CN107194491A - 一种基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法 - Google Patents

Abstract

本发明介绍了站点客流的预测方法和站间行程时间的预测方法，所述方法包括：建立站点客流预测模型；建立站间行程时间预测模型；建立公交发车间隔模型；最后基于客流预测模型和站间行程时间预测模型对公交发车间隔模型进行求解进而实现公交的动态调度。

Description

一种基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法

技术领域

本发明涉及一种公交调度方法，特别涉及一种基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法。

背景技术

公共交通系统是城市客运交通的主要载体，其服务面广、成本低效率高、节能低碳，与城市的形成、发展和兴衰紧密相连，是衡量一个城市社会经济发达程度和城市建设管理水平的重要标志。但是随着城市人口的持续增长，带来交通需求在时间和空间上的不均衡性，致使现有的公共交通系统往往难以满足人们的出行需求。目前，我国城市公共交通服务水平仍然处在较低水平。公共交通的调度水平落后是公共交通服务质量落后的根本原因之一。公交调度方法简便，技术落后，公交智能化水平不高。大部分城市仍然沿用手工操作方式，没有应用当前最新的调度技术。调度管理主要依靠人力，运营计划依靠公交调度管理人员的经验制定，总体技术还比较落后。这样的情况下，高峰期路面车流增大，车辆行驶速度减慢，容易造成交通拥堵，加上每条线路公交车辆数量有限，很容易就会造成车辆断位和串车。对此，本发明提出了一种基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法来解决以上问题。预测客流可以生成更加合理的发车时刻表，预测行程时间可以在一定程度上分析出线路拥堵时段，并根据预测结果不断调整调度方法。

发明内容

为解决以上问题，本发明公开了一种基于公交客流和站间行程时间的预测模型和方法以及相应的调度方法，主要内容包括客流统计和预测模型以及算法、站间行程时间分析和预测以及线路拥堵情况预测分析、调度策略。

其首先是采用了合适的预测方法对公交客流和行程时间进行了合理的预测；其次设计了针对高峰期车辆断位和串车问题的合理的调度方法；最后降低了公交运营的成本，提高了调度策略实施的流畅性。所述方法具体包括以下步骤，

建立站点客流预测模型；

建立站间行程时间预测模型；

建立公交发车间隔模型；

基于客流预测模型和站间行程时间预测模型对公交发车间隔模型进行求解进而实现所述动态调度。

特别的，，所述的建立站点客流预测模型，包括，

对站点乘客上车人数进行统计，得到第T个类型第s个站点第i个时段的统计结果，x_T,s(i)＝[x(1),x(2),x(3),...,x(n)]，进而建立站点客流预测模型，其具体建立过程包括：

首先建立原始的灰色模型为x_T,s ⁽⁰⁾(i)＝-az⁽¹⁾(k)+b,k＝2,3,...,n，

式中z⁽¹⁾(k)＝[x⁽¹⁾(k)+x⁽¹⁾(k-1)]/2,通过变形得到预测值

为了得到更加准确的预测值，利用δ(1-e^a)e^-a(k-1),(k＝2,3,...,n)对所述预测值进行修正，修正的结果为

然后进一步利用马尔可夫过程得到的修正的预测残差值e(k)-(A_L+C_L)/2对预测值进行修正，得到更加准确的预测结果

并利用四次多项式λ_j(t)＝p₁t⁴+p₂t³+p₃t²+p₄t+p₅拟合推算站点客流达到率；

其中，T表示类型，s表示站点，i表示第i个时段，x(1),x(2),...x(n)分别为第1天至第n天的统计结果，a、b为常参数，修正因子残

差A_L和C_L为残差值所处状态L的上下限，λ_j(t)为t时段第j个站点的乘客到达率，p₁到p₅为多项式参数。

特别的，所述的站间行程时间预测模型为基于L-M学习算法的神经网络预测模型；

利用L-M学习算法得到更快的收敛效果，其计算形式为

式中：Δw为调整量，J(w)为雅可比矩阵，J^T(w)为雅克比矩阵的转置，为常系数，I为对应阶数的单位矩阵，为调试参数，对于原始参数若求得的Δw能使误差指标函数E(w)减小，则使被另一调节因子β除，反过来，若误差函数扩大了，则用乘以β，使增大，直至误差不再变大为止；

其中，e(w)为残差，N为输出向量维数。

特别的，所述的建立公交发车间隔模型为，

其中，p为车票单价；t_i为第i辆车驶离车站的时刻；t_j为公交车从始发站到驶离第j个站点所用时间；λ_j(t)为第j个站点的乘客到达率；c_l为公交车每公里运营费用；

L为公交线路总长度；g为地区乘客单位时间产生价值；m为站点个数；n为线路配车数量；w₁和w₂表示权重，并且有w₁+w₂＝1。

附图说明

图1是本发明的总体流程图。

图2是本发明的BP神经网络模型拓扑结构图。

具体实施方式

1、总体设计

本发明的总体设计思想是：通过相关的数学模型，对公交客流以及站间行程时间进行预测，实现随着客流以及行程时间变化而变化的高峰期调度方法的生成。首先，阐述了基于公交刷卡数据的线路客流以及基于公交GPS数据的行程时间分析方法，接着建立了站点客流预测的改进灰色马尔可夫模型以及建立了基于L-M算法的BP神经网络的公交车行程时间预测模型，并且根据预测的行程时间结果进行道路拥堵情况分析；最后，建立了公交车发车间隔模型并提出合理有效的高峰期调度方法。图1是总体的流程图。

2、公交客流分析统计

城市公交规划方案和运营决策均需要以公交客流信息作为依据。通过记录乘客上车时的刷卡数据，并保存到数据库中，然后对刷卡数据进行挖掘分析，就可以得到相应的特征信息，并且还能通过已知信息推测想要得到的信息以及对未来的信息进行预测。

2.1客流刷卡数据分析统计

正常运营情况下，每位乘客上车刷卡时都会记录乘客刷卡时间、公交线路、上车站点以及公交车辆编号等信息。我们可以很容易对这些数据进行分析统计从而得到我们想要的信息。

2.1.1站点乘客上车人数统计

如果将一天的运营时间分成N个等间隔的时段。已经有很多研究表明公交站点的乘客到达率是符合泊松分布或者均匀分布规律的。假设站点乘客达到率符合泊松分布。将公交一天的运营时间分成间隔为15min的众多时间段。通过刷卡数据统计每个站点全天每个时间段的乘客数量，就可以得到每个公交站点全天每个时间段的乘客到达数量，从而得到站点乘客到达率。为了在一定程度上排除统计结果的随机性。用来进行统计的数据量为一个月，并且将一个月的30天分成节日(用1表示)、非节日周末(用2表示)和普通工作日(用3表示)三种类型进行统计分析。这样就可以得到每个类型每个站点第i个时段的统计结果：x_T,s(i)＝[x(1),x(2),x(3),...,x(n)]。T表示类型，s表示线路站点。x(1),x(2),...x(n)分别为第1天至第n天的统计结果。

2.1.2站点下车人数推算

由于各站点的下车人数无法直接统计得出，但是公交的客流量和流向相对稳定，即下行方向相应站点下车人数占总下车人数的比例与上行方向各站点上车人数占总上车人数的比例基本一样。通过下行方向各站点上车人数为p_s′，确定s站点对乘客的吸引强度：

为在s站点上车的乘客，又在s1、s2、...、S站点下车的可能性，则乘客在m(s<m≤S)站点下车的概率为：

故全天s站点的下车人数满足如下条件：

当k＝S时，可通过线路全线上车人数减去前S-1个站点的下车人数总和获得。

分析推测站点的上车人数和下车人数就可以研究线路客流OD并为大站快车、点对点发车、区间车等发车模式提供依据。

2.2站点客流预测模型

2.2.1模型建立

将上面的站点客流统计结果进行归一化处理有：

x_T,s ⁽⁰⁾(i)＝[x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),...,x⁽⁰⁾(n)]

通过对上述序列进行累加可得到单调递增序列x_k,s ⁽¹⁾(i)：

x_T,s ⁽¹⁾(i)＝[x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),x⁽¹⁾(3),...,x⁽¹⁾(n)]

式中：为分类类型。

将原始数据x_k,s ⁽⁰⁾(i)归类于序列σ：

σ＝[σ(2),σ(3)，...，σ(n)]

式中：σ(k)＝x⁽⁰⁾(k-1)/x⁽⁰⁾(k),k＝2,3,...,n。

如果序列的值在0.1345-7.389的范围内，则此灰色模型满足要求。

根据灰色理论，原始灰色模型可以表示为：

x_T,s ⁽⁰⁾(i)＝-az⁽¹⁾(k)+b,k＝2,3,...,n

式中：z⁽¹⁾(k)＝[x⁽¹⁾(k)+x⁽¹⁾(k-1)]/2。

此微分方程还可通过白度处理表示为：

应用最小二乘法确定最佳参数a和b：

[a,b]^T＝(B^TB)^-1B^TY

式中，B是累积矩阵，Y是常数向量。

对微分方程求解得到的逼近解为：

再还原得到预测值：

此外，精度检验进一步得出真实值x⁽⁰⁾(k)和预测值之间的残差e(k)：

精度指数为1-e(k)。

通过标准均方差SMSE和平均绝对百分误差MAPE可以进一步检验残差e(k)的性能。

客流预测时可接受的MAPE值为小于20％，平均准确率1-MAPE超过80％，表明此预测模型有效。

2.2.2精度修正

根据灰色理论，预测的准确性受到参数a、b和背景值的影响。在GM(1,1)模型中，将z⁽¹⁾(k)看作平滑值。

z⁽¹⁾(k)＝αx⁽¹⁾(k)+(1-α)x⁽¹⁾(k-1)

式中：α为权重因子，在一般情况下取α＝0.5作为特殊值，但不是最佳值。

当原始数据数x⁽⁰⁾(k)变得平滑，显然，该GM(1,1)模型将获得更精确的预测值。因此，预测数据需要进一步的修正。假设将修正为：

这样将得出，

式中：δ为修正因子。

下面确定修正因子的值：

由于有

令可得到：

由于所以有：

通过δ(1-e^a)e^-a(k-1),(k＝2,3,...,n)获得改进的GM(1,1)模型用于进一步预测。

2.2.3马尔可夫过程

为了减少预测误差，引用马尔可夫法处理预测误差序列{e(k),k＝2,3,...,n}。利用等概率原则将e(k)分成q个状态(R1,R2,...,Rq)，E_li和E_ui代表每个状态的下限和上限。令当前状态为R_i，另一个状态为R_j，转移概率P_ij为从状态R_i转移到状态R_j。在w次状态转移后其中m_ij ^(w)是在第w次从状态R_i转移到状态R_j的频率，M_i是状态R_i的次数。则相应的转移概率矩阵表达为：

认为w＝1，如果残差e(k)下降到第i状态，然后检查第i行转移概率矩阵P(1)。如果那么状L可能是下一个转移或预测状态。利用A_L和C_L的上下限，预测残差值可以修正为e(k)-(A_L+C_L)/2。一旦获得残差，就可以修正预测值。修正为：

2.3线路客流高低峰划分

将上述预测出来的每个模式类型的整条线路客流量用K均值聚类方法进行分类，分成客流高峰、次高峰、平峰和低峰四类。由于公交车辆调度出现段位和串车现象一般只发生在客流高峰期和次高峰期所以本文就只考虑客流高峰期的调度方式。

将预测出来的每个模式类型的每个站点的一天的客流量分别用K均值聚类方法进行聚类可以得到线路每个站点的客流高峰期和次高峰期。可以用于客流高峰期站点客流的快速疏散。

2.4站点乘客到达率计算

由预测出来的各站点的上客人数就可以获得某时间段内的平均乘客到达率，经过试验发现四次多项式可以较好的拟合出该到达率函数：

λ_j(t)＝p₁t⁴+p₂t³+p₃t²+p₄t+p₅

3、站间行程时间分析

公交车辆在公交线路上行驶时主要经过路段、公交站点及交叉口三种实体，则公交车辆的行程时间由站间正常行驶时间、驻站时间和交叉路口等待时间三部分构成。其影响因素众多，主要有道路本身的因素、车辆本身的因素、交叉路口红绿灯时间因素以及天气因素。

3.1公交车行程时间预测模型

3.1.1 BP神经网络概述

BP神经网络一般采用三层或三层以上的网络结构，包括输入层、隐含层和输出层，每层都由一定数量的神经元组成，同层神经元无连接，各层神经元之间采用全互联方式。BP算法又叫“误差反向传播算法”,分为信号的正向传播和误差的反向传播两部分。正向传播时，输入样本从输入层传入，经中间层处理后向转向输出层。当输出层输出与期望的输出不符合时，要将输出误差经中间层反传到输入层，把误差逐层分配给各层所有的神经元，并不断对权值和阀值进行修正。三层BP神经网络拓扑结构示意图如图2所示。

上图中，令i表示输入层，j表示隐含层，l表示输出层，x_i代表输入变量，w_ij为输入层神经元i与隐含层神经元j之间的连接权重，x_j为隐层神经元的输入值，x_j’表示经隐层神经元处理后的输出值，w_jl为隐含神经元j与输出神经元l之间的连接权重，y_n表示目标输出。为了表达方便，一般用向量来表示各层神经元之间的权重值，让使用者更为清楚其结构关系。

3.1.2模型构建

在模型构建过程中，可针对某一条公交线路进行数据的收集与网络训练，运用历史数据对BP神经网络模型进行训练，最后对模型所预测的行程时间精度进行检验，验证其可行性。

(1)L-M学习算法

BP算法由信号正向传播和误差反向传播组成。正向传播主要通过求取网络输出值和目标输出值之间的误差，并与设定的目标误差指标对比，来决定学习是转向反向传播还是结束；反向传播则是将误差信号按原连接通路反向计算，采用L-M算法调整各层神经元的权值和阀值，以减小误差信号。

根据上面对BP神经网络结构的分析，针对三层神经网络，有如下算法步骤：

1、正向传播：计算输出。

隐含层神经元的输入为所有输入的加权之和，数学表达式为：

隐含层神经元的输出x_j'采用Sigmoid函数激发x_j,得：

输出层神经元采用线性函数，其输出表示为：

设y(k)表示第k组数据的实际输出值，则第k次计算的输出误差为：

e(k)＝y(k)-y_n(k)

2、反向传播：采用L-M学习算法，调整各层间的权值。权值的算法如下：

令w(k)表示第k次迭代时权值与阀值所构成的向量,经调整后,新向量可表示为：

w_k+l＝w_k+Δw

设误差指标函数为：

式中，N为输出向量维数。根据牛顿法则有：

式中，∨E表示为误差指标函数E(w)的赫赛矩阵，表示梯度。

设J(w)为雅可比(Jacobian)矩阵，则上式中的∨E和可分别表示为：

∨E＝J^T(w)J(w)

则可得到：

Δw＝-[J^T(w)J(w)]^-1J^T(w)e(w)

而L-M算法是一种改进的高斯—牛顿法，它的计算形式为：

式中：为常系数，I为对应阶数的单位矩阵。为调试参数，对于原始参数，若求得的Δw能使误差指标函数E(w)减小，则使被另一调节因子β除，反过来，若误差函数扩大了，则用乘以β，使增大，直至误差不再变大为止。

(1)输入变量选取及解释

基于数据的可获得性及变量的重要度考虑，选取如下6项指标作为输入变量。

L：目标车辆距离公交车站的空间距离(km)。该数据可通过车载GPS装置自动获取。

P：区间的道路平均占有率。该数据可通过设置于道路上的车辆检测器获取，此指标反映了道路交通拥挤状况。

Q：公交站点乘客上下车人数。数据可由客流预测模型得到站点上车人数预测数据。

T：所处的时段。1代表高峰；2代表次高峰。时间定义为通过客流预测数据聚类得到。

S：运行区间的信号交叉口数量。

W：天气情况(0代表晴天，1代表雨天，2代表浓雾天气)。

(2)输出变量选取

输出变量即行程时间值。

(3)网络结构：

采用三层神经网络结构，根据影响因素个数，确定输入层为6个神经元，隐含层神经元个数的确定可遵循经验公式2n+1(n为输入层神经元个数)，确定隐含层为13个神经元，输出层为1个神经元。

3.1.3L-M算法

L-M算法的计算步骤如下：

第一步：初始化权值与阀值向量w_k，设定训练误差允许值ε和参数β，令k＝0，

第二步：计算网络输出及误差指标函数E(w_k)。

第三步：计算雅可比矩阵J(w)。

第四步：按计算Δw。

第五步：若E(w_k)<ε，则转至第七步，否则，以w_k+1＝w_k+Δw为权值重新计算误差指标函数E(w_k+1)。

第六步：若E(w_k+1)<E(w_k)，则令并回到第二步。否则不更新权值和阀值，令并回到步骤四，直到误差开始减小为止。

3.2线路交通拥堵情况分析

通过分析站间行程时间预测模型得出行程花间的预测结果，我们可以知道未来某天的站间行程时间。如果从平峰时段到高峰时段行程时间变化迅速的路段，可以认为是容易引起交通拥堵的路段。考虑调度策略时应该结合这些路段两端点的站点客流预测数据进行综合分析。

4、公交发车间隔模型

本模型主要创新点在于提出一种基于各站点不同乘客到达率预测数据的的不均匀发车间隔模型，以前后公交车到站时间段内的乘客到达率函数计算等待时间成本。最后以乘客等车时间成本和公交运营盈利为目标函数建立模型。

4.1模型假设

(1)公交车载客量，动力性能等一致；

(2)公交车辆在行驶中匀速，不考路面突发情况；

(3)公交车票价固定，且每公里营运费用是固定的；

(4)不存在乘客无法上车的情况；

(5)公交车不存在越站。

4.2模型建立

目标函数：

式中：

p——车票单价

t_i——第i辆车驶离车站的时刻

t_j——公交车从始发站到驶离第j个站点所用时间

λ_j(t)——第j个站点的乘客到达率

c_l——公交车每公里运营费用

L——公交线路总长度

g——地区乘客单位时间产生价值

m——站点个数

n——线路配车数量

w₁+w₂＝1，可以根据不同的情况适当对两者的权重进行调整。

同该模型求解出来的发车时刻表满足了公交公司的利益与乘客利益的最大化。

5、基于客流和站间行程时间预测的调度策略

本发明通过客流预测模型利用公交刷卡历史数据分类型的对未来某天公交线路的站点客流进行预测，将预测的结果用于线路客流高低峰时段划分和站点客流高低峰时段划分得出线路高峰期和每个站点的客流高峰期。通过站间行程时间预测模型分天气类型对未来公交线路站点间的行程时间进行预测，对其进行线路交通拥堵情况分析，得到高峰期容易发生交通拥堵的路段。结合分析容易发生拥堵的路段两端点的站点客流情况以及由发车间隔模型得到的高峰期发车时刻表综合可以得出以下实际实用的调度策略：

(1)通过站间行程时间预测模型得到将要发生拥堵的时刻，提前在容易发生交通拥堵的路段的终点公交站点处停放一辆公交车，这样在发生不可避免的交通拥堵的时候不但可以及时疏散一部分客流，减轻高峰期客流压力，还可以及时的防止公交车辆的断位情况的发生。

(2)通过客流预测模型对站点上车人数进行预测和推算站点下车人数经过简单的OD推测可以清楚的得到高峰期上车客流较大的站点以及下车客流较大的站点。之后可以根据分析结果施行点对点快车或者大站快车，适当延长由模型得到的发车间隔，这样既可以在高峰期及时疏散客流，缓解高峰期的拥堵，又能有效的防止高峰期串车现象的发生。

Claims (4)

1.一种基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤，

建立站点客流预测模型；

建立站间行程时间预测模型；

建立公交发车间隔模型；

基于客流预测模型和站间行程时间预测模型对公交发车间隔模型进行求解进而实现所述动态调度。

2.如权利要求1所述的基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法，其特征在于，所述的建立站点客流预测模型，包括，

对站点乘客上车人数进行统计，得到第T个类型第s个站点第i个时段的统计结果，x_T,s(i)＝[x(1),x(2),x(3),...,x(n)]，进而建立站点客流预测模型，其具体建立过程包括：首先建立原始的灰色模型为x_T,s ⁽⁰⁾(i)＝-az⁽¹⁾(k)+b,k＝2,3,...,n，

式中z⁽¹⁾(k)＝[x⁽¹⁾(k)+x⁽¹⁾(k-1)]/2,通过变形得到预测值

为了得到更加准确的预测值，利用δ(1-e^a)e^-a(k-1),(k＝2,3,...,n)对所述预测值进行修正，修正的结果为x

然后进一步利用马尔可夫过程得到的修正的预测残差值e(k)-(A_L+C_L)/2对预测值进行修正，得到更加准确的预测结果

并利用四次多项式λ_j(t)＝p₁t⁴+p₂t³+p₃t²+p₄t+p₅拟合推算站点客流达到率；

其中，T表示类型，s表示站点，i表示第i个时段，x(1),x(2),...x(n)分别为第1天至第n天的统计结果，a、b为常参数，修正因子残差A_L和C_L为残差值所处状态L的上下限，λ_j(t)为t时段第j个站点的乘客到达率，p₁到p₅为多项式参数。

3.如权利要求2所述的基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法，其特征在于，所述的站间行程时间预测模型为基于L-M学习算法的神经网络预测模型；

利用L-M学习算法得到更快的收敛效果，其计算形式为

△w＝-[J^T(w)J(w)+lI]^-1J^T(w)e(w)；

式中：△w为调整量，J(w)为雅可比矩阵，J^T(w)为雅克比矩阵的转置，l>0为常系数，I为对应阶数的单位矩阵，l为调试参数，对于原始参数l，若求得的△w能使误差指标函数E(w)减小，则使l被另一调节因子β除，反过来，若误差函数扩大了，则用l乘以β，使l增大，直至误差不再变大为止；

其中，e(w)为残差，N为输出向量维数。

4.如权利要求3所述的基于公交客流和站间行程时间预测的动态调度方法，其特征在于，所述的建立公交发车间隔模型为，

<mrow> <mi>max</mi> <mi> </mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </msub> </msubsup> <msub> <mi>p&amp;lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>nc</mi> <mi>l</mi> </msub> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>g</mi> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </msub> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mrow>

其中，p为车票单价；t_i为第i辆车驶离车站的时刻；t_j为公交车从始发站到驶离第j个站点所用时间；λ_j(t)为第j个站点的乘客到达率；c_l为公交车每公里运营费用；

L为公交线路总长度；g为地区乘客单位时间产生价值；m为站点个数；n为线路配车数量；w₁和w₂表示权重，并且有w₁+w₂＝1。