CN106502100A - 多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法，步骤如下：1)根据拉格朗日方法获取单个移动机器人均为单积分的模型；2)根据模型参数建立多移动机器人系统的单时滞控制器；3)基于Lambert W函数方法，极点配置选取合适的时滞参数，然后求取使移动机器人稳定的单时滞控制器比例参数的值；4)将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序；5)经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

Description

多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法

技术领域

本发明涉及多移动机器人系统的协同控制方法，针对多移动机器人系统，选取性能好的参数，设计可以实现极点配置的单时滞控制器，从而提高系统的一致性。

背景技术

进入二十世纪以来，机器人技术得到了迅速的发展和广泛深入的应用。随着科研领域的不断深入和扩展，单个机器人无论是其个体功能还是完成较复杂任务时的效率都无法满足研究的实际需求。在这种情况下，很多学者提出了以个体机器人为单元组成一个机器人系统通过协作去完成任务的思想。在上世纪80年代，这种思想伴随着分布式人工智能(Distributed Artificial Intelligence，DAI)、多智能体技术、机器人技术和计算机技术的发展已经成为现实，并且得到了研究者们的持续关注，由此还出现了研究多机器人系统(Multiple Robot System，MRS)的专门领域。并在很多领域得到了实际的应用，如：协作环境侦查、受灾人员搜救、物料搬运和未知环境探索等。在实际应用中多机器人协作相对于个体机器人具有以下特点：(1)执行任务的能力提高了，某些任务在空间和复杂程度上是单个机器人无法完成的；(2)多机器人执行任务时具有并发式的特点，所以具备了提高任务执行效率的能力。同时具有较好的容错能力，当某个机器人失去执行任务的能力时，也可通过其有能力的机器人去执行任务，提高了机器人系统的鲁棒性；(3)具有不同功能的多个简单机器人在其开发研究成本上肯定比具有多功能的个体机器人成本低；(4)充分利用机器人系统的有限资源，提高了机器人系统的资源利用率；(5)在一定程度上使得系统升级或是功能扩展变得更加容易，通过对个体机器人的升级便可以提高多机器人系统的性能，同样降低了研究的成本。

由于多机器人协作具有上述实用的优点，所以多移动机器人技术的发展和应用越来越受到大家的关注。一致性作为分布式协作运动的重要研究方向，逐渐成为许多研究领域的热门课题。所谓一致性即在一个多移动机器人系统中，所有的移动机器人最终状态能够趋于一致。一致性问题的出现主要源于合作控制问题。对于多移动机器人系统的合作控制问题，移动机器人之间共享信息是保证合作的一个前提条件，共享信息可以以多种形式出现，比如说一个共同的目标，一种共同的控制算法，或者相对的位置信息。当一组移动机器人要合作共同去完成一项任务，合作控制策略的有效性表现在，多移动机器人必须能够应对各种不可预知的形势和环境的改变，这就要求移动机器人随着环境的改变能够达到一致。因此，多移动机器人达到一致是实现协调合作控制的一个首要条件。

近年来，针对多移动机器人控制的分析与研究，已在一致性和协同控制方面取得了很大的进展。Liu在文献Coordination of multi-agent systems with communicationdelays.(IFAC,2008:10782-10787.)中研究了具有时滞的针对二阶多智能体系统的静态一致性算法，利用Nyquist稳定性判据及其相关推论，获得了二阶多智能体系统在控制协议控制下可以达到静态一致性的充要条件。Cao在文献Consensus for multi-agent systemswith nonlinear dynamics and time delays using a two-hop relay adaptive method(Proceeding of Abstract and Applied Analysis,2014:1-6.)中研究了针对非线性系统的一致性算法。基于自适应算法，得到了系统所能容忍的最大时延，并且利用频域内的分析方法得到了系统一致性的必要条件。Hong在文献Consensus of fractional-order multi-agent systems with communication delay.(Complex Systems and ComplexityScience,2013,10(3):81-85.)中研究了针对分数阶系统的一致性条件，得到了多智能体系统的一致性时延上界。然而上述研究都集中于移动机器人个体间的网络拓扑特性，通过改变网络拓扑参数及移动机器人间的控制协议达到控制目标，而将单个移动机器人认为是具有一定动态特性的质点。无法使整个多移动机器人系统满足一定的性能指标要求，也很难灵活地实现不同的全局控制目标。而且将时延当作控制系统设计的不利因素，使系统产生周期震荡、发散现象等。

目前，针对多移动机器人分布式控制器的设计问题的研究已经取得了一定的进展，但现有的成果多局限求取可以使系统收敛的控制器参数集合，很难从中选取性能更好的控制器参数。

发明内容

本发明要克服现有技术的上述缺点，提供一种多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法。针对此问题，本发明将利用多移动机器人系统中存在的时滞，变不利因素为有利因素，设计适用于多移动机器人系统，可以实现极点配置的单时滞控制器，并实现直接求出满足需求的控制器参数。

本发明采用基于Lambert W函数的分布式单时滞控制器的设计方法。首先根据时滞对闭环系统的特征方程的影响，研究基于极点配置思想的单时滞控制器。然后通过给定期望的系统极点的位置，求得相应的单时滞控制器的参数取值。最后改善多移动机器人的一致性。

本发明是通过以下技术方案实现的：先基于刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出等时滞的影响。采用拉格朗日方法建立单个移动机器人的模型，为了使其能够不受外界干扰按照设定的速度前进，在现有的鲁棒控制器设计方法以及控制系统稳定性分析结果的基础上，采用单位反馈控制结构，结合Lambert W方程确定单时滞控制器的参数确定。对于单积分系统，可以根据性能需求，选取性能好的最右极点，使多移动机器人系统控制更灵活。多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法的具体步骤如下：

步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑多移动机器人的输入输出等时滞的影响。根据以下步骤确定多移动机器人的模型。

(1)考虑多移动机器人系统的个体皆具有单积分器模型：

其中x_i(t)为多移动机器人的状态信息，u_i(t)为控制输入，t为多移动机器人的个数。

(2)控制输入u_i采用下列的控制器协议：

其中N_i是节点i的邻居节点,a_ij是节点i和节点j之间的权重。

(3)引入单时滞控制器，相应的闭环系统表示为:

其中，k_i是比例控制系数，τ为时滞控制系数。

步骤2，建立多移动机器人系统的单时滞控制器，系统控制框图如图2所示，图中，为具有时延的移动机器人模型矩阵，为控制系统达到一致性的单时滞控制器矩阵。n为单个移动机器人的个数，L为多移动机器人系统拓扑结构对应的Laplacian矩阵，r为系统输入，y为系统输出。

步骤3，根据以下步骤确定能使移动机器人稳定的单时滞控制器k的参数范围。

a.根据系统的Laplacian矩阵的定义，式(3)可以表示为状态空间模型的形式：

其中，X(t)＝[x₁ x₂ ... x_n]^T∈Rⁿ是系统的状态信息矩阵，Γ＝KL是指被比例控制系数修改过的Laplacian矩阵。其中，K＝diag(k₁,k₂,...,k_n)是比例控制参数矩阵，L为系统的拓扑结构对应的Laplacian矩阵。

由于矩阵Γ是受控制参数影响的，是由Laplacian矩阵经过几次初等行变换而来，则可以假设Γ是可对角化的，即存在非奇异矩阵T_Γ，使得

T_Γ ^-1ΓT_Γ＝Λ_Γ (5)

其中，Λ_Γ是一个对角矩阵，其元素都是矩阵Γ的特征值。已知，单积分多智能体系统能达成一致的充分必要条件，是其Laplacian矩阵存在一个0特征值。对应的，矩阵Γ也应存在一个0特征值，由此可得，矩阵Λ_Γ应该具有如下的形式

Λ_Γ＝diag(0,λ₂,λ₃,....λ_n) (6)

其中，0,λ₂,λ₃,....λ_n为待求的Γ的特征值。

b.针对状态空间模型(4)采用系统分解方法，假设

X＝T_Γξ

其中，ξ＝[ξ₁，ξ₂，...，ξ_n]^T。那么

原闭环系统就可表示为

由此原系统可以分解为两部分：

显然，(7)的极点对系统的一致性性能有着主要的影响，其对应的特征方程为：

s-λ_je^-sτ＝0,j＝2,3,....,n (8)

其中λ_j与τ都对特征方程(8)的极点在复平面的位置有影响。

c.方程(8)的解可以表示为：

其中W_k(s)是Lambert W方程的第k个分支。

在所有的解s_k中，与主支(k＝0)相关联的解s₀的实部拥有最大值。即

max[Re{W_k(H)}]＝Re{W₀(H)}

其中，每一个W_k(H)都有确定的取值范围，其中主支W₀(H)的取值范围为

Re{W₀(H)}≥-1

由此可以确定待求的最右极点的取值范围：

在此范围内，可以任意选择合适的最右极点的取值。假设期望的(8)的最右极点为则有：

根据式(11)，由于与τ都已选定，则可以求出对应的λ_j的值。在确定每一个λ_j的值以后，则矩阵Λ_Γ也可以确定。由于对角矩阵Λ_Γ的元素皆为矩阵Γ的特征值，故有

根据(12)，可以得到n-1个关于(k₁,k₂,...,k_n)的方程，根据这个方程组，可确定(k₁,k₂,...,k_n)的取值。这些(k₁,k₂,...,k_n)的取值，可以将每一个子系统的最右特征根配置在期望的位置的控制器参数。

步骤4，将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域比例时延控制算式计算输出控制信号u(n)的值，其中，n为当前时刻的采样步数。u(n)计算公式如下：

u(n)＝ke(n-τ)+u₀

其中，u₀为控制器调节之前的输入控制信号，k是比例控制参数，e(n-τ)为采样步数为n时的时滞跟踪误差。通过对比例时滞控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行。

步骤5，将步骤4中经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

本发明提出了一种基于极点配置思想的单时滞控制器设计方法。根据多移动机器人系统中个体相互耦合的特点，将个体之间交换信息的权重以及个体发送信息时的通信时延为控制参数。在根据矩阵理论将系统分解为几个子系统后，通过引入Lambert W方程来求得每个子系统的最右极点的位置与控制器参数的解析关系，根据给定的期望最右特征值，可以求出每个个体相应的控制器参数，并改善了多移动机器人系统的性能。

本发明的优点是适用于有向拓扑结构的多移动机器人系统，其特征在于引入了单时滞控制器，并且运用Lambert W方程推导出极点配置的解析式，从而选取合适的比例和时延参数可更快的实现协同控制。

附图说明

图1为本发明方法采用的工作流程

图2为本发明的多移动机器人系统闭环框图

图3为本发明的多移动机器人系统拓扑结构图

图4为本发明的未加控制器时单积分多移动机器人系统系统仿真效果图

图5为本发明的加控制器时单积分多移动机器人系统仿真效果图

具体实施方式

以下结合附图和实例对本发明的技术方案作进一步描述。

先根据刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出和时滞的影响，利用拉格朗日方法建立单个移动机器人的模型。通过Lambert W函数，实现极点配置。接着运用矩阵原理，分解拓扑结构，得到能使新个体达成协同控制的条件。最后通过所得到的条件求取单时滞控制器的比例控制参数和通讯时延参数。随机给定单个移动机器人的初速度，通过单时滞控制器条件各移动机器人的速度，使整个系统的一致性得到提高。

实施例：

步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑移动机器人的输入输出等时滞的影响，利用拉格朗日方法建立具有如下传递函数形式的移动机器人模型：

步骤2，建立多移动机器人系统的单时滞控制器，系统控制框图如图2所示，图中，为具有时延的移动机器人模型矩阵，为控制系统达到一致性的单时滞控制器矩阵。n为单个移动机器人的邻居个数，L为多移动机器人系统拓扑结构对应的Laplacian矩阵，r为系统输入，y为系统输出。

步骤3，建立多移动机器人之间的交互拓扑如图3所示，可以得到其对应的Laplacian矩阵，从而求得Laplacian矩阵的特征值为：0，-0.3523,-1.3504+0.7965i，-1，-1.3504+0.7965i,-1.3504-0.7965i，-1.9860+0.7410i,-1.9860-0.7410i，-2.9874+0.2669i,-2.9874-0.2669i，-3。可以看出，以上非零特征值的实部绝对值的最小值为0.3523，为可以使控制器的效果更明显，本文将每一个子系统的最右极点都配置在-6.5的位置，根据式(10)，可以求得τ对应的取值范围是τ≤0.154，因此在本例中，取τ的值为0.15。根据式(11)，可以求得对应的λ_j的值，然后根据式(12)，可以确定(k₁,k₂,...,k_n)的值，由于有n个未知数，仅有n-1个方程，(k₁,k₂,...,k_n)的解并不唯一，但效果都是相同的。随机选择一组(k₁,k₂,...,k_n)的解:k₁＝2.549,k₂＝1.267,k₃＝1.231,k₄＝0.801,k₅＝2.549,k₆＝0.00015,k₇＝2.4,k₈＝2.4,k₉＝1.24,k₁₀＝1.239。

步骤4，将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域比例时延控制算式计算输出控制信号u(n)的值，其中，n为当前时刻的采样步数。u(n)计算公式如下：

u(n)＝k_pe(n-τ)+u₀

其中，u₀为控制器调节之前的输入控制信号，e(n-τ)为采样步数为n时的时滞跟踪误差。通过对比例时滞控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行。

步骤5，将步骤4中经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制。通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

选择上述步骤的比例控制参数和时延控制参数进行仿真，与未加控制的系统进行一致性性能对比，其效果如图4与图5所示。由以上仿真结果可以看出，在无单时滞控制器的情况下，系统可以收敛到一致，但收敛速度较慢。而在施加了单时滞控制器后，系统的子系统的极点将会配置到-6.5，相对于未加控制器时都更偏向复平面的左侧，使得子系统的性能得到了改善，从而使多移动机器人系统的一致性收敛速度更快。从而，验证了控制器的有效性。

Claims (2)

1.多移动机器人的分布式单时滞控制器设计方法，包括如下步骤：

步骤1，先基于刚体运动学原理，考虑多移动机器人的输入输出等时滞的影响；根据以下步骤确定多移动机器人的模型：

(11)考虑多移动机器人系统的个体皆具有单积分器模型：

${\stackrel{\·}{x}}_i\left(t\right)=u_i\left(t\right)---\left(1\right)$

其中x_i(t)为多移动机器人的状态信息，u_i(t)为控制输入，t为多移动机器人的个数；

(12)控制输入u_i采用下列的控制器协议：

$u_i\left(t\right)=\underset{v_j\∈N_i}{\Σ}{a}_{ij}\left(x_j\right(t)-x_i(t\left)\right)---\left(2\right)$

其中N_i是节点i的邻居节点,a_ij是节点i和节点j之间的权重；

(13)引入单时滞控制器，相应的闭环系统表示为:

${\stackrel{\·}{x}}_i=k_i\underset{v_j\∈N_i}{\Σ}{a}_{ij}\[x_j(t-\mathrm{\τ})-x_i(t-\mathrm{\τ})\]---\left(3\right)$

其中，k_i是比例控制系数，τ为时滞控制系数；

步骤2，建立具有单时滞控制器矩阵带有时滞控制模型集合反馈环节是多移动机器人系统拓扑结构对应的Laplacian矩阵，系统输入为r，系统输出为y的多移动机器人反馈控制系统；其中n为单个移动机器人的个数；

步骤3，根据以下步骤确定能使移动机器人稳定的单时滞控制器k的参数范围；

(31)根据系统的Laplacian矩阵的定义，式(3)可以表示为状态空间模型的形式：

$\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=\mathrm{\Γ}X(t-\mathrm{\τ})---\left(4\right)$

其中，X(t)＝[x₁ x₂ ... x_n]^T∈Rⁿ是系统的状态信息矩阵，Γ＝KL是指被比例控制系数修改过的Laplacian矩阵；其中，K＝diag(k₁,k₂,...,k_n)是比例控制参数矩阵，L为系统的拓扑结构对应的Laplacian矩阵；

由于矩阵Γ是受控制参数影响的，是由Laplacian矩阵经过几次初等行变换而来，则可以假设Γ是可对角化的，即存在非奇异矩阵T_Γ，使得

T_Γ ^-1ΓT_Γ＝Λ_Γ (5)

其中，Λ_Γ是一个对角矩阵，其元素都是矩阵Γ的特征值；已知，单积分多智能体系统能达成一致的充分必要条件，是其Laplacian矩阵存在一个0特征值；对应的，矩阵Γ也应存在一个0特征值，由此可得，矩阵Λ_Γ应该具有如下的形式

Λ_Γ＝diag(0,λ₂,λ₃,....λ_n) (6)

其中，0,λ₂,λ₃,....λ_n为待求的Γ的特征值；

(32)针对状态空间模型(4)采用系统分解方法，假设

X＝T_Γξ

其中，ξ＝[ξ₁，ξ₂，...，ξ_n]^T；那么

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=LX(t-\mathrm{\τ})\\ \⇒T_{\mathrm{\Γ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\left(t\right)={\mathrm{LT}}_{\mathrm{\Γ}}\mathrm{\ξ}(t-\mathrm{\τ})\\ \⇒\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\left(t\right)={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{\Γ}}(t-\mathrm{\τ})\end{array}$

原闭环系统就可表示为

由此原系统可以分解为两部分：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_1\left(t\right)=0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_j\left(t\right)={\mathrm{\λ}}_j{\mathrm{\ξ}}_j(t-\mathrm{\τ})\end{array},j=2,3,\mathrm{...},n---\left(7\right)$

显然，(7)的极点对系统的一致性性能有着主要的影响，其对应的特征方程为：

s-λ_je^-sτ＝0,j＝2,3,....,n (8)

其中λ_j与τ都对特征方程(8)的极点在复平面的位置有影响；

(33)方程(8)的解可以表示为：

$s_k=\frac{1}{\mathrm{\τ}}{W}_k\left({\mathrm{\λ}}_j\mathrm{\τ}\right)---\left(9\right)$

其中W_k(s)是Lambert W方程的第k个分支；

在所有的解s_k中，与主支(k＝0)相关联的解s₀的实部拥有最大值；即

max[Re{W_k(H)}]＝Re{W₀(H)}

其中，每一个W_k(H)都有确定的取值范围，其中主支W₀(H)的取值范围为

Re{W₀(H)}≥-1

由此可以确定待求的最右极点的取值范围：

$\mathrm{Re}\left\{s_0\right\}=\frac{1}{\mathrm{\τ}}\mathrm{Re}\left\{W_0\left({\mathrm{\λ}}_j\mathrm{\τ}\right)\right\}\≥-\frac{1}{\mathrm{\τ}}---\left(10\right)$

在此范围内，可以任意选择合适的最右极点的取值；假设期望的(8)的最右极点为则有：

$s_{des}^j=\frac{1}{\mathrm{\τ}}\mathrm{Re}\left\{W_0\left({\mathrm{\λ}}_j\mathrm{\τ}\right)\right\}---\left(11\right)$

根据式(11)，由于与τ都已选定，则可以求出对应的λ_j的值；在确定每一个λ_j的值以后，则矩阵Λ_Γ也可以确定；由于对角矩阵Λ_Γ的元素皆为矩阵Γ的特征值，故有

$\begin{array}{c}\det \[sI-\mathrm{\Γ}\]=\det \[sI-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{\Γ}}\]\\ \⇒\det \[sI-KL\]=s(s-{\mathrm{\λ}}_2)(s-{\mathrm{\λ}}_3)...(s-{\mathrm{\λ}}_n)\end{array}---\left(12\right)$

根据(12)，可以得到n-1个关于(k₁,k₂,...,k_n)的方程，根据这个方程组，可确定(k₁,k₂,...,k_n)的取值；这些(k₁,k₂,...,k_n)的取值，可以将每一个子系统的最右特征根配置在期望的位置的控制器参数；

步骤4，将移动机器人的模型参数输入时延控制参数的计算单元，将控制参数输入监控模块执行预调控制程序：经模拟量输入信号，经A/D装换模块将模拟信号转化为数字信号输入，将输入值与设定值进行比较可得到不同的跟踪误差按照离散域比例时延控制算式计算输出控制信号u(n)的值；其中，n为当前时刻的采样步数；u(n)计算公式如下：

u(n)＝ke(n-τ)+u₀

其中，u₀为控制器调节之前的输入控制信号，k是比例控制参数，e(n-τ)为采样步数为n时的时滞跟踪误差；通过对比例时滞控制器的调节减少误差以确保移动机器人的稳定运行；

步骤5，将步骤4中经过预调系统镇定的单时滞控制器施加于每个移动机器人，以便于对稳定的移动机器人进行协同控制；通过单时滞控制器程序调节各移动机器人之间的速度差来使整个系统达到一致，完成协同控制。

2.根据权利要求1所描述的适用于有向拓扑结构的多移动机器人的协同控制方法，其特征在于引入了单时滞控制器，并且运用Lambert W方程推导出极点配置的解析式，从而选取合适的比例和时延参数可更快的实现协同控制。