CN106844976A - 一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法，涉及工程结构可靠性分析技术领域。步骤包括：对于具有多个独立随机变量的工程结构设计问题，建立包含随机参数的结构功能函数；建立结构功能函数积分的等效弱形式，得到真实结构功能函数的一元替代算式；确定结构功能函数统计量，包括均值、方差及高阶原点矩和中心矩的近似表达式；在随机变量定义域内进行配点，确定配点方案；确定结构失效概率，用来评估结构可靠性。本发明综合考虑了工程结构可靠性问题在计算精度和计算效率上的平衡，基于结构功能函数的一元等效积分弱形式和配点型方法给出结构的失效概率，从而减缓了随机响应的正态性假设所带来的模型误差。

Description

一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及工程结构可靠性分析技术领域，尤其涉及一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法。

背景技术

工程结构设计需要保证结构在规定的时间内和给定的载荷下完成预定的功能。然而，在设计过程和实际操作环境中往往存在大量的不确定性，大致可分为物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性。物理不确定性由载荷、材料、几何和边界条件等参数的变异性所致。统计不确定性是由样本数量的不足而对分布参数产生的估计偏差所造成的，也经常是由于真实分布形式与预估分布形式存在偏差所造成的。而模型不确定性是指所使用的数学、物理模型不能完全精确地反映问题的本质，只是对客观情况的一种近似描述。为保证结构的安全性能，需要对这些不确定性带来的负面效果进行合理地量化和管理。在具有充足的样本信息时，对工程结构设计和操作环境中的不确定性使用概率模型进行描述是一种合理的方法，可使用可靠度或失效概率的概念量化结构完成预定功能的概率。

在工程结构的可靠性分析中，由于各随机变量的联合概率分布函数通常极难获得，所以精确的全概率积分方法很难应用于实际问题之中。作为工程中一种现实的选择，人们转向研究只使用随机变量前两阶矩的一次二阶矩方法，其中包括中心点法、验算点法等。这类方法将非线性功能函数在随机变量域内的某点处展开为线性函数得到，计算过程简单但具有较低的计算精度。无论是中心点法还是验算点法，都没有正面解决响应函数Z的分布问题，而只满足于在求得可靠度指标β值后，通过假定Z的分布(通常为正态)来解决β与失效概率的转换问题。这在一定程度上引入了模型不确定性。为改善一次二阶矩方法的计算精度，国内外广泛开展了二次二阶矩、二次四阶矩方法的研究。虽然随着展开的阶数和所使用统计量的增多，计算精度稍显增加，但这些方法都是基于Taylor展开的，很重要的环节是需要计算响应函数关于各随机变量的灵敏度，工程问题中往往以差商运算代替微商运算，而这个过程也将引入难以估量的误差。

鉴于基于Taylor展开方法的精度限制，统计类可靠性分析方法也得到了长足的发展，尤其是在处理需要高可靠度指标的工程问题中得以应用。Monte Carlo仿真方法的理论基础是概率论中的大数定理，具有不受应用范围限制的优点，但其缺点是需要消耗极大的计算代价，虽然已出现了改进的多种抽样方法，但其在实际工程计算中仍较少采用，一般多用于检验一些新提出方法的精度。所以，在目前工程结构可靠度分析方法中，缺少一类具有较高计算精度，但计算量又可以承受的方法。

发明内容

针对现有技术的缺陷，本发明提供一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法，综合考虑了工程结构可靠性问题在计算精度和计算效率上的平衡，基于结构功能函数的一元等效积分弱形式和配点型方法给出结构的失效概率，从而减缓了随机响应的正态性假设所带来的模型误差。

一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法，包括以下步骤：

步骤1：对于包含多个独立随机变量的工程结构设计问题，建立参数化结构功能函数，定义其结构功能函数为

X＝g(h)＝g(h₁，…h_N) (1)

其中，随机变量i＝1，…N，N为正整数，和分别为第i个随机变量h_i的下界值和上界值，Ω为一超长方体形成的凸域，并记域Ω的中心点为半径为

步骤2：确定结构功能函数的等效积分弱形式；根据结构功能函数g(h)在中心点h^c处具有收敛的Taylor展开式近似计算函数g(h)在凸域Ω上的积分，并记为I[g(h)]；取g(h)的一元近似函数为式(2)；

将g(h)的一元近似函数同样进行Taylor展开并积分，记为使用作为I[g(h)]的近似函数，得到具有4阶小量的残差估计；

步骤3：确定结构功能函数统计量；基于积分运算和求和运算的可交换性，得到结构功能函数g(h)的期望μ_g和方差一元表示形式分别如式(3)和式(4)所示；

其中，为一元分解函数的均值，表示第i个一元分解函数，为第i个一元分解函数的方差，g^c为结构功能函数g(h)在点h＝h^c处的值；结构功能函数g(h)的m阶原点矩和中心矩分别如式(5)和式(6)所示；

其中，表示第i个一元分解函数的第m阶原点矩，表示组合方法，C表示数学排列组合中的组合符号，表示第i个一元分解函数的第k阶中心矩；

步骤4：在随机变量定义域内进行配点，得到式(7)所示的均值的数值积分格式；

其中，f(h_i)为随机变量h_i在域Γ内的概率密度分布函数，为第i个一元分解函数在随机变量h_i所在区间内的第j个配点，j＝1，…，NP，NP为配点的个数，为相应的权重因子；权重因子与配点的数目和位置是相关的，需根据具体的分布进行确定；

步骤5：为避免使用功能函数的正态性假设所带来的模型误差，考虑基于非高斯随机变量X的统计量，根据一维概率密度函数的渐进展式以近似得到结构功能函数的概率密度分布函数：

其中，z所对应的随机变量Z由随机变量X标准化得到，记Z＝(X-μ_X)/σ_X，这里μ_X为X的均值，而σ_X为X的标准差，p(z)为高斯概率密度函数，c_n为待定系数；使用所得到的原点矩和中心距计算概率密度函数p^*(z)，得到结构的失效概率P_f的估计式如式(9)所示；

根据所得到的结构失效概率P_f和工程结构的失效标准来评估结构的可靠性。

由上述技术方案可知，本发明的有益效果在于：本发明提供的基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法，可达到4阶计算精度，并且计算量随着随机变量数目的增加只是线性增长，有效提高了计算精度和计算效率。根据非高斯随机变量概率密度函数的Edgeworth渐进展式，得到结构响应的逼近概率密度函数，对其直接进行积分得到结构的失效概率，从而减缓了正态性假设所带来的模型不确定性。

附图说明

图1为本发明实施例提供的基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法，如图1所示，本实施例的方法如下所述。

步骤1：建立参数化结构功能函数。

工程结构中的随机变量包括材料属性、环境参数、模型误差、认知能力等，对于包含多个独立随机变量的工程结构设计问题，其结构功能函数定义为

X＝g(h)＝g(h₁，…h_N) (1)

式中，i＝1，…N，N为正整数，Ω为一超长方体形成的凸域。并记域Ω的中点为半径为

步骤2：确定结构功能函数的等效积分弱形式。假设功能函数g(h)在中心点h^c处具有收敛的Taylor展开式

式中，算子根据式(10)，可近似计算函数g(h)在凸域Ω上的积分

引入下面的关系式

式中，m_i为一非负整数。值得注意的是，当且仅当集合{m_i，i＝1，2，…，N}中至少有一个元素为奇数时，式(12)成立。将式(10)代入式(11)，并使用式(12)进行简化，可得式(13)。

另一方面，取函数

将函数式(2)进行Taylor展开并进行积分，利用关系式(12)，得到

使用作为I[g(h)]的近似函数，可得残差估计式(15)

由式(15)可知，所得到的残差为4阶小量。工程问题一般将响应函数展开至1-2阶，即可获得较为满意的数值精度，所以，函数式(2)可在上述的积分形式下近似等效于结构功能函数g(h)。

为方便，记则式(2)可重写为

其中，称为第i个一元分解函数。

结构功能函数积分的等效弱形式目的是为了将多元随机变量问题转化了多个一元随机变量问题进行求解。而该转化过程需要对近似函数的误差进行合理估计，本实施例给出的一元分解方法可在积分意义上达到4阶精度。

步骤3：确定结构功能函数统计量。首先考察功能函数g(h)的期望值和方差，分别有

式中，f(h)为随机向量h的联合概率密度函数。

基于积分运算和求和运算的可交换性，可得到期望的下述一元表示形式

记μ_g＝E[g(h)]，则有

方差的一元表示形式可借鉴期望的一元化过程。为此，定义过渡函数

p(h)＝(g(h)-μ_g)² (20)由式(19)可得到方差的下述一元表示形式

式中，和p_c的定义分别与和g_c类似。如下式所示。

将式(22)中的N个式子相加并取均值运算，得到

根据的方差定义式(23)可重写为

将式(24)所得结果代入式(21)，将p^c进行替换，并记和最终可得

式(3)和式(4)即为多元随机函数期望值和方差的一元表示形式。

类似地，可得到结构功能函数g(h)的m阶原点矩和中心距分别如式(5)和式(6)所示。

其中，表示第i个一元分解函数的第m阶原点矩，表示组合方法，C表示数学排列组合中的组合符号，表示第i个一元分解函数的第k阶中心矩。

步骤4：配点方案。不失一般性，以求解分解函数的期望为例，在随机变量定义域内进行配点，得到下面式(7)所示的均值的的数值积分格式

其中，为第i个一元分解函数在随机变量h_i所在区间内的第j个配点，j＝1，…，NP，NP为配点的个数，f(h_i)为随机变量h_i在域Γ内的概率密度分布函数，为相应的权重因子。由式(7)可知，权重因子与配点的数目和位置是相关的，需根据具体的分布进行确定。下面通过Taylor展开系数相等的方法得到权重因子和配点的关系式，为此首先将第j个配点处的函数值在h_i中值点处展开，得到

将式(25)代入式(7)，得到

另一方面，将也在中值点处展开，并取均值运算，得到

对比式(26)和式(27)，可知

当k＝NP-1时，式(28)转化为一个封闭的代数方程组，可将其写成矩阵形式为

式中，为由配点和中心点的位置关系形成的系数矩阵，为代求的权重因子列向量，B_i为随机变量h_i前(NP-1)阶中心矩形成的列向量。由式(29)可将权重因子列向量表示为

记则式(7)可重写为

对于高阶原点矩和中心矩有类似的结论，只需将替换为响应的函数即可。值得指出的是，在求解权重集时，若使用较多的配点，矩阵的条件数将会变得非常差，这对于求逆运算是不利的，此时可将相应的权重因子运算经过平移和伸缩变换到[-1，1]区间上进行求解，可得到相同的配点集。

步骤5：确定结构失效概率。为避免使用功能函数的正态性假设所带来的模型误差，考虑使用非高斯随机变量X的一维概率密度函数的渐进展式

式中，z所对应的随机变量Z由随机变量X标准化得到，记Z＝(X-μ_X)/σ_X，这里μ_X为X的均值，而σ_X为X的标准差，p(z)为高斯概率密度函数，c_n为待定系数。这里使用Edgeworth渐进展式，其被证明前四项可给出非高斯概率密度足够精确的表达式，如下

式中，σ_X为随机变量X的标准差，H_n(z)为Hermite多项式，如下

而和分别为随机变量X的第3个和第4个半不变量，可使用前4阶原点矩表示为

这样，可以使用失效概率P_f的定义来评估结构的可靠性，有

根据所得到的结构失效概率P_f和工程结构的失效标准来评估结构的可靠性。

本实施例中，步骤(3)中使用一元等效函数的数字特征表征原结构功能函数的数字特征。结构功能函数g(h)的第m阶原点矩可用其一元分解函数的第m阶原点矩的线性组合表示，而第m阶中心矩可用一元分解函数的前m阶中心距的线性组合表示。当分解函数和概率密度函数f(h_i)具有解析表达式时，可通过定义直接进行积分，得到的数字特征。然而工程问题中的响应函数的解析表达式通常是难以获得的，此时需使用数值积分方法，从步骤(4)可看出所提方法在求解工程结构问题时是非常方便的。

步骤(4)通过Taylor展开系数相等的方法得到权重因子和配点的关系式，可将其转化为一个封闭的代数方程组进行求解。值得指出的是，在求解权重集时，若使用较多的配点，所得代数方程组系数矩阵的条件数将会变差，这对于求逆运算是不利的，此时可将相应的权重因子运算经过平移和伸缩变换到[-1，1]区间上进行求解，可得到相同的配点集。

从本实施例的计算格式来看，配点型结构可靠性分析方法可能会在以下3处地方引入近似误差：首先，在使用一元分解函数代替原功能函数进行积分时，会引入4阶小量误差；其次，在使用Edgeworth近似概率密度函数积分求得失效概率时会引起至多6阶小量的误差；另外，在使用配点进行数值积分求得功能函数统计量时，若使用均匀配点，方法精度可达到(NP-1)阶，若使用Gauss配点方式，方法精度可达到(2NP-1)阶，并且计算精度可随着配点数目的增加而提高，最多达到与使用一元分解函数解析表达相同的积分精度。所以，配点型结构可靠性分析方法的计算精度总体上可达到4阶精度。

另一方面，对于工程问题来讲，本实施例所述方法的计算量主要存在于计算配点集上的功能函数值集。一般来说，在一个区间上配置NP个Gauss积分点时，该方法的主要计算量为NP×N次功能函数的确定性求解。即方法的计算量是随着随机变量的数目增加而线性增长的。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制，所述方法可扩展应用于基于函数等效积分弱形式和配点型方法所构造的可靠性分析方法；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。

Claims (1)

1.一种基于配点型算法的随机参数结构可靠性评估方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤1：对于包含多个独立随机变量的工程结构设计问题，建立参数化结构功能函数，定义其结构功能函数为

X＝g(h)＝g(h₁,…h_N) (1)

其中，随机变量N为正整数，和分别为第i个随机变量h_i的下界值和上界值，Ω为一超长方体形成的凸域，并记域Ω的中心点为半径为

步骤2：确定结构功能函数的等效积分弱形式；根据结构功能函数g(h)在中心点h^c处具有收敛的Taylor展开式近似计算函数g(h)在凸域Ω上的积分，并记为I[g(h)]；取g(h)的一元近似函数为式(2)；

$\tilde{g}\left(h\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}g(h_1^c,...h_{i-1}^c,h_i,h_{i+1}^c...,h_N^c)-(N-1)g\left(h^c\right)---\left(2\right)$

将g(h)的一元近似函数同样进行Taylor展开并积分，记为使用作为I[g(h)]的近似函数，得到具有4阶小量的残差估计；

步骤3：确定结构功能函数统计量；基于积分运算和求和运算的可交换性，得到结构功能函数g(h)的期望μ_g和方差一元表示形式分别如式(3)和式(4)所示；

${\mathrm{\μ}}_g=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{{\tilde{g}}_i}-(N-1)g^c---\left(3\right)$

${\mathrm{\σ}}_g^2=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_{{\tilde{g}}_i}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{({\mathrm{\μ}}_{{\tilde{g}}_i}-{\mathrm{\μ}}_g)}^2-(N-1){(g^c-{\mathrm{\μ}}_g)}^2---\left(4\right)$

其中，为一元分解函数的均值，表示第i个一元分解函数，为第i个一元分解函数的方差，g^c为结构功能函数g(h)在点h＝h^c处的值；结构功能函数g(h)的m阶原点矩和中心矩分别如式(5)和式(6)所示；

${\mathrm{\μ}}_g^{\left(m\right)}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{{\tilde{g}}_i}^m-(N-1){\left(g^c\right)}^m---\left(5\right)$

$v_g^{\left(m\right)}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_m^k{({\mathrm{\μ}}_{{\tilde{g}}_i}-{\mathrm{\μ}}_g)}^{m-k}{v}_{{\tilde{g}}_i}^k-(N-1){(g^c-{\mathrm{\μ}}_g)}^m---\left(6\right)$

其中，表示第i个一元分解函数的第m阶原点矩，表示组合方法，C表示数学排列组合中的组合符号，表示第i个一元分解函数的第k阶中心矩；

步骤4：在随机变量定义域内进行配点，得到式(7)所示的均值的数值积分格式；

${\mathrm{\μ}}_{{\tilde{g}}_i}=\underset{\mathrm{\Γ}}{\∫}{\tilde{g}}_{i}f\left(h_i\right){\mathrm{dh}}_i=\underset{j=1}{\overset{NP}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{w}}_i^j{\tilde{g}}_i\left({\stackrel{\‾}{h}}_i^j\right)---\left(7\right)$

其中，f(h_i)为随机变量h_i在域Γ内的概率密度分布函数，为第i个一元分解函数在随机变量h_i所在区间内的第j个配点，j＝1,…,NP，NP为配点的个数，为相应的权重因子；权重因子与配点的数目和位置是相关的，需根据具体的分布进行确定；

步骤5：基于非高斯随机变量X的统计量，根据一维概率密度函数的渐进展式以近似得到结构功能函数的概率密度分布函数：

$p^{*}\left(z\right)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\frac{c_n}{n!}\frac{d^{n}p\left(z\right)}{{\mathrm{dz}}^n}---\left(8\right)$

其中，z所对应的随机变量Z由随机变量X标准化得到，记Z＝(X-μ_X)/σ_X，μ_X表示X的均值，σ_X表示X的标准差，p(z)为高斯概率密度函数，c_n为待定系数；使用所得到的原点矩和中心距计算概率密度函数p^*(z)，得到结构的失效概率P_f的估计式如式(9)所示；

$P_f={\∫}_{\mathrm{\∞}}^{-{\mathrm{\μ}}_X/{\mathrm{\σ}}_X}p*\left(z\right)dz---\left(9\right)$

根据所得到的结构失效概率P_f和工程结构的失效标准来评估结构的可靠性。