CN106969784A - 一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，属于智能导航装置领域，包括运载体、惯性导航器件、并发建图定位装置和误差融合装置；所述惯性导航器件包括加速度计、陀螺仪和惯性导航驱动装置，所述并发建图定位装置包括激光雷达和环境地图构建装置；所述误差融合装置包括线性离散并发建图定位误差模块、惯性导航误差模块和加权融合模块；使机器人定位与导航更精确可靠。

Description

一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统

技术领域

本发明属于智能导航装置领域，尤其涉及的是一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统。

背景技术

近年来，在一些卫星导航等导航系统无法探测的陆地领域，惯性导航(简称INS)充分发挥了自身的优势。现有技术中的捷联惯性导航系统由加速度计和陀螺仪组成，安装在运载体上，分别计算运载体的加速度信息和角速度信息。但在实际应用中，由于捷联惯性导航模块的传感单一性，导航误差产生频繁并会累积放大。

并发建图与定位系统(又称同时定位与地图构建，简称SLAM)被认为是实现真正全自助移动机器人的关键。其描述了由移动机器人从未知的地点出发，利用激光雷达对周围环境进行扫描，对扫描的信息进行处理得到自身的位置，并构建出周围环境的地图信息，完成自身定位和特征地图的构建的问题，以实现对信息不可用，完全未知的环境的探测。然而激光雷达受扫描时间及范围限制，随着机器人移动速度加快，反馈延迟提高，建图与方位识别误差渐增，直至无法有效建模，严重影响对机器人的定位导航作用。

发明内容

本发明为了解决现有技术中，机器人导航系统传感器单一产生的误差积累，本发明将同时定位与地图构建(SLAM)与惯性导航(INS)进行误差融合，并反馈校正，提供一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，使机器人定位与导航更精确可靠。

本发明的技术方案如下：

一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其中，包括运载体、惯性导航(简称INS)器件、并发建图定位(简称SLAM)装置和误差融合装置；所述惯性导航器件包括加速度计、陀螺仪和惯性导航驱动装置，所述并发建图定位装置包括激光雷达和环境地图构建装置；所述误差融合装置包括线性离散并发建图定位误差模块、惯性导航误差模块和加权融合模块；

在所述惯性导航器件中，所述加速度计获得运载体加速度，所述陀螺仪获得运载体角速度，并将加速度与角速度信号通过通讯连接传送至惯性导航误差模块和惯性导航驱动装置；所述惯性导航误差模块进行误差分析；所述惯性导航驱动装置处理得到位置、速度和角度控制参数，调整运载体姿态；

在所述并发建图定位装置中，所述激光雷达获得运载体与环境间距离和方位角，并将距离和方位角通过通讯连接，传送至线性离散并发建图定位误差模块和环境地图构件装置，分别进行误差分析和地图构建；

在所述误差融合装置中，所述线性离散并发建图定位误差模块和所述惯性导航误差模块分别将误差通过通讯连接传送至所述加权融合模块，所述加权融合模块分析获得姿态误差和地图误差，姿态误差通过通讯连接反馈至惯性导航驱动装置校正位置、速度和角度控制参数，地图误差通过通讯连接传送至环境地图构建装置校正环境地图。

进一步，在线性离散并发建图定位误差模块中，其采用的状态方程：

δx(k+1)＝F(k)δx(k)+G(k)w(k)，

δx(k)表示误差状态向量，运载体与地图误差状态表示为：

δx(k)＝[δx_v(k),δx_m(k)]^T，

运载体误差状态δx_v(k)在导航坐标系中表示为：

δx_v(k)＝[δpⁿ(k),δvⁿ(k),δψⁿ(k)]^T，

地图误差状态δx_m(k)在导航坐标系中表示为：

F(k)表示系统转移矩阵，G(k)表示系统噪声输入矩阵，w(k)表示系统误差向量，代表器件本身误差，误差强度为Q(k)。

进一步，所述惯性导航误差模块中，所述惯性导航和静态环境模型为：

δpⁿ为位置误差，δVⁿ为速度误差，δψⁿ为姿态误差，f^b和ω^b分别为惯性导航器件测量所得的加速度和角速度，δf^b和δω^b表示惯性导航器件的测量误差，

表示由四元数组成的方向余弦矩阵，表示为：

σ_δf和σ_δω分别表示加速度和角速度的噪声强度。

进一步，所述惯性导航误差模块中，所述线性观测模型为：

δz(k)＝H(k)δx(k)+v(k)

其中，H(k)是线性观测雅克比矩阵，v(k)是观测噪声，噪声强度矩阵为R(k)，误差噪声输入为测量值与观测值之差：

在导航坐标系中初始路标位置为：

其中，Pⁿ(k)为k时刻路标在导航坐标系中的位置，为传感器在以运载体为中心的传感器坐标系相对于导航坐标器的的偏移量，为由传感器坐标系转换到导航坐标器的方向余弦矩阵，为在传感器坐标系中路标的相对位置，表示为：

ρ，和θ分别是航向角、俯仰角和偏航角，由激光雷达可得：

其中，

通过计算方程的雅克比矩阵，线性离散模型可得：

所有的噪声为零均值高斯噪声，在预测过程中没有误差传递：

δx(k|k-1)＝F(k)δx(k-1|k-1)＝0

δx(k|k)＝δx(k|k-1)+W(k)ν(k)＝W(k)ν(k)

v(k)＝z(k)-H(k)δx(k|k-1)＝z(k)。

优选的，在惯性导航器件和惯性导航误差模块中，导航坐标使用东-北-天坐标系，误差状态为9维状态变量，分别为3维姿态误差，3维速度误差和3维位置误差：

导航坐标状态方程为：

X(k+1)＝AX(k)+W(k)

其中，A为系数矩阵W(k)为系统噪声，

Ω为姿态矩阵，ω_bx,ω_by,ω_bz载体坐标系中的角速度，L表示纬度，V_E,V_N,V_D表示东北天三个方向的速度，R表示地球半径；

其观测方程：在观测方程中，观测误差为测量值与预测值之差：

导航坐标观测模型表示为：

Z(k)＝BX(k)+V(k)，

其中，B为系数矩阵B＝[B₁ B₂ B₃]^T，B₁＝[diag[1 1 1]0_3×3 0_3×3]，B₂＝[0_3×3 diag[1 1 1]0_3×3]，B₃＝[0_3×3 0_3×3 diag[RcosL R 1]]。

优选的，所述加权融合模块包括标量加权融合装置，

所述标量加权融合装置对线性离散并发建图定位误差模块和惯性导航误差模块传送的误差进行融合的状态方程为：

两个加权系数由以下方程计算获得：

其中，tr表示矩阵的迹，P₁和P₂分别表示X和δx的协方差，P₁₂表示X和δx的互协方差，取最优估计误差协方差矩阵可得：

且，trP₀≤trP_i,i＝1,2。

本发明所采用标量加权融合装置，相较于现有技术矩阵加权相比，本发明装置模块仅需要处理标量加权系数，减少了计算量。尤其，在本发明中惯性导航维数较高，更有效地减少了处理量，显著提高了融合反馈效率。更重要的是，其使本发明误差融合校正机器人姿态及环境地图的反馈延迟大大缩短。该效果正反馈作用于SLAM和INS装置，使姿态调整和绘图校正流程缩短，形成良性循环，进一步从源头上减少了误差积累。

本发明综合技术方案及综合效果包括：

本发明利用SLAM装置和INS器件对周围环境进行扫描。SLAM将激光雷达作主传感器，扫描周围环境内障碍物，得到运载体与障碍物之间的距离以及方位角。INS利用惯性导航器件，加速度计测量得到运载体的线性加速度，陀螺仪测量得到运载体的角速度，通过INS驱动装置处理得到运载体位置、速度和角度信息。然后利用各相应SLAM误差模块和INS误差模块分别对误差数据分析处理，并建立误差状态方程和观测方程，将SLAM装置得到的环境信息与INS装置得到的环境信息利用融合装置，采用加权平均的方法进行误差融合，再利用融合装置得到的误差修正运载体的位置预测，使运载体移动机器人的定位与构图更加精确。

附图说明

图1为本发明装置运转流程框图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例，对本发明进行详细说明。

实施例1

本发明主要针对机器人智能运载导航，发明了一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，该装置及运转流程图如图1所示，

一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其中，包括运载体、惯性导航器件、并发建图定位装置和误差融合装置；所述惯性导航器件包括加速度计、陀螺仪和惯性导航驱动装置，所述并发建图定位装置包括激光雷达和环境地图构建装置；所述误差融合装置包括线性离散并发建图定位误差模块、惯性导航误差模块和加权融合模块；

在所述惯性导航器件中，所述加速度计获得运载体加速度，所述陀螺仪获得运载体角速度，并将加速度与角速度信号通过通讯连接传送至惯性导航误差模块和惯性导航驱动装置；所述惯性导航误差模块进行误差分析；所述惯性导航驱动装置处理得到位置、速度和角度控制参数，调整运载体姿态；

在所述并发建图定位装置中，所述激光雷达获得运载体与环境间距离和方位角，并将距离和方位角通过通讯连接，传送至线性离散并发建图定位误差模块和环境地图构件装置，分别进行误差分析和地图构建；

在所述误差融合装置中，所述线性离散并发建图定位误差模块和所述惯性导航误差模块分别将误差通过通讯连接传送至所述加权融合模块，所述加权融合模块分析获得姿态误差和地图误差，姿态误差通过通讯连接反馈至惯性导航驱动装置校正位置、速度和角度控制参数，地图误差通过通讯连接传送至环境地图构建装置校正环境地图。

在线性离散并发建图定位误差模块中，其采用的状态方程：δx(k+1)＝F(k)δx(k)+G(k)w(k)

δx(k)表示误差状态向量，运载体与地图误差状态表示为：

δx(k)＝[δx_v(k),δx_m(k)]^T

运载体误差状态δx_v(k)在导航坐标系中表示为：

δx_v(k)＝[δpⁿ(k),δvⁿ(k),δψⁿ(k)]^T

地图误差状态δx_m(k)在导航坐标系中表示为：

F(k)表示系统转移矩阵，G(k)表示系统噪声输入矩阵，w(k)表示系统误差向量，代表器件本身误差，误差强度为Q(k)。

所述惯性导航误差模块中，所述惯性导航和静态环境模型为：

δpⁿ为位置误差，δVⁿ为速度误差，δψⁿ为姿态误差，f^b和ω^b分别为惯性导航器件测量所得的加速度和角速度，δf^b和δω^b表示惯性导航器件的测量误差，

表示由四元数组成的方向余弦矩阵，表示为：

σ_δf和σ_δω分别表示加速度和角速度的噪声强度。

所述惯性导航误差模块中，所述线性观测模型为：

δz(k)＝H(k)δx(k)+v(k)

其中，H(k)是线性观测雅克比矩阵，v(k)是观测噪声，噪声强度矩阵为R(k)，误差噪声输入为测量值与观测值之差：

在导航坐标系中初始路标位置为：

其中，Pⁿ(k)为k时刻路标在导航坐标系中的位置，为传感器在以运载体为中心的传感器坐标系相对于导航坐标器的的偏移量，为由传感器坐标系转换到导航坐标器的方向余弦矩阵，为在传感器坐标系中路标的相对位置，表示为：

ρ，和θ分别是航向角、俯仰角和偏航角，由激光雷达可得：

其中，

通过计算方程的雅克比矩阵，线性离散模型可得：

所有的噪声为零均值高斯噪声，在预测过程中没有误差传递：

δx(k|k-1)＝F(k)δx(k-1|k-1)＝0

δx(k|k)＝δx(k|k-1)+W(k)ν(k)＝W(k)ν(k)

v(k)＝z(k)-H(k)δx(k|k-1)＝z(k)。

在惯性导航器件和惯性导航误差模块中，导航坐标使用东-北-天坐标系，误差状态为9维状态变量，分别为3维姿态误差，3维速度误差和3维位置误差：

导航坐标状态方程为：

X(k+1)＝AX(k)+W(k)

其中，A为系数矩阵W(k)为系统噪声，

Ω为姿态矩阵，ω_bx,ω_by,ω_bz载体坐标系中的角速度，L表示纬度，V_E,V_N,V_D表示东北天三个方向的速度，R表示地球半径；

其观测方程：在观测方程中，观测误差为测量值与预测值之差：

导航坐标观测模型表示为：

Z(k)＝BX(k)+V(k)，

其中，B为系数矩阵B＝[B₁ B₂ B₃]^T，B₁＝[diag[1 1 1]0_3×3 0_3×3]，B₂＝[0_3×3 diag[1 1 1]0_3×3]，B₃＝[0_3×3 0_3×3 diag[RcosL R 1]]。

所述加权融合模块包括标量加权融合装置，

所述标量加权融合装置对线性离散并发建图定位误差模块和惯性导航误差模块传送的误差进行融合的状态方程为：

两个加权系数由以下方程计算获得：

其中，tr表示矩阵的迹，P₁和P₂分别表示X和δx的协方差，P₁₂表示X和δx的互协方差，取最优估计误差协方差矩阵可得：

且，trP₀≤trP_i,i＝1,2。

本实施例所采用标量加权融合装置，相较于现有技术矩阵加权相比，本实施例装置模块仅需要处理标量加权系数，减少了计算量。尤其，在本实施例中惯性导航维数较高，更有效地减少了处理量，显著提高了融合反馈效率。更重要的是，其使本实施例误差融合校正机器人姿态及环境地图的反馈延迟大大缩短。该效果正反馈作用于SLAM和INS装置，使姿态调整和绘图校正流程缩短，形成良性循环，进一步从源头上减少了误差积累。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。

Claims (6)

1.一种并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其特征在于，包括运载体、惯性导航器件、并发建图定位装置和误差融合装置；所述惯性导航器件包括加速度计、陀螺仪和惯性导航驱动装置，所述并发建图定位装置包括激光雷达和环境地图构建装置；所述误差融合装置包括线性离散并发建图定位误差模块、惯性导航误差模块和加权融合模块；

在所述惯性导航器件中，所述加速度计获得运载体加速度，所述陀螺仪获得运载体角速度，并将加速度与角速度信号通过通讯连接传送至惯性导航误差模块和惯性导航驱动装置；所述惯性导航误差模块进行误差分析；所述惯性导航驱动装置处理得到位置、速度和角度控制参数，调整运载体姿态；

在所述并发建图定位装置中，所述激光雷达获得运载体与环境间距离和方位角，并将距离和方位角通过通讯连接，传送至线性离散并发建图定位误差模块和环境地图构件装置，分别进行误差分析和地图构建；

在所述误差融合装置中，所述线性离散并发建图定位误差模块和所述惯性导航误差模块分别将误差通过通讯连接传送至所述加权融合模块，所述加权融合模块分析获得姿态误差和地图误差，姿态误差通过通讯连接反馈至惯性导航驱动装置校正位置、速度和角度控制参数，地图误差通过通讯连接传送至环境地图构建装置校正环境地图。

2.根据权利要求1所述的并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其特征在于，在线性离散并发建图定位误差模块中，其采用的状态方程：

δx(k+1)＝F(k)δx(k)+G(k)w(k)，

δx(k)表示误差状态向量，运载体与地图误差状态表示为：

δx(k)＝[δx_v(k),δx_m(k)]^T，

运载体误差状态δx_v(k)在导航坐标系中表示为：

δx_v(k)＝[δpⁿ(k),δvⁿ(k),δψⁿ(k)]^T，

地图误差状态δx_m(k)在导航坐标系中表示为：

${\mathrm{\δx}}_m\left(k\right)={\[{\mathrm{\δm}}_1^n\left(k\right),{\mathrm{\δm}}_2^n\left(k\right),...,{\mathrm{\δm}}_N^n\left(k\right)\]}^T,$

F(k)表示系统转移矩阵，G(k)表示系统噪声输入矩阵，w(k)表示系统误差向量，代表器件本身误差，误差强度为Q(k)。

3.根据权利要求1所述的并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其特征在于，所述惯性导航误差模块中，所述惯性导航和静态环境模型为：

δp_n为位置误差，δVⁿ为速度误差，δψⁿ为姿态误差，f^b和ω^b分别为惯性导航器件测量所得的加速度和角速度，δf^b和δω^b表示惯性导航器件的测量误差，表示由四元数组成的方向余弦矩阵，表示为：

$F\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccccc}I& {\mathrm{\Δtf}}^n& 0& |& 0\\ 0& I& {\mathrm{\Δtf}}^n& |& 0\\ 0& 0& I& |& 0\\ -& -& -& |& -\\ 0& 0& 0& |& I_{m\×n}\end{array}\right],G\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \sqrt{\mathrm{\Δ}t}{C}_b^n\left(k\right)& 0\\ 0& -\sqrt{\mathrm{\Δ}t}{C}_b^n\left(k\right)\\ ----& ----\\ 0_m& 0_m\end{array}\right],Q\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\δ}f}^2& 0\\ 0& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\δ}\mathrm{\ω}}^2\end{array}\right],$

σ_δf和σ_δω分别表示加速度和角速度的噪声强度。

4.根据权利要求1所述的并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其特征在于，所述惯性导航误差模块中，所述线性观测模型为：

δz(k)＝H(k)δx(k)+v(k)，

其中，H(k)是线性观测雅克比矩阵，v(k)是观测噪声，噪声强度矩阵为R(k)，误差噪声输入为测量值与观测值之差：

$\mathrm{\δ}z\left(k\right)=\hat{z}\left(k\right)-z\left(k\right),$

在导航坐标系中初始路标位置为：

$m_i^n\left(k\right)=P^n\left(k\right)+C_b^n\left(k\right)P_{bs}^b+C_b^n\left(k\right)C_s^b{P}_{sm}^s\left(k\right),$

其中，Pⁿ(k)为k时刻路标在导航坐标系中的位置，为传感器在以运载体为中心的传感器坐标系相对于导航坐标器的偏移量，为由传感器坐标系转换到导航坐标器的方向余弦矩阵，为在传感器坐标系中路标的相对位置，表示为：

ρ，和θ分别是航向角、俯仰角和偏航角，由激光雷达可得：

其中，

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=P_{sm}^s\left(k\right)=C_b^s{C}_n^b\left(k\right)\[m_i^n\left(k\right)-P^n\left(k\right)-C_b^n\left(k\right)P_{bs}^b\],$

通过计算方程的雅克比矩阵，线性离散模型可得：

所有的噪声为零均值高斯噪声，在预测过程中没有误差传递：

δx(k|k-1)＝F(k)δx(k-1|k-1)＝0

δx(k|k)＝δx(k|k-1)+W(k)ν(k)＝W(k)ν(k)

v(k)＝z(k)-H(k)δx(k|k-1)＝z(k)。

5.根据权利要求1-4中任一项所述的并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其特征在于，在惯性导航器件和惯性导航误差模块中，导航坐标使用东-北-天坐标系，误差状态为9维状态变量，分别为3维姿态误差，3维速度误差和3维位置误差：

导航坐标状态方程为：

X(k+1)＝AX(k)+W(k)

其中，A为系数矩阵W(k)为系统噪声，

$A_{11}=\left[\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{\Ω}\sin L-\frac{V_E}{R}\tan L& \frac{V_N}{R}\\ \mathrm{\Ω}\sin L+\frac{V_E}{R}\tan L& 0& \mathrm{\Ω}\cos L+\frac{V_E}{R}\\ -\frac{V_N}{R}& -\mathrm{\Ω}\cos L-\frac{V_E}{R}& 0\end{array}\right],$

$A_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{R}& 0\\ -\frac{1}{R}& 0& 0\\ 0& -\frac{\tan L}{R}& 0\end{array}\right],A_{13}=\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{\Ω}\sin L& 0& -\frac{V_E}{R^2}\\ 0& 0& \frac{V_N}{R^2}\\ -\mathrm{\Ω}\cos L-\frac{V_E}{R{\cos }^{2}L}& 0& \frac{V_E\tan L}{R^2}\end{array}\right],$

$A_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& -f_D& f_E\\ f_D& 0& -f_N\\ -f_E& f_N& 0\end{array}\right],$

$A_{22}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{V_D}{R}& -2\mathrm{\Ω}\sin L-2\frac{V_E}{R}\tan L& \frac{V_N}{R}\\ 2\mathrm{\Ω}\sin L+\frac{V_E}{R}\tan L& \frac{1}{R}(V_N\tan L+V_D)& 2\mathrm{\Ω}\cos L+\frac{V_E}{R}\\ -2\frac{V_N}{R}& -2\mathrm{\Ω}\cos L-2\frac{V_E}{R}& 0\end{array}\right],$

$A_{23}=\left[\begin{array}{ccc}-V_E(2\mathrm{\Ω}\cos L+\frac{V_E}{R\cos 2L})& 0& \frac{1}{R^2}(V_E^2\tan L-V_N{V}_D)\\ 2\mathrm{\Ω}(V_N\cos L-V_D\sin L)+\frac{V_N{V}_E}{R\cos 2L}& 0& -\frac{V_E}{R^2}(V_N\tan L+V_D)\\ 2{\mathrm{\ΩV}}_E\sin L& 0& \frac{1}{R^2}(V_N^2+V_E^2)\end{array}\right],$

$A_{31}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],A_{32}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{R}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{R\cos L}& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right],A_{33}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -\frac{V_N}{R^2}\\ \frac{V_E\tan L}{R\cos L}& 0& -\frac{V_E}{R^2\cos L}\\ 0& 0& 0\end{array}\right];$

Ω为姿态矩阵，ω_bx,ω_by,ω_bz载体坐标系中的角速度，L表示纬度，V_E,V_N,V_D表示东北天三个方向的速度，R表示地球半径；

其观测方程：在观测方程中，观测误差为测量值与预测值之差：

$Z\left(k\right)=\hat{Z}\left(k\right)-Z\left(k\right),$

导航坐标观测模型表示为：

Z(k)＝BX(k)+V(k)，

其中，B为系数矩阵B＝[B₁ B₂ B₃]^T，B₁＝[diag[1 1 1] 0_3×3 0_3×3]，B₂＝[0_3×3 diag[1 11] 0_3×3]，B₃＝[0_3×3 0_3×3 diag[RcosL R 1]]。

6.根据权利要求5所述的并发建图定位与惯性导航的组合误差融合系统，其特征在于，所述加权融合模块包括标量加权融合装置，

所述标量加权融合装置对线性离散并发建图定位误差模块和惯性导航误差模块传送的误差进行融合的状态方程为：

${\hat{x}}_0=a_{1}X+a_2\mathrm{\δ}x,$

两个加权系数由以下方程计算获得：

$a_1=\frac{{\mathrm{trP}}_2-{\mathrm{trP}}_{12}}{{\mathrm{trP}}_1+{\mathrm{trP}}_2-2{\mathrm{trP}}_{12}},a_2=\frac{{\mathrm{trP}}_1-{\mathrm{trP}}_{12}}{{\mathrm{trP}}_1+{\mathrm{trP}}_2-2{\mathrm{trP}}_{12}},$

其中，tr表示矩阵的迹，P₁和P₂分别表示X和δx的协方差，P₁₂表示X和δx的互协方差，取最优估计误差协方差矩阵可得：

$P_0=a_1^2{P}_1+a_2^2{P}_2+2a_1{a}_2{P}_{12},$

且，trP₀≤trP_i,i＝1,2。