系统中最重要的动态无功源，区内电源数量不足的大型城市电网面临动态无功储备不足、无功电源支撑缺乏的问题。尤其是在城市电网在负荷低谷期间，电压偏高越限的问题是逐渐突出。根据华东地区部分城市电网低负荷期间同步发电机无功功率的运行统计数据，尽管机组已达到吸收无功功率能力的上限，电网中节点电压偏高的问题依然存在。因此开展高受电比重弱电源支撑大型城市电网的动态无功源的配置研究非常重要。
根据国家电网公司战略规划，在“十三五”期间，将在多回特高压直流的送受端加装同步调相机以应对特高压直流送受端动态无功储备和电压支撑不足的突出问题；同步调相机即为运行于电动机状态，不带机械负载也不带原动机，只向电力系统提供或吸收无功功率的同步电机。同步调相机的配置和运行成本较高，考虑大型城市电网的区外来电比重大，区内电源功率水平较低的特点，将现有城市电网内的同步发电机进行电气化改造，以使其可以在低有功功率输出的状态下运行而扩大其无功功率范围是一个有效的提高城市电网电压支撑能力的手段。将同步发电机经过电气化改造后，其无功功率范围得到扩大，而在低有功功率运行，称为类同步调相机。类同步调相机是一种实现大型城市电网电压安全稳定的新技术，可参与城市电网的电压安全控制。
作为动态无功设备，类同步调相机既可以通过进相运行吸收无功以缓解大型城市电网电压偏高的问题，也可以动态地输出无功功率以应对大型城市电网的交直流系统稳态故障，与STATCOM(静止同步补偿装置)等FACTS(柔性交流输电系统)设备相比，FACTS设备虽然在响应速度上更有优势，但类同步调相机从系统惯性、提高系统短路比、改造的经济性方面效果更优。
因此开展如何基于目前城市电网中现有的同步发电机的参数和电压控制潜力和在网络中的电压控制效果来选择进行电气化改造，进而作为类同步调相机运行的研究，实现类同步调相机作为无功补偿装置的优化配置是这一技术手段投入应用前需要解决的关键问题。无功补偿装置的优化配置问题包括对无功补偿装置的选址和容量确定，所建立的优化模型是一个含有混合整数变量的非凸非线性的优化问题，在考虑多运行场景的情况下，求解难度较大。目前的发明专利主要体现为无功补偿装置的选址问题，所使用的方法主要是基于排序的自动选址和动态规划的方法。
中国发明专利(申请号201610262591.9)一种大电网无功补偿自动选址及容量优化方法，提供一种大电网无功补偿自动选址及容量优化方法，利用归一化处理方法和不同权重系数,实现无功补偿的自动选址,减少了无功补偿手工计算的工作量。但没有考虑同步发电机可以进行类同步调相机运行的技术，也没有给出明确的优化算法。
中国发明专利(申请号201610387208.2)考虑暂态电压稳定性的动态无功规划选址分析方法及系统，适用于交直流混联电网中的动态无功规划选址问题中,具有高效简易、与工程紧密结合等优点，并能够有效防止动态无功规划选址待选补偿点的冗余性。也没有考虑将类同步调相机运行的同步发电机作为动态无功源，没有利用优化算法进行最优化的决策。
发明内容
本发明的目的是为填补现有技术中没有提供城市电网中做类同步调相机运行的同步发电机优化配置方法的空白，提出一种大型城市电网内类同步调相机的优选方法。本发明通过合理配置类同步调相机，增强了大型城市电网的电压控制手段，更好地发挥了城市电网自身存在的电压无功调节潜力，更好地保障了电力系统的安全稳定运行。
本发明提出的一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)对进行类同步调相机优选的电力系统建立分别反映发电机无功功率上、下限与有功功率之间的一次函数关系，表达式如下：
其中是任意情景s下发电机的有功功率；和分别是发电机正常运行时无功功率的上下限；aGi,bGi,cGi,dGi分别是发电机无功功率与发电机有功功率关系的线性化参数；
2)根据在低负荷阶段发电机做类同步调相机运行的各类运行场景，确定运行场景的数量，设共有ns个场景；
3)对进行类同步调相机优选的电力系统建立类同步调相机优化配置模型；具体步骤如下：
3-1)确定优化配置模型的目标函数，表达式如式(1)所示：
式(1)的目标函数是对电压越限量和发电机无功功率进行最小化，其中和分别是节点i电压幅值越下限和上限的松弛量；和分别是发电机节点i无功功率越下限和上限的松弛量；nb和nG分别是系统节点数和发电机数；χ和η分别是目标函数中电压松弛量和无功松弛量的系数，χ远大于η，χ和η均为非负数；
3-2)优化配置模型的约束条件包括：
3-2-1)发电机是否做类同步调相机运行的约束，表达式如式(2)所示:
KGi∈{0,1} (2)
以KGi作为发电机是否做类同步调相机运行的状态，KGi为0时发电机做类同步调相机运行，KGi为1时发电机正常运行；
3-2-2)有功功率的约束,表达式如式(3)和(4)所示：
式(3)表示发电机正常运行时的有功功率上下限约束；式(4)表示发电机做类同步调相机运行时的有功功率上下限约束；其中和分别是发电机正常运行时有功功率功率的上下限；α和β分别是发电机做类同步调相机运行时有功功率的范围系数；
3-2-3)无功功率的约束，表达式如式(5)和式(6)所示：
式(5)表示发电机正常运行时的无功功率上下限约束；式(6)表示发电机做类同步调相机运行时的无功功率上下限约束；其中是情景s下该发电机的无功功率；
3-2-4)潮流等式约束，表达式如式(7)和(8)所示：
其中和分别是情景s下节点i的有功和无功负荷；λs是最低稳定裕度；Gij和Bij分别是节点导纳矩阵中元素i-j的实部和虚部；θij是节点i-j间的电压相角差；
3-2-5)电压松弛与无功松弛的约束，表达式如式(9)-(12)所示：
4)对步骤3)建立的类同步调相机优化配置模型进行分解；
利用Benders分解法将优化配置模型分解为一个含整数变量的线性化主问题模型和一个不含整数变量的非线性子问题模型，具体步骤如下：
4-1)建立主问题模型；
在低负荷时段，将电压相角的三角函数值和电压幅值的二次项进行近似；
在低负荷状态下，近似认为节点间电压相角足够小，等效表达式如式(13)所示：
cosθij＝1 (13)
在低负荷状态下，电压幅值接近于标幺值1，对式(7)和式(8)中电压的二次项进行泰勒展开，等效表达式如式(14)、(15)所示：
ViVj＝Vi+Vj-1 (15)
主问题模型的目标函数为电压幅值偏离约束的最小化，表达式如式(16)所示：
主问题模型的约束条件包括：
电压松弛约束，表达式如式(17)和(18)所示：
有功功率的上下限约束，表达式如式(19)-(20)所示：
无功功率的上下限约束，表达式如式(21)-(22)所示：
对式(19)-(21)中变量相乘进行转换，增加约束，去掉非线性的项，替换成如式(23)和(24)所示：
替换后无功功率的上下限约束的表达式如式(25)-(28)所示：
其中和分别为发电机做类同步调相机运行的无功功率上下限；
将式(7)和式(8)进行有功和无功的解耦，分别建立有功和无功的潮流约束，表达式如式(29)-(34)所示：
其中表示线路i-j的充电电容；表示线路i-j在节点i的充电无功；xij为线路i-j的电抗；和分别是节点i的无功负荷和有功负荷；和分别是支路i-j的的无功潮流和有功潮流；
4-2)建立子问题模型；
对每一个运行场景，子问题模型的目标函数是对发电机无功功率越限松弛量的最小化，记为νs，表达式如式(35)所示：
子问题模型的约束条件包括：
将主问题模型对于发电机选择作为类同步调相机的0/1变量作为常量传递给子问题模型，并求得对应等式约束的拉格朗日乘子如式(36)所示：
对线性化变量替换的定义和有功无功功率上下限的约束如式(38)-式(47)所示：
交流潮流等式约束如式(48)和式(49)所示：
电压松弛量约束如式(50)-式(52)所示：
5)对主问题模型进行求解，得到主问题模型的求解结果；
6)将步骤5)中主问题模型的求解结果代入子问题模型，并在每种场景中对子问题模型进行求解；对每个场景下的子问题模型的求解结果进行判定，即子问题模型的目标函数值是否小于设定的阈值：
若子问题模型的目标函数值大于等于设定的阈值，则根据子问题模型的计算结果，形成Benders割反馈给主问题模型，表达式如式(53)所示：
每个场景形成一个Benders割，每次迭代共形成ns个Benders割作为约束反馈给主问题模型，重新返回步骤5)对主问题模型的求解；
若子问题模型的目标函数值小于设定的阈值，则求解结束，主问题模型的求解结果即为最终得到的类同步调相机的优选结果。
本发明的特点及有益效果在于：
1)依据本发明所提出的方法获得的类同步调相机优选结果，能在对原有系统内发电机进行相对少的改造的前提下，实现在多场景下的最优电压控制，使系统内的节点电压幅值的越限程度最小。
2)本发明提出一种实现大型城市电网电压安全稳定的新技术，即类同步调相机。通过降低同步发电机有功功率处理，从而扩大其无功功率范围，参与大型城市电网的电压安全控制。
2)本发明通过选择同步发电机做类同步调相机运行，不需要额外增建设备，增强了大型城市电网的电压控制手段，更好地发挥了大型城市电网自身存在的电压无功调节潜力。
3)本发明运用合适的优化方法，可利用成熟的优化软件有效、准确地将原有的非线性混合整数优化模型实现求解。
附图说明
图1为本发明方法的流程框图。
图2为本发明实施例中发电机有功功率与无功功率关系示意图。
具体实施方式
本发明提出的一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法，下面结合附图和具体实施例进一步详细说明如下。
本发明提出的一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法，该方法首先建立电力系统内同步发电机(简称发电机)无功功率上、下限与有功功率之间的一次函数关系并得到线性化参数；确定在低负荷阶段发电机做类同步调相机运行的场景数量，然后建立包含发电机是否进行类同步调相机运行0/1变量的混合整数非线性优化配置模型，并利用Benders分解法将该模型分解为一个混合整数变量的线性化模型作为主问题模型，和一系列考虑各种运行状态的非线性子问题模型；对主问题模型求解，得到类同步调相机的优选结果；将主问题模型的解带入子问题模型，在每个场景下，子问题模型对主问题模型的解进行交流可行性的校验，并反馈Benders割给主问题模型，迭代循环求解，直到得到主问题模型的最优解。该方法整体流程如图1所示，包括以下步骤：
1)对进行类同步调相机优选的电力系统建立分别反映发电机无功功率上、下限与有功功率之间的一次函数关系，表达式如下：
其中是任意情景s下发电机节点i的有功功率；和分别是发电机正常运行时无功功率的上下限；aGi,bGi,cGi,dGi分别是发电机无功功率与发电机有功功率关系的线性化参数。
传统的发电机有功无功功率的关系如图2中所示的曲线关系，而在本发明当中，将曲线关系线性化为如图2所示的两条经过曲线与坐标轴交点的一次函数关系的直线，分别反映发电机无功功率上、下限与有功功率之间的关系。图2中，横轴正方向表示发电机无功功率的上限Qgmax，负方向表示无功功率的下限Qgmin，纵轴表示发电机的有功功率Pg，曲线即为传统的发电机无功功率上、下限与有功功率之间的关系，为简化该关系，将曲线关系线性化两条经过曲线与坐标轴交点的一次函数关系的直线，经过横轴正方向的直线反映发电机无功功率上限与有功功率之间的关系；经过横轴负方向的直线反映发电机无功功率下限与有功功率之间的关系。
2)分析在低负荷阶段发电机做类同步调相机运行的各类运行场景，包括支路断线，发电机停运等等，可根据需要确定运行场景的数量，本发明共设ns个场景。设置场景的方法即通过在系统数据中通过增加或减少支路、发电机等实现。
3)对进行类同步调相机优选的电力系统建立类同步调相机优化配置模型；具体步骤如下：
3-1)确定优化配置模型的目标函数，表达式如式(1)所示：
式(1)的目标函数是对电压越限量和发电机无功功率进行最小化，并考虑多场景运行，求取目标。其中和分别是节点i电压幅值越下限和上限的松弛量；和分别是发电机节点i无功功率越下限和上限的松弛量；ns、nb和nG分别是场景数、系统节点数和发电机数，场景数根据希望考虑的运行场景选取，系统节点数和发电机数则为相应的系统参数；χ和η分别是目标函数中电压松弛量和无功松弛量的系数，优先考虑电压松弛量，因此χ远大于η，一般研究中也可以认为η为0，χ为1，χ和η均取为非负数。
3-2)优化配置模型的约束条件包括：
3-2-1)发电机是否做类同步调相机运行的约束，表达式如式(2)所示:
KGi∈{0,1} (2)
以KGi作为发电机是否做类同步调相机运行的状态，KGi为0时发电机做类同步调相机运行，KGi为1时发电机正常运行。
3-2-2)有功功率的约束,表达式如式(3)和(4)所示：
式(3)表示发电机正常运行时的有功功率上下限约束；式(4)表示发电机做类同步调相机运行时的有功功率上下限约束；其中是情景s下该发电机的有功功率；和分别是发电机正常运行时有功功率功率的上下限；α和β分别是发电机做类同步调相机运行时有功功率的范围系数，一般可根据类同步调相机的低功率运行能力，取α为0-0.1，β为0.3-0.5。
3-2-3)无功功率的约束，表达式如式(5)和式(6)所示：
式(5)表示发电机正常运行时的无功功率上下限约束；式(6)表示发电机做类同步调相机运行时的无功功率上下限约束；其中是情景s下该发电机的无功功率；和分别是发电机正常运行时无功功率的上下限；aGi,bGi,cGi,dGi分别是步骤1)得到的发电机无功功率与发电机有功功率关系的线性化参数。
3-2-4)潮流等式约束，表达式如式(7)和(8)所示：
其中和分别是情景s下节点i的有功和无功负荷；λs是要求的最低稳定裕度；Gij和Bij分别是节点导纳矩阵中元素i-j的实部和虚部；θij是节点i-j间的电压相角差。
3-2-5)电压松弛与无功松弛的约束，表达式如式(9)-(12)所示：
步骤3)建立的模型为一个含有整数变量的非线性模型。
4)对步骤3)建立的类同步调相机优化配置模型进行分解；本发明利用Benders分解法将优化配置模型分解为一个含整数变量的线性化主问题模型和一个不含整数变量的非线性子问题模型。首先让主问题模型在不同场景下进行优化，求得可以让电压越限最小的类同步调相机的配置方案，再让子问题模型在每个场景下对主问题的解进行交流潮流的校验，反馈给主问题模型形成Benders割继续计算，直到优化出满足交流潮流可行性优化的主问题模型最优解。具体步骤如下：
4-1)建立主问题模型；
在低负荷时段，将电压相角的三角函数值和电压幅值的二次项进行近似。
在低负荷状态下，可以近似认为节点间电压相角足够小，等效表达式如式(13)所示：
cosθij＝1 (13)
在低负荷状态下，电压幅值接近于标幺值1，对潮流方程式(7)和式(8)中电压的二次项进行泰勒展开，则等效表达式如式(14)、(15)所示：
ViVj＝Vi+Vj-1 (15)
在低负荷状态下，不再考虑有功潮流约束，建立Benders分解法主问题的模型。主问题模型的目标函数与原问题模型一致，为电压幅值偏离约束的最小化，表达式如式(16)所示：
主问题模型的约束条件包括：
电压松弛约束，表达式如式(17)和(18)所示：
有功功率的上下限约束，表达式如式(19)-(20)所示：
无功功率的上下限约束，表达式如式(21)-(22)所示：
而以上式(19)-(21)表达不完全是线性的约束，其中包括两个变量相乘的结果，因此需要对变量相乘进行转换，增加约束，去掉非线性的项，替换成如式(23)和(24)所示：
增加约束，相当于对和的定义，替换后无功功率的上下限约束的表达式如式(25)-(28)所示：
其中和分别为发电机做类同步调相机运行的无功功率上下限。
将非线性的潮流约束式(7)和式(8)进行有功和无功的解耦，分别建立有功和无功的潮流约束，表达式如式(29)-(34)所示:
其中表示线路i-j的充电电容；表示线路i-j在节点i的充电无功；xij为线路i-j的电抗；和分别是节点i的无功负荷和有功负荷；和分别是支路i-j的的无功潮流和有功潮流。
4-2)建立子问题模型。子问题模型用来检验主问题模型的结果在交流潮流中的可行性，每个子问题模型针对一个运行场景，子问题模型的目标函数是对发电机无功功率越限松弛量的最小化，并令其为νs，表达式如式(35)所示：
子问题模型的约束条件包括：
将主问题模型对于发电机选择作为类同步调相机的0/1变量作为常量传递给子问题模型，并求得对应等式约束的拉格朗日乘子如式(36)所示：
其余约束与原问题优化配置的约束基本相同，相应的松弛约束进行了调整，如式(37)-(52)所示，对线性化变量替换的定义和有功无功功率上下限的约束如式(38)-式(47)所示：
交流潮流等式约束如式(48)和式(49)所示：
电压松弛量约束如式(50)-(52)所示：
电压松弛的量要在主问题求解的目标范围内。
5)对主问题模型进行求解，得到主问题模型的求解结果；对主问题模型的求解可以借助Cplex等工具，利用分支定界的方法进行直接高效的求解。
6)将步骤5)中主问题模型的求解结果传递给步骤4-2)建立的子问题模型，并在每种场景中对子问题模型进行求解。求解子问题这一不含整数变量的非线性问题可以使用原始-对偶内点法，并利用合适的商业软件进行求解。
每种场景均进行一次子问题模型的求解，并对求解的结果进行判定，即子问题模型的目标函数值是否小于设定的阈值(所设阈值为一确定的足够小的值，该值可选为0.001)：
若子问题模型的目标函数值大于等于设定的阈值，则根据子问题模型的计算结果，形成Benders割反馈给主问题模型，表达式如式(53)所示：
每个场景形成一个Benders割，每次迭代共形成ns个Benders割作为约束反馈给主问题模型，重新返回步骤5)对主问题模型的求解，不断循环；
若子问题模型的目标函数值小于设定的阈值，则求解结束，主问题模型的求解结果即为最终得到的类同步调相机的优选结果。
求解完毕后，所求得的解KGi即给出了类同步调相机的选择结果，即KGi为0时发电机应该做类同步调相机改造，在系统中做类同步调相机运行，KGi为1时发电机正常运行。在这种情况下系统的电压过高问题得到了有效的控制，电压降处于可以接受的范围内。
本发明提出的一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法，主要针对大型城市电网低负荷期间，无功过剩，发电机进相能力不足的问题，让低功率运行的发电机做类同步调相机运行，挖掘其无功功率潜力。本发明所提的优选方法根据多个场景的运行状态，建立了一个混合整数非线性规划的优化模型。并利用Benders分解法对该问题求解，实现了对大规模实际系统类同步调相机的有效甄选，具有较强的实用性。

Claims (1)

1.一种大型城市电网的类同步调相机的优选方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)对进行类同步调相机优选的电力系统建立分别反映发电机无功功率上、下限与有功功率之间的一次函数关系，表达式如下：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中是任意情景s下发电机的有功功率；和分别是发电机正常运行时无功功率的上下限；aGi,bGi,cGi,dGi分别是发电机无功功率与发电机有功功率关系的线性化参数；
2)根据在低负荷阶段发电机做类同步调相机运行的各类运行场景，确定运行场景的数量，设共有ns个场景；
3)对进行类同步调相机优选的电力系统建立类同步调相机优化配置模型；具体步骤如下：
3-1)确定优化配置模型的目标函数，表达式如式(1)所示：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;chi;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>b</mi> </msub> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>G</mi> </msub> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(1)的目标函数是对电压越限量和发电机无功功率进行最小化，其中和分别是节点i电压幅值越下限和上限的松弛量；和分别是发电机节点i无功功率越下限和上限的松弛量；nb和nG分别是系统节点数和发电机数；χ和η分别是目标函数中电压松弛量和无功松弛量的系数，χ远大于η，χ和η均为非负数；
3-2)优化配置模型的约束条件包括：
3-2-1)发电机是否做类同步调相机运行的约束，表达式如式(2)所示:
KGi∈{0,1} (2)
以KGi作为发电机是否做类同步调相机运行的状态，KGi为0时发电机做类同步调相机运行，KGi为1时发电机正常运行；
3-2-2)有功功率的约束,表达式如式(3)和(4)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;beta;P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(3)表示发电机正常运行时的有功功率上下限约束；式(4)表示发电机做类同步调相机运行时的有功功率上下限约束；其中和分别是发电机正常运行时有功功率功率的上下限；α和β分别是发电机做类同步调相机运行时有功功率的范围系数；
3-2-3)无功功率的约束，表达式如式(5)和式(6)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(5)表示发电机正常运行时的无功功率上下限约束；式(6)表示发电机做类同步调相机运行时的无功功率上下限约束；其中是情景s下该发电机的无功功率；
3-2-4)潮流等式约束，表达式如式(7)和(8)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>s</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>j</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>s</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>j</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>sin&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>cos&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中和分别是情景s下节点i的有功和无功负荷；λs是最低稳定裕度；Gij和Bij分别是节点导纳矩阵中元素i-j的实部和虚部；θij是节点i-j间的电压相角差；
3-2-5)电压松弛与无功松弛的约束，表达式如式(9)-(12)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4)对步骤3)建立的类同步调相机优化配置模型进行分解；
利用Benders分解法将优化配置模型分解为一个含整数变量的线性化主问题模型和一个不含整数变量的非线性子问题模型，具体步骤如下：
4-1)建立主问题模型；
在低负荷时段，将电压相角的三角函数值和电压幅值的二次项进行近似；
在低负荷状态下，近似认为节点间电压相角足够小，等效表达式如式(13)所示：
cosθij＝1 (13)
在低负荷状态下，电压幅值接近于标幺值1，对式(7)和式(8)中电压的二次项进行泰勒展开，等效表达式如式(14)、(15)所示：
Vi 2＝2Vi-1 (14)
ViVj＝Vi+Vj-1 (15)
主问题模型的目标函数为电压幅值偏离约束的最小化，表达式如式(16)所示：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </msub> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>b</mi> </msub> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
主问题模型的约束条件包括：
电压松弛约束，表达式如式(17)和(18)所示：
Vi min-Vi down,s≤Vi s≤Vi max+Vi up,s (17)
Vi down,s≥0,Vi up,s≥0 (18)
有功功率的上下限约束，表达式如式(19)-(20)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
无功功率的上下限约束，表达式如式(21)-(22)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(19)-(21)中变量相乘进行转换，增加约束，去掉非线性的项，替换成如式(23)和(24)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>N</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 2
替换后无功功率的上下限约束的表达式如式(25)-(28)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>N</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mi>S</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mi>min</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>N</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mi>S</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中和分别为发电机做类同步调相机运行的无功功率上下限；
将式(7)和式(8)进行有功和无功的解耦，分别建立有功和无功的潮流约束，表达式如式(29)-(34)所示：
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>j</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中表示线路i-j的充电电容；表示线路i-j在节点i的充电无功；xij为线路i-j的电抗；和分别是节点i的无功负荷和有功负荷；和分别是支路i-j的的无功潮流和有功潮流；
4-2)建立子问题模型；
对每一个运行场景，子问题模型的目标函数是对发电机无功功率越限松弛量的最小化，记为νs，表达式如式(35)所示：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>G</mi> </msub> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
子问题模型的约束条件包括：
将主问题模型对于发电机选择作为类同步调相机的0/1变量作为常量传递给子问题模型，并求得对应等式约束的拉格朗日乘子如式(36)所示：
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>K</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;LeftRightArrow;</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对线性化变量替换的定义和有功无功功率上下限的约束如式(38)-式(47)所示：
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交流潮流等式约束如式(48)和式(49)所示：
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电压松弛量约束如式(50)-式(52)所示：
Vi min-Vi down,s≤Vi s≤Vi max+Vi up,s (50)
Vi down,s≥0,Vi up,s≥0 (51)
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5)对主问题模型进行求解，得到主问题模型的求解结果；
6)将步骤5)中主问题模型的求解结果代入子问题模型，并在每种场景中对子问题模型进行求解；对每个场景下的子问题模型的求解结果进行判定，即子问题模型的目标函数值是否小于设定的阈值：
若子问题模型的目标函数值大于等于设定的阈值，则根据子问题模型的计算结果，形成Benders割反馈给主问题模型，表达式如式(53)所示：
<mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>G</mi> </msub> </munder> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>53</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
每个场景形成一个Benders割，每次迭代共形成ns个Benders割作为约束反馈给主问题模型，重新返回步骤5)对主问题模型的求解；
若子问题模型的目标函数值小于设定的阈值，则求解结束，主问题模型的求解结果即为最终得到的类同步调相机的优选结果。
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