CN106875020A - 对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，建立竞争回收商竞争回收模式定价策略博弈模型；然后利用逆向归纳法求解该博弈模型的Nash均衡解，在满足Nash均衡解存在且唯一和市场需求函数非负的约束条件下，得出了制造商与回收商利益相关者共赢的条件及方案，为制造商与回收商定价策略的设定以及政府建立关于促进我国电子产品回收的法律法规提供了理论依据。在废旧电子产品逆向供应链定价策略的研究中引入了对称制造商和竞争回收商的概念，从不同的角度研究了逆向供应链的定价策略，更加符合当前逆向供应链系统的发展。

Description

对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法

技术领域

本发明涉及电子产品回收领域，更具体地说，尤其涉及一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法。

背景技术

随着科学技术和现代工业的发展以及人们生活水平消费水平的提高，电器电子产品很大程度地改变了人类的生活方式。家用电器、手机、电脑等各类电器电子产品不仅结构外观不断推陈出新，智能化水平也越来越高，导致现在电子产品的生命周期大大缩短，大量的废旧电器电子产品产生。但是这些废弃电器电子产品还具有一定的残余价值，如果将这些直接丢弃，不仅会造成资源的巨大浪费，而且还会污染生存环境。

一方面，大量的废弃电器电子产品带来了严重的环境问题。这些废弃产品不仅含有大量的可重复使用的零部件，而且对环境也有很大的危害，含有大量的汞、铅等重金属以及其它有毒物质，如果处理不当，会对生态环境和人类健康构成严重威胁。另一方面，现代工业对原材料和能源的消耗使得自然资源日益紧缺。全球的矿产资源现有的存储量已经非常有限，而废气电器电子产品中的重金属不仅是宝贵的再生资源，同样也是废旧电子产品回收利益的重要组成部分。若能将这些宝贵的资源加以利用，不仅可以缓解环境压力，还能够变废为宝，缓解工业发展需求与资源紧缺的矛盾。

面对严峻的资源短缺和环境污染问题，世界各国相继出台了很多相关法律法规，使得制造商必须承担更多的社会责任，尽可能地开发利用废弃电器电子产品中的可用资源，使其蕴含的巨大价值得到回收再利用。进行废弃物回收再利用不仅是政策的要求，也是可持续发展的趋势，同时也可以为制造企业节省成本。与直接从原材料加工制造成新产品相比，对废旧产品进行回收再利用的资源成本更低，能源消耗更小，据统计回收再利用的过程一般比新产品的制造过程节约40％-65％的成本。然而，由于废旧品的回收涉及到多方利益体的博弈，是一个相当繁琐且不确定的过程，假如不能选择合理的回收方式，企业很可能被废旧产品的回收所拖累。因此，企业需要相关的决策指导，基于博弈论的逆向供应链研究可以给从事回收再制造运作的企业或政府的相关管理部门提供一定的指导建议。

因此，对逆向供应链的研究具有丰富的学术研究价值和企业经济价值。不仅能促进我国建设资源节约型、环境友好型社会的进程，而且还能推动循环经济这一重大战略发展，提高整合社会资源的能力，从而促使我国国民经济的发展能够全面快速地步入循环经济发展轨道。

近年来由于环境及资源问題的凸显，国内外学者对逆向供应链的研究越来越多。目前关于逆向供应链问题的关注和研究大都主要集中在建立单一的制造商、零售商与消费者的基础上，对制造商和销售商之间进行定价或合同制定等方面进行研究，而关于对称制造商与竞争回收商之间的研究较少。对称制造商指的是制造企业的规模大小相同的制造商，竞争回收商是指相互之间存在竞争关系的回收商；逆向供应链中对称制造商与竞争回收商是两个重要节点，基于博弈论考虑对称制造商和竞争回收商，分析逆向供应链中各参与者的利润变化，这是涉及到多种策略分析和各利益相关者之间的博弈，是一个相当复杂的领域，具有丰富的理论研究价值。

在中国，废弃电器电子产品数量急剧增加但其回收极不规范，参与回收的企业越来越多，但回收行业整体利润偏低，如何提高回收参与企业的利润，增强回收企业的回收再制造积极性是一个急需解决的问题。一般情况下，逆向供应链系统主要由消费者、回收商、制造商这三个节点构成，其中，第一个节点消费者是电器电子产品的购买者或直接使用者，是废弃品的直接产生者，同时也是逆向供应链的开端；第二个节点回收商是制造商与消费者之间的连接枢纽，是促进电子产品回收的关键节点；第三个节点是制造商或者进口商，制造商即是新产品的提供者，还是再制造过程的具体践行者，制造商的再制造效率与再制造的顺利推行息息相关。

制造商与回收商这两个逆向供应链系统的节点的企业规模、市场容量、运营效率等不仅影响各自的成本，更是对整个回收行业的模式选择起着至关重要的作用。制造商与回收商的定价策略需根据现实条件调整，在不同条件下选择不同的定价策略，使得逆向供应链的制造商与回收商这两个节点的利润最大化，这样才能确保废旧电器电子产品回收供应链系统可以健康而持续地运转，并且加快废旧电器电子产品市场的规范化进程。因此，在对称制造商的条件下，研究竞争回收商在竞争回收模式下制造商和回收商的定价方法，以提高制造商和回收商的利润，增强制造商与回收商回收再制造的积极性具有非常重要的意义。

发明内容

本发明的目的在于解决现有国内消费者环保意识薄弱，逆向供应链体系还不健全，制造商与回收商在再制造过程中获得的利润有限，影响制造商与回收商的回收积极性，从而导致逆向供应链体系发展缓慢的问题，提供了一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，构建在该条件下的两个制造商与两个回收商的最佳利润函数博弈模型，采用逆向归纳法寻求均衡解和最优解，得出该条件下制造商与回收商的定价策略和最优利润。

本发明通过以下技术方案来实现上述目的：一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，所述对称制造商指的是规模大小相同的第一制造商和第二制造商，竞争回收商指的是相互之间存在竞争关系的第一回收商和第二回收商，所述定价方法包括如下步骤：

1)建立制造商j的市场需求函数：假设市场对产品的需求为线性函数，则制造商j的市场需求函数为：

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j为第一制造商，j＝2是表示制造商j为第二制造商，k表示回收模式，其中k＝c时表示回收模式为第一回收商和第二回收商相互竞争的竞争回收模式，α_j表示制造商j的市场容量大小，α_j>0；β表示市场需求的弹性系数，即相应制造商产品的可替代程度，0≤β<1；

则在竞争回收模式下，第一制造商的市场需求函数为：

式中，α₁表示第一制造商的市场容量大小，表示第一制造商在竞争回收模式下的销售价格，表示第二制造商在竞争回收模式下的销售价格；

第二制造商的市场需求函数为：

式中，α₂表示第二制造商的市场容量大小；

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗与规模经济因素均相同的情况下第一制造商和第二制造商的最佳利润函数：

由于第一制造商和第二制造商为对称制造商，则α₁＝α₂＝α，假设第一回收商的回收成本η_A和第二回收商的回收成本η_B消耗相同，即η_A＝η_B＝η，同时假设第一回收商的规模经济因素θ_A和第二回收商的规模经济因素θ_B相同，即θ_A＝θ_B＝θ，则可以得出第一制造商的最佳利润函数为：

式中，c_m表示制造商制造新产品成本，c_r表示制造商制造再制品成本，其中c_r<c_m，σ表示废旧品再制造率，为第一回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用，τ为废旧品的回收率，且0<τ≤1；

第二制造商的最佳利润函数为：

式中，为第二回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用；

3)建立回收商的回收量函数：

在竞争回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分别与第一制造商和第二制造商签订回收协议，回收商用i表示，i＝A时表示第一回收商，i＝B时表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示为：

第二回收商的回收量可表示为：

4)根据回收商的回收量函数，建立回收商的最佳利润函数：

由于回收费用的多少与产品市场规模经济、回收率有关，因此，根据回收成本公式可以得出第一回收商的最佳利润函数为：

式中，η_i表示在不受规模经济影响下，回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；η_A表示在不受规模经济影响下，第一回收商回收单位废旧品所需消耗的费用，η_B表示在不受规模经济影响下，第二回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；θ_i表示规模经济因素；

同时，第二回收商的最佳利润函数为：

5)使用逆向归纳法对制造商j与回收商i的最优利润函数分别进行求解：

在阶段二的博弈中，制造商根据制造商之间的竞争制定销售价格定价策略，首先第一制造商能根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第一制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

对该式求解可得第一制造商利润最优时的销售价格对于第二制造商任意销售价格第一制造商的销售价格决策最优的反应函数是

同理，第二制造商根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第二制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

求解即可得到第二制造商利润最优时的销售价格对于第一制造商的任意销售价格第二制造商的销售价格决策最优的反应函数是

将第一制造商和第二制造商决策优化的反应函数联立，即联立公式(11)和公式(13)，即可求得第一制造商销售价格的Nash均衡解为：

第二制造商销售价格的Nash均衡解为：

在阶段一的博弈中，回收商根据回收的废旧品设置回收费用，第一回收商的回收量分别为：

第二回收商的回收量为：

将公式(14)和公式(15)分别代入公式(16)和公式(17)，得到第一回收商的回收量为：

第二回收商的回收量为：

对于公式(18)和公式(19)分别关于与求导，可得：

第一回收商总能根据第二回收商的回收费用求解出使其利润到达最大的销售价格对第一回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即可求得第一回收商利润最优时的回收费用

将公式(18)和公式(20)代入公式(21)中，简化整理可得第一回收商的回收费用决策优化的反应函数：

同理，第二回收商也总能根据给定的第一回收商的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格第二回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，求解可得制造商利润最优时的销售价格

将公式(19)和公式(20)代入公式(23)中，整理简化可得第二回收商的回收费用决策优化的反应函数：

将第一回收商回收费用决策优化的反应函数和第二回收商的回收费用决策优化的反应函数联立，即将公式(22)和公式(24)联立，得到第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解为：

将求解得到的第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解与代入公式(14)和公式(15)中，即可得到第一制造商和第二制造商的均衡销售价格为：

将公式(25)和公式(26)代入公式(4)和公式(5)中，简化整理得到第一制造商和第二制造商的最优利润与分别为：

将公式(16)、公式(17)、公式(25)和公式(26)代入公式(8)、(9)中，整理化简后得到回收商i的最优利润与分别为：

进一步的，根据Nash均衡解存在且唯一的条件，目标函数必须是关于自变量的拟凸函数，因此需要保证制造商的利润函数是关于销售价格的拟凸函数，同时回收商的利润函数是关于回收费用的拟凸函数；从公式(4)和(5)可以看出，制造商的最佳利润函数始终是关于决策变量的凸函数，因此，制造商的销售价格的均衡解是唯一存在的；从公式(8)和(9)可以看出，回收商的利润函数并非一直是拟凸函数，需要约束条件来保证回收商的利润函数的拟凸性；

根据第一回收商和第二回收商最佳利润函数模型中的假设条件，要保证回收商的利润函数的拟凸性等同于保证回收商的利润函数是凸函数，即回收商的利润函数关于回收费用的二阶导数小于等于零，那么第一回收商的利润函数关于回收费用的二阶导数应小于等于零，

将公式(6)求解一阶导数并代入公式(29)中，得到：

其中，τ²>0、β²-2<0、(4-β²)²>0，因此：

4-β²+θτ²(β²-2)≥0 (31)

从公式(31)可以求出θ的取值范围为：

即为了保证回收商的利润函数的拟凸性，规模经济因素θ与市场需求弹性系数β和废旧品回收率τ必须满足公式(32)的关系。

进一步的，产品的需求函数的取值一定是非负的，因此，在竞争回收模式下，制造商j的产品需求量一定是非负的；

由于在竞争回收模式下，制造商的市场需求函数为：

利用公式(4)和公式(5)求解出并代入公式(33)中，经过整理、化简可得：

其中，Δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²；

在上述的不等式(34)中，β²-2<0，Λ>0，因此要想使得不等式成立，那么需要满足

Δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²<0 (35)

根据公式(32)可知，θτ²(β²-2)≥4-β²且0≤β<1，因此将不等式θτ²(β²-2)≥4-β²代入公式(35)可得：

由此可以证得不等式(35)成立，即为了保证回收商的利润函数的拟凸性，规模经济因素θ与市场需求弹性系数β以及废旧品回收率τ必须要满足不等式(35)的关系。

本发明的有益效果在于：本发明在废弃电子产品逆向供应链定价策略的研究中引入了对称制造商和竞争回收商的概念，从不同的角度研究了逆向供应链的定价策略，更加符合当前逆向供应链系统的发展；通过构建在对称制造商与竞争回收商的竞争回收模式下，由两个制造商与两个回收商组成的最佳利润函数博弈模型，采用逆向归纳法求解均衡解和最优解，得出了该条件下制造商与回收商的定价策略和最优利润；本发明以制造商和回收商的最优利润作为出发点，得出的结果更加符合制造商和回收商的利益需求，为制造商和回收商的定价提供了参考。因此非盈利机构或相关决策部门应发挥对整个回收系统的监管作用，根据制造商大小规模的不同，设计出差异化的回收费用定价策略结构，使得所有利益攸关者的整体利益都得到保障，并为政府建立关于促进废旧电器电子产品回收的相关法律法规提供理论的依据和建议。

附图说明

图1是本发明一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法的流程示意图。

图2是争回收模式示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

如图1和图2所示，本发明运用理论结合实际、定性分析、对比分析等方法对逆向供应链定价策略模型进行研究，具有一定的理论与实践意义，为相应的行业提供理论指导基础，其技术路线如图1所示，首先通过阅读文献总结目前的研究状况和实际应用情况，然后基于斯坦克尔伯格主从博弈的再制造逆向供应链回收模型竞争回收模式的基础上，结合国内外逆向供应链的现状，建立竞争回收模式定价策略博弈模型；然后利用逆向归纳法求解该博弈模型的Nash均衡解，在满足Nash均衡解存在且唯一和市场需求函数非负的约束条件下，得出在不同回收模式条件下，利益相关者共赢的条件及方案，为制造商与回收商定价策略的设定以及政府建立关于促进我国电子产品回收的相关法规提供了理论依据。

本发明的一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，所述对称制造商指的是规模大小相同的第一制造商和第二制造商，竞争回收商指的是相互之间存在竞争关系的第一回收商和第二回收商，首先建立竞争回收模式下制造商和回收商的定价策略博弈模型，以两个制造商与两个回收商组成的逆向供应链回收定价策略为研究对象，建立两阶段主从动态博弈。其中以回收商为该主从博弈的领导者，回收商先在第一阶段制定向制造商收取的回收价格，而制造商则根据回收商的定价策略做出相应销售价格的定价策略，具体描述如下：

在阶段一中，主从博弈的领导者回收商设定回收单位废旧品向制造商收取的回收费用定价策略，这里的回收商是竞争回收商，回收商的竞争性影响收费。在阶段二中，制造商设定销售价格定价策略，其中制造商在制定销售价格的定价策略时需要考虑回收商对其收取的回收费用的影响，而且制造商与制造商之间的竞争也将直接影响其定价策略。使用逆向归纳法对在竞争回收商竞争回收模式中的制造商j与回收商i的最优利润函数分别进行求解。在两阶段博弈中，首先当第一制造商设定了销售价格，第二制造商根据第一制造商的销售价格做出决策，使其利润达到最大，同理，当第二制造商设定了销售价格，第一制造商根据第二制造商的销售价格做出决策，使其利润达到最大即可求出制造商销售价格的Nash均衡解，即制造商销售价格的定价策略；然后同样，第一回收商与第二回收商可以得出向制造商收取的回收费用的Nash均衡解，即回收商回收费用的定价策略；最后根据制造商销售价格的均衡解和回收商回收费用的均衡解分别求出制造商利润和回收商利润的Nash均衡解，即制造商与回收商的最优利润解。

具体的定价方法包括如下步骤：

1)建立制造商j的市场需求函数：假设市场对产品的需求为线性函数，则制造商j的市场需求函数为：

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j为第一制造商，j＝2是表示制造商j为第二制造商，k表示回收模式，其中k＝c时表示回收模式为第一回收商和第二回收商相互竞争的竞争回收模式，α_j表示制造商j的市场容量大小，α_j>0；β表示市场需求的弹性系数，即相应制造商产品的可替代程度，0≤β<1；

则在竞争回收模式下，第一制造商的市场需求函数为：

式中，α₁表示第一制造商的市场容量大小，表示第一制造商在竞争回收模式下的销售价格，表示第二制造商在竞争回收模式下的销售价格；

第二制造商的市场需求函数为：

式中，α₂表示第二制造商的市场容量大小；

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗与规模经济因素均相同的情况下第一制造商和第二制造商的最佳利润函数：

由于第一制造商和第二制造商为对称制造商，则α₁＝α₂＝α，假设第一回收商的回收成本η_A和第二回收商的回收成本η_B消耗相同，即η_A＝η_B＝η，同时假设第一回收商的规模经济因素θ_A和第二回收商的规模经济因素θ_B相同，即θ_A＝θ_B＝θ，则可以得出第一制造商的最佳利润函数为：

式中，c_m表示制造商制造新产品成本，c_r表示制造商制造再制品成本，其中c_r<c_m，σ表示废旧品再制造率，为第一回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用，τ为废旧品的回收率，且0<τ≤1；

第二制造商的最佳利润函数为：

式中，为第二回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用；

3)建立回收商的回收量函数：

在竞争回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分别与第一制造商和第二制造商签订回收协议，回收商用i表示，i＝A时表示第一回收商，i＝B时表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示为：

第二回收商的回收量可表示为：

4)根据回收商的回收量函数，建立回收商的最佳利润函数：

由于回收费用的多少与产品市场规模经济、回收率有关，因此，根据回收成本公式可以得出第一回收商的最佳利润函数为：

式中，η_i表示在不受规模经济影响下，回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；η_A表示在不受规模经济影响下，第一回收商回收单位废旧品所需消耗的费用，η_B表示在不受规模经济影响下，第二回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；θ_i表示规模经济因素；

同时，第二回收商的最佳利润函数为：

5)使用逆向归纳法对制造商j与回收商i的最优利润函数分别进行求解：

在阶段二的博弈中，制造商根据制造商之间的竞争制定销售价格定价策略，首先第一制造商能根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第一制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

对该式求解可得第一制造商利润最优时的销售价格对于第二制造商任意销售价格第一制造商的销售价格决策最优的反应函数是

同理，第二制造商根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第二制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

求解可得第二制造商利润最优时的销售价格对于第一制造商的任意销售价格第二制造商的销售价格决策最优的反应函数是

将第一制造商和第二制造商决策优化的反应函数联立，即联立公式(11)和公式(13)，求得第一制造商销售价格的Nash均衡解为：

第二制造商销售价格的Nash均衡解为：

在阶段一的博弈中，回收商根据回收的废旧品设置回收费用，第一回收商的回收量分别为：

第二回收商的回收量为：

将公式(14)和公式(15)分别代入公式(16)和公式(17)，得到第一回收商的回收量为：

第二回收商的回收量为：

对于公式(18)和公式(19)分别关于与求导，可得：

第一回收商总能根据第二回收商的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第一回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，求解可得第一回收商利润最优时的回收费用

将公式(18)和公式(20)代入公式(21)中，简化整理可得第一回收商的回收费用决策优化的反应函数：

同理，第二回收商也总能根据给定的第一回收商的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格第二回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，令其一阶导数为0时，求解可得制造商利润最优时的销售价格

将公式(19)和公式(20)代入公式(23)中，整理简化可得第二回收商的回收费用决策优化的反应函数：

将第一回收商回收费用决策优化的反应函数和第二回收商的回收费用决策优化的反应函数联立，即将公式(22)和公式(24)联立，得到第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解为：

将求解得到的第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解与代入公式(14)和公式(15)中，求解可得第一制造商和第二制造商的均衡销售价格为：

将公式(25)和公式(26)代入公式(4)和公式(5)中，简化整理得到第一制造商和第二制造商的最优利润与分别为：

将公式(16)、公式(17)、公式(25)和公式(26)代入公式(8)、(9)中，整理化简后得到回收商i的最优利润与分别为：

由于上述模型是建立在Nash博弈模型的基础上，因此需要满足博弈论中的基本约束条件，即需满足Nash均衡解存在且唯一的条件；并且根据逆向供应链系统的特点，市场需求函数一定非负。

根据Nash均衡解存在且唯一的条件，目标函数必须是关于自变量的拟凸函数，因此需要保证制造商的利润函数是关于销售价格的拟凸函数，同时回收商的利润函数是关于回收费用的拟凸函数；从公式(4)和(5)可以看出，制造商的最佳利润函数始终是关于决策变量的凸函数，因此，制造商的销售价格的均衡解是唯一存在的；从公式(8)和(9)可以看出，回收商的利润函数并非一直是拟凸函数，需要约束条件来保证回收商的利润函数的拟凸性；

根据第一回收商和第二回收商最佳利润函数模型中的假设条件，要保证回收商的利润函数的拟凸性等同于保证回收商的利润函数是凸函数，即回收商的利润函数关于回收费用的二阶导数小于等于零，那么第一回收商的利润函数关于回收费用的二阶导数应小于等于零，

将公式(6)求解一阶导数并代入公式(29)中，得到：

其中，τ²>0、β²-2<0、(4-β²)²>0，因此：

4-β²+θτ²(β²-2)≥0 (31)

从公式(31)的可以解出θ的取值范围为：

即为了保证回收商的利润函数的拟凸性，规模经济因素θ与市场需求弹性系数β和废旧品回收率τ必须满足公式(32)的关系。

进一步的，产品的需求函数的取值一定是非负的，因此，在竞争回收模式下，制造商j的产品需求量一定是非负的；

由于在竞争回收模式下，制造商的市场需求函数为：

将公式(4)和公式(5)求解出并代入公式(33)中，经过整理、化简可得：

其中，Δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²；

在上述的不等式(34)中，β²-2<0，Λ>0，因此要想使得不等式成立，那么需要满足

Δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²<0 (35)

根据公式(13)可知，θτ²(β²-2)≥4-β²且0≤β<1，因此将不等式θτ²(β²-2)≥4-β²代入公式(35)可得：

由此可以证得不等式(35)成立，即为了保证回收商的利润函数的拟凸性，规模经济因素θ与市场需求弹性系数β以及废旧品回收率τ必须要满足不等式(35)的关系。

上述实施例只是本发明的较佳实施例，并不是对本发明技术方案的限制，只要是不经过创造性劳动即可在上述实施例的基础上实现的技术方案，均应视为落入本发明专利的权利保护范围内。

Claims (3)

1.一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，其特征在于：所述对称制造商指的是规模大小相同的第一制造商和第二制造商，竞争回收商指的是相互之间存在竞争关系的第一回收商和第二回收商，该定价方法包括如下步骤：

1)建立制造商j的市场需求函数：假设市场对产品的需求为线性函数，则制造商j的市场需求函数为：

$d_j^k={\mathrm{\&alpha;}}_j-p_j^k+{\mathrm{\&beta;p}}_{3-j}^k,j=1,2---\left(1\right)$

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j为第一制造商，j＝2是表示制造商j为第二制造商，k表示回收模式，其中k＝c时表示回收模式为第一回收商和第二回收商相互竞争的竞争回收模式，α_j表示制造商j的市场容量大小，α_j>0；β表示市场需求的弹性系数，即相应制造商产品的可替代程度，0≤β<1；

则在竞争回收模式下，第一制造商的市场需求函数为：

$d_1^c={\mathrm{\&alpha;}}_1-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c---\left(2\right)$

式中，α₁表示第一制造商的市场容量大小，表示第一制造商在竞争回收模式下的销售价格，表示第二制造商在竞争回收模式下的销售价格；

第二制造商的市场需求函数为：

$d_2^c={\mathrm{\&alpha;}}_2-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c---\left(3\right)$

式中，α₂表示第二制造商的市场容量大小；

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗与规模经济因素均相同的情况下第一制造商和第二制造商的最佳利润函数：

由于第一制造商和第二制造商为对称制造商，则α₁＝α₂＝α，假设第一回收商的回收成本η_A和第二回收商的回收成本η_B消耗相同，即η_A＝η_B＝η，同时假设第一回收商的规模经济因素θ_A和第二回收商的规模经济因素θ_B相同，即θ_A＝θ_B＝θ，则可以得出第一制造商的最佳利润函数为：

$\begin{array}{c}\underset{p_1^c}{\max }{\&Pi;}_1^c=(p_1^c-c_m)(1-\mathrm{\&sigma;})(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)+(p_1^c-c_r)\mathrm{\&sigma;}(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)\\ -t_A^c\mathrm{\&tau;}(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)\\ =(p_1^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_A^c\mathrm{\&tau;})(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)\end{array}---\left(4\right)$

式中，c_m表示制造商制造新产品成本，c_r表示制造商制造再制品成本，其中c_r<c_m，σ表示废旧品再制造率，为第一回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用，τ为废旧品的回收率，且0<τ≤1；

第二制造商的最佳利润函数为：

$\begin{array}{c}\underset{p_2^c}{\max }{\&Pi;}_2^c=(p_2^c-c_m)(1-\mathrm{\&sigma;})(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)+(p_2^c-c_r)\mathrm{\&sigma;}(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)\\ -t_B^c\mathrm{\&tau;}(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)\\ =(p_2^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_B^c\mathrm{\&tau;})(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)\end{array}---\left(5\right)$

式中，为第二回收商回收每单位废旧品向第一制造商和第二制造商收取的回收费用；

3)建立回收商的回收量函数：

在竞争回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分别与第一制造商和第二制造商签订回收协议，回收商用i表示，i＝A时表示第一回收商，i＝B时表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示为：

${\mathrm{\&omega;}}_A^c(t_A^c,t_B^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_1^c(p_1^c,p_2^c)---\left(6\right)$

第二回收商的回收量可表示为：

${\mathrm{\&omega;}}_B^c(t_A^c,t_B^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_2^c(p_1^c,p_2^c)---\left(7\right)$

4)根据回收商的回收量函数，建立回收商的最佳利润函数：

由于回收费用的大小与产品市场规模经济、回收率有关，因此，根据回收成本公式可以得出在第一回收商的最佳利润函数为：

$\underset{t_A^c}{\max }{\&Pi;}_A^c=(t_A^c+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_A^c(t_A^c,t_B^c)-\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_A\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_A^c(t_A^c,t_B^c)-{\mathrm{\&theta;}}_A\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}_A^c\right(t_A^c,t_B^c\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(8\right)$

式中，η_i表示在不受规模经济影响下，回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；η_A表示在不受规模经济影响下，第一回收商回收单位废旧品所需消耗的费用，η_B表示在不受规模经济影响下，第二回收商回收单位废旧品所需消耗的费用；θ_i表示规模经济因素；

同时，第二回收商的最佳利润函数为：

$\underset{t_B^c}{\max }{\&Pi;}_B^c=(t_B^c+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_B^c(t_A^c,t_B^c)-\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_B\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_B^c(t_A^c,t_B^c)-{\mathrm{\&theta;}}_B\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}_B^c\right(t_A^c,t_B^c\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(9\right)$

5)使用逆向归纳法对制造商j与回收商i的最优利润函数分别进行求解：

在阶段二的博弈中，制造商根据制造商之间的竞争制定销售价格定价策略，首先第一制造商能根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第一制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

$\frac{\&part;{\&Pi;}_1^c}{\&part;p_1^c}=\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c-(p_1^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_A^c\mathrm{\&tau;})=0---\left(10\right)$

对该式求解可得第一制造商利润最优时的销售价格对于第二制造商任意销售价格第一制造商的销售价格决策最优的反应函数是

$p_1^c\left(p_2^c\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c+t_A^c\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(11\right)$

同理，第二制造商根据给定一组回收商向制造商收取的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格对第二制造商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即

$\frac{\&part;{\&Pi;}_2^c}{\&part;p_2^c}=\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c-(p_2^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_B^c\mathrm{\&tau;})=0---\left(12\right)$

求解即可得到第二制造商利润最优时的销售价格对于第一制造商的任意销售价格第二制造商的销售价格决策最优的反应函数是

$p_2^c\left(p_1^c\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c+t_B^c\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(13\right)$

将第一制造商和第二制造商决策优化的反应函数联立，即联立公式(11)和公式(13)，求得第一制造商销售价格的Nash均衡解为：

$p_1^c(t_A^c,t_B^c)=\frac{(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+(2t_A^c+t_B^c)\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(14\right)$

第二制造商的销售价格的Nash均衡解为：

$p_2^c(t_A^c,t_B^c)=\frac{(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+({\mathrm{\&beta;t}}_A^c+2t_B^c)\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(15\right)$

在阶段一的博弈中，回收商根据回收的废旧品设置回收费用，回收商A的回收量分别为：

${\mathrm{\&omega;}}_A^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_1^c(p_1^c,p_2^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)---\left(16\right)$

回收商B的回收量为：

${\mathrm{\&omega;}}_B^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_2^c(p_1^c,p_2^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)---\left(17\right)$

将公式(14)和公式(15)分别代入公式(16)和公式(17)，得到回收商A的回收量为：

${\mathrm{\&omega;}}_A^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}+\frac{(\mathrm{\&beta;}-1)(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+({\mathrm{\&beta;}}^2-2)t_A^c\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;t}}_B^c\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2})---\left(18\right)$

回收商B的回收量为：

${\mathrm{\&omega;}}_B^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}+\frac{(\mathrm{\&beta;}-1)(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+{\mathrm{\&beta;t}}_A^c\mathrm{\&tau;}+({\mathrm{\&beta;}}^2-2)t_B^c\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2})---\left(19\right)$

对于公式(18)和公式(19)分别关于与求导，可得：

$\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}=\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}=\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-2){\mathrm{\&tau;}}^2}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(20\right)$

第一回收商总能根据第二回收商的回收费用求解出使其利润到达最大的销售价格对第一回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即可求得第一回收商利润最优时的回收费用

$\frac{\&part;{\&Pi;}_A^c}{\&part;t_A^c}={\mathrm{\&omega;}}_A^c+(t_A^c+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}_A^c\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}=0---\left(21\right)$

将公式(18)和公式(20)代入公式(21)中，简化整理可得第一回收商的回收费用决策优化的反应函数：

$\begin{array}{c}{t}_A^c\left(t_B^c\right)=\frac{1}{2\mathrm{\&tau;}(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}^2}\&CenterDot;(-2(\mathrm{\&beta;}+2\left)\right((4-{\mathrm{\&beta;}}^2+\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right))(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)\left)\right(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)+(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})-(\left(4-{\mathrm{\&beta;}}^2\right)\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&tau;}+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3\mathrm{\&beta;}\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\left)t_B^3\right))\end{array}---\left(22\right)$

同理，第二回收商也总能根据给定的第一回收商的回收费用求解出使其利润达到最大的销售价格第二回收商的利润函数关于决策变量求一阶导数，并令其一阶导数为0，即可求得制造商利润最优时的销售价格

$\frac{\&part;{\&Pi;}_B^c}{\&part;t_B^c}={\mathrm{\&omega;}}_B^c+(t_B^c+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}_B^c\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}=0---\left(23\right)$

将公式(19)和公式(20)代入公式(23)中，整理简化可得第二回收商的回收费用决策优化的反应函数：

$\begin{array}{c}{t}_B^c\left(t_A^c\right)=\frac{1}{2\mathrm{\&tau;}(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}^2}\&CenterDot;(-2(\mathrm{\&beta;}+2\left)\right((4-{\mathrm{\&beta;}}^2+\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right))(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)\left)\right(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)+(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})-(\left(4-{\mathrm{\&beta;}}^2\right)\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&tau;}+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3\mathrm{\&beta;}\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\left)t_A^3\right))\end{array}---\left(24\right)$

将第一回收商回收费用决策优化的反应函数和第二回收商的回收费用决策优化的反应函数联立，即将公式(22)和公式(24)联立，得到第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解为：

$\begin{array}{c}{t}_A^{*c}=t_B^{*c}=\frac{1}{\mathrm{\&tau;}(-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right({\mathrm{\&beta;}}^2-2\left)\right)}\&CenterDot;\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2-4-\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right))(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)\left)\right(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)+(\mathrm{\&beta;}-2)(r-\mathrm{\&eta;})({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})\end{array}---\left(25\right)$

将求解得到的第一回收商和第二回收商的回收费用的Nash均衡解与代入公式(14)和公式(15)中，可以得到第一制造商和第二制造商的均衡销售价格为：

$\begin{array}{c}{p}_1^{*c}=p_2^{*c}=\frac{1}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left(\mathrm{\&beta;}-1\right)\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)}\&CenterDot;\left(\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\right(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)-\left(r-\mathrm{\&eta;}\right)\mathrm{\&tau;})+2\mathrm{\&alpha;}({\mathrm{\&beta;}}^2-3-{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\left)\right)\end{array}---\left(26\right)$

将公式(25)和公式(26)代入公式(4)和公式(5)中，简化整理得到第一制造商和第二制造商的最优利润与分别为：

${\&Pi;}_1^{*c}={\&Pi;}_2^{*c}={\left(\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)(\mathrm{\&alpha;}+(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)-\left(r-\mathrm{\&eta;}\right)\mathrm{\&tau;}\left)\right)}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}\right)}^2---\left(27\right)$

将公式(16)、公式(17)、公式(25)和公式(26)代入公式(8)和(9)中，整理化简后得到回收商i的最优利润与分别为：

$\begin{array}{c}{\&Pi;}_A^{*c}={\&Pi;}_B^{*c}=({\mathrm{\&beta;}}^2-2)({\mathrm{\&beta;}}^2-4-{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2\left)\right)\&CenterDot;\\ {\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}+(\mathrm{\&beta;}-1)(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;}\left)\mathrm{\&tau;}\right)}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}\right)}^2\end{array}---\left(28\right)$

2.根据权利要求1所述的一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，其特征在于：根据Nash均衡解存在且唯一的条件，目标函数必须是关于自变量的拟凸函数，因此需要保证制造商的利润函数是关于销售价格的拟凸函数，同时回收商的利润函数是关于回收费用的拟凸函数；从公式(4)和(5)可以看出，制造商的最佳利润函数始终是关于决策变量的凸函数，因此，制造商的销售价格的均衡解是唯一存在的；从公式(8)和(9)可以看出，回收商的利润函数并非一直是拟凸函数，需要约束条件来保证回收商的利润函数的拟凸性；

根据第一回收商和第二回收商最佳利润函数模型中的假设条件，要保证回收商的利润函数的拟凸性等同于保证回收商的利润函数是凸函数，即回收商的利润函数关于回收费用的二阶导数小于等于零，那么第一回收商的利润函数关于回收费用的二阶导数应小于等于零，

$\frac{{\&part;}^2{\&Pi;}_A^c}{\&part;{\left(t_A^c\right)}^2}=2\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}+2\mathrm{\&theta;}{\left(\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}\right)}^2\&le;0---\left(29\right)$

将公式(6)求解一阶导数并代入公式(29)中，可得：

$\frac{2{\mathrm{\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2)(4-{\mathrm{\&beta;}}^2+{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2\left)\right)}{{(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)}^2}\&le;0---\left(30\right)$

其中，τ²>0、β²-2<0、(4-β²)²>0，因此：

4-β²+θτ²(β²-2)≥0 (31)

从公式(31)可以求出θ的取值范围为：

$\mathrm{\&theta;}\&le;\frac{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}{{\mathrm{\&tau;}}^2(2-{\mathrm{\&beta;}}^2)}---\left(32\right)$

即为了保证回收商的利润函数的拟凸性，规模经济因素θ与市场需求弹性系数β和废旧品回收率τ必须满足公式(32)的关系。

3.根据权利要求2所述的一种对称制造商与竞争回收商在竞争回收模式下的定价方法，其特征在于：产品的需求函数的取值一定是非负的，因此，在竞争回收模式下，制造商j的产品需求量一定是非负的；

由于在竞争回收模式下，制造商的市场需求函数为：

$d_j^c=\mathrm{\&alpha;}+(\mathrm{\&beta;}-1)p_j^c,j=1,2---\left(33\right)$

利用公式(4)和公式(5)求解出并代入公式(33)中，经过整理、化简可得：

$d_j^c=\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&Lambda;}}{{\mathrm{\&Delta;}}^c},j=1,2---\left(34\right)$

其中，Δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²；

在上述的不等式(34)中，β²-2<0，Λ>0，因此要想使得不等式成立，那么需要满足

Δ^c＝-8+6β+3β²-2β³+2(β-1)(β²-2)θτ²<0 (35)

根据公式(32)可知，θτ²(β²-2)≥4-β²且0≤β<1，将不等式θτ²(β²-2)≥4-β²代入公式(35)可得：

$\begin{array}{c}-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-2){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\&le;-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-4)\\ ={\mathrm{\&beta;}}^2-2\mathrm{\&beta;}=\mathrm{\&beta;}(\mathrm{\&beta;}-2)<0\end{array}---\left(36\right)$

由此可以证得不等式(35)成立，即为了保证回收商的利润函数的拟凸性，规模经济因素θ与市场需求弹性系数β以及废旧品回收率τ必须要满足不等式(35)的关系。