CN107121197A - 基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置与方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置与方法，属于偏振态参量测量领域，45°线偏振正交的两光束由第一非偏振分光棱镜汇合成一束入射光，经过测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成两束光；一束光被平面反射镜反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光，分别被第一角反射镜和第二角反射镜反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束，经过第二透镜、光阑以及第一偏振分光棱镜后，形成两幅载频正交的全息图，经图像传感器采集到计算机并计算获得琼斯矩阵参量。在提高系统抗干扰能力同时，只需一次测量即可实现琼斯矩阵参量恢复，且无需二维光栅等特殊元件，简单易行。

Description

基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置与 方法

技术领域

本发明涉及一种基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置与方法，属于偏振态参量测量领域。

背景技术

偏振态是描述光波波前特征的重要参量之一，对其测量在生物光子学、非线性光学、化学和矿物质学等领域具有重要的科学意义和应用价值。但传统的偏振态测量方法多只能定量测量斯托克斯矩阵参量等偏振态信息，而无法直接测量物体的琼斯矩阵信息。但斯托克斯矩阵参量无法描述光偏振的场信息，且只适合非相干光波叠加，而相干光波叠加则必须琼斯矩阵形式处理。为了实现琼斯矩阵参量的测量，国内外学者作了很多有益尝试，其中，数字全息由于采用干涉方法记录待测波前的振幅和相位信息，并通过数字方法完成重构，为光束的偏振态参量全场快速测量提供了可能，从而引起广泛关注。

美国伊利诺伊大学香槟分校的Gabriel Popescu等(Zhuo Wang,Larry J.Millet,Martha U.Gillette,and Gabriel Popescu,"Jones phase microscopy of transparentand anisotropic samples,"Opt.Lett.33,1270-1272(2008))利用离轴数字全息实现了琼斯矩阵测量，但该技术需要四次曝光采集才能实现琼斯矩阵参量测量，测量速度受限，同时测量过程需精确控制输入、输出偏振器件的转动，测量精度受限；同时因为采用分离光路结构，抗干扰能力差。

南京师范大学的袁操今等(马骏，袁操今，冯少彤，聂守平，“基于数字全息及复用技术的全场偏振态测试方法”，物理学报.22,224204(2013))利用偏振和角分复用技术，通过一次曝光可实现斯托克斯矩阵参量和琼斯矢量测量，但是该方法受结构限制，偏振态正交的频谱在频谱空间分离有限，仍存在频谱串扰影响偏振态参量的测量精度的问题；为实现琼斯矩阵参量测量，还需精确控制输入、输出偏振器件的转动，通过两次曝光完成测量；同时，因为采用分离光路结构，抗干扰能力差。

韩国的YongKeun Park等(Youngchan Kim,Joonwoo Jeong,Jaeduck Jang,MahnWon Kim,and YongKeun Park,"Polarization holographic microscopy for extractingspatio-temporally resolved Jonesmatrix,"Opt.Express 20,9948-9955(2012))等利用离轴共路数字全息生成载频正交的全息图，进而通过两次曝光采集实现了琼斯矩阵参量测量，在提高测量效率的同时，提高了系统抗干扰能力。但是该方法仍需要两次曝光采集，同时需要二维光栅和孔阵列匹配，并辅以偏振正交的两块偏振片，不仅结构复杂，而且调整困难。

专利CN 104198040B“一种二维琼斯矩阵参量的全息测量方法及实施装置”利用双激光照明技术和正交二维光栅衍射分光技术，结合频谱角分复用技术，通过一次曝光可实现琼斯矩阵参量测量，但需要正交二维光栅衍射分光，不仅光利用率低，而且需与空间滤波孔阵列精确对准，进一步增加了系统复杂度；因为采用频谱角分复用技术，频谱在频谱空间分离有限，不可避免造成串扰，进而影响偏振态参量的测量精度；同时，因为采用采用分离光路结构，抗干扰能力差。

发明内容

本发明的目的是针对上述现有技术的不足之处，利用偏振正交双激光器输入，将偏振分光调制技术和自干涉技术相结合，提供一种基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置与方法。

本发明的目的是这样实现的：包括双光源、第一双线偏振片、第一非偏振分光棱镜、准直扩束系统、方形测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜、第二非偏振分光棱镜、平面反射镜、第三非偏振分光棱镜、第一角反射镜、第二角反射镜、第二透镜、光阑、第一偏振分光棱镜、图像传感器和计算机，双光源分别发射的光束经过第一双线偏振片调制形成偏振正交的两束线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统准直扩束后，依次经过测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成聚焦的两束光；两束光中的一束光照射在平面反射镜上并被反射，另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光束且分别照射在第一角反射镜和第二角反射镜上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束后，再经过第二透镜的变换、光阑的滤波以及第一偏振分光棱镜分光后，形成两幅载频正交的全息图，被图像传感器采集到计算机中，所述方形窗口被均匀的分成2×2个子窗口，待测物体放置在测量窗口任一子窗口之前、之内或之后，且所述的待测物体位于第一透镜的前焦面上，光阑与待测物体所放置的子窗口匹配；第二双线偏振片与方形窗口平行放置，且分别与待测物体所放置子窗口的相邻子窗口匹配；平面反射镜位于第一透镜和第二透镜的共轭焦平面上；第一角反射镜和第二角反射镜分别位于第一透镜和第二透镜的共轭焦平面上，且第一角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_b角，或第一角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_b角；第二偏振分光棱镜的分光面与光轴方向平行放置；图像传感器位于第二透镜的后焦面上。

本发明还包括这样一些结构特征：

1.所述双光源为两个独立的光源。

2.第一双线偏振片为偏振正交的两线偏振片A和B，其中线偏振片A的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片B的透光轴与垂直方向成-45°，或线偏振片A的透光轴与水平方向成-45°，线偏振片B的透光轴与垂直方向成+45°。

3.第二双线偏振片为偏振正交的两线偏振片C和D，其中线偏振片C的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片D的透光轴与垂直方向成-45°，或线偏振片C的透光轴与水平方向成-45°，线偏振片D的透光轴与垂直方向成+45°。

4.基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量方法，包括基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置，步骤如下：

(1)打开光源，双光源分别发射的光束经过第一双线偏振片调制形成偏振正交的两束45°和-45°线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统准直扩束后，依次经过方形窗口、待测物体、第二偏振正交线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成聚焦的两束光；一束光照射在平面反射镜上并被反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光束，分别照射在第一角反射镜和第二角反射镜上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束后，再经过第二透镜的变换、光阑的滤波以及第二偏振分光棱镜分光后，形成两幅载频正交的全息图I₁和I₂，被图像传感器采集到计算机中；

(2)计算待测物体的复振幅A_ni(x,y)：

A_ni(x,y)＝IFT{C{FT{I(x,y)}·F_ni}}

其中：n＝1、2，分别表示从干涉图像中分割获得的两幅全息图；F_i表示滤波器，i＝x、y；FT表示傅里叶变换，IFT表示逆傅里叶变换，C表示频谱置中操作；

(3)待测量的琼斯矩阵参量为：

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明的一种基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量方法有以下特点和有益效果：

1.在共光路基础上，利用偏振正交双激光器输入，结合偏振分光调制技术和自干涉技术，同步生成两幅含有偏振正交信息的全息图，只需一次测量即可实现琼斯矩阵全部参量相关信息提取，在实现二维琼斯矩阵参量高精度实时测量的同时，提高系统抗干扰能力，且无需二维光栅、针孔阵列等特殊元件，极大地降低系统调整难度，这是区别于现有技术的创新点之一；

2.利用三窗口输入，结合偏振分光调制技术和自干涉技术，可在每幅全息图中同时包含偏振正交输入激光所携带的信息，同时利用双角反射镜放置不同姿态引入正交载频，不仅方便灵活，调整简单，而且可最大限度的避免频谱间串扰，这是区别于现有技术的创新点之二。

本发明装置具有如下显著特点：

1.本发明装置结构简单，在光学测量过程中系统定位复杂度要求低，且调整方便；

2.本发明装置只需常用的线偏振片和偏正分光棱镜，而不需要二维光栅和和空间滤波孔阵列，不仅提高了光利用率进和降低了成本，而且使得光路更加简单易行。

附图说明

图1为一种基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置结构示意图；

图2为第一双线偏振片结构示意图；

图3为第二双线偏振片结构示意图；

图4为方测量窗口与第二双线偏振片位置匹配示意图；

图5为第二双线偏振片位置变换时测量装置的结构示意图；

图6为使用双图像传感器实现本测量装置的结构示意图；

图7(1)(2)为采用本测量装置测量0°+90°线偏振片组的全息图；

图8(1)(2)(3)(4)为本测量装置测量0°+90°线偏振片组所得J_xx、J_xy、J_yx、J_yy的振幅示意图；

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述。

图1所示一种基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置结构示意图；包括双光源、第一双线偏振片、第一非偏振分光棱镜、准直扩束系统、方测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜、第二非偏振分光棱镜、平面反射镜、第三非偏振分光棱镜、第一角反射镜、第二角反射镜、第二透镜、光阑、第一偏振分光棱镜、图像传感器和计算机。按照光的路径描述，双光源分别发射的光束经过第一双线偏振片调制形成偏振正交的两束线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统准直扩束后，依次经过测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成聚焦的两束光；一束光照射在平面反射镜上并被反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光束，分别照射在第一角反射镜和第二角反射镜上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束后，再经过第二透镜的变换、光阑的滤波以及第一偏振分光棱镜分光后，形成两幅载频正交的全息图，被图像传感器采集到计算机中。所述的方形窗口被均匀的分成2×2个子窗口，待测物体放置在测量窗口任一子窗口之前、之内或之后，且所述的待测物体位于第一透镜的前焦面上，光阑与待测物体所放置的子窗口匹配；第二双线偏振片与方形窗口平行放置，且分别与待测物体所放置子窗口的相邻子窗口匹配；平面反射镜位于第一透镜和第二透镜的共轭焦平面上；第一角反射镜和第二角反射镜分别位于第一透镜和第二透镜的共轭焦平面上，且第一角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_b角，或第一角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_b角；第二偏振分光棱镜的分光面与光轴方向平行放置；图像传感器位于第二透镜的后焦面上。

双光源为两个互不相干的光源。

第一双线偏振片为偏振正交的两线偏振片，其中线偏振片A的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片B的透光轴与垂直方向成-45°，或线偏振片A的透光轴与水平方向成-45°，线偏振片B的透光轴与垂直方向成+45°。

第二双线偏振片为偏振正交的两线偏振片，其中线偏振片C的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片D的透光轴与垂直方向成-45°，或线偏振片C的透光轴与水平方向成-45°，线偏振片D的透光轴与垂直方向成+45°。

第二双线偏振片也可分别放置于第三非偏振分光棱镜与第一角反射镜及第二角反射镜之间；

也可将第二偏振分光棱镜的分光面与光轴方向成45°放置，并在第二偏振分光棱镜的透射方向和反射方向分别放置两图像传感器。

基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量方法，它的实现过程如下：

(1)调整整个光学系统，打开光源，双光源分别发射的光束经过第一双线偏振片调制形成偏振正交的两束45°和-45°线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统准直扩束后，依次经过方形窗口、待测物体、第二偏振正交线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成聚焦的两束光；一束光照射在平面反射镜上并被反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光束，分别照射在第一角反射镜和第二角反射镜上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束后，再经过第二透镜的变换、光阑的滤波以及第二偏振分光棱镜分光后，形成两幅载频正交的全息图I₁和I₂，被图像传感器采集到计算机中。

(2)计算待测物体的复振幅A_ni(x,y)：

A_ni(x,y)＝IFT{C{FT{I(x,y)}·F_ni}}

其中，n＝1,2，分别表示从干涉图像中分割获得的两幅全息图；F_i表示滤波器，i＝x,y；FT表示傅里叶变换，IFT表示逆傅里叶变换，C表示频谱置中操作；

(3)待测量的琼斯矩阵参量由下式确定：

下面结合图1对本发明的实施实例作详细说明。

图中件号说明：1和2双光源，3和4第一双线偏振片，5第一非偏振分光棱镜，6准直扩束系统，7方测量窗口,8待测物体，9和10第二双线偏振片，11第一透镜，12第二非偏振分光棱镜，13平面反射镜，14第三非偏振分光棱镜，15第一角反射镜16，第二角反射镜，17第二透镜，18光阑，19第一偏振分光棱镜，20图像传感器，21计算机.

本发明的装置包括：双光源1和2、第一双线偏振片A3和B4、第一非偏振分光棱镜5、准直扩束系统6、方形测量窗口7、待测物体8、第二双线偏振片C9和D10、第一透镜11、第二非偏振分光棱镜12、平面反射镜13、第三非偏振分光棱镜14、第一角反射镜15、第二角反射镜16、第二透镜17、光阑18、第一偏振分光棱镜19、图像传感器20和计算机21，其中，双光源1和2均为波长632.8nm的He-Ne激光，且互不相干；线偏振片A3的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片B4的透光轴与垂直方向成-45°；方形窗口7被均匀的分成2×2个子窗口，待测物体8放置在子窗口S之内，且所述的待测物体8位于第一透镜11的前焦面上；第二双线偏振片C9和D10与方形窗口7平行放置，且分别与子窗口S的相邻子窗口R匹配，线偏振片C9的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片D10的透光轴与垂直方向成-45°；平面反射镜13位于第一透镜11和第二透镜17的共轭焦平面上；第一角反射镜15和第二角反射镜16分别位于第一透镜11和第二透镜17的共轭焦平面上，且第一角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_b角；第一透镜11和第二透镜17的焦距均为f＝200mm；光阑18与待测物体8所放置的子窗口S匹配；图像传感器位于第二透镜16的后焦面上。该装置光的运行路径为：双光源1和2分别发射的光束经过第一双线偏振片A3和B4调制形成偏振正交的两束45°和-45°线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统6准直扩束后，依次经过方测量窗口7、待测物体8、第二双线偏振片C9和D10、第一透镜11、第二非偏振分光棱镜12形成聚焦的两束光；一束光照射在平面反射镜13上并被反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜14后分成两束光束，分别照射在第一角反射镜15和第二角反射镜16上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜12汇合成一束后，再经过第二透镜17的变换、光阑18的滤波以及第一偏振分光棱镜19分光后，形成两幅载频正交的全息图，被图像传感器20采集到计算机21中。

被图像传感器20采集到计算机21中的两幅载频正交的全息图可表示为I₁和I₂。

接着，计算待测物体8的复振幅A_ni(x,y)：

A_ni(x,y)＝IFT{C{FT{I(x,y)}·F_ni}}

其中，n＝1,2，分别表示从干涉图像中分割获得的两幅全息图；F_i表示滤波器，i＝x,y；FT表示傅里叶变换，IFT表示逆傅里叶变换，C表示频谱置中操作；

最后，待测量的琼斯矩阵参量由下式确定：

此技术仅需要一次测量采集两幅子全息图便可计算琼斯矩阵，在保证实时性的同时，方法简单易行，不需要二维光栅、空间滤波器阵列等特殊光学元件，系统的复杂度进一步降低了。

综上，本发明提供了基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置与方法，属于偏振态参量测量领域。45°线偏振正交的两光束由第一非偏振分光棱镜汇合成一束入射光，经过测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成两束光；一束光被平面反射镜反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光，分别被第一角反射镜和第二角反射镜反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束，再经过第二透镜、光阑以及第一偏振分光棱镜后，形成两幅载频正交的全息图，经图像传感器采集到计算机并计算获得琼斯矩阵参量。它在提高系统抗干扰能力同时，只需一次测量即可实现琼斯矩阵参量恢复，且无需二维光栅等特殊元件，简单易行。

Claims (5)

1.基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置，其特征在于：包括双光源、第一双线偏振片、第一非偏振分光棱镜、准直扩束系统、方形测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜、第二非偏振分光棱镜、平面反射镜、第三非偏振分光棱镜、第一角反射镜、第二角反射镜、第二透镜、光阑、第一偏振分光棱镜、图像传感器和计算机，双光源分别发射的光束经过第一双线偏振片调制形成偏振正交的两束线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统准直扩束后，依次经过测量窗口、待测物体、第二双线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成聚焦的两束光；两束光中的一束光照射在平面反射镜上并被反射，另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光束且分别照射在第一角反射镜和第二角反射镜上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束后，再经过第二透镜的变换、光阑的滤波以及第一偏振分光棱镜分光后，形成两幅载频正交的全息图，被图像传感器采集到计算机中，所述方形窗口被均匀的分成2×2个子窗口，待测物体放置在测量窗口任一子窗口之前、之内或之后，且所述的待测物体位于第一透镜的前焦面上，光阑与待测物体所放置的子窗口匹配；第二双线偏振片与方形窗口平行放置，且分别与待测物体所放置子窗口的相邻子窗口匹配；平面反射镜位于第一透镜和第二透镜的共轭焦平面上；第一角反射镜和第二角反射镜分别位于第一透镜和第二透镜的共轭焦平面上，且第一角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_b角，或第一角反射镜调整光束在垂直方向与光轴成θ_a角，第二角反射镜调整光束在水平方向与光轴成θ_b角；第二偏振分光棱镜的分光面与光轴方向平行放置；图像传感器位于第二透镜的后焦面上。

2.根据权利要求1所述的基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置，其特征在于：所述双光源为两个独立的光源。

3.根据权利要求1所述的基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置，其特征在于：第一双线偏振片为偏振正交的两线偏振片A和B，其中线偏振片A的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片B的透光轴与垂直方向成-45°，或线偏振片A的透光轴与水平方向成-45°，线偏振片B的透光轴与垂直方向成+45°。

4.根据权利要求1所述的基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置，其特征在于：第二双线偏振片为偏振正交的两线偏振片C和D，其中线偏振片C的透光轴与水平方向成+45°，线偏振片D的透光轴与垂直方向成-45°，或线偏振片C的透光轴与水平方向成-45°，线偏振片D的透光轴与垂直方向成+45°。

5.基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量方法，其特征在于：包括权利要求1至4任意一基于自干涉共路数字全息的琼斯矩阵参量同步测量装置，步骤如下：

(1)打开光源，双光源分别发射的光束经过第一双线偏振片调制形成偏振正交的两束45°和-45°线偏振光束，再经第一非偏振分光棱镜汇合成一束光，经准直扩束系统准直扩束后，依次经过方形窗口、待测物体、第二偏振正交线偏振片、第一透镜和第二非偏振分光棱镜形成聚焦的两束光；一束光照射在平面反射镜上并被反射；另一束光经第三非偏振分光棱镜后分成两束光束，分别照射在第一角反射镜和第二角反射镜上并被反射；经过反射的光束再次经过第二非偏振分光棱镜汇合成一束后，再经过第二透镜的变换、光阑的滤波以及第二偏振分光棱镜分光后，形成两幅载频正交的全息图I₁和I₂，被图像传感器采集到计算机中；

(2)计算待测物体的复振幅A_ni(x,y)：

A_ni(x,y)＝IFT{C{FT{I(x,y)}·F_ni}}

其中：n＝1、2，分别表示从干涉图像中分割获得的两幅全息图；F_i表示滤波器，i＝x、y；FT表示傅里叶变换，IFT表示逆傅里叶变换，C表示频谱置中操作；

(3)待测量的琼斯矩阵参量为：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mi>X</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>Y</mi> <mi>Y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0.5</mn> </mtd> <mtd> <mn>0.5</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0.5</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0.5</mn> </mtd> <mtd> <mn>0.5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0.5</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>0.5</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>.</mo> </mrow> 2