CN106650129A - 一种面向装配规划的符号加权约束求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，首先获取装配体的装配联接图、移动向量矩阵和装配代价指标；然后根据装配体信息刻划WCSP模型；接着根据装配体的装配联接图、移动向量矩阵和装配代价指标创建联接图和移动向量矩阵的OBDD表示以及装配代价指标的ADD表示；最后搜索出一个可行的装配序列并记录其总的代价Cost，再对剩余未扩展完成的联接边逐一扩展，并将扩展的代价Cost1与Cost进行比较；搜索完所有的联接边之后，最终得到的最小代价值的装配序列就是最优装配序列。本发明能够在较高的时间和空间效率下，完成对装配体的最优装配序列的生成。

Description

一种面向装配规划的符号加权约束求解方法

技术领域

本发明涉及装配序列规划技术领域，具体涉及一种面向装配规划的符号加权约束求解方法。

背景技术

装配序列规划(Assembly Sequences Planning，ASP)是装配规划中的一个技术难点，在产品设计开发和生产过程中占有很重要的地位。对于大规模产品的生产，一条优秀的装配序列将会大大的缩短产品的生产周期，降低产品的生产费用，提高产品的质量性能。

用于减缓或者部分程度上避免组合复杂性问题的一种可行策略是采用符号或者隐式描述技术。有序二叉决策图(Ordered Binary Decision Diagrams，OBDD)及其扩展形式可以实现状态空间或者变量组合的隐式表示和搜索，是迄今为止最为有效的符号技术之一。近年来，OBDD及其扩展形式(比如ADD和ZBDD)在装配序列规划方面已经有了一些应用。实验结果表明，利用OBDD或其扩展形式作为装配序列的表示比使用AND/OR图表示占用更小的存储空间。

约束满足问题(Constraint Satisfaction Problem，CSP)作为人工智能和计算机科学领域中的大量复杂问题的一个通用的求解范例，已得到广泛的应用。CSP的求解技术为解决装配序列规划问题提供了新的思路和手段。然而，现有的CSP求解技术主要在不考虑装配代价的模型上进行研究，当CSP中对约束的限制过多时，往往会使得问题无解。

发明内容

本发明所要解决的是现有约束满足问题求解技术不考虑装配体的装配代价的问题，提供一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，其能够求解出装配规划的最优装配序列。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，包括步骤如下：

步骤1.获得装配体知识，即装配联接图、移动向量矩阵和所需的装配代价指标；

步骤2.根据装配体知识，将一个装配序列规划问题描述成一个加权约束满足问题；

步骤3.根据装配体的装配联接图，创建装配联接图的OBDD表示；

步骤4.根据装配体的移动向量矩阵，创建移动向量矩阵的OBDD表示；

步骤5.根据所需的装配代价指标，创建装配代价指标矩阵的ADD表示；

步骤6.将装配联接图的OBDD表示、移动向量矩阵的OBDD表示和装配代价指标矩阵的ADD表示代入到步骤2的加权约束满足问题中，并通过求解加权约束满足问题去搜索出一条最优的可行的装配。

上述步骤2的具体步骤如下：

步骤21.用加权约束满足问题中的变量来表示具有连接关系的两零件在建立装配关系时在装配序列中的顺序号，即装配联接图中的一条连接边对应加权约束满足问题中的一个变量，并生成变量集X＝{v₁，v₂，v₃，...，v_m}；

步骤22.根据装配体的零件个数n，设定加权约束满足问题中各变量的域D为[1，n-1]；

步骤23.对加权约束满足问题进行约束定义；

步骤24.根据约束定义设置加权约束满足问题的赋值结构。

上述步骤23中所定义的约束为：

约束1.加权约束满足问题中的每一个变量只能取各自域中的值，且对于域中的任意一个值d_i∈[1，n-1]，在加权约束满足问题中至少存在一个变量取值为d_i；

约束2.连接边e_i1，e_i2，...e_ik在装配联接图中构成了回路，则当有k-1条连接边建立后，那么第k条连接边也自然建立，且与前k-1条连接边中的最后一条建立的连接边同时建立，同时建立的两条连接边对应的变量取值相同；

约束3.当前建立的连接边所关联的零件或子装配与已装配的子装配之间必须满足几何可行性约束，且计算约束代价。

上述步骤6的具体步骤如下：

步骤61.创建一个OPEN表用于存放联接零件的每一条联接边，创建一个CLOSED表用于存放将要扩展的联接边，创建一个EXPEND表用于存放生成的子装配体SA_new；

步骤62.对装配代价指标矩阵的ADD表示进行ADD运算，依次计算出装配联接图每条联接边联接的两零件装配时所需的代价值，记做单步代价值C_i，i∈[1，n-1]；

步骤63.初始化OPEN表，将装配联接图的每条联接边e_i存放入OPEN表中，记录count＝0；

步骤64.选择OPEN表中单步代价值最小的联接边e_j放入到CLOSED表中，并将其从OPEN表中删除，扩展e_j下一步所有可能的联接边e_k，记录为<e_i，e_j>，计算所有可能联接边的单步代价值C_k；即

步骤641.应用排序算法，对OPEN表中联接边的代价值大小排序，选择出代价值最小的联接边e_i；

步骤642.将选出的e_i放入CLOSED表中，将e_i联接的零件构成一个子装配体SA_new，放入EXPEND表中，并将e_i从OPEN表中删除；

步骤643.对e_i进行扩展，选择另外一条联接边e_j，j∈[1，n-1]，j≠i，判断EXPEND表中的子装配体SA_new与联接边e_j关联的零件的几何可行性；

若几何可行，则计算相应的代价值C_k，并更新EXPEND表；

若几何不可行，则继续扩展e_i可能的联接边；

步骤644：将扩展的联接边<e_i，e_j>插入到OPEN表中，重新对OPEN表中联接边的代价值大小排序；

步骤65.将已赋值的变量放入集合assigned中，对所有未赋值的变量逐一考查，判断该变量所对应的连接边是否与assigned中的变量所对应的连接边构成回路，若是，则置该变量值为相应回路中已赋值变量的最大值，并将该变量加入到assigned中，直到assigned不再改变；

步骤66.若count＝n-1，则找到一个可行装配序列，计算此可行装配序列的总代价值C_m；

步骤67.对其余未扩展结束的联接边e_k依次进行扩展；每扩展一次，先计算当前总的代价值C_n，再比较C_m和C_n；

若C_m<C_n，则停止对此边扩展，重新选取边进行扩展判定；

若C_m>C_n，则继续对此边进行扩展，且每扩展一次进行一次扩展判定；

步骤68.若找到一个可行装配序列，且它的代价值C_n<C_m，则替代上一个可行装配序列，更新代价值C_m，C_m＝C_n，转67；

步骤69.对所有联接边判定完之后，最终得到的可行装配序列，即为最优装配序列。

上述步骤643的具体步骤如下：

步骤6431.对e_i进行扩展，选择一条联接边e_j，j∈[1，n-1]，j≠i，判断选择的联接边是否被扩展；若没有，则进行扩展；若有，则重新选择；

步骤6432.根据e_j关联的两个零件P₁和P₂的情况进行处理；

Ⅰ.若P₁和P₂分别属于EXPEND中两个对立的子装配体SA_j和SA_k，则SA_j和SA_k构成一个新的子装配体SA_new，并判断EXPEND表中其余子装配体与SA_new的几何可行性；

若几何可行，计算扩展e_j的代价值C_k，并从EXPEND表中删除子装配体SA_j和SA_k，插入新的子装配体SA_new；

若几何不可行，则重新选择扩展边，转步骤6431；

Ⅱ.若p1和p2中只有一个在EXPEND中的子装配体中，其中P1为SA_j中的零件，P2不在任何子装配体中，则判断SA_j与P2的几何可行性；

若几何不可行，转6431；

若几何可行，则生成一个新的子装配体SA_new，并判断EXPEND表中其余子装配体与SA_new的几何可行性；

若几何可行，计算扩展e_j的代价值C_k，并从EXPEND表中删除子装配体SA_j并插入子装配体SA_new；

若几何不可行，则重新选择扩展边，转6431；

Ⅲ.若P₁和P₂都不在EXPEND表的子装配体中，则判断EXPEND中的各子装配体与{P1，P2}的几何可行性；

若SA_j与{P1，P2}为几何不可行，则转步骤6431；

若都为几何可行，计算扩展e_j的代价值C_k，则P₁和P₂构成一个新的子装配体，插入EXPEND表中。

与现有技术相比，本发明用于在已知装配知识的前提下生成最优装配序列，其能够在较高的时间和空间效率下，通过分析所有可能的装配操作保证装配序列的完备性，通过判断局部装配几何可行性保证装配序列的可靠性，通过运用求解加权约束问题的相关技术保证算法的高效性，最终完成对装配体的最优装配序列的生成。

附图说明

图1一种面向装配规划的符号加权约束求解方法的流程图。

图2是本发明的一个实施例的模型图。

图3是图2所示实施例的联接图。

图4是图2所示实施例的移动向量矩阵。

图5是图2所示实施例的装配代价指标矩阵。

图6是图2所示实施例的联接图的OBDD表示图。

图7是图2所示实施例的移动向量矩阵的OBDD表示图。

图8是图2所示实施例的装配代价指标矩阵的ADD表示图。

图9是图2所示实施例的最优装配序列的ADD表示图。

具体实施方式

为了使本发明的技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明的一种面向装配规划的符号加权约束求解方法进行进一步的详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

针对CSP中对约束的限制过多时，往往会使得问题无解的情况，本发明引入加权约束满足问题(Weighted CSP，WCSP)这一典型的软约束结构，其基本思想是在CSP的基础上对每个约束值对赋于一个约束权值，该约束权值用来表示该约束在相应赋值下所产生的约束代价，因此WCSP的求解目标就是求解变量集的完全赋值使其涉及约束的约束代价之和最小。与经典约束满足问题相比，加权约束满足问题更具有普遍性且更有广泛的应用前景。

为此，本发明设计了一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，首先获取装配体的装配联接图、移动向量矩阵和装配代价指标；然后根据装配体信息刻划WCSP模型；接着根据装配体的装配联接图、移动向量矩阵和装配代价指标创建联接图和移动向量矩阵的OBDD表示以及装配代价指标的ADD表示；最后搜索出一个可行的装配序列并记录其总的代价Cost，再对剩余未扩展完成的联接边逐一扩展，并将扩展的代价Cost1与Cost进行比较；搜索完所有的联接边之后，最终得到的最小代价值的装配序列就是最优装配序列。其能够在较高的时间和空间效率下，通过分析所有可能的装配操作保证装配序列的完备性，通过判断局部装配几何可行性保证装配序列的可靠性，通过运用求解加权约束问题的相关技术保证算法的高效性，最终完成对装配体的最优装配序列的生成。

具体来说，一种面向装配规划的符号加权约束求解方法。包括六个步骤，如图1所示，具体包括六大步骤，即：

步骤1.获得装配体知识，给出装配联接图，移动向量矩阵和装配代价指标矩阵。图2为一个装配体模型图。

步骤2.根据装配体知识，将一个装配序列规划问题描述成一个加权约束满足问题。包括步骤：

步骤S21.用WCSP中的变量来表示具有连接关系的两零件在建立装配关系时在装配序列中的顺序号，即装配联接图中的一条连接边对应WCSP中的一个变量，设变量集X＝{v₁，v₂，v₃，v₄，v₅}；

步骤S22.装配体有4个零件，则设WCSP中各变量的域D为[1，3]；

步骤S23.对WCSP进行约束定义；

步骤S231.定义约束1.WCSP中的每一个变量只能取各自域中的值，且对于域中的任意一个值d_i∈[1，3]，在WCSP中至少存在一个变量取值为d_i；

步骤S232.定义约束2.连接边e_i1，e_i2，...e_ik在装配联接图中构成了回路，则当有k-1条连接边建立后，那么第k条连接边也自然建立，且与前k-1条连接边中的最后一条建立的连接边同时建立，同时建立的两条连接边对应的变量取值相同；

步骤S233.定义约束3.当前建立的连接边所关联的零件或子装配与已装配的子装配之间必须满足几何可行性约束，且计算满足约束的代价值。

步骤S24.设置该WCSP问题的赋值结构为S(k)＝([0,1,...,max],+,≥)。[0,1,...,max]为自定义的一个集合，若求解的问题满足上述定义约束3时，那么单步求解过程中，Cost将被赋值为0,并且将会进一步考虑求解代价值Cost变化；若求解的问题不满足上述定义约束3时，那么单步求解过程中，Cost将被赋值为max，表示该解不满足约束定义，将会被删除。“+”为二元封闭运算，对于a,b[0,1,...,max]，有a+b＝min{max,a+b}。“≥”为自然数集合[0,1,...,max]上的一种全序运算。

步骤3.根据装配联接图，创建联接图的OBDD。如图3是图2所示装配体的联接图，图6是图2所示装配体的联接图的OBDD表示图。

步骤S31.装配联接图G＝<P，C>。其中G表示装配体，P为表示装配体重的各零件的顶点集，对装配联接图的顶点用2位长的二进制串x₀x₁表示，两个顶点之间的有向边用x₀x₁y₀y₁表示；

步骤S32.根据建立的所有有向边，可以得到该装配联接图的布尔特征函数，进而得到装配联接图的OBDD表示，记为OBDD₁。

步骤4.根据装配体的移动向量矩阵，创建移动向量矩阵的OBDD。如图4是图2所示装配体的移动向量矩阵，图7是图2所示装配体的移动向量矩阵的OBDD表示图。

步骤S41.对坐标轴的各个方向进行编码，三维坐标共有+X，+Y，+Z，-X，-Y和-Z六个方向，所以用3位长的二进制串z₀z₁z₂进行编码；

步骤S42.对于具有4个零件的装配体，用2位长的二进制串x₀x₁表示装配体中的零件。对于任意零件对(a，b)，用2位长的二进制串x₀x₁表示零件对的第一个零件，用2位长的二进制串y₀y₁表示零件对的第二个零件，则零件对的二进制串的编码为x₀x₁y₀y₁；

步骤S43.移动向量矩阵中的第i行(设对应的零件对为(a，b))第j列为1的元素可表示为(x₀x₁)(y₀y₁)·z₀z₁z₂，移动向量矩阵中所有取值为1的元素的特征函数的逻辑“或”运算，得到移动向量矩阵的布尔特征函数；

步骤S44.根据移动向量矩阵的布尔特征函数，运用OBDD的运算和化简规则，得到移动向量矩阵的OBDD表示，记为OBDD_T。

步骤5.根据装配体的装配代价指标矩阵，创建装配代价指标矩阵的ADD。如图5是图2所示装配体的装配代价指标矩阵，图8是图2所示装配体的装配代价指标矩阵的ADD表示图。

步骤S51.根据装配代价指标装配单元的质量U1、联接关系U2、装配稳定性U3和装配序列的重定向次数U4，确定装配单元的质量代价值Cost₁，联接类型的代价值Cost₂，装配体稳定性的代价值Cost₃，重定向次数代价值Cost₄；

步骤S52.根据装配体零件的装配方向和装配零件时所需的代价值，得到一个关于装配代价指标的矩阵，再运用ADD的运算，得到装配代价指标矩阵的ADD表示，如图8所示，记为ADD_C。

步骤6.运用符号OBDD、ADD和求解加权约束满足问题的相关技术搜索出一条最优的可行的装配。包括步骤：

步骤S61.创建一个OPEN表用于存放联接零件的每一条联接边，创建一个CLOSED表用于存放将要扩展的联接边；创建一个EXPEND表用于存放生成的子装配体SA_new；

步骤S62.根据装配代价指标矩阵的ADDc表示，依据ADD相关运算，依次计算出装配联接图每条联接边联接的两零件装配时所需的代价值C₁＝7，C₂＝4，C₃＝7，C₄＝7，C₅＝5；

步骤S63.初始化OPEN表，将装配联接图的每条联接边e_i存放入OPEN表中，记录count＝0；

步骤S64.选择OPEN表中单步代价值最小的联接边e_j放入到CLOSED表中，并将其从OPEN表中删除，扩展e_j下一步所有可能的联接边e_k，记录为<e_i，e_j>，计算所有可能联接边的单步代价值C_k；

步骤S641.应用排序算法，对OPEN表中联接边的代价值大小排序，选择出代价值最小的联接边e_i(i＝2，C₂＝4)；

步骤S642.将选出的e₂放入CLOSED表中，将e₂联接的零件构成一个子装配体SA_new，放入EXPEND表中，并将e₂从OPEN表中删除；

步骤S643.对e₂进行扩展，选择另外一条联接边e₁，判断EXPEND表中的子装配体SA与联接边e₁关联的零件的几何可行性，几何可行，则计算相应的代价值C₂₁＝7，并更新EXPEND表；

步骤S644.将扩展的联接边<e₁，e₂>插入到OPEN表中，重新对OPEN表中联接边的代价值大小排序，跳转步骤S64。

步骤S65.令assigned＝{已赋值的变量}，对所有未赋值的变量逐一考查，判断该变量所对应的连接边是否与assigned中的变量所对应的连接边构成回路，若是，则置该变量值为相应回路中已赋值变量的最大值，并将该变量加入到assigned中，直到assigned不再改变；

步骤S66.若count＝n-1，则找到一个可行装配序列，计算此可行装配序列的总代价值C_m＝18；

步骤S67.对其余未扩展结束的联接边e_k依次进行扩展，每扩展一次，先计算当前总的代价值C_n，并比较C_m，C_n，若C_m<C_n，停止对此边扩展，重新选取边进行扩展判定；若C_m>C_n，则继续对此边进行扩展，且每扩展一次进行一次扩展判定；

步骤S68.若找到一个可行装配序列，且它的代价值C_n<C_m，则替代上一个可行装配序列，更新代价值C_m，C_m＝C_n，转S67；

步骤S69：对所有联接边判定完之后，最终得到的可行装配序列，即为最优装配序列，算法结束。图9是图2所示装配体的最优装配序列的ADD表示图。

为了能够解决CSP中无法表示装配体代价指标的问题，本发明应用求解加权约束满足问题的技术，能够有效的求解最优装配序列；此外，本发明利用符号算法的相关技术，降低了装配序列生成过程中对空间的需求，进而提高装配序列规划的效率，扩大求解的规模，并且能够更好地解决组合爆炸的问题，具有较高的计算效率。

通过结合附图对本发明具体实施例的描述，本发明的其他方面及特征对本领域的技术人员而言是显而易见的。

以上对本发明的具体实施例进行了描述和说明，这些实施例应被认为只是示例性的，并不用于对本发明进行限制，本发明应根据所附的权利要求进行解释。

Claims (5)

1.一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，其特征是，包括步骤如下：

步骤1.获得装配体知识，即装配联接图、移动向量矩阵和所需的装配代价指标；

步骤2.根据装配体知识，将一个装配序列规划问题描述成一个加权约束满足问题；

步骤3.根据装配体的装配联接图，创建装配联接图的OBDD表示；

步骤4.根据装配体的移动向量矩阵，创建移动向量矩阵的OBDD表示；

步骤5.根据所需的装配代价指标，创建装配代价指标矩阵的ADD表示；

步骤6.将装配联接图的OBDD表示、移动向量矩阵的OBDD表示和装配代价指标矩阵的ADD表示代入到步骤2的加权约束满足问题中，并通过求解加权约束满足问题去搜索出一条最优的可行的装配。

2.根据权利要求1所述的一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，其特征是，步骤2的具体步骤如下：

步骤21.用加权约束满足问题中的变量来表示具有连接关系的两零件在建立装配关系时在装配序列中的顺序号，即装配联接图中的一条连接边对应加权约束满足问题中的一个变量，并生成变量集X＝{v₁，v₂，v₃，...，v_m}；

步骤22.根据装配体的零件个数n，设定加权约束满足问题中各变量的域D为[1，n-1]；

步骤23.对加权约束满足问题进行约束定义；

步骤24.根据约束定义设置加权约束满足问题的赋值结构。

3.根据权利要求2所述的一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，其特征是，步骤23中所定义的约束为：

约束1.加权约束满足问题中的每一个变量只能取各自域中的值，且对于域中的任意一个值d_i∈[1，n-1]，在加权约束满足问题中至少存在一个变量取值为d_i；

约束2.连接边e_i1，e_i2，...e_ik在装配联接图中构成了回路，则当有k-1条连接边建立后，那么第k条连接边也自然建立，且与前k-1条连接边中的最后一条建立的连接边同时建立，同时建立的两条连接边对应的变量取值相同；

约束3.当前建立的连接边所关联的零件或子装配与已装配的子装配之间必须满足几何可行性约束，且计算约束代价。

4.根据权利要求2所述的一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，其特征是，步骤6的具体步骤如下：

步骤61.创建一个OPEN表用于存放联接零件的每一条联接边，创建一个CLOSED表用于存放将要扩展的联接边，创建一个EXPEND表用于存放生成的子装配体SA_new；

步骤62.对装配代价指标矩阵的ADD表示进行ADD运算，依次计算出装配联接图每条联接边联接的两零件装配时所需的代价值，记做单步代价值C_i，i∈[1，n-1]；

步骤63.初始化OPEN表，将装配联接图的每条联接边e_i存放入OPEN表中，记录count＝0；

步骤64.选择OPEN表中单步代价值最小的联接边e_j放入到CLOSED表中，并将其从OPEN表中删除，扩展e_j下一步所有可能的联接边e_k，记录为<e_i，e_j>，计算所有可能联接边的单步代价值C_k；即

步骤641.应用排序算法，对OPEN表中联接边的代价值大小排序，选择出代价值最小的联接边e_i；

步骤642.将选出的e_i放入CLOSED表中，将e_i联接的零件构成一个子装配体SA_new，放入EXPEND表中，并将e_i从OPEN表中删除；

步骤643.对e_i进行扩展，选择另外一条联接边e_j，j∈[1，n-1]，j≠i，判断EXPEND表中的子装配体SA_new与联接边e_j关联的零件的几何可行性；

若几何可行，则计算相应的代价值C_k，并更新EXPEND表；

若几何不可行，则继续扩展e_i可能的联接边；

步骤644：将扩展的联接边<e_i，e_j>插入到OPEN表中，重新对OPEN表中联接边的代价值大小排序；

步骤65.将已赋值的变量放入集合assigned中，对所有未赋值的变量逐一考查，判断该变量所对应的连接边是否与assigned中的变量所对应的连接边构成回路，若是，则置该变量值为相应回路中已赋值变量的最大值，并将该变量加入到assigned中，直到assigned不再改变；

步骤66.若count＝n-1，则找到一个可行装配序列，计算此可行装配序列的总代价值C_m；

步骤67.对其余未扩展结束的联接边e_k依次进行扩展；每扩展一次，先计算当前总的代价值C_n，再比较C_m和C_n；

若C_m<C_n，则停止对此边扩展，重新选取边进行扩展判定；

若C_m>C_n，则继续对此边进行扩展，且每扩展一次进行一次扩展判定；

步骤68.若找到一个可行装配序列，且它的代价值C_n<C_m，则替代上一个可行装配序列，更新代价值C_m，C_m＝C_n，转67；

步骤69.对所有联接边判定完之后，最终得到的可行装配序列，即为最优装配序列。

5.根据权利要求4所述的一种面向装配规划的符号加权约束求解方法，其特征是，步骤643的具体步骤如下：

步骤6431.对e_i进行扩展，选择一条联接边e_j，j∈[1，n-1]，j≠i，判断选择的联接边是否被扩展；若没有，则进行扩展；若有，则重新选择；

步骤6432.根据e_j关联的两个零件P₁和P₂的情况进行处理；

Ⅰ.若P₁和P₂分别属于EXPEND中两个对立的子装配体SA_j和SA_k，则SA_j和SA_k构成一个新的子装配体SA_new，并判断EXPEND表中其余子装配体与SA_new的几何可行性；

若几何可行，计算扩展e_j的代价值C_k，并从EXPEND表中删除子装配体SA_j和SA_k，插入新的子装配体SA_new；

若几何不可行，则重新选择扩展边，转步骤6431；

Ⅱ.若p1和p2中只有一个在EXPEND中的子装配体中，其中P1为SA_j中的零件，P2不在任何子装配体中，则判断SA_j与P2的几何可行性；

若几何不可行，转6431；

若几何可行，则生成一个新的子装配体SA_new，并判断EXPEND表中其余子装配体与SA_new的几何可行性；

若几何可行，计算扩展e_j的代价值C_k，并从EXPEND表中删除子装配体SA_j并插入子装配体SA_new；

若几何不可行，则重新选择扩展边，转6431；

Ⅲ.若P₁和P₂都不在EXPEND表的子装配体中，则判断EXPEND中的各子装配体与{P1，P2}的几何可行性；

若SA_j与{P1，P2}为几何不可行，则转步骤6431；

若都为几何可行，计算扩展e_j的代价值C_k，则P₁和P₂构成一个新的子装配体，插入EXPEND表中。