CN106981056A - 一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器 - Google Patents

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Abstract

本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器以数字电路形式实现。该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器是采用加法器一、平方器、乘法器一、乘法器二、加法器二和加法器三以级联方式构成的。其信号生成单元电路的输出信号输入给乘法器一，信号生成单元电路是采用加法器四、实部计算器和乘法器三以级联方式构成的。该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器特别适用于对图像对比度进行多尺度非线性增强的应用场合。本发明属于应用数学和数字电路交叉学科的技术领域。

Description

一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器
技术领域
本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器以数字电路形式实现。见图3，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器是采用加法器一1、平方器2、乘法器一3、乘法器二4、加法器二5和加法器三6以级联方式构成的。其中，加法器一1并行输入第n-1次和第n次迭代的数字图像和加法器一1的输出信号输入给平方器2，平方器2的输出信号输入给乘法器二4，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的输出信号输入给乘法器一3，信号生成单元电路是采用加法器四7、实部计算器8和乘法器三9以级联方式构成的，乘法器三9输出信号，乘法器一3的输出信号输入给加法器二5，乘法器二4和加法器二5的输出信号并行输入给加法器三6，加法器三6输出第n+1次迭代的数字图像其中，分数阶微积分的阶次v1、v2和v3不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中取分数或有理小数。v1、v2和v3可以相等，亦可不相等。系数α1和α2是非负实数，且α2＝2α1。分数阶最速下降法的收敛速率μ是是非负实数。Re{}是取复数的实数部分计算。|| ||是求L2范数计算。| |是求绝对值计算。时间间隔Δt是非负实数，迭代数n是正整数，第n次迭代时间tn＝nΔt，初始时间t0＝0。S(x，y)是反射图像，R(x，y)是物体表面的反射特征，L(x，y)是入射光，Log[]是对数计算，s(x，y)＝Log[S(x，y)]，r(x，y)＝Log[R(x，y)]，l(x，y)＝Log[L(x，y)]，且l≥s。是第n次迭代时刻的l(x，y)，是原始反射图像的对数变换，是原始入射光的对数变换，是v1阶分数阶偏微分算子，和分别是和的共轭算子，和DFT( )是离散傅立叶变换，μ1＝0，1，…，M-1和μ2＝0，1，…，N-1分别是l(x，y)在x轴和y轴方向上的图像尺寸。该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器特别适用于对图像对比度进行多尺度非线性增强的应用场合。本发明属于应用数学和数字电路交叉学科的技术领域。
背景技术
目前，数字图像处理的最新研究进展引起了对纹理图像对比度增强的研究兴趣。从简单线性增强算法拓展到高度复杂的自适应算法，图像对比度增强算法方法众多。一般来说，图像对比度增强的算法可分为两类：全局技术和自适应技术。对于全局技术而言，一种单一变换适用于图像所有像素。与之不同的是，自适应技术普遍包含一种根据图像局域特征进行自适应变化的输入-输出映射过程。总所周知，直方图均衡化(HistogramEqualization)是一种被广泛使用的图像对比度增强的全局技术。其输入-输出映射取决于一幅图像直方图的累计分布函数。另一种替代算法是多通道滤波。首先，输入图像的整个空间频域范围被分成许多空间频带；然后，在空间域内，空间频率的中频成份相对于低频成份被适当地增强。一类自适应技术是基于非锐化掩模。其图像对比度增益能够自适应地取决于一个关于图像某些局部特征变化的核函数。在另一类方法中，为了提高较小区域内的图像对比度，自适应直方图均衡化(Adaptive Histogram Equalization)利用局域直方图产生相应的局域不同的灰度变化。为了克服普通直方图均衡化算法过度增强的特殊问题，人们提出了一些诸如限制对比度直方图均衡化(Contrast-Limited HistogramEqualization)和自适应限制对比度直方图均衡化(Contrast-Limited AdaptiveHistogram Equalization)。人们通过限制局部直方图的高度，提出了限制对比度直方图均衡和自适应限制对比度直方图均衡等算法。在这些算法中，其局域对比度增益被限制于局域直方图的门限高度。另外，众所周知，从一幅给定图像中复原其亮度信息是一个数学上的病态问题。为了解决这一问题，迄今许多算法在文献中被提出。这些算法本质上试图提出不同的替代方法来克服这一局限。其中，Retinex算法是受Land关于人类视觉系统开创性研究的启发而提出的。Retinex理论表明人类视觉系统实际上能在不同光照的较宽范围内识别和匹配色彩，该理论通常被称为色彩恒定现象。事实上，Land的前期的研究表明，即使由处于不同光照水平下不同色块产生的视网膜感知信号是完全相同的，被试者也能正确识别表面反射的颜色。这一最初的成果作为灵感激发着后来许多不同Retinex算法的相关研究。这些Retinex算法大体可以分为两类。其中，第一类Retinex算法使用同态滤波的方法，即单尺度Retinex算法(Single Scale Retinex)和多尺度Retinex算法(Multi-Scale Retinex)。该类Retinex算法采用许多映像路径或通过比较当前像素和一组随机像素色彩的方法来探究图像的相对亮度。另一类Retinex算法采用卷积模板或变分方法来确定局部对比度值。传统的一阶Retinex算法的变分法模型(the traditional first-order VariationalFramework for Retinex)采用关于估计问题的贝叶斯观点。其导出一个有助于更好调节图像重建问题的代数正则项。上述图像对比度增强算法本质上都是基于整数阶计算法则的。这些方法普遍存在一些共同缺点，诸如：在一幅对比度增强的纹理图像中，振铃效应和阶梯效应常常出现在锐化转换附近。这构成了一个引起广泛关注的主要研究问题。
目前，分数阶微积分(Fractional Calculus)业已成为数学分析的一个重要分支。它有望被广泛地应用于处理各种工程技术问题。分数阶微积分是一门与整数阶微积分一样古老的学科。虽然长期以来它的应用都还主要集中在纯数学领域，但是近年来在物理学家和工程技术界学者中，分数阶微积分作为一种新颖的有前途的数学方法而被广泛认可。分数阶微积分的基本特征是其扩展了整数阶差分和Riemann求和的概念。除了Caputo定义的分数阶微积分之外，Heaviside函数的分数阶微分值是非零的，然而其整数阶微分值恒为零。物理过程中的随机变量可被视为是粒子的随机运动的位移。各种函数的分数阶微积分具有一个显著特征：大多数函数的分数阶微积分等于一个幂级数，而其它函数的分数阶微积分等于某一特定函数和一个幂级数的叠加或乘积。许多科学研究发现分数阶或分数维的方法是对许多自然现象目前最好的描述方法。这一分数阶的方法取得了许多有前途的结果和思想。分数阶微积分作为一种有前途的数学方法已在诸如扩散过程，粘弹性理论，分形动力学，分数阶控制，信号处理和图像处理等许多研究领域得到了较好的应用。
如何将分数阶微积分应用于信号处理之中，特别是图像处理之中，目前在国际上都还是一个值得研究的新兴学科分支。信号的分数阶微积分与其整数阶微积分存在显著的区别。分数阶微积分所特有的长时记忆性，非局域性和弱奇异性优势，是其应用于信号处理和图像处理的主要原因。分数阶图像处理的研究一些进展不仅验证了分数阶偏微分方程的有用性，也为将来的研究提供了有益和实用的建议。比如，分数阶微积分能够非线性增强图像复杂纹理细节。分数阶微积分既能非线性保持图像平滑区域的轮廓特征，又能非线性增强图像高频边缘信息和中频纹理细节信息。另外，分数阶最速下降法能够确定能量范函的分数阶极值点。分数阶极值点和诸如一阶极值点等传统的整数阶极值点具有较大的不同。因此，为了解决传统图像对比度增强算法的上述问题，可以很自然地想到如下几个有趣的理论问题：能否将分数阶微积分对图像边缘和纹理细节的保持能力用于对纹理图像对比度的多尺度非线性增强之中？此构造的分数阶Retinex变分模型是什么？以及如何将传统的一阶Retinex算法的变分法模型推广到分数阶？针对上述需求，本发明提出一种关于分数阶Retinex变分模型的新颖理论，提出一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器。该分数阶Retinex变分模型是一种由分数阶偏微分方程表出的Retinex，以实现对纹理图像的多尺度非线性对比度增强。特别地，分数阶Retinex变分模型的反向增量最优搜索方法是基于分数阶最速下降法。分数阶Retinex变分模型不是直接将分数阶微分掩模(分数阶微分算子)直接用于图像灰度值的处理，而是利用分数阶偏微分方程实现一种具有约束条件的分数阶最优算法。相比于传统的整数阶Retinex算法的变分法模型，特别是对于富含纹理细节的图像而言，分数阶偏微分方程对图像边缘和纹理细节的保持能力是其一大显著优势。
发明内容
本发明提出一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器。为了清楚说明本发明提出的该图像对比度增强滤波器的电路构成，有必要先对该图像对比度增强滤波器的基本原理及其数学算法推导进行如下简要说明：
最常用的分数阶微积分定义有Grünwald-Letnikov定义，Riemann-Liouville，和Caputo定义。其中，因果信号f(x)的分数阶微积分的Grünwald-Letnikov定义，以一种简洁形式表达为其中，f(x)是一个可微积信号，[a，x]是f(x)的持续时间，v是一个非整数，是伽玛公式，代表Grünwald-Letnikov定义的分数阶微分算子。在下述数学推导中，本发明主要采用分数阶微分的Grünwald-Letnikov定义。另外，本发明不加区分地使用两个等价符号
基于上述分数阶微积分的定义，利用分数阶最速下降法，本发明构造对纹理图像对比度进行多尺度非线性增强的分数阶偏微分方程。众所周知，E.H.Land论证了Retinex理论。该理论首次试图模拟和解释人类视觉系统如何感知色彩。其可用数学公式表示为S(x，y)＝R(x，y)·L(x，y)，其中，S(x，y)表示反射图像，R(x，y)表示物体表面的反射特征，L(x，y)表示入射光。根据物理特性，反射物体仅仅反射部分入射光。这里，本发明进一步假设反射率0＜R≤1以及照明效应0＜L＜∞。因为R被限定在单位区间内，由S(x，y)＝R(x，y)·L(x，y)式，可以推导得L≥S＞0。为了处理乘积形式，本发明首先对S(x，y)＝R(x，y)·L(x，y)式两边同时取对数变换。由于对数函数是单调函数，于是可以推导得l≥s。因此，可以进一步推导得s(x，y)＝r(x，y)+l(x，y)，其中，s(x，y)＝Log[S(x，y)]，r(x，y)＝Log[R(x，y)]，l(x，y)＝Log[L(x，y)]，且l≥s。分数阶微积分应用于信号处理和图像处理中取得显著成效主要是因为其所具有的长时记忆性，非局域性，弱相关性，以及分数阶微分能够非线性增强图像复杂纹理细节特征。因此，为了解决传统图像对比度增强算法的上述问题，可以很自然地想到如下几个有趣的理论问题：能否将分数阶微积分对图像边缘和纹理细节的保持能力用于对纹理图像对比度的多尺度非线性增强之中？此构造的分数阶Retinex变分模型是什么？以及如何将传统的一阶Retinex算法的变分法模型推广到分数阶？进一步地，本发明假设在超出图像边界范围内，光照作为一个常数是连续平滑的。为了对最终处理结果影响最小，该假设需要符合Neumann边界条件。于是基于分数阶微积分这一新颖数学方法的分数阶Retinex变分模型可被表示为其中E表示一个能量范函，表示一个图像区域，是v1阶分数阶微分算子，v1和v2是两个分数，表示Ω的边界，是边界的法向量，α1和α2分别是两个非负实参量。特别地，对于向量而言，本发明可以推导得其中符号·表示内积。为了便于说明，在内积空间中，本发明不加区分地使用两个等价符号|| ||＝|| ||2表示求二次范数。| |表示求绝对值。在式中，本发明采用分数阶范数，而不是采用L2范数和L1范数，来对保真项进行建模。事实上，v2是一个尺度因子负责控制关于图像边界和纹理信息的能量范函的多尺度分数阶幂函数。特别是对于富含纹理细节信息的纹理图像而言，分数阶范数能够保持图像边界和纹理信息的多尺度滤波能力是其相较于L2范数和L1范数的一个重要优势。值得注意的是，首先，本发明假设入射光和反射图像是空间平滑的且富含纹理细节特征的。因此，相应的分数阶正则项可分别表示为和进一步地，本发明假设入射光接近于反射图像。该假设意味着r(x，y)的分数阶范数应该尽量小(也就是说R(x，y)趋于黑色)。因此，惩罚项被用于校验保真项。该惩罚项使得模型具有更好的适应性。此外，本发明假设物体表面反射特征是分段常数且富含纹理细节信息。因此，相应的分数阶全变分被用来作为正则项。该正则项代表一个分数阶贝叶斯惩罚式子。令物体表面反射特征r(x，y)是一个视觉上赏心悦目且富于纹理细节特征的图像。因此，为了使本发明所提出的对比度增强模型所处理的结果图像具有更好的视觉效果，本发明在式中设置α2＞α1。因此，在实际计算中，本发明常常直接设置α2＝2α1。第二，v1和v2是在中仅有的两个模型参数。众所周知，在一个模型中引入更多的自由参数且适当调整它们能够实际达到这些参数相应的期望效果，但也使得它们收敛更难，同时也潜在增加了相关计算的复杂度。这可能限制该模型在实际问题中的应用。因此，本发明在中的三个不同项中选择同样的参数v1和v2。
令l是一个E的分数阶的极值曲面，是一个接近于l的容许性曲面(即一个测试函数)。于是，l和ξ能够被合并为一个曲面族s+(β-1)ξ，其中β是一个小参数。当β＝1时，曲面族s+(β-1)ξ转变为分数阶极值曲面l。分数阶极值点上的分数阶导数等于零。能量范函的分数阶极值点和其一阶极值点常常不是同一点。因此，式的各向异性扩散能够被解释为能量的分数阶耗散过程。为了确定式的分数阶极小值，曲面族s+(β-1)ξ上的分数能量范函可被推导为其中g(β)是一个解析函数。因此，当β＝1时，可以推导得根据复合函数的分数阶微分的链式法则，由式，可以推导得其中v3是一个分数，且是关于β的v3阶导数。令ζ(β)是一个标量函数，且因此，可以推导得 和进一步地，令ζ1＝l+(β-1)ξ且ζ2＝l-s+(β-1)ξ。因此，可以推导得 且为了便于分析，不失一般性，在式的实际计算中，令n＝1→N且N＝1。因此，根据分数阶微积分的性质，当β＝1时，可以推导得此外，按照分数阶微积分的性质，若f(x)是一个因果信号且其初始状态为零，因此可以推导得其傅立叶变换其中，j表示一个虚数单位，ωx表示一个相应于x的傅立叶变换域内的角频率，FT()表示傅立叶变换，且表示f的傅立叶变换。进一步地，根据Wiener-Khintchine定理，可以推导得下式 其中，f1(x，y)和f2(x，y)是两个不同的标量函数，Ωω是在傅立叶域内与Ω相应的区域，是的复共轭函数。因此，由和式，在傅立叶变换域内式可以重写为其中，和分别是和的傅立叶变换。和分别是和的复共轭。由于ξ(x，y)是一个任意测试函数，是一个任意函数。因此，是一个任意函数。因此，根据变分法的基本引理，由式，可以推导得于是可以推导得式的傅立叶反变换为其中，Re()表示取复数的实数部分，和分别表示v1阶偏微分算子和的共轭算子。式是式的分数阶欧拉-拉格朗日方程。对于数字图像处理，离散像素之间的间隔为单位一。因此，根据离散傅里叶变换的性质，可以推导得和其中DFT( )表示离散傅立叶变换，μ1＝0，1，…，M-1和μ2＝0，1，…，N-1分别表示在x轴和y轴方向上的图像尺寸。式的非线性求解过程运用一个以时间作为演化参数的抛物线方程(即时间搜索方法)，或等价为分数阶最速下降法。值得注意的是，本发明将一幅图像视为一个时间和空间的函数，且运用时间搜索算法搜索式的分数阶稳定状态。这就意味着求解下式根据分数阶最速下降法，式收敛于式的v3阶最小值。式是一个式的受约束的分数阶最优算法。由 和式可见，相较于传统的一阶Retinex算法的变分法模型，分数阶偏微分方程本质上是一个分数阶阶Retinex算法的变分法模型。
于是，由式，本发明提出如何实现关于多尺度非线性对比度增强的受约束的分数阶最优算法。对于彩色图像处理而言，关于纹理图像的多尺度非线性对比度增强的受约束的分数阶最优算法为：
第一步，将反射图像S(x，y)从RGB彩色空间转换到HSV彩色空间。仅采用HSV彩色空间中的V分量值V(x，y)进行进一步处理。为了避免V(x，y)为负无穷，由S(x，y)＝R(x，y)·L(x，y)和s(x，y)＝r(x，y)+l(x，y)式，令s(x，y)＝Log[V(x，y)+1]。
第二步，令式中的系数α1和α2为非负实数。根据分数阶最速下降法，式迭代收敛于l(x，y)的v3阶最优值。
第三步，由s(x，y)＝r(x，y)+l(x，y)式，可以推导得r(x，y)＝s(x，y)-l(x，y)。原始图像对应的反射物体表面的反射特征值为RV(x，y)＝Log-1[r(x，y)]-1。为了防止RV(x，y)被式过度纹理增强，且为了限制RV(x，y)∈[0，255]，本发明对RV(x，y)采用Gamma灰度矫正。令RV(x，y)的Gamma灰度矫正所采用的可调参数为其中是RV的Gamma灰度矫正值，W是白色图像值(它在一幅8比特的图像中等于255，在一幅HSV图像中也等于255)。常用的可调参数γ可被设置为2.2。
第四步，令V(x，y)＝RV(x，y)。将V(x，y)与S(x，y)的H和S分量进行结合，在HSV彩色空间中获得物体表面的反射特征R(x，y)。将R(x，y)从HSV彩色空间转换为RGB彩色空间。于是，本发明便得到对比度增强后的纹理图像R(x，y)。
在此基础上，本发明便可数值实现上述分数阶偏微分方程。第一，本发明数值实现式中二维数字图像的分数阶微分算子Dv，和由式可知，当N足够大时，极限符号可以去掉。因此，通过在分数阶微积分的Grünwald-Letnikov定义中引入非节点处的值提高了分数阶微积分的收敛速度和精度。应用Lagrange三点插值多项式来进行分数阶插值，本发明可以推导得8个方向上的分数阶微分算子。因此，在二维空间中和的离散定义为和特别地，当v＝1时，分数阶微分算子转换成传统的一阶微分算子。
第二，本发明利用分数阶最速下降法数值实现式。令Δt表示时间间隔，tn＝nΔt，t0＝0表示初始时间，其中n＝0，1，…表示采样时间(或迭代数)。对于式而言，表示第n次迭代时刻的l(x，y)，表示原始反射图像的对数变换，表示原始入射光的对数变换。由于未知，本发明令因此，根据分数阶最速下降法，由式，可以推导得其中，μ是分数阶最速下降法的收敛速率，满足的条件是
第三，为了保证数值计算的稳定性，分数阶偏微分方程的数值实现需要满足Courant-Friedrichs-Lewy条件。特别地，对于分数阶抛物线方程的Courant-Friedrichs-Lewy条件而言，本发明有必要将Courant-Friedrichs-Lewy条件从整数阶推广到分数阶，从而得到分数阶Courant-Friedrichs-Lewy条件。本发明以定义针对某一特解问题的某一点的数值依赖域开始讨论式所示的问题。由和式，s(x，t)的v阶分数阶偏微分的数值近似实现可分别重写为和其中，Δx＝x/N，Δt＝t/N，N≥2是某一信号的分数阶微分数值实现所选择的离散采样点数，a和b是两个正整数。当N＝2时，和式转换为经典的一阶微分。对于数字图像而言，离散间隔为Δx＝1。因此，由和式，可以推导得和式的v阶差分格式为令R＝(cΔt/Δx)v，其中c是一个正实常数，Δx为x轴方向上的离散间隔。
见图1，由式，在点(bΔx，aΔt)上的解依赖于相邻9个离散点的值。在图1中，为了方便说明，不失一般性，本发明令N＝5。类似地，当N取其它任一正整数时，均可推导得与N＝5相似的结果。
见图2，如果向下重复该过程直至降为第0时间级，在点(bΔx，aΔt)上的解依赖于点集(((b-(N-2)(a+1))Δx，0)，…，(bΔx，0)，((b+a+1)Δx，0))。为此，在这种情况下，关于式的分数阶差分格式，本发明定义点(bΔx，aΔt)的数值依赖域为区间Da＝[(b-(N-2)(a+1))Δx，(b+a+1)Δx]。有必要强调的是，对于R＝c(Δt/Δx)v(R为固定值)的所有可能的改进而言，在点(bΔx，aΔt)上的解所依赖的所有点集均包含于区间Da。此外，对于分数阶偏微分方程而言，点(x，t)的解析依赖域是x0＝x-ct。如果可虑点(x，t)＝(bΔx，aΔt)，于是可推导得x0＝x-ct＝bΔx-caΔt＝(b-R1/va)Δx。于是，由Da＝[(b-(N-2)(a+1))Δx，(b+a+1)Δx]和x0＝x-ct＝bΔx-caΔt＝(b-R1/va)Δx式，可以推导得当且仅当(b-(N-2)(a+1))Δx≤(b-R1/ va)Δx≤(b+a+1)Δx，x0∈[(b-(N-2)(a+1))Δx，(b+a+1)Δx].于是，可以推导得不等式-(a+1)/a＜-1≤R1/v≤N-2＜(N-2)(a+1)/a。-(a+1)/a＜-1≤R1/v≤N-2＜(N-2)(a+1)/a式表明，当且仅当-1≤R1/v≤N-2，解析依赖域包含于数值依赖域之中。特别地，当N＝2时，和式转变为经典的一阶微分(即v＝1)。因此，本发明可推导得经典的一阶Courant-Friedrichs-Lewy条件-1≤R＝cΔt/Δx≤0。经典的一阶Courant-Friedrichs-Lewy条件是分数阶Courant-Friedrichs-Lewy条件的特例。因此，可见v阶分数阶偏微分方程式和v阶差分格式式的分数阶Courant-Friedrichs-Lewy条件等价于不等式-1≤R1/v≤N-2。这是和式数值实现保持稳定的必要的条件。
此外，值得注意的是，第一，本发明将和作为分数阶偏微分方程的数值实现的迭代停止条件。第二，为了满足限制条件l≥s，令其中max( )是取最大值函数。第三，需要考虑和式的数值计算过程中出现或的情况。为了使和式有意义，当或时，令或其中ε1和ε2是两个小的正实常数。
基于上述对本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的基本原理及其数学算法推导的简要说明，下面具体说明该图像对比度增强滤波器的电路构成：
见图3，本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器以数字电路形式实现。见图3，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器是采用加法器一1、平方器2、乘法器一3、乘法器二4、加法器二5和加法器三6以级联方式构成的。其中，加法器一1并行输入第n-1次和第n次迭代的数字图像和加法器一1的输出信号输入给平方器2，平方器2的输出信号输入给乘法器二4，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的输出信号输入给乘法器一3，信号生成单元电路是采用加法器四7、实部计算器8和乘法器三9以级联方式构成的，乘法器三9输出信号，乘法器一3的输出信号输入给加法器二5，乘法器二4和加法器二5的输出信号并行输入给加法器三6，加法器三6输出第n+1次迭代的数字图像其中，分数阶微积分的阶次v1、v2和v3不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中取分数或有理小数。v1、v2和v3可以相等，亦可不相等。系数α1和α2是非负实数，且α2＝2α1。分数阶最速下降法的收敛速率μ是是非负实数。Re{}是取复数的实数部分计算。|| ||是求L2范数计算。| |是求绝对值计算。时间间隔Δt是非负实数，迭代数n是正整数，第n次迭代时间tn＝nΔt，初始时间t0＝0。S(x，y)是反射图像，R(x，y)是物体表面的反射特征，L(x，y)是入射光，Log[]是对数计算，s(x，y)＝Log[S(x，y)]，r(x，y)＝Log[R(x，y)]，l(x，y)＝Log[L(x，y)]，且l≥s。是第n次迭代时刻的l(x，y)，是原始反射图像的对数变换，是原始入射光的对数变换，是v1阶分数阶偏微分算子，和分别是和的共轭算子，和DFT( )是离散傅立叶变换，μ1＝0，1，…，M-1和μ2＝0，1，…，N-1分别是l(x，y)在x轴和y轴方向上的图像尺寸，j是虚数单位。该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器特别适用于对图像对比度进行多尺度非线性增强的应用场合。本发明属于应用数学和数字电路交叉学科的技术领域。
见图3，本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的加法器一1并行输入第n-1次和第n次迭代的数字图像和完成的计算是平方器2完成的计算是乘法器一3并行输入信号生成单元电路输出的信号和参数，乘法器一3完成的计算是乘法器二4并行输入平方器2的输出信号以及参数和乘法器二4完成的计算是加法器二5并行输入乘法器一3的输出信号和第n次迭代的数字图像加法器二5完成的计算是加法器三6并行输入乘法器二4的输出信号和加法器二5的输出信号。加法器三6完成的计算是加法器三6输出第n+1次迭代的数字图像
见图4，其中7是本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的加法器四。加法器四7并行输入参数 和加法器四7完成的计算是加法器四7的输出信号输入给实部计算器8。实部计算器8完成的计算是乘法器三9并行输入实部计算器8的输出信号和参数乘法器三9完成的计算是
见图3和图4，对于彩色图像处理而言，本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的数值迭代计算步骤为：第一步，将反射图像S(x，y)从RGB彩色空间转换到HSV彩色空间。仅采用HSV彩色空间中的V分量值V(x，y)进行进一步处理。s(x，y)＝Log[V(x，y)+1]。第二步，进行本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器完成的数值迭代计算和第三步，本发明防止原始图像对应的反射物体表面的反射特征值RV(x，y)＝Log-1[r(x，y)]-1被数值迭代计算过度纹理增强，且限制RV(x，y)∈[0，255]。本发明对RV(x，y)采用Gamma灰度矫正，RV(x，y)的Gamma灰度矫正所采用的可调参数为其中是RV的Gamma灰度矫正值，W是白色图像值，W在一幅8比特的图像中等于255，在一幅HSV图像中也等于255，可调参数γ被设置为2.2。第四步，取V(x，y)＝RV(x，y)。将V(x，y)与S(x，y)的H和S分量进行结合，在HSV彩色空间中获得物体表面的反射特征R(x，y)。将R(x，y)从HSV彩色空间转换为RGB彩色空间。于是，本发明便得到对比度增强后的纹理图像R(x，y)。
见图3和图4，加法器一1、加法器二5、加法器三6和加法器四7是功能相同的加法器，但其参数互不相同；乘法器一3、乘法器二4和乘法器三9是功能相同的乘法器，但其参数互不相同。
另外，本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的数值迭代计算的数值依赖域为-1≤R1/v≤N-2，其中R＝(cΔt/Δx)v，c是一个正实常数，Δx为x轴方向上的离散间隔。本发明将和作为分数阶偏微分方程的数值实现的迭代停止条件。本发明限制l≥s，令其中max( )是取最大值函数。本发明避免数值计算过程中出现或的情况，当或时，令或其中ε1和ε2是两个小的正实常数。
下面结合附图和实例详细说明本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的新方案：
附图说明
图1是本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器在点(bΔx，aΔt)上的解对应于第a时间级的依赖关系的原理示意图。
图2是本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的v阶差分格式在点(bΔx，aΔt)的数值依赖域的原理示意图。
图3是本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的电路示意图。
图4是本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的电路示意图。
其中，1是本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的加法器一；2是该图像对比度增强滤波器的平方器；3是该图像对比度增强滤波器的乘法器一；4是该图像对比度增强滤波器的乘法器二；5是该图像对比度增强滤波器的加法器二；6是该图像对比度增强滤波器的加法器三；7是该图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的加法器四；8是该图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的实部计算器；9是该图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的乘法器三。另外，1、5、6和7是功能相同的加法器，但其参数互不相同；3、4和9是功能相同的乘法器，但其参数互不相同。
其中，在图1和图2中，符号a和b表示任意两个正整数；符号Δt表示在变量t方向上的离散采样间隔；符号Δx表示在变量x方向上的离散采样间隔。
其中，在图3中；A点是本发明的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号的输入端；在图4中，A点是该图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的输出端；在图3和图4中，A点是同一点。
具体实施方式
现举例介绍如下：
见图3和图4，在和式的数值迭代求解中，本发明令分数阶微积分的阶次v1＝1.25、v2＝2.25和v3＝0.9。令系数α1＝0.05，α2＝0.1。令分数阶最速下降法的收敛速率μ＝0.1。令时间间隔Δt＝0.002，迭代数n＝6。令令M＝1204，N＝1204。令εl＝εl-s＝10-3，ε1＝0.006和ε2＝10-5。于是，便可构造出本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的一个具体实施案例。
同理，可以方便地构造出其它不同参数的基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器。于是，如图3和图4所示，按照本说明书的发明内容中所详细说明的本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的电路结构及其具体电路参数，就可以方便地构造出该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器。在不影响准确表述的前提下，为了更加清晰明了地描述本发明提出的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的具体电路，图3和图4未画出其中的信号发生电路及电源。

Claims (6)

1.一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器，其特征在于：该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器以数字电路形式实现；该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器是采用加法器一(1)、平方器(2)、乘法器一(3)、乘法器二(4)、加法器二(5)和加法器三(6)以级联方式构成的；其中，加法器一(1)并行输入第n-1次和第n次迭代的数字图像和加法器一(1)的输出信号输入给平方器(2)，平方器(2)的输出信号输入给乘法器二(4)，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的输出信号输入给乘法器一(3)，信号生成单元电路是采用加法器四(7)、实部计算器(8)和乘法器三(9)以级联方式构成的，乘法器三(9)输出信号，乘法器一(3)的输出信号输入给加法器二(5)，乘法器二(4)和加法器二(5)的输出信号并行输入给加法器三(6)，加法器三(6)输出第n+1次迭代的数字图像其中，分数阶微积分的阶次v1、v2和v3不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中取分数或有理小数；v1、v2和v3可以相等，亦可不相等；系数α1和α2是非负实数，且α2＝2α1；分数阶最速下降法的收敛速率μ是是非负实数；Re{}是取复数的实数部分计算；||||是求L2范数计算；||是求绝对值计算；时间间隔Δt是非负实数，迭代数n是正整数，第n次迭代时间tn＝nΔt，初始时间t0＝0；S(x，y)是反射图像，R(x，y)是物体表面的反射特征，L(x，y)是入射光，Log[]是对数计算，s(x，y)＝Log[S(x，y)]，r(x，y)＝Log[R(x，y)]，l(x，y)＝Log[L(x，y)]，且l≥s；是第n次迭代时刻的l(x，y)，是原始反射图像的对数变换，是原始入射光的对数变换，是v1阶分数阶偏微分算子，和分别是和的共轭算子，和DFT()是离散傅立叶变换，μ1＝0，1，…，M-1和μ2＝0，1，…，N-1分别是l(x，y)在x轴和y轴方向上的图像尺寸，j是虚数单位。
2.根据权利要求1所述的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器，其特征在于：该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的加法器一(1)并行输入第n-1次和第n次迭代的数字图像和完成的计算是平方器(2)完成的计算是乘法器一(3)并行输入信号生成单元电路输出的信号和参数，乘法器一(3)完成的计算是乘法器二(4)并行输入平方器(2)的输出信号以及参数和乘法器二(4)完成的计算是加法器二(5)并行输入乘法器一(3)的输出信号和第n次迭代的数字图像加法器二(5)完成的计算是加法器三(6)并行输入乘法器二(4)的输出信号和加法器二(5)的输出信号；加法器三(6)完成的计算是加法器三(6)输出第n+1次迭代的数字图像
3.根据权利要求1所述的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器，其特征在于：其中，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的信号生成单元电路的加法器四(7)并行输入参数 和加法器四(7)完成的计算是加法器四(7)的输出信号输入给实部计算器(8)；实部计算器(8)完成的计算是乘法器三(9)并行输入实部计算器(8)的输出信号和参数乘法器三(9)完成的计算是
4.根据权利要求1所述的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器，其特征在于：对于彩色图像处理而言，该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的数值迭代计算步骤为：第一步，将反射图像S(x，y)从RGB彩色空间转换到HSV彩色空间；仅采用HSV彩色空间中的V分量值V(x，y)进行进一步处理；s(x，y)＝Log[V(x，y)+1]；第二步，进行该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器完成的数值迭代计算和第三步，防止原始图像对应的反射物体表面的反射特征值RV(x，y)＝Log-1[r(x，y)]-1被数值迭代计算过度纹理增强，且限制RV(x，y)∈[0，255]；对RV(x，y)采用Gamma灰度矫正，RV(x，y)的Gamma灰度矫正所采用的可调参数为其中是RV的Gamma灰度矫正值，W是白色图像值，W在一幅8比特的图像中等于255，在一幅HSV图像中也等于255，可调参数γ被设置为2.2；第四步，取V(x，y)＝RV(x，y)；将V(x，y)与S(x，y)的H和S分量进行结合，在HSV彩色空间中获得物体表面的反射特征R(x，y)；将R(x，y)从HSV彩色空间转换为RGB彩色空间，得到对比度增强后的纹理图像R(x，y)。
5.根据权利要求1所述的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器，其特征在于：该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的加法器一(1)、加法器二(5)、加法器三(6)和加法器四(7)是功能相同的加法器，但其参数互不相同；乘法器一(3)、乘法器二(4)和乘法器三(9)是功能相同的乘法器，但其参数互不相同。
6.根据权利要求1所述的一种基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器，其特征在于：该基于分数阶偏微分方程的图像对比度增强滤波器的数值迭代计算的数值依赖域为-1≤R1/v≤N-2，其中R＝(cΔt/Δx)v，c是一个正实常数，Δx为x轴方向上的离散间隔；将和作为分数阶偏微分方程的数值实现的迭代停止条件；限制l≥s，令其中max()是取最大值函数；避免数值计算过程中出现或的情况，当或时，令或其中ε1和ε2是两个正实常数。
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