CN106600696A - 一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法，包括以下三个步骤：(1)根据结构Ω具有的n种表面，建立相应数量独立的拓扑指示函数；(2)多种不同类型边界的静态表达：用拓扑指示函数表达结构区域Ω；用拓扑指示函数描述结构中不同边界类型；(3)多种不同类型边界的动态演化表达：通过求解如下动态演化方程组演化各个水平集函数，将更新的拓扑指示函数循环代入步骤(2)得到新结构及边界，直至达到优化目标。本发明能够清晰准确的描述结构多类型的表面，并能动态的表示结构表面的演化过程。

Description

一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法

技术领域

本发明属于结构动态建模领域，具体涉及一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法。

背景技术

现代越来越复杂的机电产品的设计工作已由传统的依赖设计人员的经验和灵感的方式转为利用计算机进行结构设计和优化的方式。结构优化通过改变机械结构的几何构型来改善其性能指标。结构是由边界围成的空间区域，边界的尺寸、形状和拓扑决定了结构的几何构型。结构的边界包括多种类型：位移边界(即支承条件)、外力边界(即外力的加载边界)和自由边界(即不受外界约束和外力作用的边界)；每一种边界都有自己的尺寸、形状和拓扑，都对结构的性能有重要的影响。因此，完备的结构优化理论应该既允许结构中每种类型的边界单独地优化，又允许多种类型的边界并行地优化。换句话说，完备的结构优化理论应该具备并行优化结构中多种类型边界的尺寸、形状和拓扑的能力，并允许设计人员根据实际需要选择改变结构中哪些类型的边界。这将有助于扩大结构优化的可行空间，有助于结构优化的灵活应用。

然而，在目前大多数的结构优化问题中，结构的位移边界和外力边界都是事先给定的，并且被限定在优化过程中保持不变。在许多实际的工程问题中，这样的限定并不合理，因此结构优化的潜能不能被充分地发挥。例如，对于位移边界来说，起固定作用的螺栓在结构中的位置和数目一般是可以调整的；结构中焊点、焊缝的位置、形状和数目一般是可以调整的；这些因素对结构的刚度、振动的特征频率和模态形状等具有重要影响。又例如，对于外力边界来说，在受到气体压力或液体压力作用的结构中，压力面一直都是重要设计问题，它对结构的刚度和安全性具有重要影响。再例如，在利用弹性变形来放大输入位移或力的柔性机构中，位移边界相当于杠杆的支点，它的位置、形状和拓扑对放大性能具有重要影响；此外，若柔性机构的输入载荷是集中力，那么集中力的加载位置和数目将对放大性能具有重要影响；若柔性机构的输入载荷是气体或液体压力，那么压力面的形状和拓扑都是设计中的重要问题。

发明内容

为使结构多类型边界能并行拓扑优化，本发明针对这一类拓扑优化问题，提出基于水平集的结构及其多类型边界表示方法，能够清晰准确的描述结构多类型的表面，并能动态的表示结构表面的演化过程，使多种边界在优化过程中得到清晰、准确的表示和区分。

一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法，包括以下三个步骤：

(1)根据结构Ω具有的n种表面，建立相应数量独立的拓扑指示函数Φ₁、Φ₂……Φ_n；

(2)多种不同类型边界的静态表达：用拓扑指示函数Φ₁、Φ₂……Φ_n表达结构区域Ω；用拓扑指示函数Φ₁、Φ₂……Φ_n描述结构中不同边界类型Γ₁，Γ₂，……，Γ_n；

(3)多种不同类型边界的动态演化表达：通过求解如下动态演化方程组演化各个水平集函数Φ₁、Φ₂……Φ_n，将更新的拓扑指示函数循环代入步骤(2)，直至达到优化目标：所述动态演化方程组表示为：

其中，系数 是驱动边界运动的速度参数，是法线方向速度值，是曲率相关速度因子，κ₁、κ₂、……、κ_n是边界曲率，Φ_i,t表示水平集函数Φ_i关于时间t的导数，▽Φ_i表示水平集函数的梯度，i＝1,2…,n；

进一步地，所述步骤(1)中的拓扑指示函数为水平集函数，初始化为符号距离函数。

进一步地，所述步骤(2)中结构区域Ω的通过布尔运算表达方式如下：

Ω＝{x|max{Φ₁、Φ₂……Φ_n}<0,x∈D}

其中，Φ₁、Φ₂……Φ_n为水平集函数，D为规定设计域。

进一步地，所述步骤(2)中不同边界类型Γ₁，Γ₂，……，Γ_n的表达方式如下：

分析结构中边界的不同类型，得到其包含的不相交的不同类型边界：

不同类型边界Γ₁，Γ₂，……，Γ_n用水平集函数描述写为：

Γ₁＝{x|Φ₁(x)＝0,Φ₂(x)<0，……，Φ_n(x)<0,x∈D}

Γ₂＝{x|Φ₁(x)<0,Φ₂(x)＝0,Φ₃(x)<0，……，Φ_n(x)<0,x∈D}

……

Γ_n＝{x|Φ₁(x)<0,Φ₂(x)<0，……，Φ_n-1(x)<0,Φ_n(x)＝0,x∈D}

D为规定设计域。

本发明的有益效果体现在：

本发明提出的一种结构及其多类型边界的水平集隐私表达方法，提供了一种有效的结构表面的表达方式，相比传统的基于水平集的表达方法，能够清晰准确的描述结构多类型的表面，并能动态的表示结构表面的演化过程，为并行拓扑结构优化不同类型的表面提供了良好的思路。

附图说明

图1是本发明方法流程图。

图2是结构和不同类型边界的示意图。

图3(a)是拓扑指示函数Φ₁示意图。

图3(b)是拓扑指示函数Φ₂示意图。

图4是Φ₁，Φ₂布尔运算表达结构Ω示意图。

图5(a)是更新的拓扑指示函数Φ₁′示意图。

图5(b)是更新的拓扑指示函数Φ₂′示意图。

图6是由Φ₁′，Φ₂′表达的新的结构示意图。

图7是更新的结构以及不同类型边界示意图

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法流程如图1所示，本发明实施例的具体实现如下：

步骤1：

假设某种结构现在有两种不同类型的边界需要优化，在设计域D中区分结构Ω(d＝2)表面的不同类型边界，如图2中虚线和实线表示两种不同的边界部分Γ₁和Γ₂，设立同等数量的拓扑指示函数Φ₁、Φ₂。其中拓扑指示函数一般由边界的符号距离函数表示。如图3(a)、3(b)。

步骤2：

那么对于图2所示结构区域Ω的通过拓扑指示函数布尔运算表达方式如下：

Ω＝{x|max{Φ₁、Φ₂}<0,x∈D}

其中Φ₁、Φ₂为水平集函数，D为规定设计域。参考图4。

图2中结构待优化总体边界表示如下：

图2中各个不同边界通过拓扑指示函数描述如下：

Γ₁＝{x|Φ₁(x)＝0,Φ₂(x)<0，x∈D}

Γ₂＝{x|Φ₁(x)<0,Φ₂(x)＝0,x∈D}。

此时结构及其边界已经完全表示出来。

步骤3：

在结构优化中，各个边界可以独立的优化，即通过优化算法求出结构边界的速度场，采用相互独立的哈密顿-雅克比方程更新各个水平集函数：

其中系数是驱动边界运动的速度参数，是法线方向速度值，是曲率相关速度因子，κ₁、κ₂是边界曲率，Φ_1,t、Φ_2,t表示水平集函数Φ₁、Φ₂关于时间t的导数，▽Φ₁、▽Φ₂表示水平集函数的梯度。

通过求解如上方程组演化各个水平集函数Φ₁、Φ₂，得到新的拓扑指示函数Φ₁′、Φ₂′如图5(a)、5(b)，新的结构表达同步骤2中一样，参考图6。新的结构及边界如图7。

此后循环迭代步骤2、3，直至达到优化目标。可以看出过程中每一步的结构以及不同类型边界都可以清晰表达，可以有效运用于不同边界并行优化。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法，其特征在于，包括以下三个步骤：

(1)根据结构Ω具有的n种表面，建立相应数量独立的拓扑指示函数Φ₁、Φ₂……Φ_n；

(2)多种不同类型边界的静态表达：用拓扑指示函数Φ₁、Φ₂……Φ_n表达结构区域Ω；用拓扑指示函数Φ₁、Φ₂……Φ_n描述结构中不同边界类型Γ₁，Γ₂，……，Γ_n；

(3)多种不同类型边界的动态演化表达：通过求解如下动态演化方程组演化各个水平集函数Φ₁、Φ₂……Φ_n，将更新的拓扑指示函数循环代入步骤(2)，直至达到优化目标；所述动态演化方程组表示为：

${\mathrm{\&Phi;}}_{1,t}+a^{{\mathrm{\&Phi;}}_1}|\&dtri;{\mathrm{\&Phi;}}_1|=b^{{\mathrm{\&Phi;}}_1}{\mathrm{\&kappa;}}_1|\&dtri;{\mathrm{\&Phi;}}_1|$

${\mathrm{\&Phi;}}_{2,t}+a^{{\mathrm{\&Phi;}}_2}|\&dtri;{\mathrm{\&Phi;}}_2|=b^{{\mathrm{\&Phi;}}_2}{\mathrm{\&kappa;}}_2|\&dtri;{\mathrm{\&Phi;}}_2|$

……

${\mathrm{\&Phi;}}_{n,t}+a^{{\mathrm{\&Phi;}}_n}|\&dtri;{\mathrm{\&Phi;}}_n|=b^{{\mathrm{\&Phi;}}_n}{\mathrm{\&kappa;}}_n|\&dtri;{\mathrm{\&Phi;}}_n|$

其中，系数 是驱动边界运动的速度参数，是法线方向速度值，是曲率相关速度因子，κ₁、κ₂、……、κ_n是边界曲率，Φ_i,t表示水平集函数Φ_i关于时间t的导数，表示水平集函数的梯度，i＝1,2…,n。

2.根据权利要求1所述的一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法，其特征在于，所述步骤1中的拓扑指示函数为水平集函数，初始化为符号距离函数。

3.根据权利要求1所述的一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法，其特征在于，所述步骤(2)中结构区域Ω的表达方式由布尔运算如下：

Ω＝{x|max{Φ₁、Φ₂……Φ_n}<0,x∈D}

其中，Φ₁、Φ₂……Φ_n为水平集函数，D为规定设计域。

4.根据权利要求1所述的一种结构及其多类型边界的水平集隐式表达方法，其特征在于，所述步骤(2)中不同边界类型Γ₁，Γ₂，……，Γ_n的表达方式如下：

分析结构中边界的不同类型，得到其包含的不相交的不同类型边界：

$\&part;\mathrm{\&Omega;}={\mathrm{\&Gamma;}}_1\&cup;{\mathrm{\&Gamma;}}_2\&cup;\mathrm{......}\&cup;{\mathrm{\&Gamma;}}_n$

不同类型边界Γ₁，Γ₂，……，Γ_n用水平集函数描述写为：

Γ₁＝{x|Φ₁(x)＝0,Φ₂(x)<0，……，Φ_n(x)<0,x∈D}

Γ₂＝{x|Φ₁(x)<0,Φ₂(x)＝0,Φ₃(x)<0，……，Φ_n(x)<0,x∈D}

……

Γ_n＝{x|Φ₁(x)<0,Φ₂(x)<0，……，Φ_n-1(x)<0,Φ_n(x)＝0,x∈D}

D为规定设计域。