CN107065897B - 三自由度直升机显式模型预测控制方法 - Google Patents

Abstract

三自由度直升机显式模型预测控制方法，包括如下步骤：步骤1)三自由度直升机系统数学模型的建立，步骤2)基于第一步得到的状态空间模型，构建相应的多参数二次规划(multiparametric quadratic program，MPQP)问题，步骤3)离线求解MPQP问题，得到系统的状态分区以及对应分区上的线性控制律，步骤4)在线运行时，根据当前的系统状态，通过查表方法，确定状态所在的分区，并提取出该分区对应的控制律，步骤5)把所设计的显式模型预测控制器接入如附图1所示的三自由度直升机实验平台中，形成闭环回路，对不稳定的飞行系统进行调节控制实验。

Description

三自由度直升机显式模型预测控制方法

技术领域

本发明应用于三自由度直升机自动控制领域，涉及一种快速的适用于三自由度直升机的姿态调节控制的控制方法。

背景技术及意义

自1907年载人直升机诞生以来，经过100多年的发展，常规直升机技术已经非常成熟。和固定机翼飞机不同，直升机能够在小面积场地垂直起降，在空中定点悬停，定点360°回转；直升机能够作任意方向飞行，可以低速贴近地面飞行，还可在机身外部吊挂货物。由于这些特点使得直升机在军用、民用等领域得到了极为广泛的应用。军用方面如对地攻击、运输突击、空降空投、侦察搜索、火力支援、反潜扫雷、电子战与预警等。民用方面如运输旅客、地质勘探、抢险救灾、医疗救护、空中摄影等。直升机已经广泛应用于国防建设和国民经济的各个方面，可以说没有装备直升机的军队不能看作是现代化的军队，没有直升机的社会不能称之为现代社会。

我们使用加拿大Quanser公司开发的三自由度直升机系统作为研究对象，基于模型预测控制对其进行姿态的调节控制，并与PID的控制效果进行比较。三自由度直升机系统是一个典型的多输入多输出系统，并且具有强耦合、非线性等特性，是自动控制领域比较棘手的一类被控目标，直升机的控制效果可以分别通过三个自由度的控制效果来体现。三自由度直升机作为一类常见的、非常有代表意义的复杂控制对象，是很多军工和航天问题的抽象。研究三自由度直升机飞行控制问题有助于弹道导弹飞行轨迹、卫星姿态调整、月球车月面行走等控制问题的解决。

预测控制是一种基于模型的先进控制技术，所以也叫模型预测控制。1978年，J.Richalet在他的论文里首次阐述了预测控制的背景、原理和应用，并提出了预测控制算法的三要素：内部(预测)模型、参考轨迹、控制算法。如今则一般更清楚得表述为：内部(预测)模型、滚动优化、反馈控制。预测控制基于预测模型，采用二次在线滚动优化性能指标和反馈校正来克服多种不利影响，如被控对象的建模误差和结构、参数以及环境不确定性因素。预测模型的功能是根据被控对象的历史信息和未来输入，预测系统的未来响应。未来的控制策略通过解最优性能指标得到，并且随时间的推移在线优化，反复进行，虽然每一步实现的是静态的优化，全局而言却是动态的。每到一个新的采样时刻，都要通过实际测到的输出信息对基于模型的预测输出进行修正，然后再进行新的优化。这样不断根据系统的实际输出对预测输出值做出修正是滚动优化不但基于模型，而且利用了反馈信息，构成闭环最优。

从上世纪70年代问世以来，预测控制在复杂工业工程中所取得的成功已充分显示出其处理复杂约束优化控制问题的巨大潜力。

近年来，在先进制造、能源、环境、航天航空、医疗等许多领域中，都出现了不少用预测控制解决约束优化控制问题的报道，如电力、城市交通、城市的污水处理、材料制造中的高压复合加工、糖尿病人的血糖控制等，这与上世纪预测控制主要应用于工业过程领域形成了鲜明的对照，它反映了人们对预测控制的期望。

除了慢过程控制，在快速随动系统中，预测控制也开始崭露头角。

Keviczky T和Balas G J通过比较不同回退时域控制方法对F-16飞行器的纵向控制效果，得出基于飞行条件独立的线性预测模型的回退时域控制方法，要获得良好的控制效果灵活性是必要条件。通过牺牲一部分性能，降低计算复杂度并确保实时可执行性，并且提供了一种方法，可用于替代基于模型的全非线性回退时域控制方法。

Silani E和Lovera M回顾了现今基于线性和非线性理论的小型卫星姿态稳定性控制方法，并提出和分析了一种基于模型预测的控制方法。

模型预测控制由于建模简单、鲁棒性强、能够有效处理有效处理执行器、输入和输出约束并且控制性能好，在工业领域尤其是在石油、化工等行业得到广泛应用。但受对象复杂度及约束限制影响，预测控制的在线滚动优化计算量较大，特别是非线性系统，因为非线性系统的在线优化问题常为非凸问题，计算量随着被控变量的数目的增长呈指数增长。因此预测控制大多只能应用于规模较小、动态变化较慢的系统。

发明内容

本发明要克服现有技术的上述缺点，通过在传统模型预测控制的基础上引入多参数二次规划，提出了一种复杂度低、求解速度快、实时控制性好的三自由度直升机显式模型预测控制方法。

飞行器系统是一个实时变化的系统，变化速度极快，对控制器的响应时间要求极高，经典模型预测控制(model predictive control，MPC)由于建模简单、鲁棒性强、能够有效处理有效处理执行器、输入和输出约束并且控制性能好，在工业领域尤其是在石油、化工等行业得到广泛应用。但是由于其依赖于系统当前时刻的状态值，因而必须进行反复的在线优化计算。这样，模型预测控制只能应用于问题规模比较小或者采样速率不是很高的情况，显然不适合应用在直升机系统控制中。本发明提出的显式模型预测控制，把系统的状态作为参数向量，通过引入多参数规划理论，将传统模型预测控制反复的在线求解最优问题离线化，得到最优控制输入与系统的状态之间的显式函数关系。本发明提出的显式模型预测控制算法主要划分为离线计算和在线计算两部分。离线计算的基本思想引入多参数二次规划，得到状态分区及其对应的控制律。在线计算就转化为简单的查表过程，只需根据当前时刻的状态，查表得到对应的最优控制律。显式模型预测控制的原理如附图4所示，图中虚线箭头表示在线查找过程。这样一来大大提升了控制器的响应速度，使得其能满足三自由度直升机的控制需求。

本发明的三自由度直升机显式模型预测控制方法，包括如下步骤：

步骤1)三自由度直升机系统数学模型的建立；

本发明所应用的控制对象为Quanser公司生产的三自由度直升机模型；

三自由度直升机的三个旋转轴分别为高度轴，俯仰轴，旋转轴，对应的角度为高度角ε、俯仰角p、旋转角λ；

根据三自由度直升机的动力学方程，本发明选取高度角ε、俯仰角p、旋转角λ以及它们各自的微分为状态变量x，即：

本发明选取输入向量u和输出向量y分别为：u^T＝[U_f U_b]，y^T＝[ε p λ]，其中T表示矩阵的转置，建立相应状态空间方程

其中：

其中各参数含义及数值详见表1，代入表1所示具体参数，最后得到状态方程的系数为：

表1高度轴相关参数表

步骤2)基于第一步得到的状态空间模型，构建相应的多参数二次规划(multiparametric quadratic program，MPQP)问题；

因为本发明针对的直升机系统在数学规划问题中存在着多个不确定性的参数，所以构建多参数规划问题。而这些不确定性的参数又是未知的或者在当前时刻所不能确定的。多参数规划方法能够系统地分割参数区域，在每一参数子区域内，分别建立问题的最优解与参数之间的函数关系。因而，一旦得到这些参数的值，很快就能获得问题的最优解。

本发明将第一步得到的状态空间方程离散化为如下线性时不变系统(2)：

系统的状态约束和控制输入约束条件如下：

Ex(t)+Lu(t)≤M t≥0 (3)

式(2)中，x(t)∈Rⁿ为系统状态，u(t)∈R^m为系统的输入向量，y(t)∈R^p为系统的输出向量，E,L,M为已知的常数矩阵；

定义二次性能目标函数(4)：

其中U_N是问题(5)的决策向量，x(0)为0初始状态，x_N为第N个参数向量，x_k为第k个参数向量，u_k为第k个控制向量，P,Q,R分别为对应的权函数矩阵，其选取需依靠工程经验。约束线性时不变系统的有限时间最优控制问题(5)：

最优控制问题(5)中，表示系统状态的终点约束条件，N表示控制时域的长度，x₀为系统的初始状态。为保证系统的可行性、稳定性，在此增加了约束条件x_N∈χ_f，χ_f为多面体区域：

χ_f＝{x∈Rⁿ|H_fx≤K_f} (6)

U_N＝[u₀′,...,u_N-1′]′∈R^s,s＝m·N，是问题(5)的决策向量，m表示约束条件的个数。是所有满足(5)中约束条件的x(0)的集合。在此，χ_j为集合，用来表示j时刻的可行状态；

对于最优控制问题(5)，由式(2)可得：

式(7)表明，任何的状态x_k都可以通过控制向量u₀,…,u_k-1及系统的初始状态x₀的线性组合来表示；

将式(7)代入式(4)、式(5)中，得到下式：

其中H＝H′＞0,H,F,G,W,E,Y可以由式(4)、式(5)和式(7)计算得到。由于式(8)中项不影响优化向量U_N的计算，因此可忽略；

接着，继续简化式(8)，定义：

Z＝U_N+H^-1F′x(0) (9)

Z为U_N和x(0)的线性组合，代入式(8)后得到：

其中：S＝E+GH^-1F′，而从式(8)或式(10)的问题容易得出，最优决策向量U^*(x(0))取决于x(0)，也就是当x(0)不断变化时，的值也将随之改变；

步骤3)离线求解MPQP问题，得到系统的状态分区以及对应分区上的线性控制律；

求解一个MPQP问题，主要包含以下两部分：

1.得到包含可行参数集K^*的最小仿射子空间K；

2.得到参数集K^*的临界域CR_A划分，找到函数J^*(·)和一个PWA

最优值函数z^*(·)。

给定一个参数的多面体集

K＝{x∈Rⁿ:Tx≤Z} (11)

我们用表示使MPQP问题(10)可行的参数域，其中参数x∈K。对任意给定的表示MPQP问题(10)最小的目标函数值，且而函数J^*:K^*→R表示在参数域K^*上，参数x对目标函数的最小值的影响。J^*(·)被称为价值函数。我们的目标是：得到参数的可行域价值函数的表达式和最优值的表达式z^*(x)∈Z^*(x)，

定义可行域χ₀为凸多面体域，即χ₀为χ₀＝{x∈Rⁿ|H₀x≤K₀}，为x(0)的PWA函数，因而也为x(0)的PWA函数，即：

当

其中：为多面体集，且当i≠j

如果对于MPQP问题(10)，H＞0。则为x(0)的分段二次连续函数，所以

也是x(0)分段二次连续函数，即：

根据模型预测控制的算法原理，问题(5)的最优决策向量中的就是每一个时刻对应得作用于被控对象的控制量，也为x(0)的PWA函数；

当

因为系统为时不变系统，且MPC系统中每个时刻的反馈控制信号都是分段线性的，所以可得：

其中F_t,G_t，N_t,R_t为第t个状态分区所对应的常数矩阵，闭环的控制系统可转化为如下形式(15):

当x(t)∈CRⁱ,i＝1,…,N^r,t≥0时，式(15)为闭环预测控制系统的PWA模型；

步骤4)在线运行时，根据当前的系统状态，通过查表方法，确定状态所在的分区，并提取出该分区对应的控制律。

离线计算得到描述状态分区信息的数据H_i、K_i矩阵以及F_i、G_i矩阵，F_i、G_i矩阵用来描述控制律u关于状态x(t)的显式表达式。

其中M代表状态分区的个数，F_i,G_i,H_i,K_i为第i个分区所对应的常数矩阵，其数值由步骤3求得。

在线计算阶段的核心任务是判断空间中的某一点所在分区，在计算几何中被称为点定位问题(Point-location Problem)，这一问题的解决算法被称为点定位算法。通过确定当前时刻的状态所在分区然后提取特征值F_i、G_i矩阵最优控制律。点定位算法主要有三个方面的性能要求：分区及特征值等数据的空间需求、点定位问题的解决效率、以及将数据处理成算法所要求的结构需要花费多长时间。这三方面的性能关系到EMPC的在线计算效率。

如附图5所示，分区P₁的边界由4条直线L₁～L₄确定，

其中：

L₁:h₁₁x₁+h₁₂x₂＝k₁

L₂:h₂₁x₁+h₂₂x₂＝k₂

L₃:h₃₁x₁+h₃₂x₂＝k₃

L₄:h₄₁x₁+h₄₂x₂＝k₄

其中h₁₁,h₁₂,h₂₁,h₂₂,h₃₁,h₃₂,h₄₁,h₄₂,k₁,k₂,k₃,k₄为已知常数，可知分区P1位于直线L1和L3的下方，位于L2和L4的上方，即：

P₁＝{H₁X≤K₁} (17)

则对于状态空间中的任一点X，X∈P₁，当且仅当H₁X≤K₁。

H₁和K₁分别是N_ci×N_x和N_ci×1的矩阵，N_ci表示分区边界处超平面个数，N_x表示状态变量的个数。

本发明采用顺序查找法来解决在线查表问题。解决点定位问题最简单直接的方法是顺序查找法，其原理为从编号为1的第一个分区开始，依次逐个利用式(17)判断所要定位的点是否在当前分区内，直到找到正确的分区或判断完最后一个分区为止。其判断流程如附图3所示，本文的显式模型预测控制默认顺序查找法。

步骤5)把所设计的显式模型预测控制器接入三自由度直升机实验平台中，形成闭环回路，对不稳定的飞行系统进行调节控制实验。

本发明的优点是：飞行器系统是一个实时变化的系统，变化速度极快，对控制器的响应时间要求极高，经典模型预测控制，由于依赖于系统当前时刻的状态值，因而必须进行反复的在线优化计算。这样，模型预测控制只能应用于问题规模比较小或者采样速率不是很高的情况，显然不适合应用在直升机系统控制中。本发明提出的显式模型预测控制，把系统的状态作为参数向量，通过引入多参数规划理论，将传统模型预测控制反复的在线求解最优问题离线化，得到最优控制输入与系统的状态之间的显式函数关系。本发明提出的显式模型预测控制算法主要划分为离线计算和在线计算两部分。离线计算的基本思想引入多参数二次规划，得到状态分区及其对应的控制律。在线计算就转化为简单的查表过程，只需根据当前时刻的状态，查表得到对应的最优控制律。显式模型预测控制的原理如图4所示，图中虚线箭头表示在线查找过程。这样一来大大提升了控制器的响应速度，使得其能满足三自由度直升机的控制需求。

附图说明

图1是本发明的三自由度直升机本体结构图

图2是本发明的三自由度直升机受力图

图3是本发明的显示模型预测控制顺序查找法在线计算流程图

图4是本发明的显式模型预测控制原理示意图

图5是本发明在线查表过程中二维分区示意图

图6是本发明的三自由度直升机半实物仿真实验系统图

图7是本发明的调节实验_Simulink结构图

图8是本发明的EMPC调节控制器分区图

图9是本发明的EMPC调节实验结果图

图10是本发明的PID调节实验结果图

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清晰，下面就对本发明的技术方案作进一步描述。参照附图3。

本发明的三自由度直升机显式模型预测控制方法，包括如下步骤：

步骤1)三自由度直升机系统数学模型的建立

本发明所应用的控制对象为附图1所示的Quanser公司生产的三自由度直升机模型。

该模型的受力分析图如附图2所示，图中轴1代表高度轴，轴2代表俯仰轴，轴3代表旋转轴，结构4为前电机，结构5为电机，结构6为配重块。三自由度直升机的三个旋转轴分别为高度轴，俯仰轴，旋转轴，对应的角度为高度角ε、俯仰角p、旋转角λ。

根据三自由度直升机的动力学方程，本发明选取高度角ε、俯仰角p、旋转角λ以及它们各自的微分为状态变量x，即：

本发明选取输入向量u和输出向量y分别为：u^T＝[U_f U_b]，y^T＝[ε p λ]，其中T表示矩阵的转置，建立相应状态空间方程：

其中：

其中各参数含义及数值详见表1，代入表1所示具体参数，最后得到状态方程的系数为：

表1高度轴相关参数表

步骤2)基于第一步得到的状态空间模型，构建相应的多参数二次规划(multiparametric quadratic program，MPQP)问题。

因为本发明针对的直升机系统在数学规划问题中存在着多个不确定性的参数，所以构建多参数规划问题。而这些不确定性的参数又是未知的或者在当前时刻所不能确定的。多参数规划方法能够系统地分割参数区域，在每一参数子区域内，分别建立问题的最优解与参数之间的函数关系。因而，一旦得到这些参数的值，很快就能获得问题的最优解。

本发明将第一步得到的状态空间方程离散化为如下线性时不变系统(2)：

系统的状态约束和控制输入约束条件如下：

Ex(t)+Lu(t)≤M t≥0 (3)

式(2)中，x(t)∈Rⁿ为系统状态，u(t)∈R^m为系统的输入向量，y(t)∈R^p为系统的输出向量，E,L,M为已知的常数矩阵。

定义二次性能目标函数(4)：

其中U_N是问题(5)的决策向量，x(0)为0初始状态，x_N为第N个参数向量，x_k为第k个参数向量，u_k为第k个控制向量，P,Q,R分别为对应的权函数矩阵，其选取需依靠工程经验。约束线性时不变系统的有限时间最优控制问题(5)：

最优控制问题(5)中，表示系统状态的终点约束条件，N表示控制时域的长度，x₀为系统的初始状态。为保证系统的可行性、稳定性，在此增加了约束条件x_N∈χ_f，χ_f为多面体区域：

χ_f＝{x∈Rⁿ|H_fx≤K_f} (6)

U_N＝[u₀′,...,u_N-1′]′∈R^s,s＝m·N，是问题(5)的决策向量，m表示约束条件的个数。是所有满足(5)中约束条件的x(0)的集合。在此，χ_j为集合，用来表示j时刻的可行状态。

对于最优控制问题(5)，由式(2)可得：

式(7)表明，任何的状态x_k都可以通过控制向量u₀,…,u_k-1及系统的初始状态x₀的线性组合来表示。

将式(7)代入式(4)、式(5)中，得到下式：

其中H＝H′＞0,H,F,G,W,E,Y可以由式(4)、式(5)和式(7)计算得到。由于式(8)中项不影响优化向量U_N的计算，因此可忽略。

接着，继续简化式(8)，定义：

Z＝U_N+H^-1F′x(0) (9)

Z为U_N和x(0)的线性组合，代入式(8)后得到：

其中：S＝E+GH^-1F′，而从式(8)或式(10)的问题容易得出，最优决策向量U^*(x(0))取决于x(0)，也就是当x(0)不断变化时，的值也将随之改变。

步骤3)离线求解MPQP问题，得到系统的状态分区以及对应分区上的线性控制律；

求解一个MPQP问题，主要包含以下两部分：

A1.得到包含可行参数集K^*的最小仿射子空间K；

A2.得到参数集K^*的临界域CR_A划分，找到函数J^*(·)和一个

PWA最优值函数z^*(·)。

给定一个参数的多面体集

K＝{x∈Rⁿ:Tx≤Z} (11)

我们用表示使MPQP问题(10)可行的参数域，其中参数x∈K。对任意给定的表示MPQP问题(10)最小的目标函数值，且而函数J^*:K^*→R表示在参数域K^*上，参数x对目标函数的最小值的影响。J^*(·)被称为价值函数。我们的目标是：得到参数的可行域价值函数的表达式和最优值的表达式z^*(x)∈Z^*(x)。

定义可行域χ₀为凸多面体域，即χ₀为χ₀＝{x∈Rⁿ|H₀x≤K₀}，为x(0)的PWA函数，因而也为x(0)的PWA函数，即：

当

其中：为多面体集，且当i≠j

如果对于MPQP问题(10)，H＞0。则为x(0)的分段二次连续函数，所以：

也是x(0)分段二次连续

函数，即：

根据模型预测控制的算法原理，问题(5)的最优决策向量中的就是每一个时刻对应得作用于被控对象的控制量，也为x(0)的PWA函数

当

因为系统为时不变系统，且MPC系统中每个时刻的反馈控制信号都是分段线性的，所以可得：

其中F_t,G_t，N_t,R_t为第t个状态分区所对应的常数矩阵，闭环的控制系统可转化为如下形式(15):

当x(t)∈CRⁱ,i＝1,…,N^r,t≥0时，式(15)为闭环预测控制系统的PWA模型。

步骤4)在线运行时，根据当前的系统状态，通过查表方法，确定状态所在的分区，并提取出该分区对应的控制律。

离线计算得到描述状态分区信息的数据H_i、K_i矩阵以及F_i、G_i矩阵，F_i、G_i矩阵用来描述控制律u关于状态x(t)的显式表达式

其中M代表状态分区的个数，F_i,G_i,H_i,K_i为第i个分区所对应的常数矩阵，其数值由步骤3求得。

在线计算阶段的核心任务是判断空间中的某一点所在分区，在计算几何中被称为点定位问题(Point-location Problem)，这一问题的解决算法被称为点定位算法。通过确定当前时刻的状态所在分区然后提取特征值F_i、G_i矩阵最优控制律。点定位算法主要有三个方面的性能要求：分区及特征值等数据的空间需求、点定位问题的解决效率、以及将数据处理成算法所要求的结构需要花费多长时间。这三方面的性能关系到EMPC的在线计算效率。

如附图5所示，分区P₁的边界由4条直线L₁～L₄确定。

其中：

L₁:h₁₁x₁+h₁₂x₂＝k₁

L₂:h₂₁x₁+h₂₂x₂＝k₂

L₃:h₃₁x₁+h₃₂x₂＝k₃

L₄:h₄₁x₁+h₄₂x₂＝k₄

其中h₁₁,h₁₂,h₂₁,h₂₂,h₃₁,h₃₂,h₄₁,h₄₂,k₁,k₂,k₃,k₄为已知常数，可知分区P1位于直线L1和L3的下方，位于L2和L4的上方，即：

P₁＝{H₁X≤K₁} (17)

则对于状态空间中的任一点X，X∈P₁，当且仅当H₁X≤K₁。

H₁和K₁分别是N_ci×N_x和N_ci×1的矩阵，N_ci表示分区边界处超平面个数，N_x表示状态变量的个数。

本发明采用顺序查找法来解决在线查表问题。解决点定位问题最简单直接的方法是顺序查找法，其原理为从编号为1的第一个分区开始，依次逐个利用式(17)判断所要定位的点是否在当前分区内，直到找到正确的分区或判断完最后一个分区为止。其判断流程如附图3所示，本文的显式模型预测控制默认顺序查找法。

步骤5)把所设计的显式模型预测控制器接入三自由度直升机实验平台中，形成闭环回路，对不稳定的飞行系统进行调节控制实验。

案例分析

本发明通过对于三自由度直升机模型的调节控制实验，比较了本发明提出的EMPC方法与传统PID方法的控制效果，展示了本发明的可行性和优越性。

本案例的实验平台为三自由度直升机半实物仿真实验系统，详情请见附图6。在用本发明所述方法得到控制器后，将其放入实验回路中形成闭环控制，具体的调节实验_Simulink结构图如附图7所示。其中的MPT Controller模块即是三自由度直升机显式模型预测控制器。为了客观地评价本文提出的控制方法，以最大偏移量，调节时间和震次数作为控制效果的评价标准。

调节是将状态调节回原点的过程，本案例的初始状态选为x₀＝[-27.5；0；-13；0；0；0]，输入约束为|u|≤24，状态约束为xmin＝-[27.5；60；360；45；45；45]，x_max＝[27.5；60；360；45；45；45]。

启动前，三自由度直升机的高度角初始值为-27.5°，给旋转角一个任意的初始值(这里为-13°)。其中输入约束和状态约束由直升机的硬件参数决定。

除了约束，设计控制器还需要知道状态变量和输入变量的加权矩阵Q和R，以及预测时域N。由于建的状态空间模型是连续的，而显式模型预测控制处理的是离散的分段仿射系统，因此还需要设置离散化时间Ts，将连续模型离散化。

对于调节而言，调节的是三自由度的角度，因此设Q＝diag(100,1,10,0,0,2)，R＝diag(0.05,0.05)。Q、R的值首先通过仿真不断调试得到，它体现了真正在控制系统的因素。Q、R的值最终在半实物仿真中进行验证和必要的修正，以上为最终取值。设Ts＝0.5，N＝1。最终离线计算得到控制率，得到163个分区，如附图8所示。

附图9和附图10分别为EMPC调节实验结果图和PID调节实验结果图，相关评价指标统计见表2

表2EMPC/PID调节实验控制效果一览表

由表2可见，本发明所设计的EMPC控制器因为巧妙地把计算过程分解为离线计算和在线查表两部分，所以大大提升了控制器的控制效果。可以看到EMPC具有极小的最大偏移量和更快的调节速度，并且在调节过程中，EMPC相比PID更平稳，振荡收敛次数更少，机身平稳，乘客能有更好的乘坐体验。即本发明能极大提高调节控制的控制效果，特别是在调节时间上，比PID控制几乎快了一倍。因此在实时性要求比较高的系统当中能得到极大的应用。解决了之前方法中计算量大，调节时间过长的不足。

Claims (1)

1.三自由度直升机显式模型预测控制方法，包括如下步骤：

步骤1)针对Quanser公司生产的三自由度直升机模型建立三自由度直升机系统数学模型；

该三自由度直升机模型的三个旋转轴分别为高度轴，俯仰轴，旋转轴，对应的角度为高度角ε、俯仰角p、旋转角λ；

根据三自由度直升机的动力学方程，选取高度角ε、俯仰角p、旋转角λ以及它们各自的微分为状态变量x，即：

选取输入向量u和输出向量y分别为：u^T＝[U_f U_b]，y^T＝[ε p λ]，其中T表示矩阵的转置，建立相应状态空间方程

其中：

其中各参数含义及数值详见表1，代入表1所示具体参数，最后得到状态方程的系数为：

表1高度轴相关参数表

步骤2)基于第一步得到的状态空间模型，构建相应的多参数二次规划问题MPQP；

将第一步得到的状态空间方程离散化为如下线性时不变系统(2)：

系统的状态约束和控制输入约束条件如下：

Ex(t)+Lu(t)≤M t≥0 (3)

式(2)中，x(t)∈Rⁿ为系统状态，u(t)∈R^m为系统的输入向量，y(t)∈R^p为系统的输出向量，E,L,M为已知的常数矩阵

定义二次性能目标函数(4)：

其中U_N是问题(5)的决策向量，x(0)为0初始状态，x_N为第N个参数向量，x_k为第k个参数向量，u_k为第k个控制向量，P,Q,R分别为对应的权函数矩阵，其选取需依靠工程经验；约束线性时不变系统的有限时间最优控制问题(5)：

最优控制问题(5)中，表示系统状态的终点约束条件，N表示控制时域的长度，x₀为系统的初始状态；为保证系统的可行性、稳定性，在此增加了约束条件x_N∈χ_f，χ_f为多面体区域：

χ_f＝{x∈Rⁿ|H_fx≤K_f} (6)

U_N＝[u₀′,...,u_N-1′]′∈R^s,s＝m·N，是问题(5)的决策向量，m表示约束条件的个数；是所有满足(5)中约束条件的x(0)的集合；使Ex+Lu≤M，Ax+Bu∈χ_j+1},j＝0,…,N-1；在此，χ_j为集合，用来表示j时刻的可行状态；

对于最优控制问题(5)，由式(2)可得：

式(7)表明，任何的状态x_k都可以通过控制向量u₀,…,u_k-1及系统的初始状态x₀的线性组合来表示；

将式(7)代入式(4)、式(5)中，得到下式：

其中H＝H′＞0,H,F,G,W,E,Y可以由式(4)、式(5)和式(7)计算得到；由于式(8)中项不影响优化向量U_N的计算，因此可忽略；

接着，继续简化式(8)，定义：

Z＝U_N+H^-1F′x(0) (9)

Z为U_N和x(0)的线性组合，代入式(8)后得到：

其中：S＝E+GH^-1F′，而从式(8)或式(10)的问题容易得出，最优决策向量U^*(x(0))取决于x(0)，也就是当x(0)不断变化时，的值也将随之改变；

步骤3)离线求解MPQP问题，得到系统的状态分区以及对应分区上的线性控制律；

求解一个MPQP问题，主要包含以下两部分：

A1.得到包含可行参数集K^*的最小仿射子空间K；

A2.得到参数集K^*的临界域CR_A划分，找到函数J^*(·)和一个PWA最优值函数z^*(·)；

给定一个参数的多面体集

K＝{x∈Rⁿ:Tx≤Z} (11)

用表示使MPQP问题(10)可行的参数域，其中参数x∈K；对任意给定的 表示MPQP问题(10)最小的目标函数值，且而函数J^*:K^*→R表示在参数域K^*上，参数x对目标函数的最小值的影响；J^*(·)被称为价值函数；我们的目标是：得到参数的可行域价值函数的表达式和最优值的表达式z^*(x)∈Z^*(x)

定义可行域χ₀为凸多面体域，即χ₀为χ₀＝{x∈Rⁿ|H₀x≤K₀}，为x(0)的PWA函数，因而也为x(0)的PWA函数，即：

其中：为多面体集，且当i≠j

如果对于MPQP问题(10)，H＞0；则为x(0)的分段二次连续函数，所以

也是x(0)分段二次连续函数，即：

根据模型预测控制的算法原理，问题(5)的最优决策向量中的就是每一个时刻对应得作用于被控对象的控制量，也为x(0)的PWA函数；

因为系统为时不变系统，且MPC系统中每个时刻的反馈控制信号都是分段线性的，所以可得：

其中F_t,G_t，N_t,R_t为第t个状态分区所对应的常数矩阵，闭环的控制系统可转化为如下形式(15):

当x(t)∈CRⁱ,i＝1,…,t≥0时，式(15)为闭环预测控制系统的PWA模型；

步骤4)在线运行时，根据当前的系统状态，通过查表方法，确定状态所在的分区，并提取出该分区对应的控制律；

离线计算得到描述状态分区信息的数据H_i、K_i矩阵以及F_i、G_i矩阵，F_i、G_i矩阵用来描述控制律u关于状态x(t)的显式表达式；

其中M代表状态分区的个数，F_i,G_i,H_i,K_i为第i个分区所对应的常数矩阵，其数值由步骤3求得；

分区P₁的边界由4条直线L₁～L₄确定；

其中：

L₁:h₁₁x₁+h₁₂x₂＝k₁

L₂:h₂₁x₁+h₂₂x₂＝k₂

L₃:h₃₁x₁+h₃₂x₂＝k₃

L₄:h₄₁x₁+h₄₂x₂＝k₄

其中h₁₁,h₁₂,h₂₁,h₂₂,h₃₁,h₃₂,h₄₁,h₄₂,k₁,k₂,k₃,k₄为已知常数，可知分区P1位于直线L1和L3的下方，位于L2和L4的上方，即：

P₁＝{H₁X≤K₁} (17)

则对于状态空间中的任一点X，X∈P₁，当且仅当H₁X≤K₁；

H₁和K₁分别是N_ci×N_x和N_ci×1的矩阵，N_ci表示分区边界处超平面个数，N_x表示状态变量的个数；

采用顺序查找法来解决在线查表问题，从编号为1的第一个分区开始，依次逐个利用式(17)判断所要定位的点是否在当前分区内，直到找到正确的分区或判断完最后一个分区为止；

步骤5)把所设计的显式模型预测控制器接入三自由度直升机实验平台中，形成闭环回路，对不稳定的飞行系统进行调节控制实验。