CN107292337A - 超低秩张量数据填充方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种超低秩张量数据填充方法，用于解决现有张量数据处理方法精度低的技术问题。技术方案是将张量分解成低秩结构和非低秩结构，使用混合高斯模型(MOG)对非低秩结构进行先验描述，利用Gibbs采样获得非低秩结构E和基于CP分解的低秩结构X的样本均值，用均值近似带求的隐张量。本发明一方面，通过充分挖掘CANDECOMP/PARAFAC(CP)分解权值的稀疏性，建立基于稀疏性的低秩模型。另一方面，使用混合高斯模型(MOG)模拟复杂的非低秩结构。这两点保证了即使在低于10％的观测率的情况下，也能够自适应地进行张量填充。经测试，相对重建误差降低，提高了重建精度。

Description

超低秩张量数据填充方法
技术领域
本发明涉及一种张量数据处理方法，特别是涉及一种超低秩张量数据填充方法。
背景技术
张量数据已被广泛应用于计算机视觉、神经科学以及化学等领域，但是在实际的应用中，因为采集、传输等因素的影响，张量存在数据缺失的问题，例如不完整的社会关系网络、损坏的视频数据等。所以张量填充方法的研究逐渐受到国内外学者们的广泛关注。大量实验表明，基于低秩表示的张量填充方法是一种行之有效的途径。
文献“Q.Zhao,L.Zhang,and A.Cichocki.Bayesian CP factorization ofincomplete tensors with automatic rank determination.IEEE Transactions onPattern Analysis and Machine Intelligence,37(9):1751–1763,2015.”公开了一种张量数据处理方法。该方法假设整个张量数据满足低秩约束，在层次概率模型下进行CP分解，通过对张量分解因子添加稀疏先验，实现张量秩的自适应描述，最终采用完全贝叶斯推理模型实现张量数据的自动填充。然而，实际的张量数据通常既包含低秩结构又包含非低秩结构，将数据视为全局低秩的进行单一建模，无法在张量填充中恢复非低秩结构，从而导致重建精度受限。
发明内容
为了克服现有张量数据处理方法精度低的不足，本发明提供一种超低秩张量数据填充方法。该方法将张量分解成低秩结构和非低秩结构，使用混合高斯模型(MOG)对非低秩结构进行先验描述，利用Gibbs采样获得非低秩结构E和基于CP分解的低秩结构X的样本均值，用均值近似带求的隐张量。本发明一方面，通过充分挖掘CANDECOMP/PARAFAC(CP)分解权值的稀疏性，建立基于稀疏性的低秩模型。另一方面，使用混合高斯模型(MOG)模拟复杂的非低秩结构。这两点保证了即使在低于10％的观测率的情况下，也能够自适应地进行张量填充。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种超低秩张量数据填充方法，其特点是包括以下步骤：
步骤一、构建张量填充模型。
对于一个K阶隐张量在噪声的影响下，得到部分观测量YΩ，Ω表示观测量的索引，则观测模型表示为：
YΩ＝LΩ+MΩ (1)
其中，YΩ＝{yi}i∈Ω为观测量，yi表示YΩ中索引为i的原子，MΩ为噪声数据。为了同时描述低秩和非低秩结构，隐张量L被分解为一个低秩结构X和一个非低秩结构E，其中E近似满秩。
L＝X+E (2)
根据公式(1)的观测模型，假定YΩ中每一个原子是独立同分布的，MΩ是精度为τ0的高斯白噪声。因此，YΩ的似然函数为：
其中，o为指示张量，如果i∈Ω，那么oi＝1。xi和ei分别为X和E中的第i项元素。
步骤二、超低秩张量表示。
1)低秩结构张量表示。
通过充分挖掘CP分解权值的稀疏性从而自动地确定低秩成分X的秩。在传统的CP分解中，X被分解为R个秩为1的张量：
其中，是因子向量，其中k＝1,…,K，ο表示外积。λ＝[λ1,…,λR]T为权值向量，表示第k个因子矩阵。
(a)基于稀疏性的低秩模型。
当给定较大的初始化秩，对张量X进行CP分解，在所有的CP分解中存在最稀疏的权值向量λ，满足rank(X)＝||λ||0。通过探索λ的稀疏性，张量秩能够自动地被检测。采用级联的重加权拉普拉斯先验描述λ的稀疏性：
λ～Ν(λ|0，diag(γ)) (5)
其中，λ服从零均值高斯分布，γ＝[γ1，…，γR]T服从伽马分布，γr及kr分别为γ和k＝[k1，…，kR]T的第r项。上述级联的重加权拉普拉斯先验等价于：
p(λ|K)∝exp(-||Kλ||1) (7)
其中，每次λ中的权值被缩减不同的尺度kr与贝叶斯推理中的权值成反比。因此，λ中较大的权值被缩小的幅度更少。
(b)正则化因子矩阵。
为了避免CP分解中的过拟合问题，假定因子矩阵U(k)中的每一项服从高斯独立同分布：
对于每一个U(k)采用一个单独的高斯分布去获得其特征。为了完善贝叶斯模型，进一步在高斯分布中引进共轭先验参数，其均值μ(k)和方差σ(k)服从高斯伽马分布为，模型参数为μ0、β0、a0和b0：
μ(k),τ(k)～Ν(μ(k)|μ0,(β0τ(k))-1)Ga(τ(k)|a0,b0) (9)
2)非低秩结构混合高斯模型表示。
使用混合高斯模型表示复杂的非低秩结构E，假设每个ei服从混合高斯分布，其中包括D个高斯成分：
其中，πd≥0为混合比例，并且表示第d个高斯成分，其均值为μd，精确度为τd。引进D个指示变量公式(10)被表示为一个2阶生成模型：
其中，满足一个多项式分布，参数π＝(π1,…,πD)。为了模拟E的复杂性，提出μd、τd和π的共轭先验，π服从狄利克雷分布Dir(π|α0)，参数α0＝(α01,…,α0D)。
μd,τd～N(μd|μ0,(β0τd)-1)Ga(τd|a0,b0),π～Dir(π|α0) (12)
步骤三、模型优化求解。
采用贝叶斯最小化均方误差估计作为张量填充的优化框架。
其中，为最终优化得到的隐张量，为引入的优化变量，||A||F表示张量A的F范数，p(L|YΩ)为L基于观测量YΩ的后验概率分布。L的贝叶斯最小均方误差等价于其后验分布的均值E[L|YΩ]。但是期望E[L|YΩ]的计算十分困难。为了解决这个问题，不直接对L进行建模，利用Gibbs采样获得非低秩结构E和基于CP分解的低秩结构X的样本均值，来近似具体来说，首先，基于公式(3)、(5)、(8)、(9)、(11)和(12)获得所有未知变量的后验概率分布：
p(λ,U,Z,π,μ,τ,μe,τe|YΩ) (14)
其中，U＝{U(k)}、Z＝{zi}、μ＝{μ(k)}、τ＝{τ(k)}、μe＝{μd}和τe＝{τd}。然后，使用Gibbs采样方法对每一个样本进行采样。具体如下：
(c)对低秩结构进行采样。该结构的表示模型包括参数λ、γ、k和U。λ中的每个权值λr服从高斯分布：
其中，γr和kr分别服从广义逆高斯分布和伽马分布。
对于第k个因子矩阵U(k)，每项服从高斯分布。
其中，另外，均值μ(k)服从高斯分布：
准确率τ(k)服从伽马分布：
(d)对非低秩结构进行采样。该结构的表示模型包括参数E、μe、τe、Z和π。E中的每项ei服从高斯分布：
对于公式(11)混合高斯模型中的第d个高斯成分，其均值μd服从高斯分布：
准确率τd服从伽马分布：
变量zi服从多项式分布，参数混合比例π服从参数
本发明的有益效果是：该方法将张量分解成低秩结构和非低秩结构，使用混合高斯模型(MOG)对非低秩结构进行先验描述，利用Gibbs采样获得非低秩结构E和基于CP分解的低秩结构X的样本均值，用均值近似带求的隐张量。本发明一方面，通过充分挖掘CANDECOMP/PARAFAC(CP)分解权值的稀疏性，建立基于稀疏性的低秩模型。另一方面，使用混合高斯模型(MOG)模拟复杂的非低秩结构。这两点保证了即使在低于10％的观测率的情况下，也能够自适应地进行张量填充。
对比背景技术主流的低秩张量填充方法，对秩为5的模拟张量图像进行填充，在70％、80％、90％损失比的情况下，本发明方法的相对重建误差最少降低0.0147、0.0282、0.0388。在两种视频数据集“suzie”及“foreman”上进行视频填充，本发明方法的峰值信噪比最少提高0.9792和1.3620。
下面结合具体实施方式对本发明作详细说明。
具体实施方式
本发明超低秩张量数据填充方法具体步骤如下：
步骤一、构建张量填充模型。
对于一个K阶隐张量(待填充的张量数据统称为隐张量)，在噪声的影响下，可以得到部分观测量YΩ，Ω表示观测量的索引，则观测模型表示为：
YΩ＝LΩ+MΩ (1)
其中YΩ＝{yi}i∈Ω为观测量，yi表示YΩ中索引为i的原子，MΩ为噪声数据。为了同时描述低秩和非低秩结构，隐张量L可以被分解为一个低秩结构X(L中真正低秩的部分)和一个非低秩结构(残差成分)E，其中E近似满秩。
L＝X+E (2)
根据公式(1)的观测模型，本发明假定YΩ中每一个原子是独立同分布的，MΩ是精度为τ0的高斯白噪声。因此，YΩ的似然函数为：
其中o为指示张量(如果i∈Ω，那么oi＝1)。xi和ei分别为X和E中的第i项元素。
步骤二、超低秩张量表示。
1)低秩结构张量表示。
本发明通过充分挖掘CP分解权值的稀疏性从而自动地确定低秩成分X的秩。在传统的CP分解中，X被分解为R个秩为1的张量：
其中，是因子向量，其中k＝1,…,K，ο表示外积。λ＝[λ1,…,λR]T为权值向量，表示第k个因子矩阵。
(a)基于稀疏性的低秩模型。
当给定较大的初始化秩，对张量X进行CP分解，在所有的CP分解中存在最稀疏的权值向量λ，满足rank(X)＝||λ||0。通过探索λ的稀疏性，张量秩能够自动地被检测。本发明采用一种级联的重加权拉普拉斯先验来描述λ的稀疏性：
λ～Ν(λ|0，diag(γ)) (5)
其中，λ服从零均值高斯分布，γ＝[γ1，…，γR]T服从伽马分布，γr及kr分别为γ和
k＝[k1，…，kR]T的第r项。上述级联的重加权拉普拉斯先验等价于：
p(λ|K)∝exp(-||Kλ||1) (7)
其中每次λ中的权值被缩减不同的尺度kr与贝叶斯推理中的权值成反比。因此，λ中较大的权值被缩小的幅度更少。换言之，基于稀疏性的低秩模型能够检测张量的秩，并自适应地保存张量中的显著性结构信息。
(b)正则化因子矩阵。
为了避免CP分解中的过拟合问题，假定因子矩阵U(k)中的每一项服从高斯独立同分布：
对于每一个U(k)采用一个单独的高斯分布去获得其特征。为了完善贝叶斯模型，进一步在高斯分布中引进共轭先验参数，其均值μ(k)和方差σ(k)服从高斯伽马分布为，模型参数为μ0、β0、a0和b0：
μ(k),τ(k)～Ν(μ(k)|μ0,(β0τ(k))-1)Ga(τ(k)|a0,b0) (9)
2)非低秩结构混合高斯模型表示。
张量中的非低秩成分结构复杂，可能是稀疏的，也可能是非稀疏的，常呈现出多模态的结构，所以对非低秩结构进行描述十分困难。大量的研究表明，混合高斯模型能够近似模拟任意的连续分布函数，并且在真实张量数据中更加鲁棒。因此，使用混合高斯模型表示复杂的非低秩结构E，假设每个ei服从混合高斯分布，其中包括D个高斯成分：
其中πd≥0为混合比例，并且表示第d个高斯成分，其均值为μd，精确度为τd。引进D个指示变量公式(10)可以被表示为一个2阶生成模型：
其中满足一个多项式分布，参数π＝(π1,…,πD)。为了模拟E的复杂性，本发明进一步提出μd、τd和π的共轭先验，π服从狄利克雷分布Dir(π|α0)，参数α0＝(α01,…,α0D)。
μd,τd～N(μd|μ0,(β0τd)-1)Ga(τd|a0,b0),π～Dir(π|α0) (12)
步骤三、模型优化求解。
采用贝叶斯最小化均方误差估计(MMSE)作为张量填充的优化框架。
其中为最终优化得到的隐张量，为引入的优化变量，||A||F表示张量A的F范数，p(L|YΩ)为L基于观测量YΩ的后验概率分布。L的贝叶斯最小均方误差等价于其后验分布的均值E[L|YΩ]。但是期望E[L|YΩ]的计算十分困难。为了解决这个问题，本发明并不直接对L进行建模，而是利用Gibbs采样获得非低秩结构E和基于CP分解的低秩结构X的样本均值，来近似具体来说，首先，基于公式(3)、(5)、(8)、(9)、(11)、(12)获得所有未知变量的后验概率分布：
p(λ,U,Z,π,μ,τ,μe,τe|YΩ) (14)
其中U＝{U(k)}、Z＝{zi}、μ＝{μ(k)}、τ＝{τ(k)}、μe＝{μd}和τe＝{τd}。然后，使用Gibbs采样方法对每一个样本进行采样。具体如下：
(c)对低秩结构进行采样。该结构的表示模型包括参数λ、γ、k和U。λ中的每个权值λr服从高斯分布：
其中γr和kr分别服从广义逆高斯分布和伽马分布。
对于第k个因子矩阵U(k)，每项服从高斯分布。
其中另外，均值μ(k)服从高斯分布：
准确率τ(k)服从伽马分布：
(d)对非低秩结构进行采样。该结构的表示模型包括参数E、μe、τe、Z和π。E中的每项ei服从高斯分布：
对于公式(11)混合高斯模型中的第d个高斯成分，其均值μd服从高斯分布：
准确率τd服从伽马分布：
变量zi服从多项式分布，参数混合比例π服从参数
整个算法的流程总结如下：
输入：观察量YΩ，参数a0,b0,μ0,β0,α0
初始化：U,λ,τ,τe均初始化为1，μ,μe初始化为0,π＝(D-1,…,D-1)T,
zi～Multinomial(zi|π)
经过Nb+Ns次迭代：
对低秩成分进行采样：
1.根据公式(15)采样λr；
2.根据公式(16)采样γr；
3.根据公式(16)采样kr；
4.根据公式(17)采样
5.根据公式(18)采样μ(k)；
6.根据公式(19)采样
对残差成分进行采样：
1.根据公式(20)采样ei；
2.根据公式(21)采样μd；
3.根据公式(22)采样τd；
4.根据公式(23)采样zi；
5.根据公式(23)采样π。
当循环次数大于Nb，收集采样数据；
循环结束
获得Ns个采样数据的均值
使用对张量X进行填充。

Claims (1)

1.一种超低秩张量数据填充方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一、构建张量填充模型；
对于一个K阶隐张量在噪声的影响下，得到部分观测量YΩ，Ω表示观测量的索引，则观测模型表示为：
YΩ＝LΩ+MΩ (1)
其中，YΩ＝{yi}i∈Ω为观测量，yi表示YΩ中索引为i的原子，MΩ为噪声数据；为了同时描述低秩和非低秩结构，隐张量L被分解为一个低秩结构X和一个非低秩结构E，其中E近似满秩；
L＝X+E (2)
根据公式(1)的观测模型，假定YΩ中每一个原子是独立同分布的，MΩ是精度为τ0的高斯白噪声；因此，YΩ的似然函数为：
<mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Pi;</mo> <mi>i</mi> </msub> <mi>N</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，o为指示张量，如果i∈Ω，那么oi＝1；xi和ei分别为X和E中的第i项元素；
步骤二、超低秩张量表示；
1)低秩结构张量表示；
通过充分挖掘CP分解权值的稀疏性从而自动地确定低秩成分X的秩；在传统的CP分解中，X被分解为R个秩为1的张量：
其中，是因子向量，其中k＝1,…,K，表示外积；λ＝[λ1,…,λR]T为权值向量，表示第k个因子矩阵；
(a)基于稀疏性的低秩模型；
当给定较大的初始化秩，对张量X进行CP分解，在所有的CP分解中存在最稀疏的权值向量λ，满足rank(X)＝||λ||0；通过探索λ的稀疏性，张量秩能够自动地被检测；采用级联的重加权拉普拉斯先验描述λ的稀疏性：
λ～Ν(λ|0，diag(γ)) (5)
<mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>~</mo> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mi>G</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，λ服从零均值高斯分布，γ＝[γ1，…，γR]T服从伽马分布，γr及kr分别为γ和k＝[k1，…，kR]T的第r项；上述级联的重加权拉普拉斯先验等价于：
p(λ|K)∝exp(-||Kλ||1) (7)
其中，每次λ中的权值被缩减不同的尺度kr与贝叶斯推理中的权值成反比；因此，λ中较大的权值被缩小的幅度更少；
(b)正则化因子矩阵；
为了避免CP分解中的过拟合问题，假定因子矩阵U(k)中的每一项服从高斯独立同分布：
<mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于每一个U(k)采用一个单独的高斯分布去获得其特征；为了完善贝叶斯模型，进一步在高斯分布中引进共轭先验参数，其均值μ(k)和方差σ(k)服从高斯伽马分布为，模型参数为μ0、β0、a0和b0：
μ(k),τ(k)～Ν(μ(k)|μ0,(β0τ(k))-1)Ga(τ(k)|a0,b0) (9)
2)非低秩结构混合高斯模型表示；
使用混合高斯模型表示复杂的非低秩结构E，假设每个ei服从混合高斯分布，其中包括D个高斯成分：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>~</mo> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>&amp;rho;</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，πd≥0为混合比例，并且 表示第d个高斯成分，其均值为μd，精确度为τd；引进D个指示变量公式(10)被表示为一个2阶生成模型：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>~</mo> <msubsup> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mi>N</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msubsup> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>~</mo> <mi>M</mi> <mi>u</mi> <mi>l</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中， 满足一个多项式分布，参数π＝(π1,…,πD)；为了模拟E的复杂性，提出μd、τd和π的共轭先验，π服从狄利克雷分布Dir(π|α0)，参数α0＝(α01,…,α0D)；
μd,τd～N(μd|μ0,(β0τd)-1)Ga(τd|a0,b0),π～Dir(π|α0) (12)
步骤三、模型优化求解；
采用贝叶斯最小化均方误差估计作为张量填充的优化框架；
<mrow> <mover> <mi>L</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mi>min</mi> <mover> <mi>L</mi> <mo>~</mo> </mover> </munder> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>L</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>L</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为最终优化得到的隐张量，为引入的优化变量，||A||F表示张量A的F范数，p(L|YΩ)为L基于观测量YΩ的后验概率分布；L的贝叶斯最小均方误差等价于其后验分布的均值E[L|YΩ]；但是期望E[L|YΩ]的计算十分困难；为了解决这个问题，不直接对L进行建模，利用Gibbs采样获得非低秩结构E和基于CP分解的低秩结构X的样本均值，来近似具体来说，首先，基于公式(3)、(5)、(8)、(9)、(11)和(12)获得所有未知变量的后验概率分布：
p(λ,U,Z,π,μ,τ,μe,τe|YΩ) (14)
其中，U＝{U(k)}、Z＝{zi}、μ＝{μ(k)}、τ＝{τ(k)}、μe＝{μd}和τe＝{τd}；然后，使用Gibbs采样方法对每一个样本进行采样；具体如下：
(c)对低秩结构进行采样；该结构的表示模型包括参数λ、γ、k和U；λ中的每个权值λr服从高斯分布：
<mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>b</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>b</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>y</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 2
其中，γr和kr分别服从广义逆高斯分布和伽马分布；
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>~</mo> <mi>G</mi> <mi>I</mi> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>~</mo> <mi>G</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于第k个因子矩阵U(k)，每项服从高斯分布；
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>y</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，另外，均值μ(k)服从高斯分布：
<mrow> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>R</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
准确率τ(k)服从伽马分布：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>~</mo> <mi>G</mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mover> <mi>b</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mover> <mi>a</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>b</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>R</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(d)对非低秩结构进行采样；该结构的表示模型包括参数E、μe、τe、Z和π；
E中的每项ei服从高斯分布：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对于公式(11)混合高斯模型中的第d个高斯成分，其均值μd服从高斯分布：
<mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>~</mo> </mover> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
准确率τd服从伽马分布：
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变量zi服从多项式分布，参数混合比例π服从参数
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