CN107316050A - 基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法 - Google Patents

基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法。该方法实现步骤是：1)用柯西损失函数对噪声项进行约束，2)使用简单的Frobenius范数对系数矩阵进行约束；(3)通过步骤1)和步骤2)构造目标函数表达式；4)简化步骤3)的表达式；5)通过对目标函数进行求导，并且令导数为0，得到迭代公式，再进行迭代求解，得到系数矩阵；6)通过步骤5)求解到的系数矩阵构造相似度矩阵S；7)基于谱聚类的方法对数据进行划分，得到最终的聚类结果。利用本发明对噪声项进行惩罚，从而减小噪声对学习相似度矩阵的影响，可以使得相似的数据得到相同的类别标签，从而得到精度较高的聚类结果。

Description

基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法
技术领域
本发明属于信息处理技术领域，具体涉及一种基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法。
背景技术
子空间聚类是一种非常有效的聚类分析技术，目前受到了很多学者的关注和研究，在许多实际任务中取得了较好的效果，已经应用到图像处理和计算机视觉等领域，如图像表达、运动分割、显著性检测和图像聚类。子空间聚类主要是通过探索高维数据在低维空间中的表达形式，从而在低维空间中对数据进行聚类分析，得到最后的聚类结果。传统的PCA方法可以看成一种特殊的子空间聚类方法，它主要是寻找高维数据对应的单一子空间，但是实际数据有可能存在于多个子空间中，比如：不同的运动物体对应的轨迹特征通常属于不同的放射子空间，不同的人脸在不同的光照、角度下对应的图像很有可能属于不同的线性子空间，因此如何寻找高维数据对应的多个不同的低维子空间是急需解决的问题。近年来，许多方法已经被提出用来解决此问题，主要分为基于代数的方法、基于迭代的方法、基于统计的方法和基于谱聚类的方法。由于基于谱聚类的方法有效的探索了高维数据在低维子空间中的表达形式，从而得到了快速的发展，并且取得了较好的结果。因为改发明也是提出了一种基于谱聚类的子空间聚类方法，所以接下来主要阐述三种有效的基于谱聚类的子空间聚类方法。
一是基于稀疏表达的子空间聚类算法，改方法首先对每一个数据点用同一个子空间中的数据进行线性表达，然后寻找最稀疏的表达形式，从而获取数据之间的结构关系，代表性的工作是Elhamifar和Vidal等人在“E.Elhamifar and R.Vidal.Sparse SubspaceClustering.In Computer Vision and Pattern Recognition,2790-2797,2009.”提出的子空间聚类方法，该方法认为任何一个数据点可以用同一线性子空间的其他少量的数据点线性表示出，即得到的系数矩阵应该具有稀疏的特性，因此可以通过对系数矩阵进行l0范的约束来实现稀疏的要求，考虑到此问题的求解是NP-hard问题，然后用l1来代替l0，从而求解得到稀疏的系数矩阵。对于系数矩阵，改方法采用了简单的Frobenius范数对其进行约束，虽然此方法在一些数据集上可以取得不错的子空间聚类效果，但是可能会导致得到的系数矩阵过于稀疏，以至于不能较好的捕获相似数据之间的相关性，影响到最后的聚类结果。
二是基于低秩约束的子空间聚类方法，该方法主要是通过对系数矩阵的秩进行限制，得到一个秩较低的系数矩阵，代表性的工作是Liu和Lin等人在“G.Liu,Z.Lin,etal.Robust Recovery of Subspace Structures by Low-rank Representation.IEEETransactions on Pattern Analysis and Machine Intel ligence,35(1),171-184.2013.”提出的低秩的子空间聚类方法，该方法认为先前的子空间聚类方法是对于每个样本点进行分开学习，没有考虑到数据之间的整体结构关系，为了将这种结构关系加到子空间学习中，将低秩的约束引入到子空间聚类中，通过求解一个秩最小问题来增强同一子空间数据之间的结构关系，从而获得更鲁邦的聚类效果，由于直接对矩阵的秩进行约束使得问题很难求解，改方法用核范数来代替秩函数，然后采用l21对噪声项进行约束，从而得到了最终的目标函数式，通过对目标函数式进行优化求解，就可以得到最终的具有低秩特性的系数矩阵。
三是基于噪声项的子空间聚类方法，代表工作是Li和Zhang在“B.Li,Y.Zhang,etal.Subspace Clustering by Mixture of Gaussian Regression.Proceedings of theIEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition,2015.”提出的基于混合高斯模型的子空间聚类方法，该方法主要是通过对噪声项进行约束，采用混合高斯模型对噪声的分布进行估计，相对于单高斯，该方法的对噪声的适用范围更广，可以有效的处理更多的实际数据集。
发明内容
本发明的目的在于针对上述现有方法的不足，提出一种基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法。该方法不是通过对噪声项进行拟合，而是直接对噪声进行惩罚，减少噪声在学习系数矩阵过程中的影响，因此具有较高的鲁棒性和拓展性。
本发明的基本原理是：
(1)根据柯西损失函数，构造适用于子空间自表达模型的噪声项，为了有效的探索噪声项对于子空间聚类的影响，该算法只是简单的采用Frobenius范数对于系数矩阵进行约束，这样也方便对优化问题进行求解。
(2)对目标函数进行优化求解，对于每个数据点来说，优化过程可以分开进行，因此可以把原始的优化问题拆成n个子优化问题，n表示的是数据点的个数，通过采用迭代重权值的方法迭代求解系数矩阵，直到算法收敛为止。
(3)根据得到的系数矩阵构造相似度矩阵。因为相似度矩阵要求数值必须为正直，因此首先对系数矩阵进行绝对值处理，绝对值越大的说明数据之间的相似度要高，考虑到相似度矩阵要具有对称性，所以接下里要对系数矩阵进行转置操作，将转置后的系数矩阵与之前的系数矩阵相加求和再求平均即可得到最终的相似度矩阵。
(4)对于相似度矩阵，采用基于谱聚类的方法对其进行处理首先求解相似度矩阵对应的拉普拉斯矩阵，然后求解拉普拉斯矩阵的特征值，将特征值从小到大进行排序，选择第2到k个特征值对应的对应的特征向量，k为聚类的个数，然后采用K-means算法对特征向量聚类，得到最后的聚类结果。
本发明的具体技术方案是：
本发明提供了一种基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法，包括以下步骤：
1)基于柯西函数对子空间自表达模型中的噪声项进行约束，表达式如下：
其中，X表示原始数据集，xi和zi分别表示第i个数据点以及对应的系数表达，c是一个常数；
2)采用Frobenius范数对子空间自表达模型中的系数矩阵进行约束，表达式如下：
其中，Z为系数矩阵
3)通过步骤1)和步骤2)构造目标函数表达式，表达式如下：
其中，λ为权重因子用于调节两项之间的权重；
4)将步骤3)中的目标函数表达式进行简化，其表达式为：
5)通过对步骤4)的目标函数表达式进行求导，并且令导数为0，得到迭代公式：
对上述迭代公式求解，若迭代公式收敛得到系数矩阵Z，执行步骤6)，若迭代公式不收敛则继续进行迭代求解，直至得到系数矩阵Z；
6)通过步骤5)求解到的系数矩阵构造相似度矩阵S；
7)基于谱聚类的算法进行聚类，得到最终的聚类结果。
所述步骤7)的具体步骤是：
A：根据S构造对应的拉普拉斯矩阵L，L的表达形式为L＝D-S，其中，D为对角矩阵且
B：然后求解L的特征值，将特征值从小到大进行排序，选择第2到k个特征值对应的特征向量，k为聚类的个数，
C：采用K-means算法对特征向量聚类，得到最后的聚类结果。
本发明的有益效果是：
本发明通过探索噪声项对子空间聚类的影响，将柯西损失函数引入到子空间聚类中，从而对噪声项进行的惩罚，该算法不但可以保证最后的收敛性，而且可以使得相似的数据在系数矩阵的中有较大的数值，从而有利于划分到同一个类别，放方法不依赖于噪声的分布，因此可以得到更鲁邦的聚类结果。
附图说明
图1为本发明基于柯西损失函数的子空间聚类算法的流程图；
图2为基于稀疏的子空间聚类方法在字符数据集上求解的系数矩阵的可视化结果；
图3为基于低秩的子空间聚类方法在字符数据集上求解的系数矩阵的可视化结果；
图4为基于高斯混合模型的子空间聚类方法在字符数据集上求解的系数矩阵的可视化结果；
图5为本发明在字符数据集上求解的系数矩阵的可视化结果。
具体实施方式
该方法是一种数据分析技术，可用于模式识别、数据挖掘、数据压缩、计算机视觉等领域。
下面结合附图1，对本发明实现的步骤作进一步的详细描述，本发明实现的步骤如下：
步骤1)首先根据柯西损失函数的定义，对子空间自表达模型中的噪声项进行惩罚，得到如下表达形式：
其中，X表示原始数据集，xi和zi分别表示第i个数据点以及对应的系数表达，c是一个常数；
步骤2)对于系数矩阵，采用简单的Frobenius范数(弗罗贝尼乌斯范数)对其进行约束，表达式如下：
其中，Z为系数矩阵
步骤3)通过步骤1)和步骤2)构造目标函数表达式，表达式如下：
其中，λ为权重因子用于调节两项之间的权重；
步骤4)考虑到目标函数需要对每一个点单独进行求解，为了简化问题的求解形式并且保留柯西损失函数良好的性质，该方法对目标函数式进行调整，得到最终的优化问题为：
步骤5)对目标函数进行求解，得到系数矩阵Z*，具体的做法是：
首先，对于数据矩阵X，对优化后的原始目标函数式可以写成：
再令上式的导数为0并且化简可以得到
最后用迭代重权重的方法得到的求解结果为：
对上述迭代公式求解，若迭代公式收敛得到系数矩阵Z，执行步骤6)，若迭代公式不收敛则继续进行迭代求解，直至得到系数矩阵Z；
步骤6)根据步骤5)求解的系数矩阵构造相似度矩阵S；
因为相似度矩阵要求里面的元素都为正值，并且具有对称性，所以对于求解的系数矩阵Z首先进行绝对值处理，然后再转化为对称矩阵，具体的形式如下：
步骤7)用基于谱聚类的算法进行聚类，得到聚类结果；
因为基于谱聚类的方法处理的对象为相似度矩阵，所以对于得到的相似度矩阵S，可以直接用基于谱聚类的方法得到最后的聚类结果。
步骤7的具体的步骤是：
A：根据S构造对应的拉普拉斯矩阵L，L的表达形式为L＝D-S，其中，D为对角矩阵且
B:然后求解L的特征值，将特征值从小到大进行排序，选择第2到k个特征值对应的特征向量，k为聚类的个数，
C：采用K-means算法对特征向量聚类，得到最后的聚类结果。
本发明的效果可以通过以下仿真实验做进一步的说明。
1.仿真条件
本发明是在中央处理器为Intel(R)Core i3-2130 3.40GHZ、内存16G、WINDOWS 7操作系统上，运用MATLAB软件进行的仿真。
实验中采用的数据集为USPS字符数据集，该数据集共有10类9298幅字符图片，图片的尺寸为16×16。在实验过程中，为了降低时间复杂度，对于每一类选择30张图片作为聚类目标。
2.仿真内容
按照如下步骤用本发明方法进行数据的聚类分析：
首先，在USPS数据上，完成本发明算法的试验。为了展示算法的有效性，选择了三种子空间算法进行比较，分别为基于稀疏的子空间聚类算法(SSC)、基于低秩的子空间聚类算法(LRR)和基于高斯混合模型的子空间聚类算法(MoG)。
图2-5分别给出利用以上三种方法以及本发明方法求解的相似度矩阵的可视化结果图。
本发明方法求解的聚类精度(AC)与其他3种对比方法得到的值进行比较，结果如表1所示，从中可以看出，我们的方法在不同的k值(聚类个数)上都取得了最好的效果，验证了方法的有效性。
表1不同子空间聚类算法在USPS上的聚类精度值

Claims (2)

1.一种基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)基于柯西函数对子空间自表达模型中的噪声项进行约束，表达式如下：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Xz</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
其中，X表示原始数据集，xi和zi分别表示第i个数据点以及对应的系数表达，c是一个常数；
2)采用Frobenius范数对子空间自表达模型中的系数矩阵进行约束，表达式如下：
其中，Z为系数矩阵；
3)通过步骤1)和步骤2)构造目标函数表达式，表达式如下：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>Z</mi> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>Xz</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>Z</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow>
其中，λ为权重因子用于调节两项之间的权重；
4)将步骤3)中的目标函数表达式进行简化，其表达式为：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>Z</mi> </munder> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>-</mo> <mi>X</mi> <mi>Z</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>Z</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>;</mo> </mrow>
5)通过对步骤4)的目标函数表达式进行求导，并且令导数为0，得到迭代公式：
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对上述迭代公式求解，若迭代公式收敛得到系数矩阵Z，执行步骤6)，若迭代公式不收敛则继续进行迭代求解，直至得到系数矩阵Z；
6)通过步骤5)求解到的系数矩阵构造相似度矩阵S；
<mrow> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>Z</mi> <msup> <mo>|</mo> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mi>Z</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>;</mo> </mrow>
7)基于谱聚类的算法进行聚类，得到最终的聚类结果。
2.根据权利要求1所述的基于柯西损失函数的子空间自表达模型聚类方法，其特征在于：
所述步骤7)的具体步骤是：
A：根据S构造对应的拉普拉斯矩阵L，L的表达形式为L＝D-S，其中，D为对角矩阵且
B：然后求解L的特征值，将特征值从小到大进行排序，选择第2到k个特征值对应的特征向量，k为聚类的个数，
C：采用K-means算法对特征向量聚类，得到最后的聚类结果。
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