CN106776472B - 一种月尖突变可视化呈现方法及系统 - Google Patents

一种月尖突变可视化呈现方法及系统 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种月尖突变可视化呈现方法，包括：步骤S1、读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；步骤S2、计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd‑4b3d+b2c2‑4ac3‑27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；步骤S3、若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；步骤S4、根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形，并标注标准突变方程。通过本发明的技术方案，可以实现月尖突变图形的定量、客观和自动绘制，避免了以往月尖突变图形绘制的人为主观性。

Description

一种月尖突变可视化呈现方法及系统
技术领域
本发明涉及突变可视化呈现技术领域，具体涉及一种月尖突变可视化呈现方法及系统。
背景技术
突变是指研究系统的状态随外界控制参数连续改变，而从一种稳定态跳跃式转变到另一种稳定状态，或者说在系统的演化中，控制变量的连续逐渐变化导致系统的突然变化。突变理论的一个显著优点是，即使在不知道系统有哪些微分方程，更不用说如何解这些微分方程的条件下，仅在少数几个假设的基础上，用少数几个控制变量便可预测系统的诸多定性或定量性态。突变理论比较重要的原理之一是：拓扑等价与结构稳定性。
月尖突变作为突变理论中的一个重要突变形式，在科研领域有广泛的应用。然而前人的图形大都是定性手绘的，对不同势函数的具体突变形态缺乏准确的绘制。月尖突变是Zeeman在1976年提出的关于势函数中两个参数(a和b)的变化而产生的分岔形态。它对应的标准突变方程(势函数一阶导数为零)为x3-bx-a＝0，其中a和b作为控制变量构成二维控制空间，x作为反应变量构成一维行为空间。标准突变方程所描述的曲面具有三维结构特征，带有一个奇点，随着两个控制变量的变化，褶皱通过这个奇点展开并把曲面分为上下两页，这两页的褶线在控制空间上的投影是一个半立方抛物线，表达式为
目前处理常微分方程非线性分岔和连续性问题的常用软件是加拿大康考迪亚大学开发的AUTO-07p。它定义的月尖标准方程形式为：，运行相关程序会计算微分方程的定态解，确定鞍-结点分岔的位置和连续性。以cusp demo为例，运行需要以下步骤(只包含主要步骤)：
装载问题定义：cusp＝load('cusp')；
执行命令，追踪定态解的分支：mu＝run(cusp)，其中μ是自由变量，λ保持不变；
后向执行命令，结果追加至μ：mu＝mu+run(cusp,DS＝'-')；
把上述计算结果作为重启解，并把控制变量设为2个：lp1＝load(mu('LP1'),ISW＝2)；
第三次执行命令，求出在二维控制空间下的褶线：cusp＝run(lp1)；
第四次执行命令，在相反方向进行分岔计算：cusp＝cusp+run(lp1,DS＝'-')。
现有的AUTO-07p软件没有针对不同形式的势函数处理月尖突变形态，也没有相关的三维曲面变化的显示，仅限于计算经典形式的突变形态。这样的理想概念模型不能满足对于具体突变问题进行诠释的需要，极大地限制了软件的应用范围，因此前人论文中引用的图形还存在许多定性手绘的情况。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种月尖突变可视化呈现方法及系统，以实现月尖突变图形的自动化绘制，减少人为参与月尖突变图形绘制的过程。
为实现以上目的，本发明采用如下技术方案：
一种月尖突变可视化呈现方法，包括：
步骤S1、读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；
步骤S2、计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd-4b3d+b2c2-4ac3-27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；
步骤S3、若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；否则，弹出Δ<0的提醒框，用户确认继续绘制图形后，再将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；
步骤S4、根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形，并标注标准突变方程。
优选地，所述步骤S3中将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影等，包括：
用代换目标函数F(x)中的x，可得到形如t3+pt+q＝0的标准突变方程，根据该标准突变方程在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影；
根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为半立方抛物线根据该投影方程可以画出月尖突变在控制空间上的投影。
优选地，所述步骤S3还包括：将所述标准突变方程改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0，则根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为
优选地，所述步骤S3还包括：
选取P的变化区间，使得(p+P)∈[-2.5|p|,1.5|p|]，并选取Q的区域关于原点对称，以使步骤S4中输出的图形美观。
优选地，所述步骤S4还包括通过图形用户界面向用户提供水平旋转、垂直旋转及清除图形的控制按钮。
一种月尖突变可视化呈现系统，包括：
构建单元，用于读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；
计算单元，用于计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd-4b3d+b2c2-4ac3-27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；
制图单元，用于若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；否则，弹出Δ<0的提醒框，用户确认继续绘制图形后，再将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；
输出单元，用于根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形。
优选地，所述制图单元将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影等，包括：
用代换目标函数F(x)中的x，可得到形如t3+pt+q＝0的标准突变方程，根据该标准突变方程在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影；
根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为半立方抛物线根据该投影方程可以画出月尖突变在控制空间上的投影。
优选地，所述制图单元还用于：将所述标准突变方程改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0，则根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为
优选地，所述制图单元还用于：
选取P的变化区间，使得(p+P)∈[-2.5|p|,1.5|p|]，并选取Q的区域关于原点对称，以使输出单元输出的图形美观。
优选地，所述输出单元还用于通过图形用户界面向用户提供水平旋转、垂直旋转及清除图形的控制按钮。
本发明采用以上技术方案，至少具备以下有益效果：
由上述技术方案可知，本发明提供的这种月尖突变可视化呈现方法及系统，在设置三次方程系数后，能针对不同形式的三次方程将其自动化简为标准突变方程形式并画出状态曲面变化情况和月尖突变结构，包括突变前后的三维曲面外形、月尖突变在控制平面上的投影等。通过计算机定量绘制的分岔结构更加精确、客观和可靠，能将对月尖突变的感性认识提升到理性认识，从而更有效地服务相关领域的研究。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明一实施例提供的月尖突变可视化呈现方法的流程示意图；
图2为本发明一实施例提供的月尖突变可视化呈现方法通过图形用户界面输出的三维曲面图形；
图3为本发明另一实施例提供的月尖突变可视化呈现方法通过图形用户界面输出的三维曲面图形；
图4是本发明一实施例提供的一种月尖突变可视化呈现系统的示意框图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将对本发明的技术方案进行详细的描述。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所得到的所有其它实施方式，都属于本发明所保护的范围。
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
参见图1，本发明一实施例提供的一种月尖突变可视化呈现方法，包括：
步骤S1、读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；
步骤S2、计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd-4b3d+b2c2-4ac3-27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；
步骤S3、若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；否则，弹出Δ<0的提醒框，用户确认继续绘制图形后，再将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；
步骤S4、根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形，并标注标准突变方程(参见图2和图3)。
需要说明的是，用户通过图形用户界面输入目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项。
为了便于说明本发明提供的这种月尖突变可视化呈现方法，举例说明如下：打开图形用户界面，用户依次输入目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项为-0.7，0.1，1.5，5，点击“运行”，在弹出的对话框上点击“确定”，通过“垂直旋转”控制按钮和“水平旋转”控制按钮调整视图。
其中，在输入目标函数各项系数之后，程序自动判别三次项系数不为0，进而计算判别式的值，发现判别式小于0，弹出对话框，用户确定以后将方程化为标准形式Q＝0.7×((x-1/21)3+(-316/147+P)×(x-1/21)-4818/665)，并在图形用户界面上标出。接下来进入图形绘制阶段，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影(通过曲面端点的黑色虚线铅直向下，参见图2和图3中的黑色实线框，其中图3的三次项系数和图2的三次项系数互为相反数)、月尖分岔在控制空间的投影等。
由上述技术方案可知，本发明提供的这种月尖突变可视化呈现方法，在设置三次方程系数后，能针对不同形式的三次方程将其自动化简为标准突变方程形式并画出状态曲面变化情况和月尖突变结构，包括突变前后的三维曲面外形、月尖突变在控制平面上的投影等。通过计算机定量绘制的分岔结构更加精确、客观和可靠，能将对月尖突变的感性认识提升到理性认识，从而更有效地服务相关领域的研究。
优选地，所述步骤S3中将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影等，包括：
用代换目标函数F(x)中的x，可得到形如t3+pt+q＝0的标准突变方程，根据该标准突变方程在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影；
根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为半立方抛物线根据该投影方程可以画出月尖突变在控制空间上的投影。
优选地，所述步骤S3还包括：将所述标准突变方程改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0，则根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为
需要说明的是，研究中往往需要在标准形式方程的基础上改变p和q，即标准形式改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0。
优选地，所述步骤S3还包括：
选取P的变化区间，使得(p+P)∈[-2.5|p|,1.5|p|]，并选取Q的区域关于原点对称，以使步骤S4中输出的图形美观。
优选地，所述步骤S4还包括通过图形用户界面向用户提供水平旋转、垂直旋转及清除图形的控制按钮。
另外，参见图4，本发明还提出了一种月尖突变可视化呈现系统100，包括：
构建单元101，用于读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；
计算单元102，用于计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd-4b3d+b2c2-4ac3-27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；
制图单元103，用于若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；否则，弹出Δ<0的提醒框，用户确认继续绘制图形后，再将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；
输出单元104，用于根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形。
优选地，所述制图单元103将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影等，包括：
用代换目标函数F(x)中的x，可得到形如t3+pt+q＝0的标准突变方程，根据该标准突变方程在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影；
根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为半立方抛物线根据该投影方程可以画出月尖突变在控制空间上的投影。
优选地，所述制图单元103还用于：将所述标准突变方程改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0，则根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为
优选地，所述制图单元103还用于：
选取P的变化区间，使得(p+P)∈[-2.5|p|,1.5|p|]，并选取Q的区域关于原点对称，以使输出单元输出的图形美观。
优选地，所述输出单元104还用于通过图形用户界面向用户提供水平旋转、垂直旋转及清除图形的控制按钮。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。术语“多个”指两个或两个以上，除非另有明确的限定。

Claims (10)

1.一种月尖突变可视化呈现方法，其特征在于，包括：
步骤S1、读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；
步骤S2、计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd-4b3d+b2c2-4ac3-27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；
步骤S3、若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；否则，弹出Δ<0的提醒框，用户确认继续绘制图形后，再将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；
步骤S4、根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形，并标注标准突变方程。
2.根据权利要求1所述的月尖突变可视化呈现方法，其特征在于，所述步骤S3中将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影，包括：
用代换目标函数F(x)中的x，可得到形如t3+pt+q＝0的标准突变方程，根据该标准突变方程在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影；
根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为半立方抛物线根据该投影方程可以画出月尖突变在控制空间上的投影。
3.根据权利要求2所述的月尖突变可视化呈现方法，其特征在于，所述步骤S3还包括：将所述标准突变方程改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0，则根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为
4.根据权利要求3所述的月尖突变可视化呈现方法，其特征在于，所述步骤S3还包括：
选取P的变化区间，使得(p+P)∈[-2.5|p|,1.5|p|]，并选取Q的区域关于原点对称，以使步骤S4中输出的图形美观。
5.根据权利要求1～4任一项所述的月尖突变可视化呈现方法，其特征在于，所述步骤S4还包括通过图形用户界面向用户提供水平旋转、垂直旋转及清除图形的控制按钮。
6.一种月尖突变可视化呈现系统，其特征在于，包括：
构建单元，用于读取目标函数的三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项，构建目标函数F(x)＝ax3+bx2+cx+d，并将其作为势函数的一阶导数；
计算单元，用于计算目标函数F(x)的判别式Δ＝18abcd-4b3d+b2c2-4ac3-27a2d2，以判断目标函数F(x)是否含有复数解；
制图单元，用于若目标函数F(x)的判别式Δ≥0，将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；否则，弹出Δ<0的提醒框，用户确认继续绘制图形后，再将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影；
输出单元，用于根据操作系统分辨率，自适应调整图形显示比例并通过图形用户界面向用户输出三维曲面图形。
7.根据权利要求6所述的月尖突变可视化呈现系统，其特征在于，所述制图单元将目标函数F(x)化为标准突变方程，在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影和月尖突变在控制空间的投影，包括：
用代换目标函数F(x)中的x，可得到形如t3+pt+q＝0的标准突变方程，根据该标准突变方程在产生分岔结构的区域绘制状态曲面、状态曲面在控制空间的投影；
根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为半立方抛物线根据该投影方程可以画出月尖突变在控制空间上的投影。
8.根据权利要求7所述的月尖突变可视化呈现系统，其特征在于，所述制图单元还用于：将所述标准突变方程改写为a(t3+(p+P)t+q)+Q＝0，则根据突变理论，月尖突变在控制空间上的投影方程为
9.根据权利要求8所述的月尖突变可视化呈现系统，其特征在于，所述制图单元还用于：
选取P的变化区间，使得(p+P)∈[-2.5|p|,1.5|p|]，并选取Q的区域关于原点对称，以使输出单元输出的图形美观。
10.根据权利要求6～9任一项所述的月尖突变可视化呈现系统，其特征在于，所述输出单元还用于通过图形用户界面向用户提供水平旋转、垂直旋转及清除图形的控制按钮。
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《突变理论在斜坡稳定性评价中的应用》;曹杰等;《云南地理环境研究》;20000930;第12卷(第2期);第9-14页

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