CN106354916A - 全断面岩石掘进机刀盘支撑半径及刀具数量的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了属于水利水电隧洞、铁路公路隧道、城市地下铁道等挖掘工具范围的一种全断面岩石掘进机刀盘支撑半径及刀具数量的确定方法。将掘进作业中的刀盘等效为载荷均布并支撑在止推轴承上的弹性薄板；根据弹性力学理论，圆形薄板弯曲的弹性曲面微分方程；刀盘面载荷与刀盘支撑关系，从分析刀盘在轴承内部分边界条件及边界上的内力确定刀盘支撑半径内的刀具数量与刀盘支撑半径外的刀具数量，当二者相等时，刀盘具有更好的作业效能。通过实施例测定，采用本方法，可使全断面岩石掘进机破岩作业过程中，刀盘翘曲度减小近25％，振幅和频率分别下降27％和23％，刀盘大轴承寿命提高近13％。

Description

全断面岩石掘进机刀盘支撑半径及刀具数量的确定方法

技术领域

本发明属于路桥、涵洞挖掘工具范围，特别涉及一种全断面岩石掘进机刀盘支撑半径及刀具数量的确定方法。

背景技术

刀盘是全断面岩石掘进机上的关键核心部件，对全断面岩石掘进机的作业性能有重要影响，尤其是刀盘支撑半径设置与刀盘上盘形滚刀的数量关系，对刀盘翘曲、振动及其大轴承寿命都有重大影响，目前尚没有有效解决方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种全断面岩石掘进机刀盘刀具数量与刀盘支撑半径确定方法，所述全断面岩石掘进机刀盘前面均匀布置有盘形滚刀，后面支撑在大轴承上，因此，将掘进作业中的刀盘等效为载荷均布并支撑在止推轴承上的弹性薄板；其特征在于，包括：

1)刀盘载荷集度的计算，

根据弹性力学理论，圆形薄板弯曲的弹性曲面微分方程为

$(\frac{\∂2}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2})(\frac{{\∂}^{2}w}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂w}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^{2}w}{\∂{\mathrm{\θ}}^2})=\frac{q(r,\mathrm{\θ})}{D}---\left(1\right)$

式中：r,θ——以刀盘中心为坐标原点的极坐标；

w——圆形薄板上坐标为(r,θ)点的挠度；

D——刀盘弯曲刚度，且其中，E为圆形薄板材料的杨氏弹性模量，t为薄板厚度，μ为其泊松比；

q(r,θ)——垂直于圆形薄板分布的载荷集度；

由于在全断面岩石掘进机掘进作业时，其刀盘上每把盘形滚刀受到的垂直于刀盘面的作用力都很大，一把17英寸盘形滚刀的额定载荷就达250KN；为使作业刀盘不受横向载荷及倾覆力矩作用，其上安装的盘形滚刀都设计为均匀对称分布，亦即全断面岩石掘进机掘进作业时，其刀盘上的载荷集度认为均匀且相等，则

$q(r,\mathrm{\θ})=\frac{{\mathrm{NF}}_V}{{\mathrm{\πR}}^2}=q---\left(2\right)$

式中：N——刀盘上安装的盘形滚刀数量；

F_V——每把盘形滚刀的垂直推力；

R——刀盘半径；

q——刀盘上载荷集度平均值；

则，式(1)可表示为：即：

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r^3}\frac{dw}{dr}=\frac{q}{D}---\left(3\right)$

式(3)是一个四阶变系数非齐次线性微分方程，其解表示为此方程的一个特解w₁和与其对应的齐次方程

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r^3}\frac{dw}{dr}=0---\left(4\right)$

的通解w₂之和的形式；

设r＝e^x，代入式(4)，得

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dx}}^4}-4\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dx}}^3}+4\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=0---\left(5\right)$

设方程(5)的解为w＝e^kx(k为常数)，代入式(5)并整理，得

k⁴-4k³+4k²＝0 (6)

则，k₁＝k₂＝0，k₃＝k₄＝2；微分方程(5)的通解w₂表示为：

w₂＝(A₁+A₂x)e^0x+(A₃+A₄x)e^2x (7)

式中A₁、A₂、A₃和A₄为由边界条件确定的常数；

将r＝e^x或x＝lnr代入式(7)，得

w₂＝A₁+A₂lnr+A₃r²+A₄r²lnr (8)

此即方程(4)的通解；

根据上述分析，刀盘上的载荷可认为均匀分布且集度为q，因此，方程(3)的特解可设为w₁＝Cr⁴(其中，C为常数)并代入方程(3)，求得于是得方程(3)的通解w为：

$w=w_1+w_2=A_1+A_2\ln r+A_3{r}^2+A_4{r}^2\ln r+\frac{{\mathrm{qr}}^4}{64D}---\left(9\right)$

2)刀盘面载荷与刀盘支撑，

(1)刀盘上的面载荷分布，

全断面岩石掘进机刀盘一般通过刀盘大轴承安装在其内机架上；刀盘与其大轴承内圈(或外圈)由螺栓联结，因此，认为刀盘在其大轴承联结处为夹支，且大轴承将刀盘分为两部分，可分别称为刀盘在轴承内部分和刀盘在轴承外部分。设刀盘上轴承内部分布置n_n把盘形滚刀，轴承外部分布置n_w把盘形滚刀；再设刀盘支撑轴承半径为R₀、刀盘半径(开挖半径)为R，根据式(2)，则轴承内部分的刀盘载荷集度q_n和轴承外部分的刀盘载荷集度q_w分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_n=\frac{n_n{F}_V}{{\mathrm{\πR}}_0^2}\\ q_w=\frac{n_w{F}_V}{\mathrm{\π}(R^2-R_0^2)}\end{array}\right.---\left(10\right)$

此即刀盘面载荷分布；

(2)刀盘在轴承内部分边界条件及边界上的内力，

刀盘在轴承内部分可认为是中心无孔的圆形薄板，则式(9)中的系数A₂和A₄必为零，否则在刀盘中心(r＝0)，刀盘挠度及内力为无限大；于是得刀盘在轴承内部分的弯曲挠度方程为

$w_n=A_1+A_3{r}^2+\frac{q_n{r}^4}{64D}---\left(11\right)$

设刀盘轴承的支撑半径为R₀，根据夹支边界条件，有代入式(11)得：由此得：并代入式(11)整理，得：

$w_n=\frac{q_n{R}_0^4}{64D}{(1-\frac{r^2}{R_0^2})}^2---\left(12\right)$

由此，得边界上的内力为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{rn}{|}_{r=R_0}=-\frac{q_n{R}_0^2}{8}\\ M_{\mathrm{\θ}n}{|}_{r=R_0}=-\frac{{\mathrm{\μq}}_n{R}_0^2}{8}\\ Q_{rn}{|}_{r=R_0}=-\frac{q_n{R}_0}{2}\end{array}\right.---\left(13\right)$

(3)刀盘在轴承外部分边界条件及边界上的内力

刀盘在轴承外部分弯曲挠度如式(9)所示，则：

$\frac{dw}{dr}=\frac{A_2}{r}+2A_{3}r+2A_{4}r\ln r+A_{4}r+\frac{q_w{r}^2}{16D}---\left(14\right)$

$\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=-\frac{A_2}{r^2}+2A_2+3A_4+2A_4\ln r+\frac{3q_w{r}^2}{16D}---\left(15\right)$

${\▿}^{2}w=\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}=4A_2+4A_4+4A_4\ln r+\frac{q_w{r}^2}{4D}---\left(16\right)$

其边界条件为：在r＝R₀，刀盘夹支，有刀盘外边界r＝R自由，有

$V_r{|}_{r=R}={(Q_r+\frac{1}{r}\frac{\∂M_{r\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}})}_{r=R}={\left(Q_r\right)}_{r=R}={(-D\frac{d}{dr}{\▿}^{2}w)}_{r=R}=0,$

将式(9)、(14)、(15)和(16)代入边界条件并求解，得

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{8q_w{R}^2{R}_0^2{\mathrm{lnR}}_0-q_w{R}_0^4}{64D}-A_2{\mathrm{lnR}}_0-A_3{R}_0^2\\ A_2=\frac{2(2R_0^2{\mathrm{lnR}}_0+R_0^2)q_w{R}^2-q_w{R}_0^4}{16D}-\frac{(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnR}}^{4+4\mathrm{\μ}})q_w{R}^4{R}_0^2+(\mathrm{\μ}-1)q_w{R}_0^3-2(\mathrm{\μ}-1)(2R_0^4{\mathrm{lnR}}_0+R_0^4)q_w{R}^2}{8D\[2(1+\mathrm{\μ})R^2-2(\mathrm{\μ}-1)R_0^2\]}\\ A_3=\frac{(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnR}}^{4+4\mathrm{\μ}})q_w{R}^4+(\mathrm{\μ}-1)q_w{R}_0^4-2(\mathrm{\μ}-1)(2R_0^2{\mathrm{lnR}}_0+R_0^2)q_w{R}^2}{16D\[2(1+\mathrm{\μ})R^2-2(\mathrm{\μ}-1)R_0^2\]}\\ A_4=-\frac{q_w{R}^2}{8D}\end{array}\right.---\left(17\right)$

则：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=-D(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{\mathrm{\μ}}{r}\frac{dw}{dr})\\ M_{\mathrm{\θ}}=-D(\mathrm{\μ}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})\end{array}\right.---\left(18\right)$

将式(14)、(15)代入式(18)，得

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=-D\[\frac{\mathrm{\μ}-1}{r^2}{A}_2+2(1+\mathrm{\μ})A_3+(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnr}}^{2+2\mathrm{\μ}})A_4+\frac{3+\mathrm{\μ}}{16D}{q}_w{r}^2\]\\ M_{\mathrm{\θ}}=-D\[\frac{1-\mathrm{\μ}}{r^2}{A}_2+2(1+\mathrm{\μ})A_3+(3\mathrm{\μ}+1+{\mathrm{lnr}}^{2+2\mathrm{\μ}})A_4+\frac{3\mathrm{\μ}+1}{16D}{q}_w{r}^2\]\end{array}\right.---\left(19\right)$

对轴承外刀盘部分取平衡，得：

$2{\mathrm{\πR}}_0{Q}_{R_0}+\mathrm{\π}(R^2-R_0^2)q_w=0$

所以，

$Q_{R_0}=-\frac{(R^2-R_0^2)q_w}{2R_0}---\left(20\right)$

式中：——刀盘大轴承支撑边界处且平行于刀盘旋转轴线的刀盘上的剪力；

其它符号意义同前。

3)由刀盘支撑边界上的内力分析来确定刀盘支撑半径内外的刀具数量，

根据上述分析，支撑边界是轴承内部分的外边界，而却是轴承外部分的内边界。由于轴承内部分刀盘和轴承外部分刀盘是以刀盘支撑为边界划分的，因此，在刀盘支撑边界上，轴承内部分的刀盘内力和轴承外部分的刀盘内力应分别对应相等；

将式(20)与式(13)中的结果相比较，得

$\frac{q_n}{q_w}=\frac{R^2}{R_0^2}-1---\left(21\right)$

将式(21)、(17)代入式(19)，且令r＝R₀，与式(13)相比较并整理，得：

$\left\{\begin{array}{c}(4\mathrm{\μ}+4)\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}-2\frac{R^4}{R_0^4}+4\mathrm{\μ}\frac{R^2}{R_0^2}-2\mathrm{\μ}+2=0\\ (4{\mathrm{\μ}}^2+4\mathrm{\μ})\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^4}{R_0^4}-2\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}+6{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^2}{R_0^2}-2{\mathrm{\μ}}^2+2\mathrm{\μ}=0\end{array}\right.---\left(22\right)$

式(22)不易求解，其值很难等于零，我们将不等于零的值称为内力偏离量当量，分别记为和显然，内力偏离量当量大，内力偏离量也大，为此，将式(22)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_{{\mathrm{rR}}_0}=(4\mathrm{\μ}+4)\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}-2\frac{R^4}{R_0^4}+4\mathrm{\μ}\frac{R^2}{R_0^2}-2\mathrm{\μ}+2\\ {\mathrm{\Δ}}_{{\mathrm{\θR}}_0}=(4{\mathrm{\μ}}^2+4\mathrm{\μ})\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^4}{R_0^4}-2\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}+6{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^2}{R_0^2}-2{\mathrm{\μ}}^2+2\mathrm{\μ}\end{array}\right.---\left(23\right)$

由式(10)，得

$\frac{q_n}{q_w}=\frac{n_n}{n_w}(\frac{R^2}{R_0^2}-1)---\left(24\right)$

与式(21)相比较，得

$\frac{n_n}{n_w}=1---\left(25\right)$

结合上述分析可知，当刀盘半径为其大轴承支撑半径的1.62～1.63倍，且刀盘支撑半径内的刀具数量与刀盘支撑半径外的刀具数量相等时，刀盘具有更好的作业效能。

本发明的有益效果是通过深入的理论、模拟和试验研究，发现了全断面岩石掘进机作业过程中减缓其刀盘翘曲、振动及提高其大轴承寿命的方法。通过实施例测定，采用本方法，可使全断面岩石掘进机破岩作业过程中，刀盘翘曲度减小近25％，振幅和频率分别下降27％和23％，刀盘大轴承寿命提高近13％。

附图说明

图1为支撑边界上内力偏离量变化趋势。

具体实施方式

本发明提出一种全断面岩石掘进机刀盘刀具数量与刀盘支撑半径确定方法，下面结合附图、实施例予以说明所述全断面岩石掘进机刀盘前面均匀布置有盘形滚刀，后面支撑在大轴承上，因此，将掘进作业中的刀盘等效为载荷均布并支撑在止推轴承上的弹性薄板；包括：

1)刀盘载荷集度的计算，

根据弹性力学理论，圆形薄板弯曲的弹性曲面微分方程为

$(\frac{\∂2}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2})(\frac{{\∂}^{2}w}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂w}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^{2}w}{\∂{\mathrm{\θ}}^2})=\frac{q(r,\mathrm{\θ})}{D}---\left(1\right)$

式中：r,θ——以刀盘中心为坐标原点的极坐标；

w——圆形薄板上坐标为(r,θ)点的挠度；

D——刀盘弯曲刚度，且其中，E为圆形薄板材料的杨氏弹性模量，t为薄板厚度，μ为其泊松比；

q(r,θ)——垂直于圆形薄板分布的载荷集度；

由于在全断面岩石掘进机掘进作业时，其刀盘上每把盘形滚刀受到的垂直于刀盘面的作用力都很大，一把17英寸盘形滚刀的额定载荷就达250KN；为使作业刀盘不受横向载荷及倾覆力矩作用，其上安装的盘形滚刀都设计为均匀对称分布，亦即全断面岩石掘进机掘进作业时，其刀盘上的载荷集度认为均匀且相等，则

$q(r,\mathrm{\θ})=\frac{{\mathrm{NF}}_V}{{\mathrm{\πR}}^2}=q---\left(2\right)$

式中：N——刀盘上安装的盘形滚刀数量；

F_V——每把盘形滚刀的垂直推力；

R——刀盘半径；

q——刀盘上载荷集度平均值；

则，式(1)可表示为：即：

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r^3}\frac{dw}{dr}=\frac{q}{D}---\left(3\right)$

式(3)是一个四阶变系数非齐次线性微分方程，其解表示为此方程的一个特解w₁和与其对应的齐次方程

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r^3}\frac{dw}{dr}=0---\left(4\right)$

的通解w₂之和的形式；

设r＝e^x，代入式(4)，得

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dx}}^4}-4\frac{d^{2}w}{{\mathrm{ax}}^3}+4\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=0---\left(5\right)$

设方程(5)的解为w＝e^kx(k为常数)，代入式(5)并整理，得

k⁴-4k³+4k²＝0 (6)

则，k₁＝k₂＝0，k₃＝k₄＝2；微分方程(5)的通解w₂表示为：

w₂＝(A₁+A₂x)e^0x+(A₃+A₄x)e^2x (7)

式中A₁、A₂、A₃和A₄为由边界条件确定的常数；

将r＝e^x或x＝lnr代入式(7)，得

w₂＝A₁+A₂lnr+A₃r²+A₄r²lnr (8)

此即方程(4)的通解；

根据上述分析，刀盘上的载荷可认为均匀分布且集度为q，因此，方程(3)的特解可设为w₁＝Cr⁴(其中，C为常数)并代入方程(3)，求得于是得方程(3)的通解w为：

$w=w_1+w_2=A_1+A_2\ln r+A_3{r}^2+A_4{r}^2\ln r+\frac{{\mathrm{qr}}^4}{64D}---\left(9\right)$

2)刀盘面载荷与刀盘支撑，

(1)刀盘上的面载荷分布，

全断面岩石掘进机刀盘一般通过刀盘大轴承安装在其内机架上；刀盘与其大轴承内圈(或外圈)由螺栓联结，因此，认为刀盘在其大轴承联结处为夹支，且大轴承将刀盘分为两部分，可分别称为刀盘在轴承内部分和刀盘在轴承外部分。设刀盘上轴承内部分布置n_n把盘形滚刀，轴承外部分布置n_w把盘形滚刀；再设刀盘支撑轴承半径为R₀、刀盘半径(开挖半径)为R，根据式(2)，则轴承内部分的刀盘载荷集度q_n和轴承外部分的刀盘载荷集度q_w分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_n=\frac{n_n{F}_V}{{\mathrm{\πR}}_0^2}\\ q_w=\frac{n_w{F}_V}{\mathrm{\π}(R^2-R_0^2)}\end{array}\right.---\left(10\right)$

此即刀盘面载荷分布；

(2)刀盘在轴承内部分边界条件及边界上的内力，

刀盘在轴承内部分可认为是中心无孔的圆形薄板，则式(9)中的系数A₂和A₄必为零，否则在刀盘中心(r＝0)，刀盘挠度及内力为无限大。于是得刀盘在轴承内部分的弯曲挠度方程为

$w_n=A_1+A_3{r}^2+\frac{q_n{r}^4}{64D}---\left(11\right)$

设刀盘轴承的支撑半径为R₀，根据夹支边界条件，有代入式(11)得：由此得：并代入式(11)整理，得：

$w_n=\frac{q_n{R}_0^4}{64D}{(1-\frac{r^2}{R_0^2})}^2---\left(12\right)$

由此，得边界上的内力为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{rn}{|}_{r=R_0}=-\frac{q_n{R}_0^2}{8}\\ M_{\mathrm{\θ}n}{|}_{r=R_0}=-\frac{{\mathrm{\μq}}_n{R}_0^2}{8}\\ Q_{rn}{|}_{r=R_0}=-\frac{q_n{R}_0}{2}\end{array}\right.---\left(13\right)$

(3)刀盘在轴承外部分边界条件及边界上的内力

刀盘在轴承外部分弯曲挠度如式(9)所示，则：

$\frac{dw}{dr}=\frac{A_2}{r}+2A_{3}r+2A_{4}r\ln r+A_{4}r+\frac{q_w{r}^2}{16D}---\left(14\right)$

$\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=-\frac{A_2}{r^2}+2A_3+3A_4+2A_4\ln r+\frac{3q_w{r}^2}{16D}---\left(15\right)$

${\▿}^{2}w=\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}=4A_3+4A_4+4A_4\ln r+\frac{q_w{r}^2}{4D}---\left(16\right)$

其边界条件为：在r＝R₀，刀盘夹支，有刀盘外边界r＝R自由，有

$V_r{|}_{r=R}={(Q_r+\frac{1}{r}\frac{\∂M_{r\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}})}_{r=R}={\left(Q_r\right)}_{r=R}={(-D\frac{d}{dr}{\▿}^{2}w)}_{r=R}=0,$

将式(9)、(14)、(15)和(16)代入边界条件并求解，得

$\left\{\begin{array}{c}{A}_2=\frac{8q_w{R}^2{R}_0^2{\mathrm{lnR}}_0-q_w{R}_0^4}{64D}-A_2{\mathrm{lnR}}_0-A_3{R}_0^2\\ A_2=\frac{2(2R_0^2{\mathrm{lnR}}_0+R_0^2)q_w{R}^2-q_w{R}_0^4}{16D}-\frac{(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnR}}^{4+4\mathrm{\μ}})q_w{R}^4{R}_0^2+(\mathrm{\μ}-1)q_w{R}_0^3-2(\mathrm{\μ}-1)(2R_0^4{\mathrm{lnR}}_0+R_0^4)q_w{R}^2}{8D\[2(1+\mathrm{\μ})R^2-2(\mathrm{\μ}-1)R_0^2\]}\\ A_3=\frac{(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnR}}^{4+4\mathrm{\μ}})q_w{R}^4+(\mathrm{\μ}-1)q_w{R}_0^4-2(\mathrm{\μ}-1)(2R_0^2{\mathrm{lnR}}_0+R_0^2)q_w{R}^2}{16D\[2(1+\mathrm{\μ})R^2-2(\mathrm{\μ}-1)R_0^2\]}\\ A_4=-\frac{q_w{R}^2}{8D}\end{array}\right.---\left(17\right)$

则：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=-D(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{\mathrm{\μ}}{r}\frac{dw}{dr})\\ M_{\mathrm{\θ}}=-D(\mathrm{\μ}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})\end{array}\right.---\left(18\right)$

将式(14)、(15)代入式(18)，得

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=-D\[\frac{\mathrm{\μ}-1}{r^2}{A}_2+2(1+\mathrm{\μ})A_3+(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnr}}^{2+2\mathrm{\μ}})A_4+\frac{3+\mathrm{\μ}}{16D}{q}_w{r}^2\]\\ M_{\mathrm{\θ}}=-D\[\frac{1-\mathrm{\μ}}{r^2}{A}_2+2(1+\mathrm{\μ})A_3+(3\mathrm{\μ}+1+{\mathrm{lnr}}^{2+2\mathrm{\μ}})A_4+\frac{3\mathrm{\μ}+1}{16D}{q}_w{r}^2\]\end{array}\right.---\left(19\right)$

对轴承外刀盘部分取平衡，得：

$2{\mathrm{\πR}}_0{Q}_{R_0}+\mathrm{\π}(R^2-R_0^2)q_w=0$

所以，

$Q_{R_0}=-\frac{(R^2-R_0^2)q_w}{2R_0}---\left(20\right)$

式中：——刀盘大轴承支撑边界处且平行于刀盘旋转轴线的刀盘上的剪力；

其它符号意义同前。

3)由刀盘支撑边界上的内力分析来确定刀盘支撑半径内外的刀具数量，

根据上述分析，支撑边界是轴承内部分的外边界，而却是轴承外部分的内边界。由于轴承内部分刀盘和轴承外部分刀盘是以刀盘支撑为边界划分的，因此，在刀盘支撑边界上，轴承内部分的刀盘内力和轴承外部分的刀盘内力应分别对应相等；

将式(20)与式(13)中的结果相比较，得

$\frac{q_n}{q_w}=\frac{R^2}{R_0^2}-1---\left(21\right)$

将式(21)、(17)代入式(19)，且令r＝R₀，与式(13)相比较并整理，得：

$\left\{\begin{array}{c}(4\mathrm{\μ}+4)\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}-2\frac{R^4}{R_0^4}+4\mathrm{\μ}\frac{R^2}{R_0^2}-2\mathrm{\μ}+2=0\\ (4{\mathrm{\μ}}^2+4\mathrm{\μ})\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^4}{R_0^4}-2\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}+6{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^2}{R_0^2}-2{\mathrm{\μ}}^2+2\mathrm{\μ}=0\end{array}\right.---\left(22\right)$

式(22)不易求解，其值很难等于零，我们将不等于零的值称为内力偏离量当量，分别记为和显然，内力偏离量当量大，内力偏离量也大，为此，将式(22)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_{{\mathrm{rR}}_0}=(4\mathrm{\μ}+4)\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}-2\frac{R^4}{R_0^4}+4\mathrm{\μ}\frac{R^2}{R_0^2}-2\mathrm{\μ}+2\\ {\mathrm{\Δ}}_{{\mathrm{\θR}}_0}=(4{\mathrm{\μ}}^2+4\mathrm{\μ})\frac{R^4}{R_0^4}ln\frac{R}{R_0}-4{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^4}{R_0^4}-2\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}+6{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^2}{R_0^2}-2{\mathrm{\μ}}^2+2\mathrm{\μ}\end{array}\right.---\left(23\right)$

由式(10)，得

$\frac{q_n}{q_w}=\frac{n_n}{n_w}(\frac{R^2}{R_0^2}-1)---\left(24\right)$

与式(21)相比较，得

$\frac{n_n}{n_w}=1---\left(25\right)$

结合上述分析可知，当刀盘半径为其大轴承支撑半径的1.62～1.63倍，且刀盘支撑半径内的刀具数量与刀盘支撑半径外的刀具数量相等时，刀盘具有更好的作业效能。

将μ＝0.28和不同的代入式(23)，得刀盘支撑边界上的内力偏离量当量数值解(见表1所示)，该偏离量当量的变化趋势见图1所示。由表1和图1可以看出，在给定的数值解序列中，刀盘支撑边界上内力偏离量当量绝对值平均值最小发生在处，此处径向弯矩偏离量当量只有1％，周向弯矩偏离量当量为41.1％。周向弯矩偏离量大，对刀盘轴承受力不利；径向弯矩偏离量大，全断面岩石掘进机施工作业中，刀盘易发生翘曲，从而增大振动。因此，全断面岩石掘进机刀盘支撑设置在处，相对比较合理。由表1还可以看出，刀盘支撑边界上内力偏离量当量绝对值平均值都在24.5％以下，这基本上可以满足工程需要。

表1内力偏离量当量

实施例

已知某隧道工程开挖直径7.66m，根据围岩地质条件，在全断面岩石掘进机刀盘上需设置盘形滚刀56把。

则：

按专利要求，1)取R₀＝2.36(m)，则：

2)在刀盘支撑半径内设置盘形滚刀28把，在刀盘支撑半径外设置盘形滚刀28把。

根据数值模拟和试验测定，全断面岩石掘进机破岩作业过程中，刀盘翘曲度较传统设计方法设计的刀盘减小近25％，振幅和频率分别下降27％和23％，刀盘大轴承寿命提高近13％。

Claims (1)

1.一种全断面岩石掘进机刀盘刀具数量与刀盘支撑半径确定方法，所述全断面岩石掘进机刀盘前面均匀布置有盘形滚刀，后面支撑在大轴承上，因此，将掘进作业中的刀盘等效为载荷均布并支撑在止推轴承上的弹性薄板；其特征在于，包括：

1)刀盘载荷集度的计算，

根据弹性力学理论，圆形薄板弯曲的弹性曲面微分方程为

$(\frac{{\∂}^2}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\θ}}^2})(\frac{{\∂}^{2}w}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂w}{\∂r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\∂}^{2}w}{\∂{\mathrm{\θ}}^2})=\frac{q(r,\mathrm{\θ})}{D}---\left(1\right)$

式中：r,θ——以刀盘中心为坐标原点的极坐标；

w——圆形薄板上坐标为(r,θ)点的挠度；

D——刀盘弯曲刚度，且其中，E为圆形薄板材料的杨氏弹性模量，t为薄板厚度，μ为其泊松比；

q(r,θ)——垂直于圆形薄板分布的载荷集度；

由于在全断面岩石掘进机掘进作业时，其刀盘上每把盘形滚刀受到的垂直于刀盘面的作用力都很大，一把17英寸盘形滚刀的额定载荷就达250KN；为使作业刀盘不受横向载荷及倾覆力矩作用，其上安装的盘形滚刀都设计为均匀对称分布，亦即全断面岩石掘进机掘进作业时，其刀盘上的载荷集度认为均匀且相等，则

$q(r,\mathrm{\θ})=\frac{{\mathrm{NF}}_V}{{\mathrm{\πR}}^2}=q---\left(2\right)$

式中：N——刀盘上安装的盘形滚刀数量；

F_V——每把盘形滚刀的垂直推力；

R——刀盘半径；

q——刀盘上载荷集度平均值；

则，式(1)可表示为：即：

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r^3}\frac{dw}{dr}=\frac{q}{D}---\left(3\right)$

式(3)是一个四阶变系数非齐次线性微分方程，其解表示为此方程的一个特解w₁和与其对应的齐次方程

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^4}+\frac{2}{r}\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dr}}^3}-\frac{1}{r^2}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r^3}\frac{dw}{dr}=0---\left(4\right)$

的通解w₂之和的形式；

设r＝e^x，代入式(4)，得

$\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dx}}^4}-4\frac{d^{3}w}{{\mathrm{dx}}^3}+4\frac{d^{4}w}{{\mathrm{dr}}^2}=0---\left(5\right)$

设方程(5)的解为w＝e^kx(k为常数)，代入式(5)并整理，得

k⁴-4k³+4k²＝0 (6)

则，k₁＝k₂＝0，k₃＝k₄＝2；微分方程(5)的通解w₂表示为：

w₂＝(A₁+A₂x)e^0x+(A₃+A₄x)e^2x (7)

式中A₁、A₂、A₃和A₄为由边界条件确定的常数；

将r＝e^x或x＝lnr代入式(7)，得

w₂＝A₁+A₂lnr+A₃r²+A₄r²lnr (8)

此即方程(4)的通解；

根据上述分析，刀盘上的载荷可认为均匀分布且集度为q，因此，方程(3)的特解可设为w₁＝Cr⁴(其中，C为常数)并代入方程(3)，求得于是得方程(3)的通解w为：

$w=w_1+w_2=A_1+A_2\ln r+A_3{r}^2+A_4{r}^2\ln r+\frac{{\mathrm{qr}}^4}{64D}---\left(9\right)$

2)刀盘面载荷与刀盘支撑，

(1)刀盘上的面载荷分布，

全断面岩石掘进机刀盘一般通过刀盘大轴承安装在其内机架上；刀盘与其大轴承内圈(或外圈)由螺栓联结，因此，认为刀盘在其大轴承联结处为夹支，且大轴承将刀盘分为两部分，可分别称为刀盘在轴承内部分和刀盘在轴承外部分，设刀盘上轴承内部分布置n_n把盘形滚刀，轴承外部分布置n_w把盘形滚刀；再设刀盘支撑轴承半径为R₀、刀盘半径为R，根据式(2)，则轴承内部分的刀盘载荷集度q_n和轴承外部分的刀盘载荷集度q_w分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{q}_n=\frac{n_n{F}_V}{{\mathrm{\πR}}_0^2}\\ q_w=\frac{n_w{F}_V}{\mathrm{\π}(R^2-R_{\mathrm{\θ}}^2)}\end{array}\right.---\left(10\right)$

此即刀盘面载荷分布；

(2)刀盘在轴承内部分边界条件及边界上的内力，

刀盘在轴承内部分可认为是中心无孔的圆形薄板，则式(9)中的系数A₂和A₄必为零，否则在刀盘中心(r＝0)，刀盘挠度及内力为无限大；于是得刀盘在轴承内部分的弯曲挠度方程为

$w_n=A_1+A_3{r}^2+\frac{q_n{r}^4}{64D}---\left(11\right)$

设刀盘轴承的支撑半径为R₀，根据夹支边界条件，有代入式(11)得：由此得：并代入式(11)整理，得：

$w_n=\frac{q_n{R}_0^4}{64D}{(1-\frac{r^2}{R_0^2})}^2---\left(12\right)$

由此，得边界上的内力为

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{rn}{|}_{r=R_0}=-\frac{q_n{R}_0^2}{8}\\ M_{\mathrm{\θ}n}{|}_{r=R_0}=-\frac{{\mathrm{\μq}}_n{R}_0^2}{8}\\ Q_{rn}{|}_{r=R_0}=-\frac{q_n{R}_0}{2}\end{array}\right.---\left(13\right)$

(3)刀盘在轴承外部分边界条件及边界上的内力

刀盘在轴承外部分弯曲挠度如式(9)所示，则：

$\frac{dw}{dr}=\frac{A_2}{r}+2A_{3}r+2A_{4}r\ln r+A_{4}r+\frac{q_w{r}^3}{16D}---\left(14\right)$

$\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=-\frac{A_2}{r^2}+2A_2+3A_4+2A_4\ln r+\frac{3q_w{r}^2}{16D}---\left(15\right)$

${\▿}^{2}w=\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}=4A_3+4A_4+4A_4\ln r+\frac{q_w{r}^2}{4D}---\left(16\right)$

其边界条件为：在r＝R₀，刀盘夹支，有刀盘外边界r＝R自由，有

$V_r{|}_{r=R}={(Q_r+\frac{1}{r}\frac{\∂M_{r\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}})}_{r=R}={\left(Q_r\right)}_{r=R}={(-D\frac{d}{dr}{\▿}^{2}w)}_{r=R}=0,$

将式(9)、(14)、(15)和(16)代入边界条件并求解，得

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{8q_w{R}^2{R}_0^2{\mathrm{lnR}}_0-q_w{R}_0^4}{64D}-A_2{\mathrm{lnR}}_0-A_3{R}_0^2\\ A_2=\frac{2(2R_0^2{\mathrm{lnR}}_0+R_0^2)q_w{R}^2-q_w{R}_0^4}{16D}-\frac{(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnR}}^{4+4\mathrm{\μ}})q_w{R}^4{R}_0^2+(\mathrm{\μ}-1)q_w{R}_0^6-2(\mathrm{\μ}-1)(\mathrm{\μ}-1)(2R_0^4{\mathrm{lnR}}_0+R_0^4)q_0{R}^2}{8D\[2(1+\mathrm{\μ})R^2-2(\mathrm{\μ}-1)R_0^2\]}\\ A_2=\frac{(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnR}}^{4+4\mathrm{\μ}})q_w{R}^4+(\mathrm{\μ}-1)q_w{R}_0^4-2(\mathrm{\μ}-1)(2R_0^2{\mathrm{lnR}}_0+R_0^2)q_w{R}^2}{16D\[2(1+\mathrm{\μ})R^2-2(\mathrm{\μ}-1)R_0^2\]}\\ A_4=-\frac{q_w{R}^2}{8D}\end{array}\right.---\left(17\right)$

则：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=-D(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{\mathrm{\μ}}{r}\frac{dw}{dr})\\ M_{\mathrm{\θ}}=-D(\mathrm{\μ}\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})\end{array}\right.---\left(18\right)$

将式(14)、(15)代入式(18)，得

$\left\{\begin{array}{c}{M}_r=-D\[\frac{\mathrm{\μ}-1}{r^2}{A}_2+2(1+\mathrm{\μ})A_3+(3+\mathrm{\μ}+{\mathrm{lnr}}^{2+2\mathrm{\μ}})A_4+\frac{3+\mathrm{\μ}}{16D}{q}_w{r}^2\]\\ M_{\mathrm{\θ}}=-D\[\frac{1-\mathrm{\μ}}{r^2}{A}_2+2(1+\mathrm{\μ})A_3+(3\mathrm{\μ}+1+{\mathrm{lnr}}^{2+2\mathrm{\μ}})A_4+\frac{3\mathrm{\μ}+1}{16D}{q}_w{r}^2\]\end{array}\right.---\left(19\right)$

对轴承外刀盘部分取平衡，得：

$3{\mathrm{\πR}}_0{Q}_{R_0}+\mathrm{\π}(R^2-R_0^2)q_w=0$

所以，

$Q_{R_0}=-\frac{(R^2-R_0^2)q_w}{2R_0}---\left(20\right)$

式中：——刀盘大轴承支撑边界处且平行于刀盘旋转轴线的刀盘上的剪力；

3)由刀盘支撑边界上的内力分析来确定刀盘支撑半径内外的刀具数量，

根据上述分析，支撑边界是轴承内部分的外边界，而却是轴承外部分的内边界，由于轴承内部分刀盘和轴承外部分刀盘是以刀盘支撑为边界划分的，因此，在刀盘支撑边界上，轴承内部分的刀盘内力和轴承外部分的刀盘内力应分别对应相等；

将式(20)与式(13)中的结果相比较，得

$\frac{q_n}{q_w}=\frac{R^2}{R_0^2}-1---\left(21\right)$

将式(21)、(17)代入式(19)，且令r＝R₀，与式(13)相比较并整理，得：

$\left\{\begin{array}{c}(4\mathrm{\μ}+4)\frac{R^4}{R_0^4}\ln \frac{R}{R_0}-4\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}-2\frac{R^4}{R_0^4}+4\mathrm{\μ}\frac{R^2}{R_0^2}-2\mathrm{\μ}+2=0\\ (4{\mathrm{\μ}}^2+4\mathrm{\μ})\frac{R^4}{R_0^4}\ln \frac{R}{R_0}-4{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^4}{R_0^4}-2\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}+6{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^2}{R_0^2}-2{\mathrm{\μ}}^2+2\mathrm{\μ}=0\end{array}\right.---\left(22\right)$

式(22)不易求解，其值很难等于零，我们将不等于零的值称为内力偏离量当量，分别记为和显然，内力偏离量当量大，内力偏离量也大，为此，将式(22)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_{{\mathrm{rR}}_0}=(4\mathrm{\μ}+4)\frac{R^4}{R_0^4}\ln \frac{R}{R_0}-4\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}-2\frac{R^4}{R_0^4}+4\mathrm{\μ}\frac{R^2}{R_0^2}-2\mathrm{\μ}+2\\ {\mathrm{\Δ}}_{{\mathrm{\θR}}_0}=(4{\mathrm{\μ}}^2+4\mathrm{\μ})\frac{R^4}{R_0^4}\ln \frac{R}{R_0}-4{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^4}{R_0^4}-2\mathrm{\μ}\frac{R^4}{R_0^4}+6{\mathrm{\μ}}^2\frac{R^2}{R_0^2}-2{\mathrm{\μ}}^2+2\mathrm{\μ}\end{array}\right.---\left(23\right)$

由式(10)，得

$\frac{q_n}{q_w}=\frac{n_n}{n_w}(\frac{R^2}{R_0^2}-1)---\left(24\right)$

与式(21)相比较，得

$\frac{n_n}{n_w}=1---\left(25\right)$

结合上述分析可知，当刀盘半径为其大轴承支撑半径的1.62～1.63倍，且刀盘支撑半径内的刀具数量与刀盘支撑半径外的刀具数量相等时，刀盘具有更好的作业效能。