CN106845012A - 一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模型隶属度函数确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模型隶属度函数确定方法，属于模糊系统与模糊决策领域。首先利用冶金企业现场已有的历史数据，通过在密度聚类算法中引入多目标优化方法，综合考虑模糊模型精度、模型复杂度和模型可解释性，确定最佳的聚类参数，进而得到合理的聚类个数和聚类中心；再根据工业数据特征和聚类结果设计相应的隶属度函数形状和参数，从而确定符合数据分布特征的隶属度函数。本发明能够充分利用现有的高炉煤气历史数据，确定模糊模型各变量的隶属度函数，进而建立有效的高炉煤气系统模糊模型。

Description

一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模型隶属度函数确 定方法

技术领域

本发明属于模糊系统与模糊决策领域，涉及到聚类分析、多目标优化和模糊建模理论，是一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模糊建模隶属度函数确定方法。本发明利用冶金企业现场已有的历史数据，通过在密度聚类算法中引入多目标优化方法，综合考虑模糊模型精度、模型复杂度和模型可解释性，确定最佳的聚类参数，进而得到合理的聚类个数和聚类中心；再根据工业数据特征和聚类结果设计相应的隶属度函数形状和参数，从而确定符合数据分布特征的隶属度函数。此方法为建立高炉煤气系统的模糊模型提供了基础，在冶金企业其它能源介质系统的模糊建模过程中均可有广泛的应用。

背景技术

高炉煤气(Blast Furnace Gas，BFG)是钢铁生产过程中重要的二次能源。在高炉煤气系统中，为有效合理调配煤气，需要实时掌握煤气柜储量变化趋势。因此构建煤气柜储量与系统用户对煤气的产消情况之间的关系模型，从而制定合理的高炉煤气使用计划，对企业节能减排具有重要意义。由于高炉煤气柜与各煤气发生用户和煤气消耗用户之间存在强非线性动态关系，对其建立精确的数学模型难度较大。模糊建模是一种描述复杂非线性多变量系统的有效方法，对于此类工业问题具有明显的优势(乔峥，刘颖，赵珺等.基于子集融合与规则简约的磨矿过程模糊建模[J].控制理论与应用，2015，32(6)：770-777)。目前，基于数据挖掘和模糊推理开发的专家系统已在工业现场得到应用。专家系统中模糊模型的建立主要包括两个过程，一是如何对变量进行模糊划分使隶属度函数更好的表达输入输出变量的数据特征，从而使模糊模型的性能得到优化；二是如何将人工经验和知识转化成模糊规则。其中，变量的模糊划分(各变量模糊划分的数量及体现数据特征的隶属度函数形态)主要依靠专家经验进行实施。然而，当现场情况复杂，变量较多时，获取合理的专家知识难度较大，模糊划分情况复杂，难以人工设定。同时，隶属度函数的数量直接影响模糊系统的复杂度，完备模糊规则库中规则的数目会随着输入空间的维度上升而呈指数增长，造成“维度灾难”。因此，如何基于大量历史数据有效地提取数值变量的语义特征，即对输入输出变量确定合理的隶属度函数是建立模糊系统的前提。

随着数据挖掘技术发展，从大量数据中学习隶属度函数的方法受到越来越多的学者的关注。其中，聚类分析作为数据挖掘算法中重要的分支，得到了广泛的应用。有学者采用模糊C均值聚类算法(Fuzzy C-means Algorithm,FCM)产生聚类中心和模糊矩阵，提出一种针对三角形和梯形隶属度函数的启发式算法(Bhatt R B,Narayanan S J,ParamasivamI,et al.Approximating fuzzy membership functions from clustered raw data[C].IEEE India Conference(INDICON),2012:487-492)，该算法在规则数较少的情况下具有较好的实验效果。基于预定义形状的模糊C均值聚类算法(Pre-shaped Fuzzy C-meansAlgorithm,PFCM)产生隶属度函数的方法(Chen L，Chen C L P.Pre-shaped fuzzy c-means algorithm(PFCM)for transparent membership function generation[C].IEEEInternational Conference on Systems,Man and Cybernetics,2007:789-794)在更新隶属度矩阵和聚类中心的过程中引入自定义形状的隶属度函数计算隶属度值。基于密度的聚类算法根据数据集在空间分布上的稠密程度进行聚类，不需要预先设定类簇的数量，能识别各种形状的聚类，对异常点有一定抵抗力，更适合于工业数据。有学者提出基于改进密度聚类算法的隶属度函数确定方法(Hui C,Jia L,Si G,et al.A Clustering-analysis-based membership functions formation method for fuzzy controller of ball millpulverizing system[J].Journal of Process Control,2013,23(1):34–43)，并应用于球磨机系统模糊控制器。该方法先根据设定的参数得到初始聚类个数，然后对聚类进行拆分或融合使聚类个数达到预设的语言变量的个数，其方法本身对参数选择特别敏感。由于高炉煤气系统的复杂性，采用一般的聚类方式很难确定模糊模型输入输出隶属空间的划分。有学者提出应用条件模糊聚类的方法对T-S模糊模型的输入隶属空间进行划分(盛春阳，赵珺，王伟等.基于T-S模型的高炉煤气系统模糊建模[J].上海交通大学学报，2012(12)：1907-1913)，将调整用户在聚类过程中作为条件考虑。

以上方法存在如下不足：基于FCM算法确定隶属度函数的方法，需要人工设定隶属度函数个数，根据聚类过程中的隶属度矩阵直接得到的隶属度函数灵活性较差，不能很好的描述数据的分布特征，并且算法对样本数据中的异常值较为敏感；基于密度聚类算法确定隶属度函数的方法，针对不同的数据，较难确定合理的聚类参数。另外，隶属度函数的确定方法更关注隶属度函数本身，而忽略了其对整个模糊模型的影响。而大多数模糊模型效果以模型误差作为模型评价标准，没有考虑到模型复杂度及可解释性。当变量的模糊划分细致，即设定的隶属度函数个数较多时，能保证模型精度；但是模糊划分越多，模糊集合之间的区分度越不明显，同时提取的模糊规则数将呈指数增长，模型复杂度也随之提高，模糊模型的可解释性随之增强。因此，针对实际问题，在建模过程中需要同时权衡多个指标的需求。

发明内容

本发明要解决的技术问题是现有冶金企业高炉煤气系统模糊建模过程中隶属度函数的确定问题。为解决上述这一问题，从高炉煤气系统的结构、消耗用户生产模式等方面出发，对高炉煤气的产消情况及煤气柜储量的变化情况进行分析，确定高炉煤气系统模糊模型输入变量分别为当前时刻高炉煤气总发生量，总使用量，电厂总使用量，煤气柜总储量，模型输出变量为下一时刻煤气柜总储量。针对模型输入输出变量模糊划分的数量，利用冶金企业现场已有的历史数据，在综合考虑模糊模型精度、模型复杂度和模型可解释性的情况下，将多目标优化方法引入到密度聚类算法中，确定最佳的聚类参数，得到合理的聚类个数即模糊划分数量；针对隶属度函数形状确定问题，根据工业数据特征和聚类结果设计相应的隶属度函数形状和参数，从而更好的描述数据的分布特征。利用该发明可以确定模糊模型各变量的隶属度函数，进而建立有效的高炉煤气系统模糊模型。

本发明的技术方案

一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模型隶属度函数确定方法，包括以下三个部分：

(1)从数据库中根据筛选条件读取煤气管网中煤气发生流量，各煤气用户的煤气使用流量和煤气柜储量数据，并对高炉煤气流量数据进行合并处理，得到模型输入输出变量的历史数据；

(2)综合考虑模型精度、模型复杂度和模型可解释性，通过基于多目标优化的密度聚类算法确定最佳聚类参数，从而确定各变量的聚类个数(隶属度函数数量)和聚类中心(隶属度函数参数)；

(3)根据工业数据特征和聚类结果设计相应的隶属度函数形状和参数，从而确定各变量的隶属度函数。

本发明的有益效果：

本发明在对高炉煤气系统模糊建模时，考虑到专家经验的主观性和局限性，以数据驱动的方式对高炉煤气产消用户煤气流量及煤气柜储量进行模糊化处理。在确定模糊划分数量时，综合考虑模糊模型精度、模型复杂度和模型可解释性，将多目标优化方法与密度聚类方法有效结合起来，得到合理的模糊划分数量；另外，为更好的描述数据的分布特征，根据聚类结果设计相应的隶属度函数形状和参数，得到各变量的隶属度函数，进而建立合理的模糊模型。

本发明能够充分利用现有的高炉煤气历史数据，在高炉煤气系统模糊建模过程中确定合理的隶属度函数，进而建立有效的模糊模型，为煤气的平衡调度提供决策支持。

附图说明

图1是实际高炉煤气系统管网图。

图2是本发明基于多目标优化密度聚类的隶属度函数确定方法结构图。

图3是不同方法产生的隶属度函数对比图；

图a1是BFG发生流量-遗传算法隶属度函数图；

图a2是BFG发生流量-PFCM算法隶属度函数图；

图a3是BFG发生流量-本文方法隶属度函数图；

图b1是BFG使用流量-遗传算法隶属度函数图；

图b2是BFG使用流量-PFCM算法隶属度函数图；

图b3是BFG使用流量-本文方法隶属度函数图；

图c1是电厂使用流量-遗传算法隶属度函数图；

图c2是电厂使用流量-PFCM算法隶属度函数图；

图c3是电厂使用流量-本文方法隶属度函数图；

图d1是当前煤气柜储量-遗传算法隶属度函数图；

图d2是当前煤气柜储量-PFCM算法隶属度函数图；

图d3是当前煤气柜储量-本文方法隶属度函数图；

图e1是下一时刻煤气柜储量-遗传算法隶属度函数图；

图e2是下一时刻煤气柜储量-PFCM算法隶属度函数图；

图e3是下一时刻煤气柜储量-本文方法隶属度函数图。

图4是未来一小时煤气柜储量预测值对比图。

具体实施方式

为了更好地理解本发明的技术方案，以国内自动化水平较高的某钢铁企业的高炉煤气系统为例，对本发明的实施方式作进一步描述，该企业的高炉煤气系统主要由煤气发生源、煤气消耗用户、煤气柜、放散塔及煤气输送系统组成。其中，高炉煤气发生源为4座高炉，煤气消耗用户主要包括发电厂、焦炉、热轧加热炉、冷轧热处理、化产、合成、低压锅炉等等，放散塔用于煤气过剩时将多余的煤气放散，输配系统由管网、混合站、加压站等组成。由于生产工艺的影响，高炉煤气的发生量经常发生波动，其落差可达50万m³/h，从而使得煤气用户消耗量和柜储量也发生波动。由于高炉煤气系统结构复杂，现场人员很难对煤气柜储量变化进行准确估计，从而影响煤气调整方案的决策，因此必须构建煤气柜储量与系统用户对煤气的产消情况之间的关系模型。本发明的具体实施步骤如下：

一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模型隶属度函数确定方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1：从数据库分别读取高炉煤气管网中1#～4#高炉煤气受入流量、各煤气用户的高炉煤气使用流量和1#、2#高炉煤气柜储量数据，分别计算高炉煤气总发生量、生产用户高炉煤气总使用量、电厂用户高炉煤气总使用量和高炉煤气柜总储量，从而得到高炉煤气系统模型输入变量和输出变量的历史样本数据，其中，输入变量包括高炉煤气总发生量、生产用户高炉煤气总使用量、电厂用户高炉煤气总使用量和高炉煤气柜总储量，输出变量包括下一时刻高炉煤气柜总储量；

步骤2：基于多目标优化的密度聚类算法，具体操作如下：

1)初始化决策变量个数和取值范围

假设训练数据集样本个数为n，样本维数为v，其中包括(v-1)个输入变量和1个输出变量，将密度聚类过程中的局部密度阈值和距离阈值分别转换成由两个系数rate_density∈[0,1]和rate_dist∈[0,1]表示的形式，计算分别如式(1)-(2)所示：

ρ_{threshold_i}＝rate_density*(D_{i_max}-D_{i_min}) (1)

δ_{threshold_i}＝rate_dist*(D_{i_max}-D_{i_min}) (2)

其中，i＝1,2,...,v；ρ_{threshold_i}表示第i个变量的局部密度阈值，δ_{threshold_i}表示第i个变量的距离阈值，D_{i_max}是样本数据集中第i维变量的最大值，D_{i_min}是样本数据集中第i维变量的最小值，rate_density和rate_dist为要优化的决策变量；

2)初始化NSGA-II算法参数：种群中个体数量N、最大迭代次数I、交叉概率Cr、变异概率Mr；

3)定义目标函数分别为高炉煤气系统模型的精度、复杂度和可解释性：

①高炉煤气系统模型的精度

以平均绝对百分误差MAPE表示模型精度，如式：

其中，y(k)是第k个样本的实际输出值，是第k个样本的模糊模型推理值；

②高炉煤气系统模型的复杂度

将模型复杂度定义为各变量划分的模糊集合个数与规则库中规则数的和，如式：

其中，M_i表示每个变量的模糊集合个数，所建模型为完备规则库，规则库中的规则数表示为

③高炉煤气系统模型的可解释性

模型的可解释性定义为样本数据激活模糊规则的程度即模糊规则的活跃度，定义每条规则被激活的程度等于样本输入数据对应前件各模糊集合的隶属度值的乘积，根据样本数据求出每条规则被激活的程度的平均值，从而求出规则库中所有规则被激活的程度，要求所有规则被激活的程度越高越好，模型可解释性的计算如式(5)-(7)所示：

首先，定义每条规则被激活的程度为前件各模糊集合的隶属度值的乘积，即

所有规则被激活的程度，即模型可解释性用如下公式计算

Obj_interpretability＝U_{SingleActive_average}*R_n (7)

其中，N_{k_active}表示第k条数据样本激活的模糊规则数量，U_{k_SingleActive}为每条规则被激活的程度，μ_{k_p,i}表示第k个样本激活的第p条规则的前件中第i个变量所属模糊集合的隶属度，R_n表示模糊规则库中所有规则数量；

4)初始化种群Pt，该种群中有N个个体，初始化每个个体的决策变量，rate_density和rate_dist，并根据步骤3)计算其目标函数值；

5)对种群个体进行非支配排序，并计算拥挤距离；

6)通过二进制锦标赛法从原种群Pt中选择个体进行交叉和变异操作，交叉个体数量为N*Cr，变异个体数量为N*Mr，从而产生新一代种群Qt；

7)合并Pt和Qt产生组合种群Rt＝Pt∪Qt，并对Rt进行非支配排序，通过计算拥挤距离和精英保留策略选出N个个体组成新一代种群Pt+1；跳转至步骤6)，循环直至满足结束条件，即达到最大迭代次数I，得到Pareto解集；

8)选择最终解

根据得到的Pareto解集和预先设定的模型输出误差阈值Error_threshold，找到所有满足误差小于Error_threshold的解，为权衡满足误差条件的解的模型复杂度和可解释性，将这些解的模型复杂度目标函数值和模型可解释性目标函数值作相应的处理，并计算二者乘积，取乘积最大的解作为最终解，即

其中，表示将的值进行归一化处理的结果，表示将模型可解释性的目标函数Obj_interpretability的值进行归一化处理的结果，优化求解过程完成后，相对应的各个变量的聚类中心和聚类个数即为对各变量划分的隶属度函数的中心和个数；

步骤3：隶属度函数拟合

根据步骤2中得到的聚类个数和聚类中心，通过隶属度函数公式(9)-(11)计算得到各变量的隶属度函数，其中，O_j为聚类中心值，j＝2,3,…,c-1,c为聚类个数，并且满足O_j-1＜O_j＜O_j+1；

如图1所示，图中该煤气系统由煤气发生源、煤气消耗用户、煤气调节用户、煤气储存设备、煤气放散设备和煤气输送管网组成。煤气发生源产生的煤气大部分由煤气管网输送给煤气消耗用户供其正常生产，剩余的存入管网中的煤气储存设备——煤气柜。实际中，由于各煤气用户的生产工艺，其消耗煤气的流量变化呈现不同程度的波动，这将会出现煤气的产消不平衡，导致了煤气柜的不平稳变化，而由于煤气柜的安全运行设置，调度人员需要实时掌握煤气柜的柜储量变化，及时调整煤气调节用户的煤气用量来稳定煤气柜，从而避免煤气的无效放散，提高煤气的利用率。

图2中基于多目标优化密度聚类的隶属度函数确定方法。第一阶段，基于多目标优化的密度聚类算法将模糊模型精度、模型复杂度和模型可解释性融合到密度聚类算法中，从而得到最佳的聚类个数和聚类中心；在第二阶段，设计了一种符合历史数据特征和模糊推理机制的隶属度函数公式，并根据第一阶段的聚类结果确定各个隶属度函数的形状。

图3中分别列出了遗传算法、PFCM算法和本发明产生的隶属度函数形状。其中(a1)-(e1)为由遗传算法得到的各变量隶属度函数；(a2)-(e2)为由PFCM算法得到的各变量隶属度函数；(a3)-(e3)为由本发明产生的各变量隶属度函数。

图4中五角星实线是基于遗传算法产生隶属度函数的方法建立的模糊模型柜储量预测曲线，正方形实线是基于PFCM算法产生隶属度函数的方法建立的模糊模型柜储量预测曲线，菱形实线是基于人工经验方法建立的模糊模型柜储量预测曲线，星号实线是基于本发明方法建立的模糊模型柜储量预测曲线，圆圈实线是本发明实施方案中待预测的高炉煤气柜储量在某一时间段的真实值曲线。模型结构和模型效果统计情况可参见表1。

表1模型结构及模型效果统计结果表

Claims (1)

1.一种基于多目标密度聚类的高炉煤气系统模型隶属度函数确定方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1：从数据库分别读取高炉煤气管网中1#～4#高炉煤气受入流量、各煤气用户的高炉煤气使用流量和1#、2#高炉煤气柜储量数据，分别计算高炉煤气总发生量、生产用户高炉煤气总使用量、电厂用户高炉煤气总使用量和高炉煤气柜总储量，从而得到高炉煤气系统模型输入变量和输出变量的历史样本数据，其中，输入变量包括高炉煤气总发生量、生产用户高炉煤气总使用量、电厂用户高炉煤气总使用量和高炉煤气柜总储量，输出变量包括下一时刻高炉煤气柜总储量；

步骤2：基于多目标优化的密度聚类算法，具体操作如下：

1)初始化决策变量个数和取值范围

假设训练数据集样本个数为n，样本维数为v，其中包括(v-1)个输入变量和1个输出变量，将密度聚类过程中的局部密度阈值和距离阈值分别转换成由两个系数rate_density∈[0,1]和rate_dist∈[0,1]表示的形式，计算分别如式(1)-(2)所示：

ρ_{threshold_i}＝rate_density*(D_{i_max}-D_{i_min}) (1)

δ_{threshold_i}＝rate_dist*(D_{i_max}-D_{i_min}) (2)

其中，i＝1,2,...,v；ρ_{threshold_i}表示第i个变量的局部密度阈值，δ_{threshold_i}表示第i个变量的距离阈值，D_{i_max}是样本数据集中第i维变量的最大值，D_{i_min}是样本数据集中第i维变量的最小值，rate_density和rate_dist为要优化的决策变量；

2)初始化NSGA-II算法参数：种群中个体数量N、最大迭代次数I、交叉概率Cr、变异概率Mr；

3)定义目标函数分别为高炉煤气系统模型的精度、复杂度和可解释性：

①高炉煤气系统模型的精度

以平均绝对百分误差MAPE表示模型精度，如式：

$Obj\_accuracy=MAPE=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\left|\frac{y\left(k\right)-\tilde{y}\left(k\right)}{y\left(k\right)}\right|---\left(3\right)$

其中，y(k)是第k个样本的实际输出值，是第k个样本的模糊模型推理值；

②高炉煤气系统模型的复杂度

将模型复杂度定义为各变量划分的模糊集合个数与规则库中规则数的和，如式：

$Obj\_complexity=\underset{i=1}{\overset{v}{\Σ}}{M}_i+R_n---\left(4\right)$

其中，M_i表示每个变量的模糊集合个数，所建模型为完备规则库，规则库中的规则数表示为

③高炉煤气系统模型的可解释性

模型的可解释性定义为样本数据激活模糊规则的程度即模糊规则的活跃度，定义每条规则被激活的程度等于样本输入数据对应前件各模糊集合的隶属度值的乘积，根据样本数据求出每条规则被激活的程度的平均值，从而求出规则库中所有规则被激活的程度，要求所有规则被激活的程度越高越好，模型可解释性的计算如式(5)-(7)所示：

首先，定义每条规则被激活的程度为前件各模糊集合的隶属度值的乘积，即

$\begin{array}{cc}{U}_{k\_SingleActive}=\frac{1}{N_{k\_active}}\underset{p=1}{\overset{N_{k\_active}}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{v-1}{\Π}}{\mathrm{\μ}}_{k\_p,i}& (k=1,2,\mathrm{...},n;p=1,\mathrm{...},N_{k\_active})\end{array}---\left(5\right)$

$U_{SingleActive\_average}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{U}_{k\_SingleActive}---\left(6\right)$

所有规则被激活的程度，即模型可解释性用如下公式计算

Obj_interpretability＝U_{SingleActive_average}*R_n (7)

其中，N_{k_active}表示第k条数据样本激活的模糊规则数量，U_{k_SingleActive}为每条规则被激活的程度，μ_{k_p,i}表示第k个样本激活的第p条规则的前件中第i个变量所属模糊集合的隶属度，R_n表示模糊规则库中所有规则数量；

4)初始化种群Pt，该种群中有N个个体，初始化每个个体的决策变量，rate_density和rate_dist，并根据步骤3)计算其目标函数值；

5)对种群个体进行非支配排序，并计算拥挤距离；

6)通过二进制锦标赛法从原种群Pt中选择个体进行交叉和变异操作，交叉个体数量为N*Cr，变异个体数量为N*Mr，从而产生新一代种群Qt；

7)合并Pt和Qt产生组合种群Rt＝Pt∪Qt，并对Rt进行非支配排序，通过计算拥挤距离和精英保留策略选出N个个体组成新一代种群Pt+1；跳转至步骤6)，循环直至满足结束条件，即达到最大迭代次数I，得到Pareto解集；

8)选择最终解

根据得到的Pareto解集和预先设定的模型输出误差阈值Error_threshold，找到所有满足误差小于Error_threshold的解，为权衡满足误差条件的解的模型复杂度和可解释性，将这些解的模型复杂度目标函数值和模型可解释性目标函数值作相应的处理，并计算二者乘积，取乘积最大的解作为最终解，即

$\underset{x_1,x_2}{\max }\{{\tilde{f}}_1(x_1,x_2)\·{\tilde{f}}_3(x_1,x_2)|Obj\_accuracy\≤Error\_threshold\}---\left(8\right)$

其中，表示将的值进行归一化处理的结果，表示将模型可解释性的目标函数Obj_interpretability的值进行归一化处理的结果，优化求解过程完成后，相对应的各个变量的聚类中心和聚类个数即为对各变量划分的隶属度函数的中心和个数；

步骤3：隶属度函数拟合

根据步骤2中得到的聚类个数和聚类中心，通过隶属度函数公式(9)-(11)计算得到各变量的隶属度函数，其中，O_j为聚类中心值，j＝2,3,…,c-1,c为聚类个数，并且满足O_j-1＜O_j＜O_j+1；

$F_{j\_Left}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\&le;O_{j-1}\\ 1-2*{\left(\frac{x-O_{j-1}}{O_j-O_{j-1}}\right)}^2,& O_{j-1}<x\&le;\frac{O_{j-1}+O_j}{2}\\ 2*{\left(\frac{O_j-x}{O_j-O_{j-1}}\right)}^2,& \frac{O_{j-1}+O_j}{2}<x<O_j\\ 0,& x\&GreaterEqual;O_j\end{array}\right.---\left(9\right)$

$F_{j\_Middle}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& x\&le;O_{j-1}\\ 2*{\left(\frac{x-O_{j-1}}{O_j-O_{j-1}}\right)}^2,& O_{j-1}<x\&le;\frac{O_{j-1}+O_j}{2}\\ 1-2*{\left(\frac{O_j-x}{O_j-O_{j-1}}\right)}^2,& \frac{O_{j-1}+O_j}{2}<x\&le;O_j\\ 1-2*{\left(\frac{x-O_j}{O_{j+1}-O_j}\right)}^2,& O_j<x\&le;\frac{O_j+O_{j+1}}{2}\\ 2*{\left(\frac{O_{j+1}-x}{O_{j+1}-O_j}\right)}^2,& \frac{O_j+O_{j+1}}{2}<x<O_{j+1}\\ 0,& x\&GreaterEqual;O_{j+1}\end{array}\right.---\left(10\right)$

$F_{j\_Right}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& x\&le;O_j\\ 2*{\left(\frac{x-O_j}{O_{j+1}-O_j}\right)}^2,& O_j<x<\frac{O_j+O_{j+1}}{2}\\ 1-2*{\left(\frac{O_{j+1}-x}{O_{j+1}-O_j}\right)}^2,& \frac{O_j+O_{j+1}}{2}<x\&le;O_{j+1}\\ 1,& x\&GreaterEqual;O_{j+1}\end{array}\right.---\left(11\right).$