CN106919538A - 一种岩基抗剪强度统计参数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于概率数理统计理论，推导提出了由试块抗剪试验数据(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)直接计算f′、c′统计参数的新公式，并通过随机模拟方法的测评，从理论和数值上论证了本文新计算公式的正确性。本发明克服了传统分组法不能反映各组内试块抗剪强度的离散性和分组样本数少等缺点，扩增了统计样本数，使得计算结果更具有参考性和实用性。

Description

一种岩基抗剪强度统计参数计算方法

技术领域

本发明属于岩基强度技术领域，具体涉及一种岩基抗剪强度的统计参数计算方法。

背景技术

岩基抗剪强度参数是岩基水电工程建筑物进行抗滑稳定审核的重要设计指标。研究确定岩基抗剪强度参数的均值、变异系数与概率分布等概率特性对工程抗剪强度参数设计值的合理取定、结构安全可靠度分析甚至是将来进一步可以推进的工程风险分析以及设计规范修编都是至关重要的，是一项基础性研究工作。

长期以来，人们对岩基材料的抗剪强度参数的确定进行了大量的研究工作。迄今，现场原位抗剪试验因其较室内中小型直剪试验能反映更多的岩体结构特征，剪切断面较大,试验结果可靠性较高，仍然是工程确定岩基材料抗剪强度参数的主要方法。由于岩基材料为天然材料，试块抗剪试验结果存在较大的离散性，由抗剪试验结果确定抗剪强度参数的概率分布及均值、变异系数等概率特性的方法归纳主要有：

(1)传统分组法：该法是工程设计人员、众多研究者采用的主要方法。

由于材料强度试验的不可逆性，岩基任一部位试块的抗剪断试验只能作一次，所得结果只有试块剪切面上的一对正应力与剪应力。而根据莫尔—库伦准则，试块抗剪强度参数有摩擦系数与凝聚力两个，对岩基一个部位的摩擦系数与凝聚力的确定，如果按现有的方法理解去套做的话，理论上需对该部位试块作两次以上的强度试验，但这在实际上又是不可能的。为了确定摩擦系数与凝聚力两个抗剪强度参数，在目前水电工程中，常见的做法亦即传统分组法是将不同抗剪试块试验数据分为若干组(每一组不少于5个试块)，按莫尔—库伦准则回归得到各组的摩擦系数与凝聚力值，然后再把不同组的摩擦系数与凝聚力结果按常规统计方法分析摩擦系数与凝聚力的概率分布与均值和方差等统计参数。这种分组法存在若干问题或不足：一是因为分组摩擦系数与凝聚力值是由各组试块抗剪强度的平均值求得的，传统分组法(计算得到的摩擦系数与凝聚力值方差)不能反映或者说抹去了各组内试块抗剪强度的离散性。二设想当各分组内的试块数逐渐增多时，由于各试块来自同一地质单元，亦即可认为来自同一概率母体，根据概率论，各组试验所得的抗剪强度平均值一定趋于相同，也就是各分组摩擦系数与凝聚力值从理论上是趋于相同的，没有离散性。如此再由它们来确定摩擦系数与凝聚力的概率分布与均值和方差等统计参数，从理论来上讲显然是不合适的。传统分组法存在的第三个问题是，在水利水电工程中，因混凝土/岩体、岩体软弱和硬性结构面及岩体本身的现场原位抗剪断试验成本高，试验条件困难，一个工程中做的试验数据往往相当少(中、小工程一般不做上述试验)，再加上分组法一组的试块数要求不少于4块，工程可得到的分组摩擦系数与凝聚力的样本数是少上加少(一般为2～5组)，样本数往往难于满足统计计算精度要求。

(2)试块法：由试块抗剪试验数据——剪切面正应力和剪应力直接计算摩擦系数与凝聚力的均值、方差等统计参数的方法。因一个试块就是一个样本，相对于传统分组法，该法的最大优点是扩增了抗剪强度参数统计分析的样本数。

目前该法主要有直接或基本套用数理统计学中一元线性回归公式的线性回归法(或称点群中心法、最小二乘法)、简化相关法(或称τ平均法)等。国内有不少文献是采用线性回归法来进行岩基抗剪断强度参数的统计分析的。经研究可发现，采用线性回归法来求摩擦系数与凝聚力的均值不存在问题，但该法的摩擦系数与凝聚力的方差计算公式则是错误的：当样本容量m较小时，该方法看似能得到一个较为合理的摩擦系数与凝聚力方差，但随着m增大，摩擦系数与凝聚力的方差都将趋近于0，这显然是不正确的。该方法的问题出在错误地把摩擦系数和凝聚力就等同于一元线性回归方程中的两个回归系数，再引用数理统计线性回归方程关于两个回归系数的估值误差方差来计算摩擦系数和凝聚力的方差，将有限样本导致的统计不确定性误当成抗剪强度指标的真实不确定性看待。对此，有学者考虑被预测值自身的方差，采用Lumb的加权线性回归提出一种改进方法，但该方法本质上仍属线性回归方法，没有改变把摩擦系数和凝聚力当成线性回归方程中两个是确定量的回归系数的不合理问题，不能给出摩擦系数和凝聚力的真实相关系数计算式，方法中权重设定方式的合理性也有待进一步的分析研究。

简化相关法，又称τ平均法，是国内港口工程规范方法，广泛应用于地基土抗剪强度指标的统计分析。根据简化相关法计算的摩擦系数与凝聚力均值与传统分组法接近，而方差则是在假设摩擦系数与凝聚力相互独立的基础上通过线性回归得到的，该法不能考虑摩擦系数与凝聚力的相关性问题。由于简化相关法是通过一系列不同正应力下求得的试块抗剪强度方差来回归计算摩擦系数与凝聚力的方差的，亦即需要计算各级压力下试块抗剪强度的标淮差,要求的试验试块较多，不适用于水电工程原位岩基抗剪试块少，不能给出多个正应力下的试块抗剪强度方差的情况。简化相关法理论依据不完备，实用时可能得到不合理结果，不宜在工程中推广使用或需进行修正。

针对水电工程抗剪试验特点，有学者基于数理统计理论提出了一种新的抗剪强度参数统计计算方法，该法在推导过程中采用了摩擦系数与凝聚力相互独立的假定，但没有考虑摩擦系数与凝聚力方差的无偏估计问题。

因此，迄今在水电等工程中，对于常规摩擦系数和凝聚力的统计特性分析，仍缺乏一种既合理，可以考虑摩擦系数与凝聚力的相关性，又简单实用的试块法计算公式。

(3)可靠度分析法：该法采用最大似然准则，认为单个抗剪试块的摩擦系数与凝聚力除满足莫尔—库伦准则外，还补充一个假定：认为试块的摩擦系数与凝聚力为出现概率最大的数值。如此即有两个求解摩擦系数与凝聚力的条件，按可靠度方法就可计算出单个抗剪试块的摩擦系数与凝聚力。由概率论随机变量抽样方法来看，对于一个随机变量的一次抽样值，尽管从大样上讲要满足其总概率分布值，但单次抽样值显然是充满着随机性的，不能保证该抽样值的出现概率最大。因此，抗剪强度参数的可靠度分析法采用最大似然准则假定是否合理值得商榷,相应所得结果并非一定就是试块本身的摩擦系数与凝聚力。

为克服传统分组法不能反映各组内试块抗剪强度的离散性和样本数较少等缺点，扩增统计样本数，解决过去已有试块法存在的问题，本发明将基于概率统计理论提出新的抗剪强度参数统计分析计算方法。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明为解决现有技术中存在的问题采用的技术方案如下：

一种岩基抗剪强度的统计参数计算方法，其特征在于：考虑抗剪强度参数摩擦系数f′和凝聚力c′的相关性，从概率数理统计理论方面推导提出由试块的正应力和抗剪强度试验数据(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)直接计算f′、c′的均值、方差和相关系数的公式；

所述的摩擦系数f′和凝聚力c′的均值的计算公式如下：

材料抗剪强度τ的平均情况由式反映，应用最小二乘法，由试块抗剪强度τ_i与平均抗剪强度的偏差的平方和S最小，即：

或

求得均值的计算公式分别为：

式中：经验证，均分别为的无偏估计，故采用上式计算摩擦系数f′和凝聚力c′的均值

所述的摩擦系数f′和凝聚力c′的方差的计算公式如下：

将试块试验数据依正应力σ_i的大小从小到大排列为(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)，基于置信度均衡原则，将试验数据分成数目大致相同的三段样本，三段样本之间样本数值差不超过1，即第一段为(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_m,τ_m)，第二段为(σ_p,τ_p)，(σ_p+1,τ_p+1)，…，(σ_q,τ_q)，第三段为(σ_r,τ_r)，(σ_r+1,τ_r+1)，…，(σ_n,τ_n)，其中p＝m+1，r＝q+1，式中表示取的整数部分为值；

设第一段子样本各试块的抗剪强度τ_i与平均抗剪强度估计的离差的平方和为Dτ_I，即：

Dτ_I的数学期望E(Dτ_I)为

根据概率论，与f′、c′的方差和协方差σ_f′c′存在以下关系：

将上三式代入式(6)，可得

经推导，由第二段、第三段子样本可分别得

联立式(10)、(11)、(12)，可得求解f′、c′的方差和协方差σ_f′c′的估值计算公式为：

其中：

式中p＝m+1，r＝q+1，其中表示取的整数部分为值。

所述的摩擦系数f′和凝聚力c′的相关系数ρ_f′c′为：

由式(13)、(17)退化推导得到f′、c′无相关模式下的方差计算公式为：

其中：

p＝m+1，其中表示取的整数部分为值，σ_f′、σ_c′分别是的开方值，即摩擦系数f′和凝聚力c′的均方差。

本发明具有如下优点：

本发明为克服传统分组法不能反映各组内试块抗剪强度的离散性和分组样本数少等缺点，扩增统计样本数，解决过去已有试块法存在的问题，本文基于概率数理统计理论，推导提出了由试块抗剪试验数据(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)直接计算f′、c′统计参数——均值、方差和相关系数的新公式；

本发明中的计算方法考虑到待求的抗剪强度参数f′、c′和方差和相关系数ρ_f′c′有三个，首先将试验依正应力从小到大均衡分为三段，通过均衡分段试验数据，并利用概率论推导各分段试验数据抗剪强度的偏差平方和与抗剪强度参数f′、c′的方差和协方差的关系式，然后联立这三个关系式创建了一种新的抗剪强度参数f′、c′和二阶矩，亦即得到f′、c′的方差、协方差的理论计算公式。

具体实施方式

下面通过实施例，对本发明的技术方案作进一步具体的说明，为作比较分析，本实施例引入多组现有计算分析抗剪断强度参数f′、c′的统计参数的公式：

1、高大钊、光耀华论文发表公式：引用数理统计一元线性回归公式提出的一种统计方法，根据Mohr-Coulomb准则，该方法的岩基抗剪强度τ按一元线性方程回归，即

τ_i＝f′σ_i+c′+ε (i＝1，2，…，n) (19)

式中：f′、c′在该方法中被认为是一元线性回归方程的回归系数；n为抗剪试块数；(σ_i,τ_i)为第i试块的正应力与抗剪强度；ε为随机扰动量，ε～N(0,σ²)，σ²为ε的方差。

依据数理统计一元线性回归理论，该方法的计算公式为：

一元线性回归方程标准差σ：

f′、c′的均值

式中：

f′、c′的标准差σ_f′、σ_c′：

f′、c′的相关系数ρ_f′c′：

该公式简单地把f′、c′当成是一元线性回归方程中的回归系数，根据数理统计学，没有把f′、c′看作是随机变量，这样当该方法引用数理统计线性回归方程关于两个回归系数的估值误差方差来计算f′、c′的方差时，就会导致当抗剪试块数n→∞时f′、c′的方差会趋于零，而实际上真实的摩擦系数和凝聚力的离散亦即方差是客观存在的，n→∞时f′、c′的方差趋于零显然是不合理的。

2、赖国伟论文发表公式：该公式假定f′、c′相关独立，根据数理统计学推导了由抗剪试块试验数据直接计算f′、c′的均值和方差的公式，相关计算公式为：

f′、c′的均值

式中：

将试块样本(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)依正应力σ_i从小到大排列，相应f′、c′的方差计算公式为：

式中

其中p＝n-m，其中表示取的整数部为值。

本实施例中采用随机模拟方法，对上述直接用试块试验数据计算抗剪强度参数统计特征量的各公式以及本专利公式进行计算机虚拟测评。

该随机模拟方法测评的基本原理为：假定已知摩擦系数与凝聚力的概率分布及相关概率分布参数(如均值、方差等)，用随机抽样方法抽取摩擦系数与凝聚力的一系列样本；再由摩擦系数与凝聚力样本构造一系列虚拟试块抗剪试验数据(σ_i,τ_i)(i＝1，2，…，n)；然后，再用上述各试块统计方法计算摩擦系数与凝聚力的均值、方差等统计特征量；最后，通过比较摩擦系数与凝聚力的模拟计算均值、方差等与原设定理论值的差别，进行各统计方法的点评。

不失一般性，构造一随机模拟测评算例为：已知摩擦系数服从正态分布，凝聚力服从对数正态分布，其中摩擦系数均值摩擦系数变异系数δ_f′＝0.279，凝聚力均值凝聚力变异系数δ_c′＝2.344，并且f′、c′不相关。随机模拟测评步骤如下：

(1)确定摩擦系数与凝聚力的抽样公式。根据概率论，分别服从正态分布和对数正态分布的摩擦系数与凝聚力的抽样公式为：

c′＝e^y (31)

式中：u₁，u₂，u₃，u₄分别为四个相互独立的[0,1]区间上均匀分布的随机数；

(2)利用式(30)、式(31)分别进行摩擦系数与凝聚力的n次抽样，得(f_i′，c_i′)(i＝1，2，…，n)，同时在正应力试验范围内取n次正应力值σ_i；

(3)根据蒙特卡洛(Mohr-Coulomb)准则，可得一系列虚拟试块抗剪试验数据(σ_i,τ_i)(i＝1，2，…，n)，其中τ_i＝f_i′σ_i+c_i′；

(4)由虚拟试块抗剪试验数据(σ_i,τ_i)(i＝1，2，…，n)，按各上述各试块统计方法计算摩擦系数与凝聚力的均值、方差等统计特征量；

(5)比较摩擦系数与凝聚力的模拟计算均值、方差等与原设定理论值(即算例设定值)，进行各统计方法的点评；

由于本实施例的凝聚力变异系数设定较大，为了保证凝聚力本身的抽样均值、方差接近理论值，本次算例进行了n＝20万次的摩擦系数与凝聚力抽样。抽得的摩擦系数与凝聚力的样本均值和变异系数分别为0.2270，0.0311和0.2789，2.2922，样本f′、c′的相关系数＝0.0011，表明f′、c′的样本统计特征量接近原理论设定值，以及可以进行后面的虚拟试块抗剪试验数据(σ_i,τ_i)(i＝1，2，…，n)的生成。

由虚拟试块抗剪试验数据(σ_i,τ_i)(i＝1，2，…，n)，应用各试块统计方法计算的摩擦系数与凝聚力的均值、方差等统计特征量见表1，由表可见：

(1)各试块统计方法公式计算的摩擦系数与凝聚力均值相同，且非常接近原理论设定值；

(2)对于摩擦系数与凝聚力的变异系数，按“本专利新公式---无相关模式公式”和“赖国伟论文公式”得到的模拟计算值与原理论设定值基本一致，而按“高大钊、光耀华论文公式”得到的模拟计算值极小，与原理论设定值相差甚远，计算结果不可用。“本专利新公式---考虑相关模式公式”公式因采用f′、c′相关模式计算，抗剪强度的部分离散被f′、c′相关系数所分摊，故摩擦系数与凝聚力的变异系数模拟计算值与原理论设定值有一定差别，摩擦系数变异系数多0.1，凝聚力变异系数多0.3。

(3)从数学公式后面的物理真实背景来看，“本专利新公式---考虑相关模式公式”与“本专利新公式---无相关模式公式”和“赖国伟论文公式”计算的是岩基试块或者是岩基一点处的摩擦系数与凝聚力的均值、方差等统计参数；“高大钊、光耀华论文公式”计算的方差则是所有试块平均抗剪强度参数——“回归系数f′、c′”因样本数有限导致的计算误差方差，而不是材料因变异产生的真实方差；“传统分组法”计算的方差则为小组抗剪强度平均值，或者说是小组试块所在岩基区域平均抗剪强度的两个参数“f′、c′”的估值方差。

表1

为克服传统分组法不能反映各组内试块抗剪强度的离散性和分组样本数少等缺点，扩增统计样本数，解决过去已有试块法存在的问题，本文基于概率数理统计理论，推导提出了由试块抗剪试验数据(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)直接计算f′、c′统计参数的新公式。通过计算机随机模拟方法的测评，从理论和数值上论证了本文新计算公式的正确性。

本发明的保护范围并不限于上述的实施例，显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变形而不脱离本发明的范围和精神。倘若这些改动和变形属于本发明权利要求及其等同技术的范围内，则本发明的意图也包含这些改动和变形在内。

Claims (3)

1.一种岩基抗剪强度的统计参数计算方法，其特征在于：考虑抗剪强度参数摩擦系数f′和凝聚力c′的相关性，从概率数理统计理论方面推导提出由试块的正应力和抗剪强度试验数据(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)直接计算f′、c′的均值、方差和相关系数的公式；

所述的摩擦系数f′和凝聚力c′的均值的计算公式如下：

材料抗剪强度τ的平均情况由式反映，应用最小二乘法，由试块抗剪强度τ_i与平均抗剪强度的偏差的平方和S最小，即：

$S=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\π}}{\Σ}}{({\mathrm{\τ}}_i-{\stackrel{\‾}{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-{\stackrel{-}{c^{\′}}}_i)}^2=min---\left(1\right)$

或 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂S}{\∂\stackrel{\‾}{f}}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}({\mathrm{\τ}}_i-{\stackrel{\‾}{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\stackrel{-}{c^{\′}}){\mathrm{\σ}}_i=0\\ \frac{\∂S}{\∂\stackrel{\‾}{c}}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}({\mathrm{\τ}}_i-{\stackrel{\‾}{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\stackrel{-}{c^{\′}})=0\end{array}\right.---\left(2\right)$ 求得均值的计算公式分别为：

${\hat{f}}^{\′}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i{\mathrm{\τ}}_i-n\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^2-\stackrel{-}{{\mathrm{\σ}}^2}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{d}_i{\mathrm{\τ}}_i---\left(3\right)$

$\widehat{c^{\′}}=\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}-{\hat{f}}^{\′}\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}---\left(4\right)$

式中： 均分别为的无偏估计，故采用上式计算摩擦系数f′和凝聚力c′的均值

2.如权利要求1所述的一种岩基抗剪强度的统计参数计算方法，其特征在于：所述的摩擦系数f′和凝聚力c′的方差的计算公式如下：

将试块试验数据依正应力σ_i的大小从小到大排列为(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_n,τ_n)，基于置信度均衡原则，将试验数据分成数目大致相同的三段样本，三段样本之间样本数值差不超过1，即第一段为(σ₁,τ₁)，(σ₂,τ₂)，…，(σ_m,τ_m)，第二段为(σ_p,τ_p)，(σ_p+1,τ_p+1)，…，(σ_q,τ_q)，第三段为(σ_r,τ_r)，(σ_r+1,τ_r+1)，…，(σ_n,τ_n)，其中p＝m+1，r＝q+1，式中表示取的整数部分为值；

设第一段子样本各试块的抗剪强度τ_i与平均抗剪强度估计的离差的平方和为Dτ_I，即：

$\begin{array}{c}{\mathrm{D\τ}}_I=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{({\mathrm{\τ}}_i-{\hat{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\widehat{c^{\′}})}^2\\ =\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\[{({f_i}^{\′}-{\hat{f}}^{\′})}^2{{\mathrm{\σ}}_i}^2+{({c_i}^{\′}-\widehat{c^{\′}})}^2+2(f_i^{\′}-{\hat{f}}^{\′})({c_i}^{\′}-\widehat{c^{\′}}){\mathrm{\σ}}_i\]\end{array}---\left(5\right)$

Dτ_I的数学期望E(Dτ_I)为

$E\left({\mathrm{D\τ}}_1\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\{E{({f_i}^{\′}-{\hat{f}}^{\′})}^2{{\mathrm{\σ}}_i}^2+E{({c_i}^{\′}-\widehat{c^{\′}})}^2+2E\[({f_i}^{\′}-{\hat{f}}^{\′})({c_i}^{\′}-\widehat{c^{\′}})\]{\mathrm{\σ}}_i\}---\left(6\right)$

根据概率论，与f′、c′的方差和协方差σ_f′c′存在以下关系：

$E{({f_i}^{\′}-{\hat{f}}^{\′})}^2=\frac{m-1}{m}{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}^2---\left(7\right)$

$E{({c_i}^{\′}-\widehat{c^{\′}})}^2=\frac{m-1}{m}{\mathrm{\σ}}_{c^{\′}}^2---\left(8\right)$

$E\[({f_i}^{\′}-{\hat{f}}^{\′})({c_i}^{\′}-\widehat{c^{\′}})\]=\frac{m-1}{m}{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}{c}^{\′}}---\left(9\right)$

将上三式代入式(6)，可得

$E\left({\mathrm{D\τ}}_1\right)=\frac{m-1}{m}(\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{{\mathrm{\σ}}_i}^2\·{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}^2+{\mathrm{m\σ}}_{c^{\′}}^2+2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i\·{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}{c}^{\′}})---\left(10\right)$

经推导，由第二段、第三段子样本可分别得

$E\left({\mathrm{D\τ}}_{II}\right)=\frac{q-p}{q-p+1}(\underset{i=p}{\overset{q}{\Σ}}{{\mathrm{\σ}}_i}^2\·{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}^2+(q-p+){\mathrm{\σ}}_{c^{\′}}^2+2\underset{i=p}{\overset{q}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i\·{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}{c}^{\′}})---\left(11\right)$

$E\left({\mathrm{D\τ}}_{III}\right)=\frac{n-r}{n-r+}(\underset{i=r}{\overset{n}{\Σ}}{{\mathrm{\σ}}_i}^2\·{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}^2+(n-r+1){\mathrm{\σ}}_{c^{\′}}^2+2\underset{i=r}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i\·{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}{c}^{\′}})---\left(12\right)$

联立式(10)、(11)、(12)，可得求解f′、c′的方差和协方差σ_f′c′的估值计算公式为：

$\left[\begin{array}{ccc}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^2& m& 2\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i\\ \underset{i=p}{\overset{q}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^2& q-p+1& 2\underset{i=p}{\overset{q}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i\\ \underset{i=r}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^2& n-r+1& \underset{i=r}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{c^{\′}}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{f^{\′}{c}^{\′}}^2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\frac{m}{m-1}{\mathrm{D\τ}}_1\\ \frac{q-p+1}{m-1}{\mathrm{D\τ}}_2\\ \frac{n-r+1}{n-r}{\mathrm{D\τ}}_3\end{array}\right\}---\left(13\right)$

其中：

${\mathrm{D\τ}}_1=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{({\mathrm{\τ}}_i-{\hat{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\widehat{c^{\′}})}^2---\left(14\right)$

${\mathrm{D\τ}}_2=\underset{i=p}{\overset{q}{\Σ}}{({\mathrm{\τ}}_i-{\hat{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\widehat{c^{\′}})}^2---\left(15\right)$

${\mathrm{D\τ}}_3=\underset{i=r}{\overset{n}{\Σ}}{({\mathrm{\τ}}_i-{\hat{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\widehat{c^{\′}})}^2---\left(16\right)$

式中p＝m+1，r＝q+1，其中表示取的整数部分为值。

3.如权利要求2所述的一种岩基抗剪强度的统计参数计算方法，其特征在于：所述的摩擦系数f′和凝聚力c′的相关系数ρ_f′c′为：

${\mathrm{\ρ}}_{f^{\′}{c}^{\′}}=\frac{{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}{c}^{\′}}}{{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}{\mathrm{\σ}}_{c^{\′}}}---\left(17\right)$

由式(13)、(17)退化推导得到f′、c′无相关模式下的方差计算公式为：

$\left[\begin{array}{cc}\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^2& m\\ \underset{i=p}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^2& n-p+1\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{f^{\′}}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{c^{\′}}^2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\frac{m}{m-1}{\mathrm{D\τ}}_1\\ \frac{n-p+1}{n-p}{\mathrm{D\τ}}_2\end{array}\right\}---\left(18\right)$

其中：

${\mathrm{D\τ}}_2=\underset{i=p}{\overset{n}{\Σ}}{({\mathrm{\τ}}_i-{\hat{f}}^{\′}{\mathrm{\σ}}_i-\widehat{c^{\′}})}^2$

p＝m+1，其中表示取的整数部分为值。