CN107024723B - 一种二度体磁场数值计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提出了一种二度体磁场数值计算方法，包括复杂二度体模型表示以及矩形模型磁场计算两大部分，本发明在特定的复杂二度体模型表示方式条件下，建立矩形二度体磁场叠加模型，根据设计的一种加权系数计算公式，采用一维离散卷积快速算法，实现了磁场计算在效率和精度上的统一。本发明解决了目前现有二度体磁场数值计算方法不能同时保证计算效率和计算精度，无法满足大规模磁场数据磁化率精细反演成像、人机交互建模和解释的需求问题。
Description
技术领域
本发明涉及一种二度体磁场数值计算方法，特别是任意截面形状、任意磁化率分布的二度体磁场快速、高精度数值计算方法。
背景技术
磁法勘探以地球磁场为根据、磁化率差异为物理基础，是一种研究地球构造及寻找固体矿产资源的地球物理勘探方法，该方法效率高、操作简单、成本低、勘探深度大、实施过程没有过多条件限制。实际勘探工作中，常见这样一类线性地质体：其走向方向的尺度要远比垂直其走向方向的尺度大，诸如此类地质体，实际场源分布便可以用走向方向无限延伸的二度体代替。
伴随传感器和测量技术的发展，尤其是航空磁测的出现，使得磁场测量在精度、空间分辨率和范围上都有了显著提高，为磁化率反演提供了大规模高精度、高分辨率数据。同时，随着计算机软硬件水平的不断提高，人机交互建模、解释也日益得到人们的重视，在地球物理勘探中发挥着越来越重要作用。人机交互建模能够使人们通过直观的方式对地质体进行建模，更容易融合地下结构的先验信息。反演方法与人机交互建模、解释方法相辅相成，将极大提高人们对地球内部结构的认识。
磁场正演计算是指根据磁化率分布计算磁场，反演是指根据观测磁场数据计算磁化率分布。正演是反演的基础，正演计算效率直接影响反演计算效率，而正演计算精度直接影响反演结果的质量。一直以来，学者们都非常重视磁场的正演计算。对于任意截面形状、任意磁化率分布的二度体磁场正演计算，一般采用数值方法。基本思路是将复杂二度体剖分成许多规则二度体，然后利用规则二度体磁场的累加来逼近复杂二度体磁场。文献(刘增群.任意多边形截面二度体磁场正演程序.物探化探计算技术,1991,13(4):357-360.)公开了一种磁化率为常值情况下任意多边形截面二度体磁场计算方法，将二度体分解为若干台阶的组合，利用解析公式计算台阶磁场，并将其累加，这种方法保证了计算精度，但计算效率低，且只能计算磁化率为常值情况；文献(张岭,郝天珧.基于Delaunay剖分的二维非规则重力建模及重力计算.地球物理学报,2006,49(3):877-884.)公开了一种Delaunay剖分方式，将截面分为若干三角形，将二度体分解为若干三角棱柱的组合，利用解析公式计算变密度三角棱柱重力异常，并将其累加。这种方法适用于任意截面形状、任意磁化率分布情况下二度体磁场正演计算，该方法保证了计算精度，但计算效率低。
剖分方式和计算方法共同决定了磁场正演计算的效率和精度。计算效率和计算精度是一对矛盾体，目前已有的方法存在的最大问题是不能同时保证计算效率和计算精度，无法满足大规模磁场数据磁化率精细反演成像、人机交互建模和解释的需求。因此，寻找一种计算效率高、同时能保证计算精度的磁场计算方法具有重要的现实意义。
发明内容
针对目前现有二度体磁场数值计算方法不能同时保证计算效率和计算精度，无法满足大规模磁场数据磁化率精细反演成像、人机交互建模和解释的需求问题，本发明提供一种二度体磁场数值计算方法。
本发明的技术方案是：
一种二度体磁场数值计算方法，包括以下步骤：
第一步复杂二度体模型表示：
根据二度体展布范围，建立包含所有目标区域的矩形模型，确定矩形模型在x，z方向的起始位置，使得包含起伏地形的目标区域完全嵌入在该矩形模型中；
然后将该矩形模型均匀划分成若干个规则小矩形，确定小矩形的几何尺寸Δx，Δz；
最后根据二度体的磁化率分布，对每个小矩形磁化率进行赋值，每个小矩形磁化率为常值，不同矩形磁化率取值不同，以此刻画任意截面形状、任意磁化率分布的二度体；将位于空气部分的小矩形的磁化率值设为零，以此刻画起伏地形。
步骤二、矩形模型磁场计算：
步骤一中给出的矩形模型，其磁场计算公式为
式中，(xm,z0)表示观测点坐标，z0为常值；L表示矩形模型其z方向的小矩形剖分个数；M表示矩形模型其x方向的小矩形剖分个数；(ξp,ζr)表示编号为(p,r)的小矩形几何中心坐标；mx(ξp,ζr)和mz(ξp,ζr)分别表示编号为(p,r)的小矩形的磁化强度的x分量和z分量；hx(xm-ξp,z0-ζr)和hz(xm-ξp,z0-ζr)分别表示对应磁化强度的x分量和z分量的加权系数。
步骤二中，矩形模型，其磁场计算公式的解算方法如下：
S2.1，根据地球主磁场模型IGRF，计算剖分小矩形中心点位置(ξp,ζr)的地球主磁场x分量Tx(ξp,ζr)，z分量Tz(ξp,ζr)。根据位置(ξp,ζr)处二度体的磁化率κ(ξp,ζr)，计算磁化强度的x分量mx(ξp,ζr)和z分量mz(ξp,ζr)
mx(ξp,ζr)＝κ(ξp,ζr)·Tx(ξp,ζr) (2)
mz(ξp,ζr)＝κ(ξp,ζr)·Tz(ξp,ζr) (3)
S2.2，计算加权系数hx(xm-ξp,z0-ζr)和hz(xm-ξp,z0-ζr)，其计算公式分别为
式(4)和式(5)中，μ0表示真空磁导率，arctan()表示反余切函数运算符，ln()表示自然对数运算符；其它符号含义如下
X1＝ξp-0.5Δx-xm，X2＝ξp+0.5Δx-xm，Z1＝ζr-0.5Δz-z0，Z2＝ζr+0.5Δz-z0
Δx，Δz表示小矩形几何尺寸。
与现有计算二度体磁场方法相比，采用式(4)和式(5)给出的方法计算加权系数是本申请的一个创新点，其能够提高复杂截面形状、任意磁化率分布二度体磁场计算精度，原因是采用式(4)和式(5)，保证了式(1)是计算矩形组合模型磁场的精确公式。
S2.3，计算相对z方向而言某一层矩形组合模型的磁场，其计算公式为
式中，表示第r层(r＝1,2,…,L)矩形组合模型在高度面z0产生的磁场；(xm,z0)表示离散观测点坐标；
S2.4，将各层矩形组合模型磁场进行累加，得到整个组合模型的磁场，即
在步骤S2.3中，采用一维离散卷积快速算法，计算式(6)中的两个一维离散卷积即和其计算步骤为：
(1)将加权系数h(x1-ξp,z0-ζr)排列成向量t，记为
t＝[t0,t1,t2,…,tM-1,0,tM-1,tM-2,…,t2,t1]T (8)
式中，矩阵元素ti与加权系数h(x1-ξp,z0-ζr)存在关系
ti＝h(x1-ξi+1,z0-ζr) (9)
(2)将第r层磁化强度值m(ξp,ζr)(p＝1,2,…,M)排列成向量m，向量元素mi与磁化强度值存在关系
mi＝m(ξi,ζr) (10)
将向量m补零扩展成向量mext
式中，0M×1表示M×1零向量；
(3)计算
式中，fft()表示一维快速傅里叶变换；
(4)计算
式中，“.*”表示对应元素相乘运算；
(5)计算
式中，ifft()表示一维快速傅里叶反变换；
(6)提取矩阵fext的前M行元素，构成向量f，即为一维离散卷积计算结果。具体来讲，当向量t中h分别取hx，hz，而向量m分别对应取mx，mz时，即可得到式中两个一维离散卷积和的累加结果。
与现有二度体磁场计算方法相比，采用上述一维离散卷积快速算法是本申请的创新点之一，它保证了在海量剖分矩形个数情况下磁场计算的高效性。
本发明是一个有机整体，即在特定的模型表示方式条件下，建立矩形二度体磁场叠加模型，根据一种特殊的加权系数计算公式，采用一维离散卷积快速算法，实现了磁场计算在效率和精度上的统一。
与现有磁场计算技术相比，本发明具有以下优点：
(1)模型表示方法简单、灵活，很容易刻画复杂截面形状、任意磁化率分布复杂二度体以及起伏地形；
(2)能够实现任意截面形状、任意磁化率分布情况下复杂二度体磁场的快速、高精度计算，可以满足大规模磁场数据磁化率精细反演、人机交互建模和解释的需求；
(3)剖分矩形的个数巨大时，算法不但计算效率和计算精度高，并且所需计算机内存小；
(4)磁化强度可以分为感应磁化强度和剩余磁化强度。本发明既可以计算感应磁化强度磁场，也可以计算剩余磁化强度磁场，还可以计算两者同时存在时的磁场，具体体现在对mx(ξp,ζr)和mz(ξp,ζr)赋值环节。本发明以感应磁化强度磁场计算为例，示出了计算感应磁化强度磁场的具体计算过程。
附图说明
图1为本发明的计算流程图；
图2为复杂二度体模型表示；
图3为截面为圆形二度体模型图；
图4为磁场计算值和理论值对比图；
图5为计算值与理论值的相对误差；
图中符号说明如下：
κ：表示磁化率；
本发明目的的实现、功能特点及优点将结合实施例，参照附图做进一步说明。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。
参照图1，为一种二度体磁场数值计算方法的流程图，包括以下步骤：
步骤一、复杂二度体模型表示：
根据二度体展布范围，建立包含所有目标区域的矩形模型，确定矩形模型在x，z方向的起始位置，使得包含起伏地形的目标区域完全嵌入在该矩形模型中；
然后根据实际问题需求，将该矩形模型均匀划分成若干个规则小矩形(如图2所示)，确定小矩形的几何尺寸Δx，Δz；
最后根据二度体的磁化率分布，对每个小矩形磁化率进行赋值，每个小矩形磁化率为常值，不同矩形磁化率取值不同，以此刻画任意截面形状、任意磁化率分布的二度体；将位于空气部分的小矩形的磁化率值设为零，以此刻画起伏地形。
步骤二、矩形模型磁场计算：步骤一中给出的矩形模型，其磁场计算公式为
式中，(xm,z0)表示观测点坐标，z0为常值；L表示矩形模型其z方向的小矩形剖分个数；M表示矩形模型其x方向的小矩形剖分个数；(ξp,ζr)表示编号为(p,r)的小矩形几何中心坐标；mx(ξp,ζr)和mz(ξp,ζr)分别表示编号为(p,r)的小矩形的磁化强度的x分量和z分量；hx(xm-ξp,z0-ζr)和hz(xm-ξp,z0-ζr)分别表示对应磁化强度的x分量和z分量的加权系数。
步骤二中，矩形模型，其磁场计算公式的解算方法如下：
S2.1，根据地球主磁场模型IGRF，计算剖分小矩形中心点位置(ξp,ζr)的地球主磁场x分量Tx(ξp,ζr)，z分量Tz(ξp,ζr)。根据位置(ξp,ζr)处的磁化率κ(ξp,ζr)，计算磁化强度的x分量和z分量
mx(ξp,ζr)＝κ(ξp,ζr)·Tx(ξp,ζr) (2)
mz(ξp,ζr)＝κ(ξp,ζr)·Tz(ξp,ζr) (3)
S2.2，计算加权系数hx(xm-ξp,z0-ζr)和hz(xm-ξp,z0-ζr)，其计算公式分别为
式(4)和式(5)中，μ0表示真空磁导率，arctan()表示反余切函数运算符，ln()表示自然对数运算符；其它符号含义如下
X1＝ξp-0.5Δx-xm，X2＝ξp+0.5Δx-xm，Z1＝ζr-0.5Δz-z0，Z2＝ζr+0.5Δz-z0
Δx，Δz表示小矩形几何尺寸。
S2.3，采用一维离散卷积快速算法，计算式(6)中的两个一维离散卷积，得到一层(相对z方向而言)矩形组合模型的磁场，其计算公式为
式中，表示第r层(r＝1,2,…,L)矩形组合模型在高度面z0产生的磁场；(xm,z0)表示离散观测点坐标；
S2.4，将各层矩形组合模型磁场进行累加，得到整个组合模型的磁场，即
在步骤S2.3中，采用一维离散卷积快速算法，计算式(6)中的两个一维离散卷积和其计算方法为：
(1)将加权系数h(x1-ξp,z0-ζr)排列成向量t，记为
t＝[t0,t1,t2,…,tM-1,0,tM-1,tM-2,…,t2,t1]T (8)
式中，矩阵元素ti与加权系数h(x1-ξp,z0-ζr)存在关系
ti＝h(x1-ξi+1,z0-ζr) (9)
(2)将第r层磁化强度值m(ξp,ζr)(p＝1,2,…,M)排列成向量m，向量元素mi与磁化强度值存在关系
mi＝m(ξi,ζr) (10)
将向量m补零扩展成向量mext
式中，0M×1表示M×1零向量；
(3)计算
式中，fft()表示一维快速傅里叶变换；
(4)计算
式中，“.*”表示对应元素相乘运算；
(5)计算
式中，ifft()表示一维快速傅里叶反变换；
(6)提取矩阵fext的前M行元素，构成向量f，即为一维离散卷积计算结果。具体来讲，当向量t中h分别取hx，hz，而向量m分别对应取mx，mz时，即可得到式中两个一维离散卷积和的累加结果。
下面对本发明方法的效果进行检验。
为了说明本发明所提出的方法用于计算任意截面形状、任意磁化率分布情况下复杂二度体重力异常时的效率和精度，设计了如下二度体组合模型(图3所示)：
目标区域有一个截面为圆形的二度体，目标区域范围为：x方向从-1000m到1000m，z方向从0m到1000m(z轴向下为正)；圆心与矩形中心重合，圆形半径为400m；磁化率为0.01；目标区域地球主磁场为50000nT，磁倾角为45度。将目标区域剖分成10000×10000个大小相同的小矩形，计算高度为-50m测线(图3中虚线A所示)上的磁场，计算点个数为10000。
磁场算法程序利用Fortran语言实现，运行程序所用的个人笔记本电脑配置为：CPU为i7-4810，主频为2.8GHz，内存为32GB。运行所需时间约为15秒，由此可见算法效率很高。磁场计算值和理论值如图4所示，从形态上看，两者是一致的。理论值减去计算值的差值取绝对值后除以理论值得到相对误差(图5所示)，对相对误差进行统计，统计结果由表1给出，可知算法精度很高。
表1磁场理论值和计算值相对误差统计
以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
Claims (3)
1.一种二度体磁场数值计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
第一步复杂二度体模型表示：
根据二度体展布范围，建立包含所有目标区域的矩形模型，确定矩形模型在x，z方向的起始位置，使得包含起伏地形的目标区域完全嵌入在该矩形模型中；
然后将该矩形模型均匀划分成若干个规则小矩形，确定小矩形的几何尺寸Δx，Δz；
最后根据二度体的磁化率分布，对每个小矩形磁化率进行赋值，每个小矩形磁化率为常值，不同矩形磁化率取值不同，以此刻画复杂截面形状、任意磁化率分布的二度体；将位于空气部分的小矩形的磁化率值设为零，以此刻画起伏地形；
步骤二、矩形模型磁场计算：
步骤一中给出的矩形模型，其磁场计算公式为
式中，(xm,z0)表示观测点坐标，z0为常值；L表示矩形模型其z方向的小矩形剖分个数；M表示矩形模型其x方向的小矩形剖分个数；(ξp,ζr)表示编号为(p,r)的小矩形几何中心坐标；mx(ξp,ζr)和mz(ξp,ζr)分别表示编号为(p,r)的小矩形的磁化强度的x分量和z分量；hx(xm-ξp,z0-ζr)和hz(xm-ξp,z0-ζr)分别表示对应磁化强度的x分量和z分量的加权系数。
2.根据权利要求1所述的二度体磁场数值计算方法，其特征在于，步骤二中，矩形模型其磁场计算公式的解算方法如下：
S2.1，根据地球主磁场模型IGRF，计算剖分小矩形中心点位置(ξp,ζr)的地球主磁场x分量Tx(ξp,ζr)，z分量Tz(ξp,ζr)；根据位置(ξp,ζr)处二度体的磁化率κ(ξp,ζr)，计算磁化强度的x分量mx(ξp,ζr)和z分量mz(ξp,ζr)
mx(ξp,ζr)＝κ(ξp,ζr)·Tx(ξp,ζr) (2)
mz(ξp,ζr)＝κ(ξp,ζr)·Tz(ξp,ζr) (3)
S2.2，计算加权系数hx(xm-ξp,z0-ζr)和hz(xm-ξp,z0-ζr)，其计算公式分别为
式(4)和式(5)中，μ0表示真空磁导率，arctan()表示反余切函数运算符，ln()表示自然对数运算符；其它符号含义如下
X1＝ξp-0.5Δx-xm，X2＝ξp+0.5Δx-xm，Z1＝ζr-0.5Δz-z0，Z2＝ζr+0.5Δz-z0，
其中：Δx，Δz表示小矩形几何尺寸；
S2.3，计算相对z方向而言某一层矩形组合模型的磁场，其计算公式为
式中，表示第r层(r＝1,2,…,L)矩形组合模型在高度面z0产生的磁场；(xm,z0)表示离散观测点坐标；
S2.4，将各层矩形组合模型磁场进行累加，得到整个组合模型的磁场，即
3.根据权利要求2所述的二度体磁场数值计算方法，其特征在于，S2.3中，采用一维离散卷积快速算法，计算式(6)中的两个一维离散卷积和其计算步骤为：
(1)将加权系数h(x1-ξp,z0-ζr)排列成向量t，记为
t＝[t0,t1,t2,…,tM-1,0,tM-1,tM-2,…,t2,t1]T (8)
式中，矩阵元素ti与加权系数h(x1-ξp,z0-ζr)存在关系
ti＝h(x1-ξi+1,z0-ζr) (9)
(2)将第r层磁化强度值m(ξp,ζr)(p＝1,2,…,M)排列成向量m，向量元素mi与磁化强度值存在关系
mi＝m(ξi,ζr) (10)
将向量m补零扩展成向量mext
式中，0M×1表示M×1零向量；
(3)计算
式中，fft()表示一维快速傅里叶变换；
(4)计算
式中，“.*”表示对应元素相乘运算；
(5)计算
式中，ifft()表示一维快速傅里叶反变换；
(6)提取矩阵fext的前M行元素，构成向量f，即为一维离散卷积计算结果；具体来讲，当向量t中h分别取hx，hz，而向量m分别对应取mx，mz时，即可得到式中两个一维离散卷积和的累加结果。
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