CN1068763A - 连铸机液芯连续弯曲段辊列曲线设计 - Google Patents

Abstract

本发明系金属热加工工艺。

当前国内外广泛采用的连铸机带液芯坯弯曲或 矫直段辊列曲线多为多点逐步弯曲。

本发明的目的就在以不同半径为基圆，作出各基 圆渐开线弧段所组成的渐开线曲线作为液芯连续弯 曲段辊列曲线。该曲线有关变量可由一系列方程确 定。可以证明，曲线曲率变化连续，铸坯弯曲时应变 变化均匀，尤其是显著增大铸坯弯曲初始段曲率半 径，更能有效的防止铸坯产生裂纹及由此导致的漏钢 事故。

Description

连铸机液芯连续弯曲段辊列曲线设计

本发明系金属热加工工艺。

为了降低铸机高度，提高拉坯速度，目前国内外所广泛采用的是通过在铸坯两侧安装多对辊列与铸坯接触点所成曲线(或称辊列曲线)，来使经过直立 结晶器结晶后的带液芯坯实现弯曲或矫直的。也就是说铸坯的弯曲或矫直曲线是由辊列曲线的设计予以控制并与辊列曲线保持一致。由于带液芯坯的弯曲或矫直所产生的巨大应变，常常导致带液芯坯固液界面柱状晶间裂纹，故寻求铸坯理想的弯曲或矫直曲线即寻求辊列曲线的理想设计方案就成为连续铸锭工艺的重要研究课题。

当前国内外所采用的主要有两种设计方案，即多点(或多辊)逐步弯曲或多点(多辊)连续弯曲。

实验表明〔见Tacke，K-H：Ironmaking Steelmaking，12(1985)。87-94；vaterlaus，A°Wolf，M：Onstraand deformation and Internal Crackformation 7th Conzast Technology Convention，Zurioh 1984〕，在金属弯曲过程中，凡是曲率连续变化，曲率变化速率保持恒定时，则相应的应变变化和应变速率也就基本上保持连续和恒定。由此可见，多点逐步弯曲虽然优于一点或两点弯曲，但因其曲率变化呈非连续的阶梯状，其曲率变化速率亦非恒定所导致的应变变化和应变速率的非连续性和非恒定性很难避免柱状晶间裂纹的产生。日本某钢厂为鞍山钢铁公司设计的连铸机带液芯坯的弯曲或矫直设计就属此种(见图1)。图1为连铸机多点逐步弯曲段辊列曲线示意图。图中7，8，9，10，11代表使铸坯弯曲的辊列；P为弯曲段辊列曲线即铸坯弯曲或矫直的运行曲线；Q₁′、Q₂′、Q₃′、Q₄′、Q₅′为铸坯运行曲线不同弧段的曲率半径，具体数值为：

Q₅′＝49421mm(7-8辊间)

Q₄′＝24328mm(8-9辊间)

Q₃′＝15971mm(9-10辊间)

Q₂′＝11798mm(10-11辊间)

Q₁′＝9300mm(11-…辊间)图2(a)、(b)分别表示该设计曲线的曲率

与曲率变化速率随运行弧线S变化的示意图。多点连续弯曲可保证带液芯坯的应变变化连续，控制应变变化速率基本恒定，而避免柱状晶间裂纹，但因技术保密，其设计方案至今没有公诸于世，致使大多数国家仍然采用多点逐步弯曲法。

本发明的目的就在于寻求连铸机带液芯坯多点连续弯曲或矫直段的辊列曲线设计方案。

该方案的中心内容是作出以不同半径Q_i为基圆的相应渐开线e_i等距线弧段所组成的等距线曲线L(见图3)；建立各基圆圆心坐标及各基圆渐开线不同等距线e_i弧段所形成的等距线曲线L的方程(见图3～7)；证明L连续，即证明L为带液芯坯运行弧线为多点连续弯曲或矫直曲线(见图8)；根据工艺要求确定L曲线的曲率半径。具体步骤是：

1.作出各基圆渐开线不同等距线e_i弧段所形成的等距线曲线L(见图3)。

图中P_i为不同半径Q₁、Q₂……Q_i所形成的多点逐步变曲曲线；L为以Q₁、Q₂……Q_i为半径所成基圆1、2……i的渐开线等距线弧段e_i所形成的等距线曲线。

如图3所示，以O₁为圆心，以Q₁＝O₁M₁为半径作基圆1，在基圆1上转动初始角β，过M₁作基圆1的切线M₁A₁，使M₁A₁＝R₁＝

R₁即为等距线弧段e₁在A₁处的曲线半径。在基圆1上再逆时针转动α₁角至M₂，过M₂作圆的切线M₂A₂，使R₂＝M₂A₂＝因

故

            R₂＝Q₁α₁+R₁在点M₁沿基圆1移动到M₂的过程中，切线端点A₁描出弧段

便是基圆1渐开线的等距线上的一段弧段e₁。

在O₁M₂的延长线上取一点O₂，使O₂M₂＝Q₂，以O₂为圆心，以Q₂为半径，作基圆2，这时M₂A₂也是基圆2的切线。当M₂沿基圆2移至M₃时，相应的切线端点A₂描出弧段 则为基圆2的渐开线等距线的一段弧段e₂，并有

依此类推，便能得到

……A_iA_i+1等一系列等距线弧段l_i所构成的多点弯曲曲线L，并有：

           R_i+1＝Q_iα_i+R_i                (1)

2.建立渐开线等距线曲线L的方程

(1)一个基圆渐开线等距线弧段e的方程

图4中O′x″y″和O′x′y′为基圆u转动β角前后的坐标系，Oxy为O′x′y′平移到O(a，b)点的坐标系。e′为基圆u的渐开线，e为e′的等距线弧段。

如图4，当基圆u逆时针转动t角，半径O′M＝Q时，根据圆的渐开线等距线作图原理和微分几何可得渐开线e′的方程为：

            x″＝Q(cost+tsint)

            y″＝Q(sint-tcost)沿渐开线e′各点法线方向向外延伸一段R′(常量)，便获得渐开线e′的等距线弧段e的方程：

     x″＝Q(cost+tsint)+R′sint

                                            (2)

     y″＝Q(sint-tcost)-R′cost

将坐标系O′x″y″沿顺时针旋转β角得O′x″y′。此时新旧坐标之间的关系为：

            x′＝x″cosβ-y″sinβ

            y′＝x″sinβ+y″cosβ。

再将坐标原点O′平移至点O(a，b)，得坐标系Oxy，它与O′x′y′的关系为：

                    x＝x′-a

                    y＝y′-b，

所以，将坐标系O′x″y″进行先旋转后平移的变换之后，在坐标系Oxy中等距线e的方程变为：

x＝Q〔cos(β+t)+tsin(β+t)〕+R′sin(β+t)-a

y＝Q〔sin(β+t)-tcos(β+t)〕-R′cos(β+t)-b

                                         (3)

(2)求等距线的弧长

令图4中弧长

对(2)式微分可得：

              dx″＝(Qt+R′)cost dt

                                         (4)

              dy″＝(Qt+R′)sint dt

于是       ds²＝dx″²+dy″²＝(Qt+R′)²dt² $S={\∫}_0^t(\mathrm{Qt}+t)\mathrm{dt}=\frac{1}{2}{\mathrm{Qt}}^2+R^{\′}t---\left(5\right)$

(3)确定各等距线e的切线方向

确定等距线在A点的切线AB方向即确定AB与x″轴的夹角α(见图4)。由(4)式可得： $\mathrm{tg\α}=\frac{{\mathrm{dy}}^{\′\′}}{{\mathrm{dx}}^{\′\′}}=\frac{(\mathrm{Qt}+R^{\′})\sin \mathrm{tdt}}{(\mathrm{Qt}+R^{\′})\cos \mathrm{tdt}}=\mathrm{tgt},$

α＝t即  O′M//AB                                      (6)

(4)确定各基圆圆心坐标

如图3所示，设曲线L由

等i-1个弧段组成。过A₁、A₂……A_i作L曲线的切线A₁B₁、A₂B₂……A_iB_i。由(6)式可知O₁M₁//A₁B₁，O₂M₂//A₂B₂……O_iM_i//A_iB_i，用表示A₁B₁与A_iB_i的夹角，由平面几何可得：

             ＝α₁+α₂+……+α_i       (7)

以A₁为原点，平行A_iB_i的直线为y轴，作直角坐标系(见图3)。现在求O₁、O₂……O_i的坐标。

如图5所示(图中符号含义如前图)，设O₁的坐标为(a₁，b₁)，令β₁＝φ则：

         a₁＝A₁C₁＝-Q₁cosφ-R₁sinφ

         b₁＝O₁C₁＝-Q₁sinφ+R₁cosφ以

代入上式，得到：

        a₁＝-Q₁sin-R₁cos

        b₁＝-Q₁cos+R₁sin

如图6所示(图中符号含义如前图)，设O₂的坐标为(a₂、b₂)，当β₁＝φ时，则β₂＝β₁+α₁＝φ+α₁，β₃＝β₂+α₂＝φ+α₁+α₂……β_i＝β_i-1+α_i-1＝φ+α₁+α₂+…+α_i-1。

             a₂＝A₁C₂＝A₁C₁+C₁C₂，因为             -C₁C₂＝O₁O₂cosβ₂而               A₁C₁＝a₁，

             O₁O₂＝Q₂-Q₁

故               a₂＝a₁-(Q₂-Q₁)sin(-α₁)同理             b₂＝O₂C₂＝b₁-(Q₂-Q₁)cos(-α₁)

依此类推，设O_i的坐标为(a_i、b_i)，以同样方法可得O_i的坐标为：

a_i＝a_i-1-(Q_i-Q_i-1)sin(-α₁-α₂…-α_i-1)

b_i＝b_i-1-(Q_i-Q_i-1)cos(-α₁-α₂…-α_i-1)

                                 (8)

如果将原点平移到O_i处，则A₁的坐标为(-a_i、-b_i)。(5)建立由各基圆渐开线的等距线弧段e所组成的等距线曲线L的方程(见图7)。

对照图7(图中符号含义同前图)与图4，引用方程(3)，可直接得到L曲线上任一弧段如

在坐标系A₁xy的方程：

  x＝Q_i〔cos(β_i+t)+tsin(β_i+t))+R_i′sin(β_i+t)+a_iy＝Q_i〔sin(β_i+t)+tcos(β_i+t)〕-R_i′sin(β_i+t)+b_i式中                O≤t≤α_i

以 及β＝φ+α₁+α₂+……+α_i-1代入上式便得到曲线L各弧段在坐标系A₁xy的方程

x＝Q_i〔sin(-α₁-α₂-……-α_i-1-t)+tcos

   (-α₁-α₂-……-α_i-1-t)〕+

   R_i′cos(-α₁-α₂-……-α_i-1-t)+a_i

y＝Q_i〔cos(-α₁-α₂-……-α_i-1-t)-tsin

   (-α₁-α₂-……-α_i-1-t)〕-

   R_i′sin(-α₁-α₂-……-α_i-1-t)+b_i     (9)式中                  O≤t≤α_i

以上方程(2)至(9)中所有带(′)的R即R′，R₁′，R₂′……，R_i′均指各基圆渐开线延伸为等距线时相应的延伸量。

3.证明设计曲线L连续

利用曲线L方程或曲率半径的几何意义可求出L上点A处的曲率半径(见图8)为：

        R＝Q_it+R_i，O≤t≤α_i。

由R的表达式或几何含义可以看出R的变化是连续的。故L的曲率 $\frac{1}{R}=\frac{1}{Q_{i}t+R_i},0\≤t\≤{\mathrm{\α}}_i$ 也是连续的。

4.曲线L各参数的计算

为使本设计方案在应用时获得更为理想的效果，发明人还根据铸坯厚度h及铸坯因曲率I/R改变时铸坯表面产生的弯曲变形(％)K对R予以限制，即令 $K=D(\frac{1}{R_i}-\frac{1}{R_{i+1}})---\left(10\right)$ 式中： $D=100\×\frac{h}{2}.$ 由(10)式可得 $R_{i+1}=\frac{{\mathrm{DR}}_i}{D-{\mathrm{KR}}_i}---\left(11\right)$

当给定K、D、R₁时，重复利用(11)式，便可求出一系列曲率半径。因D、K、R_i、R_i+1均为正值，故(11)式分母应为正值，即D-KR₁＞O， $R_i<\frac{D}{K}---\left(12\right)$

当某个R_i+1不满足(12)式要求时，便取到R_i为止。此时可下调K值(例如使 $K_1=\frac{K}{2}$ )，再代入(11)式求R_i+1。若再发生不满足(12)式要求，就再次下调K值。一般来说，只有靠近直立结晶器的直线段最后的1-2段才可能出现此种情况。因为此段铸坯结晶外壳较薄，容易产生柱状晶间裂纹，同时支撑辊较细，轴承易超负荷。本发明人以(10)式予以控制，在靠近直线段最后1-2段显著加大曲率半径减小弯曲变形可进一步保证获得理想的连铸效果。

根据公式(5)、(1)、(11)还可推出： $Q_i=\frac{{{\mathrm{KR}}_i}^3(2D-{\mathrm{KR}}_i)}{{2S}_i{(D-{\mathrm{KR}}_i)}^2}---\left(13\right)$ ${\mathrm{\&alpha;}}_i=\frac{2S_i(D-{\mathrm{KR}}_i)}{R_i(2D-{\mathrm{KR}}_i)}---\left(14\right)$ 式中D、K为已知，S_i为给定的满足方程(10)时的多点连续曲线所需的最少支撑辊列相应的弧长，R_i由(11)式确定。此时，由(13)、(14)式可求出第i个基圆半径Q_i和转角α_i。

5.实例计算

以日本神户制钢为我国鞍山钢铁公司设计的连铸机为例： $D=100\&times;\frac{230}{2}\mathrm{mm},$ S₁＝275mm，S_i＝S₁-5(i-1)，R₁＝9300mm，K＝0.2228035。为便于计算，将坐标原点A₁移至M₁处(如图3所示)，经电算机计算，结果如表1。由计算机绘制的多点连续弯曲曲线如图9，计算机绘制的曲率变化如图10，由图10可以看出L曲线曲率1/R随弧线S的变化接近直线。

计算结果表明，采用6辊支撑的6点连续弯曲，不单因其连续弯曲尤于逐步弯曲，而且因采用6点连续弯曲替代日本设计的5点逐步弯曲大大缓解了弯曲初始段支撑辊列轴承的超负荷运转；还因将7辊处的曲率半径从原来的49421mm增至93845.41mm从而大大减少了因柱状晶间裂纹导致的漏钢事故。

以上计算取K＝0.222805，

          K₁＝0.1114017，

          K₂＝0.05570086。累积转角为：4度26分34秒。

将本例题与日本某钢厂为鞍山钢铁公司设计的板坯连铸机比较，其曲率对应值如表2。

表1

弧长S′mm	曲率半径Rimm	基圆半径Qimm	转角αi	曲率曲径终点坐标mmx                     y
						275270265260255250	9300.0011343.9614539.4420241.1833300.0093845.41	76718.81153166.40374169.801344586.0015094260.002113653000.00	1度31分35秒1度11分43秒0度52分23秒0度33分23秒0度13分47秒0度1分31秒	9272.059289.589300.399306.229308.699309.25	-720.43-446.00-176.2288.75350.00640.00

表2

本例题		鞍钢公司板坯连铸机
				辊列位置	多点连续弯曲Rimm	辊列位置	多点逐步弯曲Qi′mm
789101112	93845.413330020241.1814539.4411343.969300	7-88-99-1010-1111以后	494212432815971117989300

Claims (3)

1.一种连铸机带液芯坯多点连续弯曲或矫直段的辊列曲线设计方法，其特征在于它是以不同半径Q_i为基圆所作的相应渐开线e_i′的等距线弧段e_i所组成的等距线L曲线，所说的各基圆圆心O_i(a_i，b_i)的坐标由方程(8)

  a_i＝a_i-1-(Q_i-Q_i-1)sin(-α₁-α₂…-α_i-1)

  b_i＝b_i-1-(Q_i-Q_i-1)cos(-α₁-α₂……-α_i-1)予以确定，相应的基圆半径Q_i和转角α_i分别由(13)式 $Q_i=\frac{{{\mathrm{KR}}_i}^3(2D-{\mathrm{KR}}_i)}{2S_i{(D-{\mathrm{KR}}_i)}^2}$ 和(14)式 ${\mathrm{\&alpha;}}_i=\frac{2S_i(D-{\mathrm{KR}}_i)}{R_i(2D-{\mathrm{KR}}_i)}$ 予以确定；所说的等距线曲线L的坐标由方程(9)

x＝Q_i〔sin(-α₁-α_2-…-α_i-1-t)+tcos(-α₁-α₂

 -…-α_i-1-t))+R_i′cos (-α₁-α₂-…-α_i-1-t)+a_i

y＝Q_i〔cos(-α₁-α₂-…-α_i-1-t)-tsin(-α₁-α₂

 -…-α_i-1-t)〕R_i′sin(-α₁-α₂-…-α_i-1-t)+b_i予以确定，L的曲率半径由(11)式 $R_{i+1}=\frac{{\mathrm{DR}}_i}{D-{\mathrm{KR}}_i}$ 予以确定

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于所说L的曲率半径要满足(12)式

当R_i+1不满足(12)式时，则取至R_i为止，此时可下调K值，重新代入(11)式求R_i+1，并依此类推。

3.如权利要求1、2所述的方法，其特征在于在辊列曲线L初始弯曲段增加一个支撑辊，以6辊支撑的6点连续弯曲替代相同连铸机的5辊支撑的5点逐步弯曲。

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