CN106338527B - 油水含水率测量传感器 - Google Patents
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Abstract
油水含水率测量传感器,包括:双层嵌套外壳以及一对宽带天线;其中,所述双层嵌套外壳包括外层屏蔽壳体以及同轴嵌套设置于所述外层屏蔽壳体内的内层隔离壳体,所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间有间隔并填充有吸波物质;所述宽带天线对称设置于所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间,宽带天线的辐射方向与天线本身垂直。本发明的测量传感器受原油的污染少,相比于射线法测量介质含水率,安全性高,经济实用、成本低,相比于超声波法,信号传输受压力影响比较小。
Description
技术领域
本发明属于水含量测量技术领域,特别涉及一种基于电磁波传输特性采用宽带天线检测油水混合物中水分含量的传感器,可应用于石油化学工业中原油含水率或其它介质含水率的检测。
背景技术
油田中含有大量的水,因此开采出的石油中含有大量的水。原油和水是不相溶的,但是开采出的石油和水不是简单的混合在一起,而是以一种乳化液的形式存在或者水包油和油包水的状态存在。原油的乳化给原油的开采带来了巨大的挑战。在运输方面,原油中含有的水分加重了原油的质量与体积,降低了输油管道、储油罐等设备的利用率;在原油脱水方面,原油开采出来需要进行脱水处理,原油含水率越大,其脱水所需的燃料就越多;在原油开采安全方面,含水率高的原油容易带出矿化物,矿化物在脱水过程中容易沉淀在管道中从而堵塞管道,一旦对堵塞的管道进行加热,容易产生管道受热不均匀或者管道不通,甚至管道产生爆炸。而且原油中含水率高也会带来各种对管道有腐蚀性的化学物质,容易对管道壁和原油存储装置产生腐蚀。在原油的整个生产过程中,如果原油含水率检测不准确,将造成人力、物力及财力的浪费,所以,原油含水率的在线测量是非常有必要的。在油田生产中,如果能检测到原油的含水率,从源头上对原油的含水进行控制,那么以上所见的问题将能尽可能的避免。
利用电磁波传输特性测量介质含水率是电磁波法测含水率的主要手段之一,现有的利用电磁波传输特性测量介质含水率时主要采用窄带天线,对单频率或多个单频信号进行测量,但是当介质的含水率变化时,窄带天线的反射系数会发生改变,天线的辐射效率也随之改变,测量的传输衰减的变化不仅仅包含介质含水率变化产生的衰耗,也包含天线辐射效率产生的衰减;同时在测量中传感器受到金属屏蔽外壳电磁波反射信号的干扰,也会对传输衰减产生影响,导致目前利用电磁波传输特性进行含水率测量方法存在较大误差,应用受到限制。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于宽带天线的、测量误差小的油水含水率测量传感器。
为了实现上述目的,本发明采取如下的技术解决方案:
油水含水率测量传感器,包括:双层嵌套外壳以及一对宽带天线;其中,所述双层嵌套外壳包括外层屏蔽壳体以及同轴嵌套设置于所述外层屏蔽壳体内的内层隔离壳体,所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间有间隔并填充有吸波物质;所述宽带天线对称设置于所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间,宽带天线的辐射方向与天线本身垂直。
更具体的,所述宽带天线间的距离大于λ/16,λ为被测介质内电磁波信号波长。
更具体的,所述内层隔离壳体的厚度不小于被测介质内电磁波信号波长的四分之一。
更具体的,所述内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D为λ/4的奇数倍,λ为被测介质内电磁波信号波长。
更具体的,根据D=λ(2k+1)/4,k=0,1,2…,计算出内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D的多个取值,在得到的取值中根据宽带天线反射系数最小值确定外层屏蔽壳体的位置。
更具体的,所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体为圆筒形,宽带天线的辐射方向垂直于天线与内层隔离壳体的切面。
更具体的,所述宽带天线的工作带宽在1-80的介电常数范围内反射系数小于-10dB。
更具体的,所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间填充有复合聚氨酯泡沫。
更具体的,所述宽带天线包括:
天线辐射片,所述天线辐射片为平面等角螺旋天线;
垂直设置于所述天线辐射片上的馈电巴伦,所述馈电巴伦位于所述天线辐射片未设置螺旋天线臂的表面上,所述馈电巴伦的介质板的一表面上设置馈电导体,所述馈电导体由一矩形馈电区及与该矩形馈电区相连的三角形馈电区构成,所述馈电导体与天线辐射片上的天线臂电连接,在馈电导体的馈电端口设置与传输线相连的传输线接头。
更具体的,所述天线辐射片的辐射片介质基板为圆形,辐射片介质基板的一表面上设置一对螺旋天线臂,螺旋天线臂按照以下方程计算得到:
其中,r0为螺旋线的开端点到原点o的距离,1/a为螺旋率,为螺旋的角度、为螺旋的起始角。
由以上技术方案可知,本发明采用双层同轴嵌套外壳结构,外壳具有吸收与屏蔽双重作用,外层屏蔽壳体保证了对外界干扰的屏蔽,内层隔离壳体既具有很好的透波特性又保护了天线不与待测物质直接接触,在外层壳体和内层壳体之间填充吸波物质,提高了信号的抗干扰性,同时在传感器中引入宽带天线,在介质含水率变化范围内保证天线辐射与接收效率维持稳定,减小天线辐射效率变化产生的衰减影响。在优选方案中采用带有垂直巴伦结构的螺旋极化宽带天线,可以减小电磁波传播过程中产生的反射、折射等干扰,保证传输系数测量的准确度以及天线的工作特性。与现有技术相比,本发明的测量系统受原油的污染少,相比于射线法测量介质含水率,安全性高,经济实用、成本低,相比于超声波法,信号传输受压力影响比较小。
附图说明
图1为本发明实施例的结构示意图;
图2为天线的反射系数与内层隔离壳体厚度关系图;
图3为内层隔离壳体与外层屏蔽壳体内壁间的距离随反射系数变化的关系图;
图4为内层隔离壳体与外层屏蔽壳体之间未填充吸波物质时宽带天线的反射系数随频率变化的曲线图;
图5为内层隔离壳体与外层屏蔽壳体之间填充了吸波物质时宽带天线的反射系数随频率变化的曲线图;
图6为本发明实施例宽带天线的结构示意图;
图7为宽带天线的天线辐射片的结构示意图;
图8为宽带天线的馈电巴伦的结构示意图;
图9为不同频率的电磁波在水中和油中的传输系数曲线图;
图10为实施例天线在3.88GHz时的三维立体增益方向图;
图11为直角坐标系下实施例天线在yoz面的左、右旋圆极化波增益和总增益方向图;
图12为实施例宽带天线的仿真回波损耗图;
图13为实施例宽带天线的仿真驻波比图;
图14为天线反射系数随原油含水率的变化曲线图;
图15为电磁波传输系数随原油含水率的变化曲线图;
图16为油水混合物含水率计算值与真实值线性比较图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进行详细描述,在详述本发明实施例时,为便于说明,表示器件结构的附图会不依一般比例做局部放大,而且所述示意图只是示例,其在此不应限制本发明保护的范围。需要说明的是,附图采用简化的形式且均使用非精准的比例,仅用以方便、清晰地辅助说明本发明实施例的目的。
如图1所示,本实施例的油水含水率测量传感器包括双层嵌套外壳1以及设置于双层嵌套外壳1内的一对宽带天线2,宽带天线2通过传输线与网络分析仪(未图示)相连。双层嵌套外壳1包括外层屏蔽壳体1-1和内层隔离壳体1-2,内层隔离壳体1-2嵌套设置于外层屏蔽壳体1-1内,两者同轴布置,内层隔离壳体1-2和外层屏蔽壳体1-1之间具有间隔。宽带天线2对称设置于外层屏蔽壳体1-1和内层隔离壳体1-2之间,宽带天线2的辐射方向垂直于宽带天线与内层隔离壳体的切面。本实施例的外层屏蔽壳体1-1和内层隔离壳体1-2为圆筒形,外层屏蔽壳体采用金属材质制成,内层隔离壳体1-2采用PVC材质制成。图1中,两宽带天线2之间的距离为d,宽带天线与外层屏蔽壳体侧壁之间的距离为L。内层隔离壳体1-2两端开口,油水混合物从内层隔离壳体1-2内通过,或容纳于其中。宽带天线的辐射方向与天线本身垂直,宽带天线的工作带宽在1-80的介电常数范围内反射系数小于-10dB。
本发明的内层隔离壳体1-2的厚度根据电磁波在特定厚度的单层介质中的全透特性来进行设置,从而使内层隔离壳体具有良好的透薄特性,以将电磁波通过内层平壁壳体时因介质损耗而导致的电磁波衰减降到最小,同时将宽带天线与被测流体隔离。由于宽带天线的辐射方向垂直于天线与内层隔离壳体的切面,内层隔离壳体相对于宽带天线可近似为单层介质板,当内层隔离壳体厚度不小于被测介质内电磁波信号波长的四分之一时,内层隔离壳体的反射系数为零,即为全透。图2为实施例天线的反射系数与内层隔离壳体厚度关系图,仿真结果表明,在内层隔离壳体的厚度值在被测介质内电磁波信号波长的四分之一附近时,即为20.7mm时,天线的反射系数最小,为-11.12dB,因此本实施例的内层隔离壳体厚度设为20.7mm。
由于电磁波信号经测量天线(宽带天线)及被测介质时不会全部通过,因此在测量系统(外壳1)内部,没被宽带天线接收或没被被测介质吸收的电磁波信号会在系统内多次反射,对测量造成干扰,而且系统外部的电磁信号也会对测量产生干扰。本发明通过在内层隔离壳体外部设置外层屏蔽壳体来减弱内部及外部电磁信号的干扰,电磁信号在外层屏蔽壳体与宽带天线之间传输时衰减越大,天线反射系数越小,则表示电磁波信号接收效率越高。本发明的内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D为λ/4的奇数倍,λ为被测介质内电磁波信号波长,进一步的,根据D=λ(2k+1)/4,k=0,1,2…,计算出内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D的取值范围,然后通过HFSS模拟仿真,在多个D的取值中根据宽带天线反射系数最小值确定金属屏蔽圈位置。本实施例的HFSS仿真结果如图3所示,当内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D为55mm时,宽带天线的反射系数值最小,本实施例将内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离设为55mm。
为了进一步增大外层屏蔽壳体内电磁信号衰减,提高系统电磁波信号的抗干扰性能,本实施例在外层屏蔽壳体与内层隔离壳体之间填充吸波物质,例如复合聚氨酯泡沫。图4和图5分别为未填充吸波物质与填充吸波物质时宽带天线的反射系数随信号频率变化的曲线图,由图4和图5可以看出,当天线的工作频率处于3.8GHz时,在外层屏蔽壳体与内层隔离壳体之间不填充吸波物质时天线的反射系数为-14.85dB;在外层屏蔽壳体与内层隔离壳体之间填充吸波物质时天线的反射系数为-15.09dB,通过比较可知,在外层金属屏蔽圈与内层PVC壳体之间填充吸波物质,例如复合聚氨酯泡沫后,天线的反射系数减小,说明在外层屏蔽壳体与内层隔离壳体之间加入填充吸波物质后,传感器的电磁波信号的抗干扰性增大了。
本实施例的外层屏蔽壳体1-1的高为200mm,内径为273mm,壁厚为0.5mm,内层隔离壳体1-2的高为200mm,内径为120mm,内层隔离壳体的厚度设置为20.7mm。两宽带天线之间的距离d须设置在远场范围,以减弱天线之间的耦合和电磁波多次反射,即d应满足d>λ/16,本实施例的d=161.4mm。
作为本发明优选的实施方案,本发明的宽带天线采用带巴伦结构的平面等角螺旋天线,如图6、图7及图8所示,宽带天线2包括天线辐射片2-1和馈电巴伦2-2。天线辐射片2-1为平面等角螺旋天线,本实施例的天线辐射片2-1的辐射片介质基板2-1a采用环氧树脂纤维板制成,辐射片介质基板2-1a为圆形,其直径为40mm,厚度为1mm,相对介电常数为4.4,损耗角正切为0.02。在辐射片介质基板2-1a的一表面上设置一对螺旋天线臂2-1b。在天线辐射片2-1未设置螺旋天线臂的表面上设置馈电巴伦2-2,馈电巴伦2-2与天线辐射片2-1相垂直,馈电巴伦的中心线过天线辐射片的圆心(中心)。本实施例的馈电巴伦2-2的介质板2-2a为矩形,介质板2-2a的一表面上设置馈电导体2-2b,馈电导体2-2b由一矩形馈电区及与该矩形馈电区相连的三角形馈电区构成。本实施例中介质板2-2a的大小为22mm×45mm,矩形馈电区的长W=22mm,宽L1=8mm,三角形馈电区的高L2=30mm,馈电导体2-2b通过宽W1为=1mm的微带线与天线辐射片2-1上的天线臂相连,在馈电端口处设置一50Ω的SMA接头。宽带天线的天线辐射片贴近内层屏蔽壳体的侧壁设置。
平面等角螺旋天线的螺旋天线臂按照以下方程计算得到:
其中,r0为螺旋线的开端点到原点o的距离,1/a为螺旋率,为螺旋的角度,为螺旋的起始角,a是一个与无关的常数,r为螺旋线上任一点到原点o(圆心)的距离。
本实施例中r0=1mm,a=0.24,角的变化范围为0~4.4π,取和时通过上式即可得到一条螺旋天线臂的两条螺旋线,将该螺旋天线臂转180°即得到另外一条天线臂。
由于平面等角螺旋天线具有平衡对称结构,需要平衡馈电,同轴线是超宽带馈电线,但是其馈电的电流为非平衡式,因此本发明的超宽带平面螺旋天线通过引入巴伦来实现平衡电流与不平衡电流之间的转换。
图9为不同频率的电磁波在水中和油中的传输系数曲线图。从图9可以看出,电磁波在纯油中或者纯水中的传输系数都随着频率的增大先减小后趋于平稳,当电磁波频率大于5GHz时,水和油的传输系数区分度减小,甚至交叉重合,电磁波频率为3.8GHz时,电磁波在水中和油中的衰减损耗差值最大,即电磁波在油水中衰减区分度最高的频点为3.8GHz,该频点对油水的区分度最好。因此,宽带天线中心频率的最小频点在3.8GHz附近最理想,本发明将宽带天线的谐振频率设为3.8GHz。
图10为本实施例天线在3.88GHz时的三维立体增益方向图,该图描绘了平面等角螺旋天线辐射特性在空间坐标中的变化关系。由图10可知,天线的最强辐射出现在Z轴上,满足了测试原油含水率天线为边射的要求,虽然微带巴伦与平面螺旋上面连接,但辐射方向图还是基本对称。
图11为直角坐标系下实施例天线在yoz面的左、右旋圆极化波增益和总增益方向图,从图11可以看出θ在-80°~80°范围内,天线的总增益近似等于右旋圆极化波增益;θ在-180°~100°以及100°~180°范围内,天线的总增益近似等于左旋圆极化波增益,带巴伦的平面等角螺旋天线的辐射是圆极化的,在Z轴负方向为左旋,在Z轴正方向为右旋。
图12和图13为实施例宽带天线的仿真回波损耗图和驻波比图,采用HFSS高频电磁仿真软件中对实施例宽带天线进行仿真,仿真模型中天线的尺寸参数同上,设置辐射边界的直径为120mm,高为125mm,辐射边界距离天线40mm。从图12及图13可看出,在2.55GHz~10GHz的频率范围内,带有垂直巴伦结构的平面等角螺旋天线的反射系数均小于-10dB,VSWR均小于2.0,天线的绝对带宽为7.45GHz,天线在3.88GHz时,反射系数最小,为-43dB。
采用本发明的油水含水率传感器测量油水含水率的步骤如下:将传感器与网络分析仪相连;
步骤一、获取拟合公式;测量该传感器与不同含水率的原油相对应的天线传输系数,根据相对应的含水率与天线传输系数的数据获取该传感器的天线传输系数与物质含水率间的拟合公式:
y=ax-b
上式中的y为天线传输系数,x为含水率,a、b均为常数,前述常数与天线的具体结构相关;
步骤二、将传感器放入待测量物质中,宽带天线的测量频率为3.8GHz,测量该传感器的天线传输系数;
步骤三、根据测量得到的天线传输系数,利用拟合公式计算出待测量物质的含水率。
拟合公式可采用软件仿真或实验的方式获得,下面以软件仿真为例对如何得到拟合公式进行说明:
在HFSS软件中建立传感器模型,模型的各尺寸参数与前述实施例相同,仿真实验得到与不同含水率的油水混合物对应的天线的反射系数和电磁波在介质中的传输系数结果如下表和图14及图15所示:
S11、S22及S21随原油含水率的变化仿真结果列表
图14为天线反射系数随原油含水率的变化曲线图,由图14可知,当电磁波的频率为3.8GHz,原油含水率在0%~100%的变化范围内时,两天线的反射系数(S11、S22)都小于-10dB,发射天线(天线1)和接收天线(天线2)一致性较好;油的含水率越高,两天线之间的耦合变小,一致性变好。在3.8GHz频点,天线在不同含水率的油中反射系数(S11、S22)小于-10dB。图15为电磁波传输系数随原油含水率的变化曲线图,由图16可知,当电磁波频率为3.8GHz,随着原油含水率增加,两天线的传输系数S21减小,即随着原油含水率的增加电磁波穿过原油的损耗变大。
图15为电磁波传输系数随原油含水率的变化曲线图,对图15中的黑色空心曲线在origin中进行曲线拟合,拟合后的线性曲线如图15中黑色实心线所示,拟合公式为y=-0.32x-7.59,根据该拟合公式,通过测量天线的传输系数,即可得到油水混合物的函数率。
仿真实验得到的是理想情况下的数据,考虑实际使用环境的复杂性,拟合公式也可以采用实验的方法获得,例如将传感器放入已知含水率的油水混合物中,测量不同含水率的油水混合物中天线的传输系数,根据含水率与对应的传输系数的数据获得拟合公式。例如,本实施例采用食用来油代替原油,用水和食用油来配制样品,按照食用油和水体积比,分别用量筒取一定体积的水和食用油配制6组混合物样本,含水率分别为0%(纯油)、20%……100%(纯水),采用以下步骤获取拟合公式:
将传感器与网络分析仪按顺序依次连接好,设置初始频率为2GHz-6GHz,对该频段状态下的矢量网络分析仪校准,固定好天线的位置,并保证天线的位置不变;
把矢量网络分析仪的平滑度和平均值设置为适中,并调节网络分析仪显示窗口上的比例(Scale),使得曲线在显示屏幕中央;
分别测试配置好的样品(已知含水率的油),记录两组天线在3.8GHz时的反射系数S11、S21(回波损耗)及两天线间的传输系数S21,记录结果;
每一种样品重复实验5次;
导出在矢量网络分析仪中记录的实验数据,进行后期数据处理,以含水率0%的油样品为例,把测量结果S21、S22及S11的5组数据列出;去掉5组数据中的最大值和最小值,剩下其他三组数据取平均;分别求出电磁波及两天线在含水率为0%的油当中的传输系数(S21)及反射系数(S11、S22),处理后的数据如下表所示。
S11、S22及S21随原油含水率的变化实验结果
根据测量数据获得拟合公式y=-0.38x-14.54。
为说明该实验的可行性,配制几组不同含水率的油水混合物,按本发明方法进行验证试验,即通过测量传输系数S21,将值代入拟合公式y=-0.38x-14.54计算油水混合物含水率。验证试验结果及误差分析如下表所示。
验证试验结果及误差分析列表
油含水率真实值 | 传输系数S21 | 油含水率计算值 | 绝对误差 | 相对误差 |
10.00% | -16.25 | 4.50% | -5.50% | -0.550 |
30.00% | -25.11 | 27.82% | -2.18% | -0.073 |
50.00% | -35.34 | 54.74% | 4.74% | 0.095 |
70.00% | -43.08 | 75.11% | 5.11% | 0.073 |
90.00% | -47.25 | 86.08% | -3.92% | -0.044 |
图16为油水混合物含水率计算值与真实值线性比较图。据图16可知根据实验修正拟合式测量计算的油水混合物含水率与真实值基本呈线性关系。验证实验含水率计算值的绝对误差绝对值不大于5.50%,相对误差的绝对值不大于0.55,证实本发明传感器用于测量介质含水率的可行性。
本发明采用宽带天线传感器在特定的测量频率下对油水混合物的含水率进行测量,避免了窄带天线无法保证天线谐振频率在不同含水率的介质中发生频移后测量天线的反射系数仍小于-10dB的要求,从而减小测量误差,同时为保证传输系数的准确测量,采用螺旋极化的宽带天线,可以减小电磁波传播过程中产生的反射、折射等干扰。本发明传感器的结构简单,可在线测量,操作性高,成本低,有利于原油的在线高精度测量。
以上所述,仅是本发明的较佳实施例而已,并非对本发明做任何形式上的限制,虽然本发明已以较佳实施例揭露如上,然而并非用以限定本发明,任何熟悉本专业的技术人员,在不脱离本发明技术方案范围内,当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例,但凡是未脱离本发明技术方案的内容,依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰,均仍属于本发明技术方案的范围内。
Claims (9)
1.油水含水率测量传感器,其特征在于,包括:双层嵌套外壳以及一对宽带天线;其中
所述双层嵌套外壳包括外层屏蔽壳体以及同轴嵌套设置于所述外层屏蔽壳体内的内层隔离壳体,所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间有间隔并填充有吸波物质,所述内层隔离壳体两端开口;
所述宽带天线对称设置于所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间,宽带天线的辐射方向与天线本身垂直;
所述宽带天线包括:
天线辐射片,所述天线辐射片为平面等角螺旋天线;
垂直设置于所述天线辐射片上的馈电巴伦,所述馈电巴伦位于所述天线辐射片未设置螺旋天线臂的表面上,所述馈电巴伦的介质板的一表面上设置馈电导体,所述馈电导体由一矩形馈电区及与该矩形馈电区相连的三角形馈电区构成,所述三角形馈电区的底边与所述矩形馈电区的一长边重合且等长,所述馈电导体的角部朝向所述天线辐射片,所述馈电导体与天线辐射片上的天线臂电连接,在馈电导体的馈电端口设置与传输线相连的传输线接头。
2.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述宽带天线间的距离大于λ/16,λ为被测介质内电磁波信号波长。
3.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述内层隔离壳体的厚度不小于被测介质内电磁波信号波长的四分之一。
4.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D为λ/4的奇数倍,λ为被测介质内电磁波信号波长。
5.根据权利要求4所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:根据D=λ(2k+1)/4,k=0,1,2…,计算出内层隔离壳体外壁与外层屏蔽壳体内壁间距离D的多个取值,在得到的取值中根据宽带天线反射系数最小值确定外层屏蔽壳体的位置。
6.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体为圆筒形,宽带天线的辐射方向垂直于天线与内层隔离壳体的切面。
7.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述宽带天线的工作带宽在1-80的介电常数范围内反射系数小于-10dB。
8.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述外层屏蔽壳体和所述内层隔离壳体之间填充有复合聚氨酯泡沫。
9.根据权利要求1所述的油水含水率测量传感器,其特征在于:所述天线辐射片的辐射片介质基板为圆形,辐射片介质基板的一表面上设置一对螺旋天线臂,螺旋天线臂按照以下方程计算得到:
其中,r0为螺旋线的开端点到原点o的距离,1/a为螺旋率,为螺旋的角度、为螺旋的起始角。
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