CN107273572A - 一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法 - Google Patents

一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供了一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，其主要步骤包括：给定曲面方程式、索段起始点坐标值、起始点间离散节点数；等分起始两点间的水平投影直线得到索段在曲面上的离散节点坐标；建立所有索段节点的力平衡方程组；计算出新的节点坐标；判断两次节点坐标差值是否满足收敛条件，若满足，输出测地线索段所有的节点信息，若不满足，返回迭代求解索段节点的坐标值。本发明利用等力密度算法实现了对曲面两点间测地线索段的找形，得到了两点间测地线索段的节点信息，可进而设计曲面的复杂测地线索网结构。

Description

一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法
技术领域
本发明属于测地线索段找形领域，具体是一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法。
背景技术
测地线的定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称为测地线。测地线在曲面上具有与平面直线类似的重要地位，曲面上的测地线方程为二阶微分方程组。求测地线索段问题即求解测地线索段上一些离散节点坐标的问题。假设有一根张紧的索位于曲面上，连接给定的两点，并且该索可以在光滑曲面上自由滑动。因测地线为曲面上的短程线，该索将趋于连接这两点的测地线。曲面对索的各节点的作用力，仅仅是沿曲面在节点处的法线方向。如图1所示，给出了常见球面的测地线示意图。
测地线索段的计算分为精确计算和近似计算.由于难于求出测地曲率,精确计算方法在实际操作中基本无法运用，传统近似计算方法需要对曲面进行网格划分，然后根据优化算法求得最短路径盒子序列，进而优化搜索区域，计算网格上两点间最短路径，再迭代细分网格进行测地线索段的求解。整个计算过程复杂，其中对曲面进行适当的网格划分是一个重难点问题，网格划分不当将会导致求解误差较大，或者无法求解。
发明内容
本发明的目的是为了克服上述现有技术的缺点，提供了一种通过对给定两点间的曲面索段进行离散建模，基于等力密度算法对模型中间自由节点进行平衡方程求解，实现曲面两点间测地线索段的找形的方法。
本发明的技术方案是：一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，包括以下步骤：
步骤101：给定曲面方程式，输入曲面上给定两点节点坐标值，将这两点作为索段边界节点；
步骤102：输入曲面上索段边界两节点间的离散节点数N，等分索段在XY水平面的投影直线，得到离散节点的XY坐标值，根据曲面方程式计算Z坐标值；
步骤103：将曲面相邻两离散节点连接看做为索段相连，具有相互作用力；设置每根索段的力密度值均为1，即每根索的张力值与索长相等，建立所有离散节点在X方向和Y方向的力平衡方程，组成整体索段的力平衡方程组；
步骤104：根据当前离散节点位置及索段张力值计算曲面对每一个离散节点的支撑力；
步骤105：将曲面对离散节点的作用力和索段边界两点的节点坐标作为索网节点力平衡方程组的边界条件，求解该方程组得到新的离散节点坐标；
步骤106：判断步骤105所计算出的离散节点坐标与计算前的离散节点坐标的最大节点位移差值是否小于设置的位移差值；若不满足小于设置的位置差值，转到步骤107，若满足，转到步骤108；
步骤107：根据步骤105计算出的离散节点坐标，根据两点距离公式重新计算相邻两离散节点的索长；转到步骤103，重新计算曲面对每一个离散节点的支撑力；
步骤108：输出最终索段所有节点的坐标值，计算由这些节点组成的索段长度和，即两点间的测地线索段长度。
上述步骤102具体包括如下步骤：
步骤201：输入离散节点的数量N；
步骤202：根据索段边界两点在水平投影面上的投影直线和离散节点数，等分投影直线得到所有离散节点的XY坐标值；
步骤203：将离散节点XY坐标代入相应的曲面方程求得离散节点的Z坐标值。
上述步骤104具体包括如下步骤：
步骤301：对于每一个离散节点，根据给定的曲面方程式，计算曲面在该离散节点法向的单位矢量；
步骤302：计算离散节点相邻两索段的单位向量，索段的索力值与索长值相等；
步骤303：对每一个离散节点i根据式(1)列力平衡方程，求得曲面对离散节点的支撑力Fi；
Fi＝(-vi.i-1·hi)×li.i-1+(-vi.i+1·hi)×li.i+1 (1)
式中：Fi为曲面对离散节点i的支撑力，hi为曲面在节点i处的单位法向向量，vi.i-1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的单位向量，li.i-1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的索长值，vi.i+1为离散节点i和相邻离散节点i+1的连接索段的单位向量，li.i+1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的索长值。
上述步骤106中的所设置的位移差值为10-6。
本发明的有益效果：本发明方法通过对曲面索段的离散建模，引入等力密度算法，将曲面两点间测地线索段的求解问题转化成了索段找形问题，避免了对曲面进行网格划分，使得曲面两点间测地线索段的求解不再受限于曲面的网格模型，减少了实际应用中的计算工作量，提高了测地线索段的计算精度，可解决复杂曲面两点间测地线索段的找形问题，具体实现效果包括：
1)利用等力密度算法实现了对曲面两点间索段的找形分析，结果与数值计算结果吻合；
2)避免了对曲面的网格划分，提高了方法的实用性，可实现对复杂曲面两点间测地线索段的找形分析。
以下将结合附图对本发明做进一步详细说明。
附图说明
图1是整体坐标系下球形曲面的测地线索段示意图；
图2是基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法的主流程图；
图3是曲面上两点间离散节点的计算流程图；
图4是计算曲面对离散节点的支撑力的流程图；
图5是本发明方法运用于球形曲面上两点间测地线索段找形的仿真图；
图6是本发明方法运用于旋转抛物面曲面上两点间测地线找形的仿真图。
具体实施方式
参见图2，本发明提供了一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，包括以下步骤：
步骤101：给定曲面方程式，输入曲面上给定两点节点坐标值，将这两点作为索段边界节点。
步骤102：如图3所示，求解曲面两点间索段的离散点坐标。
该步骤具体包括如下步骤：
步骤201：根据精度要求确定离散节点的数量N；
步骤202：根据索段边界两点在水平投影面上的投影直线和离散节点数，等分直线得到所有离散节点的XY坐标。
步骤203：将离散节点XY坐标代入相应的曲面方程求得离散节点的Z坐标值。
步骤103：如图4所示，建立曲面两点间索段模型。其中将任意两离散节点连接也看做为索段相连，互相具有作用力。设置每根索段的力密度值均为1，即每根索的张力值与索长相等，建立所有离散节点在X方向和Y方向的力平衡方程，组成整体索段的力平衡方程组。
该步骤具体包括如下步骤：
步骤301：对于每一个离散节点，根据给定的曲面方程式，计算曲面在该节点法向的单位矢量。
步骤302：计算离散节点相邻两索段的单位向量，对应的索力值为其索长。
步骤303：对每一个离散节点i根据式(1)列力平衡方程，求得曲面对离散节点的支撑力。
Fi＝(-vi.i-1·hi)×li.i-1+(-vi.i+1·hi)×li.i+1 (1)
式中：Fi为曲面对离散节点i的支撑力，hi为曲面在节点i处的单位法向向量，vi.i-1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的单位向量，li.i-1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的索长值，vi.i+1为离散节点i和相邻离散节点i+1的连接索段的单位向量，li.i+1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的索长值。
步骤104：根据当前离散节点位置及索段张力值计算曲面对每一个离散节点的支撑力；
步骤105：将曲面对离散节点的作用力和初始两点的节点坐标作为力密度找形中的边界条件，求解力平衡方程组，得到新的离散节点坐标。
步骤106：判断步骤105所计算出的离散节点坐标与计算前的离散节点坐标的最大节点位移是否小于设置的位置差值。本发明设置的位移差值为10-6。若不满足，转到步骤107，若满足，转到步骤108。
步骤107：根据步骤105计算出的离散节点坐标值，更新相邻两离散节点的索长。转到步骤103，重新计算曲面对每一个离散节点的支撑力。
步骤108：输出最终索段所有节点的坐标值，计算由这些节点组成的索段长度和，即两点间的测地线索段长度。
本发明的效果通过了如下仿真实验进行了验证：
取曲面为球形曲面，如图5所示，球心在坐标系圆心上，半径为100m，利用极坐标表示索段起始节点位置，索段起点的角值为30°，θ角值为-60°，索段终点的角值为30°，θ角值为60°，离散节点数N取值为200。
取曲面为球形曲面，计算结果表明：等力密度迭代经过7次，即达到收敛状态。最终根据离散节点计算得测地线索段长度约为8956.64mm，比初始曲线索段长度短21.85mm，利用公式计算的相应准确测地线弧段长度约为8956.65mm，误差只有0.01mm，这表明了本发明计算方法的正确性。
取曲面为旋转抛物面，如图6所示，焦距取值为100m，索段起始节点坐标为(-10,0,2.5)，最终节点坐标为(0,10,2.5)，离散节点数N取值为500。
取曲面为旋转抛物面，计算结果表明：等力密度迭代经过7次，即达到收敛状态。最终根据离散节点计算得测地线索段长度约为14398.5mm，比初始曲线长度短32.95mm。
综上，本发明方法避免了网格划分带来的误差，能够精确有效的对曲面两点间的测地线索段进行找形分析，该方法适应于复杂曲面索段。其关键步骤就是运用等力密度方法对曲面两点间的测地线索段离散节点的力平衡方程组的求解。
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (4)

1.一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，其特征是：包括以下步骤：
步骤101：给定曲面方程式，输入曲面上给定两点节点坐标值，将这两点作为索段边界节点；
步骤102：输入曲面上索段边界两节点间的离散节点数N，等分索段在XY水平面的投影直线，得到离散节点的XY坐标值，根据曲面方程式计算Z坐标值；
步骤103：将曲面相邻两离散节点连接看做为索段相连，具有相互作用力；设置每根索段的力密度值均为1，即每根索的张力值与索长相等，建立所有离散节点在X方向和Y方向的力平衡方程，组成整体索段的力平衡方程组；
步骤104：根据当前离散节点位置及索段张力值计算曲面对每一个离散节点的支撑力；
步骤105：将曲面对离散节点的作用力和索段边界两点的节点坐标作为索网节点力平衡方程组的边界条件，求解该方程组得到新的离散节点坐标；
步骤106：判断步骤105所计算出的离散节点坐标与计算前的离散节点坐标的最大节点位移差值是否小于设置的位移差值；若不满足小于设置的位置差值，转到步骤107，若满足，转到步骤108；
步骤107：根据步骤105计算出的离散节点坐标，根据两点距离公式重新计算相邻两离散节点的索长；转到步骤103，重新计算曲面对每一个离散节点的支撑力；
步骤108：输出最终索段所有节点的坐标值，计算由这些节点组成的索段长度和，即两点间的测地线索段长度。
2.如权利要求1所述的一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，其特征是：步骤102具体包括如下步骤：
步骤201：输入离散节点的数量N；
步骤202：根据索段边界两点在水平投影面上的投影直线和离散节点数，等分投影直线得到所有离散节点的XY坐标值；
步骤203：将离散节点XY坐标代入相应的曲面方程求得离散节点的Z坐标值。
3.如权利要求1所述的一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，其特征是：步骤104具体包括如下步骤：
步骤301：对于每一个离散节点，根据给定的曲面方程式，计算曲面在该离散节点法向的单位矢量；
步骤302：计算离散节点相邻两索段的单位向量，索段的索力值与索长值相等；
步骤303：对每一个离散节点i根据式(1)列力平衡方程，求得曲面对离散节点的支撑力Fi；
Fi＝(-vi.i-1·hi)×li.i-1+(-vi.i+1·hi)×li.i+1 (1)
式中：Fi为曲面对离散节点i的支撑力，hi为曲面在节点i处的单位法向向量，vi.i-1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的单位向量，li.i-1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的索长值，vi.i+1为离散节点i和相邻离散节点i+1的连接索段的单位向量，li.i+1为离散节点i和相邻离散节点i-1的连接索段的索长值。
4.如权利要求1所述的一种基于等力密度法的曲面两点间测地线索段找形方法，其特征是：步骤106中的所设置的位移差值为10-6。
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