CN106644087A - 一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于光谱热辐射率表征领域，具体涉及一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法。本发明提供的计算方法具有简单可操作性，对于确定的多层薄膜‑基底‑多层薄膜系统结构，仅需确定基底与薄膜材料的热光系数，就能够完整表达光学多层膜的光谱定向辐射率、定向辐射率、光谱辐射率和积分空间辐射率。采用本方法能够避免直接测量的繁琐和测量仪器的复杂结构设计，具有一定的科学与应用价值。

Description

一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法

技术领域

本发明属于光谱热辐射率表征领域，具体涉及一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法。

背景技术

随着红外光电技术的发展，基于目标红外辐射的被动光电探测与成像系统成为基础科学和应用技术领域内重要的基础技术，如红外热像仪、红外辐射测温仪、红外高分辨率光谱仪、红外成像制导系统等。在航空航天应用领域，以红外成像导引系统为代表的红外光电设备，广泛应用于飞行器中。

近年来，随着飞行系统飞行速度从亚声速向高超声速方向发展，带有红外成像装置的飞行器在稠密的大气层中高速飞行，气动加热效应使光学窗口与薄膜面临着高温和热冲击的挑战。在高速飞行过程气动加热的作用下，光学窗口与薄膜的热辐射率随着温度的升高迅速增加，其辐射波段与被探测目标辐射的波段接近时，系统成像的质量变得最差，严重时可能会淹没被探测目标辐射的信号。由于当前高性能红外成像探测器的水平已达到背景限，光学窗口与薄膜的热辐射成为限制红外成像器性能发挥的关键因素，也是提高高性能红外成像探测系统目标探测能力的主要障碍。如何确定在高温下光学窗口与薄膜的热辐射特征，降低光学窗口-薄膜系统的热辐射率，是目前在高速飞行平台应用中急需解决的关键问题，该问题对于光学窗口与薄膜材料本身及与热辐射相关的技术领域具有重要意义。

薄膜-基底-薄膜系统的热辐射率表征方法是评价系统应用的关键。在热辐射率的测量表征研究中，目前国内外主要采用量热法、反射率法、辐射能量法、多波长混合法等直接测量方法。热辐射率的测量表征现状是多种方法并存，没有一种测量表征方法占有绝对主导地位，还未建立热辐射率测量表征的国家或国际标准，更没有标准的商品化设备出售。由于窗口与薄膜材料的热辐射具有显著的方向性，上述的直接测量方法能够表征半球空间内的光谱积分辐射率和法向光谱辐射率，方向光谱辐射率的直接测量在实验装置上较为复杂。

发明内容

(一)要解决的技术问题

本发明的目的是提出一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法，以解决如何降低直接热辐射测量成本与测量装置复杂性的问题。

(二)技术方案

为解决上述技术问题，本发明提出一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法，该方法包括如下步骤：

(1)对多层光学薄膜的传输矩阵进行修正：

基底的前表面和后表面分别具有多层薄膜A和多层薄膜B，构成多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统；定义光波从入射介质通过多层薄膜A-基底-多层薄膜B的光传输方向为前向，相反方向为反向；

对多层薄膜中第j层薄膜进行温度修正时的修正传输矩阵M_j，如公式(1)所示：

其中，j＝1,2,..m，m为多层薄膜的层数；λ为入射波长，θ_j为第j层膜内的复折射角，d_j为第j层薄膜的物理厚度，T为系统温度，δ_j和η_j分别为第j层薄膜的相位厚度和等效导纳；

根据公式(1)，对多层薄膜的前向传输矩阵进行修正，修正后如公式(2)所示：

其中，η_s分别为基底的等效导纳，θ_s为基底内的复折射角；

根据公式(1)，对多层薄膜的反向传输矩阵进行修正，修正后如公式(3)所示：

其中，η₀分别为入射介质的等效导纳，θ₀为复入射角；

第j层薄膜的物理厚度d_j(T)在高温下的热膨胀效应，如公式(4)所示：

d_j(T)＝d_j0[1+α_j(T)(T-T₀)] (4)

其中，d_j0为常温T₀下第j层薄膜的物理厚度，α_j为在温度T下第j层薄膜的热膨胀系数；

第j层薄膜的相位厚度δ_j，如公式(5)所示：

其中，N_j为第j层薄膜的复折射率，N_j(λ,T)＝n_j(λ,T)-ik_j(λ,T)；

第j层薄膜内和基底内的复折射角θ_j和θ_s，分别如公式(6)和(7)所示：

θ_j(λ,T)＝a sin(N₀(λ,T)sinθ/[n_j(λ,T)-ik_j(λ,T)]) (6)

θ_s(λ,T)＝a sin(N₀(λ,T)sinθ/[n_s(λ,T)-ik_s(λ,T)]) (7)

其中，n_j和n_s分别为第j层薄膜和基底的折射率；k_j和k_s分别为第j层薄膜和基底的消光系数；N_o为入射介质的复折射率；

第j层薄膜、基底与出射介质的等效导纳η_j、η_s和η₀，分别如公式(8)、(9)和(10)所示：

(2)分别计算基底前表面受多层薄膜A作用后形成的界面A的吸收率和基底后表面受多层薄膜B作用后形成的界面B的吸收率：

根据公式(11)和(12)分别计算界面A的前向反射率和透射率，以及反向反射率和透射率：

根据公式(13)计算，计算界面A的前向吸收率A_f(λ,θ,T)：

A_f(λ,θ,T)＝1-R_f(λ,θ,T)-T_f(λ,θ,T) (13)

其中，R_f(λ,θ,T)为界面A的前向反射率，T_f(λ,θ,T)为界面A的前向透射率；

根据公式(14)计算，计算界面A的反向吸收率A_fa(λ,θ_s,T)：

A_fa(λ,θ_s,T)＝1-R_fa(λ,θ_s,T)-T_fa(λ,θ_s,T) (14)

其中，R_fa(λ,θ_s,T)为界面A的反向反射率，T_fa(λ,θ_s,T)为界面A的反向透射率；

再次根据公式(11)和(12)，分别计算界面B的前向反射率和透射率，以及反向反射率和透射率；根据公式(13)和(14)分别计算界面B的前向吸收率A_fB(λ,θ,T)和反向吸收率A_fb(λ,θ_s,T)，其中R_fB(λ,θ,T)界面B的前向反射率，T_fB(λ,θ,T)为界面B的前向透射率；R_fb(λ,θ_s,T)为界面B的反向反射率，T_fb(λ,θ_s,T)为界面B的反向透射率；

(3)计算基底的内透过率u_s(λ,θ_s,T)：

基底中复折射角θ_s的正弦和余弦，如公式(15)所示：

sinθ_s＝s’+js”cosθ_s＝c’+jc” (15)

其中，s′和s″分别为复折射角的正弦的实部和虚部，c′和c″分别为复折射角的余弦的实部和虚部；

介质的等效折射率如公式(16)所示：

光线真实传播角度与等效折射率的关系，如公式(17)所示：

等效消光系数K与等效折射率的关系，如公式(18)所示：

根据公式(15)～(18)，计算基底的等效折射率和等效消光系数K；根据公式(19)计算任意角度出射的基底内透过率u_s：

其中，d_s为基底的几何厚度；

(4)计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的定向辐射率：

根据公式(20)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的前向辐射率：

根据公式(21)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的反向辐射率：

根据公式(22)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间定向辐射率：

其中，σ为5.6696×10^-8W/(m²·K⁴)；

根据公式(23)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间光谱辐射率：

根据公式(24)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间辐射率：

其中，E_b(λ,T)是由黑体辐射光谱功率，如公式(25)所示：

c₁和c₂是第一和第二辐射恒量，c₁为3.7405×10^-16Wm²，c₂为0.0143879mK。

(三)有益效果

本发明提供的计算方法具有简单可操作性，对于确定的多层薄膜-基底-多层薄膜系统结构，仅需确定基底与薄膜材料的热光系数，就能够完整表达光学多层膜的光谱定向辐射率、定向辐射率、光谱辐射率和积分空间辐射率。采用本方法能够避免直接测量的繁琐和测量仪器的复杂结构设计，具有一定的科学与应用价值。

附图说明

图1为本发明具体实施方式中多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统光传输示意图；

图2为本发明具体实施方式中界面A光波正向传播特性示意图；

图3为本发明具体实施方式中界面A光波正向传播特性示意图；

图4为本发明具体实施方式中硫化锌材料的折射率和消光系数；

图5为本发明具体实施方式中锗材料的折射率和消光系数；

图6为本发明具体实施方式中氟化钇材料的折射率和消光系数；

图7为本发明具体实施方式中界面A和界面B的光谱定向反射率；

图8为本发明具体实施方式中界面A和界面B的光谱定向吸收率；

图9为本发明具体实施方式中界面A和界面B的光谱定向透射率；

图10为本发明具体实施方式中基底的定向内透过率光谱；

图11为本发明具体实施方式中多层膜空间热辐射示意图；

图12为本发明具体实施方式中多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的定向光谱辐射率；

图13为本发明具体实施方式中多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的光谱辐射率；

图14为本发明具体实施方式中多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的方向辐射率。

具体实施方式

为使本发明的目的、内容、和优点更加清楚，下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。

本发明提出一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法，该方法包括如下步骤：

(1)对多层光学薄膜的传输矩阵进行修正：

基底的前表面和后表面分别具有多层薄膜A和多层薄膜B，构成多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统；定义光波从入射介质通过多层薄膜A-基底-多层薄膜B的光传输方向为前向，相反方向为反向；

对多层薄膜中第j层薄膜进行温度修正时的修正传输矩阵M_j，如公式(1)所示：

其中，j＝1,2,..m，m为多层薄膜的层数；λ为入射波长，θ_j为第j层膜内的复折射角，d_j为第j层薄膜的物理厚度，T为系统温度，δ_j和η_j分别为第j层薄膜的相位厚度和等效导纳；

根据公式(1)，对多层薄膜的前向传输矩阵进行修正，修正后如公式(2)所示：

其中，η_s分别为基底的等效导纳，θ_s为基底内的复折射角；

根据公式(1)，对多层薄膜的反向传输矩阵进行修正，修正后如公式(3)所示：

其中，η₀分别为入射介质的等效导纳，θ₀为复入射角；

第j层薄膜的物理厚度d_j(T)在高温下的热膨胀效应，如公式(4)所示：

d_j(T)＝d_j0[1+α_j(T)(T-T₀)] (4)

其中，d_j0为常温T₀下第j层薄膜的物理厚度，α_j为在温度T下第j层薄膜的热膨胀系数；

第j层薄膜的相位厚度δ_j，如公式(5)所示：

其中，N_j为第j层薄膜的复折射率，N_j(λ,T)＝n_j(λ,T)-ik_j(λ,T)；

第j层薄膜内和基底内的复折射角θ_j和θ_s，分别如公式(6)和(7)所示：

θ_j(λ,T)＝a sin(N₀(λ,T)sinθ/[n_j(λ,T)-ik_j(λ,T)]) (6)

θ_s(λ,T)＝a sin(N₀(λ,T)sinθ/[n_s(λ,T)-ik_s(λ,T)]) (7)

其中，n_j和n_s分别为第j层薄膜和基底的折射率；k_j和k_s分别为第j层薄膜和基底的消光系数；N_o为入射介质的复折射率；

第j层薄膜、基底与出射介质的等效导纳η_j、η_s和η₀，分别如公式(8)、(9)和(10)所示：

(2)分别计算基底前表面受多层薄膜A作用后形成的界面A的吸收率和基底后表面受多层薄膜B作用后形成的界面B的吸收率：

根据公式(11)和(12)分别计算界面A的前向反射率和透射率，以及反向反射率和透射率：

根据公式(13)计算，计算界面A的前向吸收率A_f(λ,θ,T)：

A_f(λ,θ,T)＝1-R_f(λ,θ,T)-T_f(λ,θ,T) (13)

其中，R_f(λ,θ,T)为界面A的前向反射率，T_f(λ,θ,T)为界面A的前向透射率；

根据公式(14)计算，计算界面A的反向吸收率A_fa(λ,θ_s,T)：

A_fa(λ,θ_s,T)＝1-R_fa(λ,θ_s,T)-T_fa(λ,θ_s,T) (14)

其中，R_fa(λ,θ_s,T)为界面A的反向反射率，T_fa(λ,θ_s,T)为界面A的反向透射率；

再次根据公式(11)和(12)，分别计算界面B的前向反射率和透射率，以及反向反射率和透射率；根据公式(13)和(14)分别计算界面B的前向吸收率A_fB(λ,θ,T)和反向吸收率A_fb(λ,θ_s,T)，其中R_fB(λ,θ,T)界面B的前向反射率，T_fB(λ,θ,T)为界面B的前向透射率；R_fb(λ,θ_s,T)为界面B的反向反射率，T_fb(λ,θ_s,T)为界面B的反向透射率；

(3)计算基底的内透过率u_s(λ,θ_s,T)：

光波在吸收介质中以非均匀波方式传播，等幅面和等相面分离不重合，它们分别有各自的法线方向，只有当正入射时，两个法线方向才是重合的。因此，利用等幅面和等相面的法线方向表征光波的传输，在吸收介质中使用等效折射率(等相位面法线的模)、等效消光系数K(等幅面法线的模)和光线真实传播角度表征光波的传输行为。

基底中复折射角θ_s的正弦和余弦，如公式(15)所示：

sinθ_s＝s’+js”cosθ_s＝c’+jc” (15)

其中，s′和s″分别为复折射角的正弦的实部和虚部，c′和c″分别为复折射角的余弦的实部和虚部；

介质的等效折射率如公式(16)所示：

光线真实传播角度与等效折射率的关系，如公式(17)所示：

等效消光系数K与等效折射率的关系，如公式(18)所示：

根据公式(15)～(18)，计算基底的等效折射率和等效消光系数K；根据公式(19)计算任意角度出射的基底内透过率u_s：

其中，d_s为基底的几何厚度；

(4)计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的定向辐射率：

根据公式(20)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的前向辐射率：

根据公式(21)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的反向辐射率：

根据公式(22)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间定向辐射率：

其中，σ为5.6696×10^-8W/(m²·K⁴)；

根据公式(23)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间光谱辐射率：

根据公式(24)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间辐射率：

其中，E_b(λ,T)是由黑体辐射光谱功率，如公式(25)所示：

c₁和c₂是第一和第二辐射恒量，c₁为3.7405×10^-16Wm²，c₂为0.0143879mK。

实施例

本实施例选择硫化锌基底的双面减反射薄膜，如图1所示。硫化锌的基底厚度选择为5mm，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统在室温下7.5μm-9.7μm波段范围内的热辐射特性。薄膜材料分别为锗和氟化钇，界面A和界面B的膜系均为如下所示：

ZnS|0.5298H 0.1411L 1.0932H 0.5478M 0.2883L 0.3019M|空气

其中，λ₀＝8μm，H为锗，L为氟化钇，M为硫化锌。界面A和界面B的光波正向与反向传播特性，分别如图2和图3所示。

基底材料选择为硫化锌，其光学常数如图4所示。薄膜材料分别为锗和氟化钇，其光学常数分别如图5和图6所示。

根据公式(1)～(14)计算得到界面A和界面B的透过率、反射率、吸收率，界面A和界面B的前向和反向定向光谱反射率如图7所示，前向和反向定向光谱吸收率如图8所示，前向和反向定向光谱透射率如图9所示。

硫化锌的厚度选择为5mm，根据公式(15)～(19)计算得到硫化锌基底的定向光谱内透过率，如图10所示。

由于基底的两个表面为同样的膜系，因此其前表面和后表面的定向光谱辐射率相同。多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的空间辐射，如图11所示。

根据公式(20)～(25)，计算得到角度范围0-90°、波长范围7.5μm-9.7μm，多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的定向光谱辐射率，如图12所示；光谱辐射率如图13所示；方向辐射率如图14所示；7.5μm-9.7μm范围内的全积分辐射率为0.717％。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种多层光学薄膜光谱热辐射率的计算方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

(1)对多层光学薄膜的传输矩阵进行修正：

基底的前表面和后表面分别具有多层薄膜A和多层薄膜B，构成多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统；定义光波从入射介质通过多层薄膜A-基底-多层薄膜B的光传输方向为前向，相反方向为反向；

对多层薄膜中第j层薄膜进行温度修正时的修正传输矩阵M_j，如公式(1)所示：

$M_j=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{cos\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)& \frac{{\mathrm{sin\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)}{{\mathrm{\η}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,T)}\\ {\mathrm{i\η}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,T){\mathrm{sin\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)& {\mathrm{cos\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，j＝1,2,..m，m为多层薄膜的层数；λ为入射波长，θ_j为第j层膜内的复折射角，d_j为第j层薄膜的物理厚度，T为系统温度，δ_j和η_j分别为第j层薄膜的相位厚度和等效导纳；

根据公式(1)，对多层薄膜的前向传输矩阵进行修正，修正后如公式(2)所示：

$\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right]={\Π}_{j=1}^m\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{cos\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)& \frac{{\mathrm{sin\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)}{{\mathrm{\η}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,T)}\\ {\mathrm{i\η}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,T){\mathrm{sin\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)& {\mathrm{cos\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ {\mathrm{\η}}_s(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_s,T)\end{array}\right]---\left(2\right)$

其中，η_s分别为基底的等效导纳，θ_s为基底内的复折射角；

根据公式(1)，对多层薄膜的反向传输矩阵进行修正，修正后如公式(3)所示：

$\left[\begin{array}{c}{B}^{\′}\\ C^{\′}\end{array}\right]={\Π}_{j=m}^1\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{cos\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)& \frac{{\mathrm{sin\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)}{{\mathrm{\η}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,T)}\\ {\mathrm{i\η}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,T){\mathrm{sin\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)& {\mathrm{cos\δ}}_j(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_j,d_j,T)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ {\mathrm{\η}}_0(\mathrm{\λ},{\mathrm{\θ}}_0,T)\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，η₀分别为入射介质的等效导纳，θ₀为复入射角；

第j层薄膜的物理厚度d_j(T)在高温下的热膨胀效应，如公式(4)所示：

d_j(T)＝d_j0[1+α_j(T)(T-T₀)] (4)

其中，d_j0为常温T₀下第j层薄膜的物理厚度，α_j为在温度T下第j层薄膜的热膨胀系数；

第j层薄膜的相位厚度δ_j，如公式(5)所示：

${\mathrm{\δ}}_j=\frac{2{\mathrm{\πN}}_j(\mathrm{\λ},T)d_{j0}\[1+{\mathrm{\α}}_j\left(T\right)(T-T_0)\]{\mathrm{cos\θ}}_j(\mathrm{\λ},\mathrm{\θ},T)}{\mathrm{\λ}}---\left(5\right)$

其中，N_j为第j层薄膜的复折射率，N_j(λ,T)＝n_j(λ,T)-ik_j(λ,T)；

第j层薄膜内和基底内的复折射角θ_j和θ_s，分别如公式(6)和(7)所示：

${\mathrm{\θ}}_j(\mathrm{\λ},T)=asin\left(N_0\right(\mathrm{\λ},T)sin\mathrm{\θ}/\[n_j(\mathrm{\λ},T)-{\mathrm{ik}}_j(\mathrm{\λ},T)\])---\left(6\right)$

${\mathrm{\θ}}_s(\mathrm{\λ},T)=asin\left(N_0\right(\mathrm{\λ},T)sin/\[n_s(\mathrm{\λ},T)-{\mathrm{ik}}_s(\mathrm{\λ},T)\])---\left(7\right)$

其中，n_j和n_s分别为第j层薄膜和基底的折射率；k_j和k_s分别为第j层薄膜和基底的消光系数；N_o为入射介质的复折射率；

第j层薄膜、基底与出射介质的等效导纳η_j、η_s和η₀，分别如公式(8)、(9)和(10)所示：

(2)分别计算基底前表面受多层薄膜A作用后形成的界面A的吸收率和基底后表面受多层薄膜B作用后形成的界面B的吸收率：

根据公式(11)和(12)分别计算界面A的前向反射率和透射率，以及反向反射率和透射率：

$R=\left(\frac{{\mathrm{\η}}_{0}B-C}{{\mathrm{\η}}_{0}B+C}\right){\left(\frac{{\mathrm{\η}}_{0}B-C}{{\mathrm{\η}}_{0}B+C}\right)}^{*}---\left(11\right)$

$T=\frac{4{\mathrm{\η}}_0{\mathrm{\η}}_{j+1}}{({\mathrm{\η}}_{0}B+C){({\mathrm{\η}}_{0}B+C)}^{*}}---\left(12\right)$

根据公式(13)计算，计算界面A的前向吸收率A_f(λ,θ,T)：

A_f(λ,θ,T)＝1-R_f(λ,θ,T)-T_f(λ,θ,T) (13)

其中，R_f(λ,θ,T)为界面A的前向反射率，T_f(λ,θ,T)为界面A的前向透射率；

根据公式(14)计算，计算界面A的反向吸收率A_fa(λ,θ_s,T)：

A_fa(λ,θ_s,T)＝1-R_fa(λ,θ_s,T)-T_fa(λ,θ_s,T) (14)

其中，R_fa(λ,θ_s,T)为界面A的反向反射率，T_fa(λ,θ_s,T)为界面A的反向透射率；

再次根据公式(11)和(12)，分别计算界面B的前向反射率和透射率，以及反向反射率和透射率；根据公式(13)和(14)分别计算界面B的前向吸收率A_fB(λ,θ,T)和反向吸收率A_fb(λ,θ_s,T)，其中R_fB(λ,θ,T)界面B的前向反射率，T_fB(λ,θ,T)为界面B的前向透射率；R_fb(λ,θ_s,T)为界面B的反向反射率，T_fb(λ,θ_s,T)为界面B的反向透射率；

(3)计算基底的内透过率u_s(λ,θ_s,T)：

基底中复折射角θ_s的正弦和余弦，如公式(15)所示：

sinθ_s＝s’+js”cosθ_s＝c’+jc” (15)

其中，s′和s″分别为复折射角的正弦的实部和虚部，c′和c″分别为复折射角的余弦的实部和虚部；

介质的等效折射率如公式(16)所示：

$\tilde{N}=\sqrt{{({\mathrm{ns}}^{\′}+{\mathrm{ks}}^{\′\′})}^2+{({\mathrm{nc}}^{\′}+{\mathrm{kc}}^{\′\′})}^2}---\left(16\right)$

光线真实传播角度与等效折射率的关系，如公式(17)所示：

等效消光系数K与等效折射率的关系，如公式(18)所示：

根据公式(15)～(18)，计算基底的等效折射率和等效消光系数K；根据公式(19)计算任意角度出射的基底内透过率u_s：

$u_s=\exp (-\frac{4{\mathrm{\πKd}}_s}{\mathrm{\λ}})---\left(19\right)$

其中，d_s为基底的几何厚度；

(4)计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的定向辐射率：

根据公式(20)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的前向辐射率：

${\mathrm{\ϵ}}_{front}(\mathrm{\λ},\mathrm{\θ},T)=A_f+A_{fa}\left(\frac{T_f{R}_{fb}{u}_s^2}{1-R_{fa}{R}_{fb}{u}_s^2}\right)+T_f\left(\frac{1-R_{fb}{u}_s^2-u_s+u_s{R}_{fb}}{1-R_{fa}{R}_{fb}{u}_s^2}\right)+A_{fb}\left(\frac{T_f{u}_s}{1-R_{fa}{R}_{fb}{u}_s^2}\right)---\left(20\right)$

根据公式(21)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的反向辐射率：

${\mathrm{\ϵ}}_{rear}(\mathrm{\λ},\mathrm{\θ},T)=A_{fB}+A_{fb}\left(\frac{T_{fB}{R}_{fa}{u}_s^2}{1-R_{fa}{R}_{fb}{u}_s^2}\right)+T_{fB}\left(\frac{1-R_{fa}{u}_s^2-u_s+u_s{R}_{fa}}{1-R_{fa}{R}_{fb}{u}_s^2}\right)+A_{fa}\left(\frac{T_{fB}{u}_s}{1-R_{fa}{R}_{fb}{u}_s^2}\right)---\left(21\right)$

根据公式(22)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间定向辐射率：

其中，σ为5.6696×10^-8W/(m²·K⁴)；

根据公式(23)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间光谱辐射率：

根据公式(24)，计算多层薄膜A-基底-多层薄膜B系统的半球空间辐射率：

其中，E_b(λ,T)是由黑体辐射光谱功率，如公式(25)所示：

$E_b(\mathrm{\λ},T)=\frac{c_1}{{\mathrm{\λ}}^5\{\exp (c_2/\mathrm{\λ}T)-1\}}---\left(25\right)$

c₁和c₂是第一和第二辐射恒量，c₁为3.7405×10^-16Wm²，c₂为0.0143879mK。