CN106990529A - 一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法。本发明将入射光束分解为若干细小光束，运用射线光学的方法获得平行于光栅的平面上的振幅强度分布，其次运用波动光学的方法计算细小光束的光程，给出同一平行光栅的平面上的相位分布，从而得到该平行于光栅的平面上的复振幅分布，最后利用基尔霍夫衍射积分求解远场复振幅分布，得到该一维反射光栅的各级衍射角和各级衍射效率。本发明给出的计算结果与严格耦合波分析方法给出的结果高度一致，解决了传统标量衍射理论难以计算几何结构复杂的光栅的远场分布的问题，并且具有简单、快速、物理意义明确的优点，在衍射器件设计上是一种高效准确的计算方法。

Description

一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法

技术领域

本发明涉及一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，用于研究分析任意形状反射光栅的远场分布。

背景技术

衍射现象是一个基本的物理效应，光的衍射问题是光学中遇到的最困难的问题之一，它在光学工程中也起着极为重要的作用。目前广泛使用的解决衍射问题的方法，可分为严格电磁理论和标量衍射理论，其中严格电磁理论有严格耦合波分析方法、时域有限差分法、有限元法，标量衍射理论有基尔霍夫衍射理论、瑞利-索末菲衍射理论。标量衍射理论将光波视为标量波处理，具有计算量小，物理意义明晰的优点；但同时，标量衍射理论只对一些简单的问题有解析解，一般情况下要求助于数值计算，并且要求给定某一曲面上的场分布才能进行计算。严格电磁理论将光波视为矢量波处理，理论上计算结果可以精确到任意值，并且能处理各种形式的光栅衍射问题；严格电磁理论的缺点在于计算量大，计算速度缓慢，且没有明晰的物理图像。

标量衍射理论在均匀、各向同性介质中用一个标量波动方程来描述电场或者磁场的任意一个分量，其他分量采用同样的方式独立处理。特别地，对金属光栅来说，当电磁波的磁场分量垂直于入射面时，在满足波矢匹配条件的情况下会激发表面等离子体激元，本发明不适用于这种情形。

对衍射光学器件的设计来说，快速又准确地求解衍射场远场分布是核心要求。寻找准确度能满足设计要求且计算速度优于严格电磁理论的算法是具有重大意义的。

发明内容

本发明要解决的技术问题：针对当前标量衍射理论难以分析复杂形式的反射光栅的光栅特性的技术现状，提出一种利用射线光学和波动光学方法计算获得平行于光栅表面的平面上的复振幅分布，进而利用基尔霍夫衍射积分计算衍射场的方法。该方法具有明确的物理图像和物理意义，可以获得任意形式金属光栅的衍射场分布，具有计算复杂度低，易于编程实现，适用范围广，计算速度快，结果准确度高的优点。更重要的是，该方法解决了标量衍射理论在复杂形式光栅上的如何应用的问题，丰富了光的衍射理论，具有进一步研究的价值。

本发明采用的技术方案是：一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，首先，给出想要计算的任意光栅的一个周期的结构，将其绘制在平面直角坐标系中，给出其对应的函数解析式；其次，给定光栅材料的折射率、入射光波的波长和入射角，将入射光束分解为若干细小光束，运用射线光学的方法获得平行于光栅的平面上的振幅强度分布；然后，运用波动光学的方法计算细小光束的光程，给出同一平行光栅的平面上的相位分布，从而得到该平行于光栅的平面上的复振幅分布；最后，利用基尔霍夫衍射积分求解远场复振幅分布，得到该一维反射光栅的各级衍射角和各级衍射效率。

上述技术方案中，将入射光束分解为若干细小光束，运用射线光学方法求解平行于光栅平面上振幅强度分布，具体过程如下：

将入射的光束微分，以两条光线作为光束的两个边界，以几何光学方法计算其在腔内的反射路径。最后可以得到一系列结果参数，包括微分光束边界的：出射位置x_out，出射角θ_out，腔内反射次数以及每次反射的入射角θ_ref，光程L。对同一束光的两个边界光线，取其各个上述参量的平均值作为光束的参量。

若一束光线入射宽度为Δx_in，出射位置为x₁～x₂，出射宽度为Δx_out，出射时发散角为Δθ_out，光程为L，则其对腔口x₁～x₂范围的影响可以等效为一个球面波

其中

k为波数，A为等效球面波的振幅，ρ₀为等效球面波与腔口平面的距离。R为腔内反射产生的振幅损失和相位变化，反射时的相位突变由菲涅尔公式给出，据此可以给出腔口的复振幅分布：

m为计算光束数目

腔口复振幅梯度在腔口平面法线方向上的分布：

m为计算光束数目

上述技术方案中，利用基尔霍夫衍射积分求解远场复振幅分布，得到该一维反射光栅的各级衍射角和各级衍射效率，具体过程如下：

将上述结果带入基尔霍夫衍射积分公式

利用这个积分，可以计算出任意角度θ的远场分布。将上述计算结果乘以缝间干涉因子，即得到金属光栅的衍射场远场分布。

本发明提出一种利用射线光学和波动光学方法计算获得平行于光栅表面的平面上的复振幅分布，进而利用基尔霍夫衍射积分计算衍射场的方法。该方法具有明确的物理图像和物理意义，可以获得任意形式的一维光栅的衍射场分布，具有计算复杂度低，易于编程实现，适用范围广，计算速度快，结果准确度高的优点。更重要的是，该方法解决了标量衍射理论在复杂形式光栅上的如何应用的问题，丰富了光的衍射理论，具有进一步研究的价值。

本发明的优点和积极效果：

本发明利用射线光学方法结合标量衍射理论，提出一种高效、准确的一维金属光栅衍射场远场计算算法。本发明解决了传统标量衍射理论不能处理任意形状光栅的缺点，同时在保证一定精度的前提下，计算复杂度相比严格电磁理论大大降低，并且具有清晰的物理图像，提供了一种研究光栅的新思路。

本发明在光学衍射器件设计中具有重要的实用价值，在衍射光学理论体系的丰富和完善中具有重要的理论价值。

附图说明

图1为一种一维反射光栅的几何模型。

图2为正弦型光栅的一个周期的几何模型及利用射线光学计算得到的一束光线在腔内的反射轨迹。

图3为本发明得到的正弦型金属铝光栅的反射光谱与严格耦合波分析方法所得结果的对比。

具体实施方式

以下结合附图，以计算一维正弦型金属铝反射光栅在正入射情况下的反射光谱为例对本发明作进一步说明，附图仅用于示例目的，而不是限制本发明的适用范围。

首先，对于需要计算的金属光栅，首先提取其一个周期的几何结构，给出其在平面直角坐标系下的函数解析式，本例所用为正弦型金属铝反射光栅，其一个周期的函数表达式为：

其中h为光栅层厚度，∧为光栅周期。

其次，计算腔内光线反射情况，进而计算平行于光栅平面上的复振幅分布。将入射的光束微分，以两条光线作为光束的两个边界，以几何光学方法计算其在腔内的反射路径。最后可以得到一系列结果参数，包括微分光束边界的：出射位置，出射角，腔内反射次数以及每次反射的入射角，光程。对同一束光的两个边界光线，取其各个上述参量的平均值作为光束的参量。这样就得到了腔的反射特性参数。各参数具体含义如下：x_in为光束入射位置，x_out为光束出射位置，θ_out为光束出射角，L为光程，θ_ref为腔内反射角，特别地，若光束在腔内经过若干次反射，θ_ref为各次反射角组成的数组。以上参数完全代表了腔对光波的调制情况。至此，不再分析腔形，转而处理以上特性参数从而获得腔口复振幅分布和梯度分布。

若一束光线入射宽度为Δx_in，出射位置为x₁～x₂，出射宽度为Δx_out，出射时发散角为Δθ_out，光程为L，则其对腔口x₁～x₂范围的影响可以等效为一个球面波

其中

k为波数，R为腔内反射产生的振幅损失和相位变化，A为等效球面波的振幅，ρ₀为等效球面波与腔口平面的距离。据此可以给出腔口的复振幅分布：

m为计算光数数目

腔口复振幅梯度在腔口平面法线方向上的分布：

m为计算光数数目

至此得到平行于光栅平面上的复振幅分布。

然后，将上述复振幅分布代入基尔霍夫衍射积分中，求解远场分布。将上述结果带入基尔霍夫衍射积分公式

若P点位于距腔口中心f处，并与法线方向成θ角，上式中r可表示为

利用这个积分，可以计算出任意角度θ的光场分布。

上述计算结果是单个腔的远场分布，要计算周期性排列的腔的光场分布，再乘以缝间干涉因子

其中

此时计算结果给出的远场强度均为相对值，若要计算的是某个波长的衍射场分布，则上述结果已经可以作为最终结果。但对不同波长来说，强度分布需要作归一化处理才能进行比较。依据能量守恒定律，若入射光能量为1，则出射光能量应为

E_out＝E_in(1-σ_loss)

其中σ_loss为能量损耗率。本问题中，计算光束在腔内反射产生的能量损失。对一束光，其在腔内反射次数为n，每次反射角依次排列为向量θ_ref：

θ_ref＝{θ_ref1，θ_ref2，θ_ref3，......，θ_refn}

菲涅尔公式给出光束在折射率为n₁-n₂界面上的反射率

其中

θ₁＝θ_in

即r为入射角的函数

对一束光，其经过n次反射后振幅和相位的变化因子为

进而出射光的总能量为

E_out＝|R|²E_in

对每一个波长λ，其在各个方向上的远场分布能量总和应为E_out；即上述远场计算结果要除以归一化因子E_out，得到最终结果。

综上所述，本实验通过射线光学方法计算振幅分布，利用波动光学方法计算相位分布，利用基尔霍夫衍射积分，成功解决了一般形式的一维金属光栅的衍射场分布问题，具有计算复杂度低，计算结果误差小，物理过程明晰的优点。

本实例所述仅为本发明使用情形的一例而已，并不限制于正弦光栅形式，亦不受限于铝制光栅。对于本领域而言，此项发明可以普遍用于任何材料制成的任何形式的反射光栅。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：首先，给出想要计算的任意光栅的一个周期的结构，将其绘制在平面直角坐标系中，给出其对应的函数解析式；其次，给定光栅材料的折射率、入射光波的波长和入射角，将入射光束分解为若干细小光束，运用射线光学的方法获得平行于光栅的平面上的振幅强度分布；然后，运用波动光学的方法，计算细小光束的光程，给出同一平行光栅的平面上的相位分布，从而得到该平行于光栅的平面上的复振幅分布；最后，利用基尔霍夫衍射积分求解远场复振幅分布，得到该一维反射光栅的各级衍射角和各级衍射效率。

2.根据权利要求书1所述的一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：所述任意光栅的一个周期的结构，既包括常用光栅的一个周期的结构，比如闪耀光栅，三角光栅，又包括任意曲线形成的光栅的一个周期的结构。

3.根据权利要求书1所述的一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：所述任意光栅的一个周期的结构，应当选取光栅中两个相邻周期中最高点之间的部分，以形成一个半封闭的反射腔。

4.根据权利要求书1所述的一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：所述光栅材料的折射率，应当是给定波长对应的材料折射率，特别地，当材料为金属时，折射率应当为复数。

5.根据权利要求书1所述的一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：所述将入射光束分解为若干细小光束，运用射线光学的方法获得平行于光栅的平面上的振幅强度分布，是指将入射光线分成宽度相等的、足够细的若干束光，根据射线光学理论，计算每一束光在权利要求书3所述的半封闭的腔内的反射情形，直至光束射出腔外，记录每一束光的出射角度，出射位置，在腔内的反射次数、每次反射的反射角和光程；根据菲涅尔公式计算每束光反射时的反射率，得到光束到达腔外时的强度；将若干束光束的强度按其出射的位置叠加，得到平行于光栅的平面上的振幅强度分布。

6.根据权利要求书1所述的一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：所述运用波动光学的方法计算细小光束的光程，给出同一平行光栅的平面上的相位分布，是指运用权利要求书5所述的光束光程，计算每一束光从进入腔内到射出腔外的相位变化值，从而得到平行于光栅的平面的相位分布。

7.根据权利要求书1所述的一种计算一维反射光栅远场分布的标量衍射理论算法，其特征是：所述基尔霍夫衍射积分，是指由麦克斯韦方程组推导出的仅作标量近似的积分形式，将权利要求书6所述复振幅分布代入基尔霍夫积分公式中，即可得到远场振幅分布。