CN106249111A - 一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，包括以下步骤：(1)根据局部放电实验特性和物理过程选择绝缘介质模型；(2)基于放电电荷在气隙中的衰减规律计算出不同极性情形下的放电延迟时间，据此确定放电起始和停止条件；(3)引入感应电荷附加电容；(4)引入气隙温度和压强对放电特性的影响；(5)根据步骤(1)，(2)，(3)，(4)建立含有感应电荷附加电容的新型单气隙绝缘介质局部放电仿真模型并进行仿真分析。本发明基于绝缘介质局部放电产生机理、放电特性和发展规律，仿真结果与实验结果完全吻合，提高了模型仿真的有效性，有助于实现局部放电的检测和诊断。

Description

一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法

技术领域

本发明涉及局部放电仿真领域，特别涉及一种新型单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法。

背景技术

绝缘体中只有局部区域发生放电，而没有贯穿施加电压导体的现象称为局部放电。统计表明，局部放电是导致开关柜绝缘老化的主要原因，85％的绝缘故障是由局部放电引起的，局部放电检测已成为电力设备绝缘状态检测的主要手段。在了解实验特性和物理过程的基础上，对局部放电进行有效地仿真将有助于了解其产生机理和放电特性，以用于局部放电的检测。

关于局部放电仿真，长期以来国外学者大都采用三电容仿真模型，该模型把绝缘介质和绝缘缺陷用集总电容来代替，放电起始和停止条件依靠实验经验测算，并把放电暂态过程当成电容充放电过程来模拟，这样忽略了绝缘介质以及气隙温度和压强等对放电过程的影响，因而仿真效果与实际放电相去甚远。后来一些学者在此模型基础上做了一些改进，但其着眼点也只是在气隙电容模型的结构以及使能开关的控制策略上，仍不能得出令人满意的仿真结果。学者Cecilia Forssén和Hans Edin等人利用有限元分析方法并结合放电实验结果建立仿真模型，并利用该模型研究局部放电特性与外加电压、绝缘介质材料和尺寸、气隙尺寸和位置等参数之间的关系。该方法不再把绝缘介质和气隙直接转变为集总电容，但也存在着忽略绝缘介质对放电过程的影响，以及放电起始和停止策略的控制仍是基于实验经验测算的问题。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种新型单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，能够更加有效地模拟局部放电。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，包括以下步骤：

(1)，根据局部放电实验特性和物理过程选择绝缘介质模型；

(2)，基于放电电荷在气隙中的衰减规律计算出不同极性情形下的放电延迟时间，确定放电起始和停止条件；

(3)，引入感应电荷附加电容；

(4)，引入气隙温度和压强对放电特性的影响；

(5)，根据步骤(1)，(2)，(3)，(4)建立含有感应电荷附加电容的单气隙绝缘介质局部放电仿真模型。

进一步的，步骤(1)所述的绝缘介质模型采用椭球形单气隙绝缘介质模型。

进一步的，步骤(2)所述的确定放电延迟时间，具体方法如下：

当气隙两端电压极性改变时，对应的放电延迟时间τ_ewd为：

${\mathrm{\τ}}_{ewd}=\frac{e\mathrm{\α}}{SG(\mathrm{\α}-\mathrm{\η})}\exp \[\frac{\mathrm{\Φ}-\sqrt{eE/\left(4{\mathrm{\π\ϵ}}_0\right)}}{kT}\]---\left(1\right)$

式中：e为一个电子所带电量，α为气体碰撞电离系数，η为电子附着系数，E为气隙内电场强度，ε₀为真空介电常数，Φ为等效逸出功，k为玻耳兹曼常数，T为气隙温度，S为气隙壁等效面积；G为表征气隙材料结构特性且与温度有关的函数，其表达式为：

G＝C_theT² (2)

式中：C_the为常数，其值为1.2×10⁶Am^-2K^-2；

当气隙两端电压极性不变时，对应的平均放电延迟时间τ_rad为：

${\mathrm{\τ}}_{rad}={\[V_{voi}{C}_{rad}{\mathrm{\Φ}}_{rad}\left(\frac{\mathrm{\ρ}}{p}\right)p(1-{\mathrm{\θ}}^{-\mathrm{\β}})\]}^{-1}---\left(3\right)$

式中：V_voi为暴露在电场及辐射中的等效气体体积，C_rad为辐射电离系数，Φ_rad为辐射量子通量密度，ρ为气体密度，p为气隙内部压强，ρ/p为辐射电离过程中的气体密度与压强之比；θ为过电压率，θ定义为气隙外加电压与放电起始电压的比值。

进一步的，步骤(2)所述的确定放电起始和停止条件，具体方法如下：

放电的起始条件：椭球形气隙局部放电起始电压为

${U_0}^{inc}=\frac{{(E/p)}_{cri}p\{1+{(K_{cri}/C)}^{1/\mathrm{\β}}/\[{(E/p)}_{cri}{\left(pl\right)}^{1/\mathrm{\β}}\]\}}{\▿u_0}\frac{2{\mathrm{\ϵ}}_{rel}+1}{3{\mathrm{\ϵ}}_{rel}}---\left(4\right)$

式中：(E/p)_cri为当气体碰撞电离系数α与电子附着系数η相等时气隙内电场强度E与气体压强p的比值，l为平行电场方向上气隙长度，ε_rel为绝缘介质相对介电常数，K_cri为在电子崩产生的空间电荷形成的电场作用下，电子崩头中能使电子崩自持传播的电子数，C、β为常数；为拉普拉斯方程在边界条件为高压电极处u₀＝1,低压电极处u₀＝0的解，其中u₀为外加电压在气隙处产生的电压与外加电压的比值；u为外加电压在气隙处产生的电压与气隙电压的比值。

局部放电停止的条件应是大量电子向正极性气隙壁快速移动过程结束的条件。

进一步的，步骤(3)所述的引入感应电荷附加电容，具体方法如下：

在放电过程结束后，系统电容C_sys为：

$C_{sys}=C_{die}+\frac{q_{ind}}{U_0}---\left(5\right)$

其中，C_die为未发生放电时系统的电容值，即绝缘介质和气隙总电容值；U₀为气隙两端电压；q_ind为放电过程中产生的感应电荷量，其表达式为：

$q_{ind}=-\frac{4}{3}{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\mathrm{ab}}^2{\mathrm{\ϵ}}_{rel}K(a/b)\mathrm{\Δ}E\▿u_0---\left(6\right)$

式中，ε₀为真空介电常数，ε_rel为绝缘介质相对介电常数，ΔE为放电前后气隙电场强度的变化量；K(a/b)为椭球形单气隙等效轴长比值的函数，表征气隙的形状，a为气隙长轴半径，b为气隙短轴半径；

由式(5)可知，放电过程中感应电荷的出现会引起系统电容的变化，得到系统电容变化量

进一步的，步骤(4)所述的引入气隙温度和压强对放电特性的影响，具体方法如下：

假定放电过程中气体体积不变，根据气体状态方程：

$\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}---\left(7\right)$

式中：p₀、T₀和p₁、T₁为放电前和放电后气隙气体的压强和温度；

令p₀、T₀为标准大气条件，则放电后的气体压强为：

$p_1=\frac{p_0}{T_0}{T}_1---\left(8\right)$

放电温度T_PD与放电量之间的关系为：

T_PD＝4.283q+17.02 (9)

其中，放电电荷量q为：

q＝πε₀b²{1+ε_rel[K(a/b)-1]}ΔE (10)

放电间隙温度T'随时间的变化关系为：

T'＝0.682exp[-(208.07t+0.1256)²]+0.651exp[-(90.66t-0.825)²] (11)

式中，t为每次放电停止的时间；

因此气隙内气体温度T₁为：

T₁＝T_PDT' (12)

将式(12)代入式(8)即可得气隙内气体压强，再将求解出的气体压强代入式(3)、(4)，即可得气隙压强变化时的相应放电特性。

有益效果：本发明针对已有仿真存在的问题，引入固体绝缘介质对放电过程的影响，根据放电电荷在气隙中的衰减规律计算出不同极性情形下的放电延迟时间，并确定放电电起始和停止条件，此外引入气隙温度和压强对放电特性的影响提出的一种新型单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，充分考虑了局部放电的物理过程，仿真结果与实验结果完全吻合，能有效地仿真局部放电。

附图说明

图1是本发明提出的单气隙绝缘介质局部放电仿真模型；

图2是本发明采用的椭球形气隙绝缘介质模型；

图3是本发明中局部放电仿真流程图；

图4是本发明中局部放电仿真放电过程中气隙两端电压变化情况；

图5是本发明中局部放电仿真放电过程中气隙两端电流变化情况；

图6是已有局部放电仿真模型气隙电压与放电电流波形。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

本发明针对已有仿真存在的问题，考虑固体绝缘介质对放电过程的影响，根据放电电荷在气隙中的衰减规律计算出不同极性情形下的放电延迟时间，并确定放电起始和停止条件，此外引入气隙温度和压强对放电特性的影响提出了一种新型单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法。

本发明的单气隙绝缘介质局部放电仿真模型如图1所示，其中，AC为外加电源，Z_S为系统阻抗，R_a、C_a分别为绝缘介质无气隙部分的电阻、电容，R_bl、C_b1和R_b2、C_b2分别为气隙上下壁与绝缘材料表面之间绝缘介质的电阻、电容，R_c、C_c别为气隙的电阻、电容，R_PD为放电过程中气隙击穿电阻，C_ind为放电感应电荷产生的附加电容，S为理想使能开关。

一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，包括以下步骤：

(1)，根据局部放电实验特性和物理过程选择绝缘介质模型为椭球形单气隙绝缘介质模型，如图2所示。

(2)，基于放电电荷在气隙中的衰减规律计算出不同极性情形下的放电延迟时间，并确定放电起始和停止条件；具体为：

当气隙两端电压极性改变时，对应的放电延迟时间τ_ewd为：

${\mathrm{\τ}}_{ewd}=\frac{e\mathrm{\α}}{SG(\mathrm{\α}-\mathrm{\η})}\exp \[\frac{\mathrm{\Φ}-\sqrt{eE/\left(4{\mathrm{\π\ϵ}}_0\right)}}{kT}\]---\left(1\right)$

式中：e为一个电子所带电量，α为气体碰撞电离系数，η为电子附着系数，E为气隙内电场强度，ε₀为真空介电常数，Φ为等效逸出功，k为玻耳兹曼常数，T为气隙温度，S为气隙壁等效面积；G为表征气隙材料结构特性且与温度有关的函数，其表达式为：

G＝C_theT² (2)

式中：C_the为常数，其值为1.2×10⁶Am^-2K^-2。

当气隙两端电压极性不变时，对应的平均放电延迟时间τ_rad为：

${\mathrm{\τ}}_{rad}={\[V_{voi}{C}_{rad}{\mathrm{\Φ}}_{rad}\left(\frac{\mathrm{\ρ}}{p}\right)p(1-{\mathrm{\θ}}^{-\mathrm{\β}})\]}^{-1}---\left(3\right)$

式中：V_voi为暴露在电场及辐射中的等效气体体积，C_rad为辐射电离系数，Φ_rad为辐射量子通量密度，ρ为气体密度，p为气隙内部压强，ρ/p为辐射电离过程中的气体密度与压强之比；θ为过电压率，θ定义为气隙外加电压与放电起始电压的比值。

放电的起始条件：椭球形气隙局部放电起始电压为

${U_0}^{inc}=\frac{{(E/p)}_{cri}p\{1+{(K_{cri}/C)}^{1/\mathrm{\β}}/\[{(E/p)}_{cri}{\left(pl\right)}^{1/\mathrm{\β}}\]\}}{\▿u_0}\frac{2{\mathrm{\ϵ}}_{rel}+1}{3{\mathrm{\ϵ}}_{rel}}---\left(4\right)$

式中：(E/p)_cri为当气体碰撞电离系数α与电子附着系数η相等时气隙内电场强度E与气体压强p的比值，l为平行电场方向上气隙长度，ε_rel为绝缘介质相对介电常数，K_cri为在电子崩产生的空间电荷形成的电场作用下，电子崩头中能使电子崩自持传播的电子数，C＝3×10^-4P_am^0.5V^-1.5、β＝1.5，ε_rel为绝缘介质相对介电常数；为拉普拉斯方程在边界条件为高压电极处u₀＝1,低压电极处u₀＝0的解，其中u₀为外加电压在气隙处产生的电压与外加电压的比值；u为外加电压在气隙处产生的电压与气隙电压的比值。

放电停止时，气隙两端电压会出现暂时性的稳定，局部放电停止的条件应是大量电子向正极性气隙壁快速移动过程结束的条件，也是式(4)中放电形成条件。

(3)，引入感应电荷附加电容；具体为：

在放电过程结束后，系统电容C_sys为：

$C_{sys}=C_{die}+\frac{q_{ind}}{U_0}---\left(5\right)$

其中，C_die为未发生放电时系统的电容值，即绝缘介质和气隙总电容值；U₀为气隙两端电压；q_ind为放电过程中产生的感应电荷量，其表达式为：

$q_{ind}=-\frac{4}{3}{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\mathrm{ab}}^2{\mathrm{\ϵ}}_{rel}K(a/b)\mathrm{\Δ}E\▿u_0---\left(6\right)$

式中，ε₀为真空介电常数，ε_rel为绝缘介质相对介电常数，ΔE为放电前后气隙电场强度的变化量；K(a/b)为椭球形单气隙等效轴长比值的函数，表征气隙的形状，a为气隙长轴半径，b为气隙短轴半径；式(5)等号右侧第一部分C_die为系统电容恒定部分，等号右侧第二部分为系统电容变化部分。由式(5)可知，放电过程中感应电荷的出现会引起系统电容的变化，得到系统电容变化量

(4)，引入气隙温度和压强对放电特性的影响；具体为：

假定放电过程中气体体积不变，根据气体状态方程：

$\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}---\left(7\right)$

式中：p₀、T₀和p₁、T₁为放电前和放电后气隙气体的压强和温度；

令p₀、T₀为标准大气条件，则放电后的气体压强为：

$p_1=\frac{p_0}{T_0}{T}_1---\left(8\right)$

放电温度T_PD与放电量之间的关系为：

T_PD＝4.283q+17.02 (9)

其中，放电电荷量q为：

q＝πε₀b²{1+e_rel[K(a/b)-1]}ΔE (10)

放电间隙温度T'随时间的变化关系为：

T'＝0.682exp[-(208.07t+0.1256)²]+0.651exp[-(90.66t-0.825)²] (11)

式中，t为每次放电停止的时间；

因此气隙内气体温度T₁为：

T₁＝T_PDT' (12)

将式(12)代入式(8)即可得气隙内气体压强，再将求解出的气体压强代入式(3)、(4)，即可得气隙压强变化时的相应放电特性。

(5)，根据步骤(1)，(2)，(3)，(4)建立含有感应电荷附加电容的单气隙绝缘介质局部放电仿真模型。

本实施例的仿真参数为：选用绝缘介质为立方体，其尺寸为5mm×10mm×5mm，椭球形气隙位于绝缘介质中心，轴长分别为a＝1mm、b＝0.5mm，绝缘介质相对介电常数取ε_rel＝4.1，气隙相对介电常数ε₀＝1，电压AC幅值为14kV，频率为50Hz，R_a＝4.56×10¹⁷Ωm，C_a＝0.3486pF，R_bl＝4.56×10¹⁸Ω，R_b2＝4.56×10¹⁸Ω，C_b1＝0.0363pF，C_b2＝0.0363pF，R_c＝1,91×10¹⁶Ω，C_c＝0.014pF，R_PD＝5×10⁵Ω。

根据局部放电过程，可得如图3所示的局部放电仿真流程，具体仿真流程如下：

(1)输入仿真所需各类数据，包括外加电源电压、绝缘介质尺寸、绝缘介质电容和电阻等参数；

(2)初始化气隙温度和压强、放电起始和不同极性情形下放电延迟时间；

(3)运行仿真过程，当气隙两端电压U₀超过放电起始电压U₀ ^inc，同时检测到U₀与上次放电时气隙两端电压异号时，选择由气隙壁激发电子引起放电延迟时间τ_ewd作为放电延迟时间，当U₀与上次放电时气隙两端电压同号时，选择由气隙空间电子引起放电延迟时间τ_rad作为放电延迟时间；

(4)当延迟时间满足时，计算放电感应电荷q_ind和可变附加电容C_ind，同时闭合使能开关S，接通气隙击穿电阻R_PD和可变附加电容C_ind支路，局部放电开始进行；

(5)当气隙两端电压U₀低于放电停止电压时，断开使能开始S，断开气隙击穿电阻R_PD和可变附加电容C_ind支路，局部放电随即停止；

(6)利用放电停止后的相关数据，更新相应数据，开始下一次放电过程。

(7)分析仿真结果。

图4为局部放电气隙两端电压变化情况，其中U₀为气隙两端电压，U₁为外加电源在气隙处的电压，U_q0为放电过程产生的电荷在气隙处形成的电压，U₀ ^inc为放电起始电压。

通过电压检测及逻辑比较单元，当U₀超过U₀ ^inc时，放电并不是立即发生，而是存在一定的时间延迟，且当U₀极性改变后，放点延迟时间和电压降落明显大于极性改变前。说明U₀极性改变前后引起放电的初始电子来源不同，即分别来自气隙壁激发电子和气隙空间电子，因而放电延迟时间不同。U_q0体现了积累在气隙壁上放电电荷的变化情况，在U₀极性改变时U_q0迅速衰减成异号电压，且在U₀极性不变时，由于放电电荷近乎阶梯形增加，因而U_q0也以相同的情形变化。

图5为局部放电电流变化情况，其中U₁为外加电源在气隙处的电压，I_PD为放电电流。

气隙两端电压极性改变时，积累在气隙壁上的大量电荷迅速衰减，被激发回气隙空间中成为放电初始电子，电流脉冲幅值较大；气隙两端电压极性不变时，放电初始电子来源于气隙空间，多次放电造成电荷在气隙壁上的积累，这些电荷会对放电过程产生影响，因而放电电流脉冲幅值一般较小。放电电荷量q为放电电流脉冲I_PD对时间的积分，因放电时间一般为数十或数百ns级，变化情况与I_PD基本相同。

与图6已有局部放电仿真模型气隙电压与放电电流波形相比，本发明提出的单气隙绝缘介质局部放电仿真模型，由于充分考虑了局部放电的物理过程，仿真结果与实验结果完全吻合，提高了模型的有效性，有助于实现局部放电的检测和诊断。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)，根据局部放电实验特性和物理过程选择绝缘介质模型；

(2)，基于放电电荷在气隙中的衰减规律计算出不同极性情形下的放电延迟时间，确定放电起始和停止条件；

(3)，引入感应电荷附加电容；

(4)，引入气隙温度和压强对放电特性的影响；

(5)，根据步骤(1)，(2)，(3)，(4)建立含有感应电荷附加电容的单气隙绝缘介质局部放电仿真模型。

2.如权利要求1所述的一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，其特征在于：步骤(1)所述的绝缘介质模型采用椭球形单气隙绝缘介质模型。

3.如权利要求2所述的一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，其特征在于，步骤(2)所述的确定放电延迟时间，具体方法如下：

当气隙两端电压极性改变时，对应的放电延迟时间τ_ewd为：

${\mathrm{\τ}}_{ewd}=\frac{e\mathrm{\α}}{SG(\mathrm{\α}-\mathrm{\η})}\exp \[\frac{\mathrm{\Φ}-\sqrt{eE/\left(4{\mathrm{\π\ϵ}}_0\right)}}{kT}\]---\left(1\right)$

式中：e为一个电子所带电量，α为气体碰撞电离系数，η为电子附着系数，E为气隙内电场强度，ε₀为真空介电常数，Φ为等效逸出功，k为玻耳兹曼常数，T为气隙温度，S为气隙壁等效面积；G为表征气隙材料结构特性且与温度有关的函数，其表达式为：

G＝C_theT² (2)

式中：C_the为常数，其值为1.2×10⁶Am^-2K^-2；

当气隙两端电压极性不变时，对应的平均放电延迟时间τ_rad为：

${\mathrm{\τ}}_{rad}={\[V_{voi}{C}_{rad}{\mathrm{\Φ}}_{rad}\left(\frac{\mathrm{\ρ}}{p}\right)p(1-{\mathrm{\θ}}^{-\mathrm{\β}})\]}^{-1}---\left(3\right)$

式中：V_voi为暴露在电场及辐射中的等效气体体积，C_rad为辐射电离系数，Φ_rad为辐射量子通量密度，ρ为气体密度，p为气隙内部压强，ρ/p为辐射电离过程中的气体密度与压强之比；θ为过电压率，θ定义为气隙外加电压与放电起始电压的比值。

4.如权利要求3所述的一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，其特征在于，步骤(2)所述的确定放电起始和停止条件，具体方法如下：

放电的起始条件：椭球形气隙局部放电起始电压为

${U_0}^{inc}=\frac{{(E/p)}_{cri}p\{1+{(K_{cri}/C)}^{1/\mathrm{\β}}/\[{(E/p)}_{cri}{\left(pl\right)}^{1/\mathrm{\β}}\]\}}{\▿u_0}\frac{2{\mathrm{\ϵ}}_{rel}+1}{3{\mathrm{\ϵ}}_{rel}}---\left(4\right)$

式中：(E/p)_cri为当气体碰撞电离系数α与电子附着系数η相等时气隙内电场强度E与气体压强p的比值，l为平行电场方向上气隙长度，ε_rel为绝缘介质相对介电常数，K_cri为在电子崩产生的空间电荷形成的电场作用下，电子崩头中能使电子崩自持传播的电子数，C、β为常数；为拉普拉斯方程在边界条件为高压电极处u₀＝1,低压电极处u₀＝0的解，其中u₀为外加电压在气隙处产生的电压与外加电压的比值；u为外加电压在气隙处产生的电压与气隙电压的比值。

局部放电停止的条件应是大量电子向正极性气隙壁快速移动过程结束的条件。

5.如权利要求2或4所述的一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，其特征在于，步骤(3)所述的引入感应电荷附加电容，具体方法如下：

在放电过程结束后，系统电容C_sys为：

$C_{sys}=C_{die}+\frac{q_{ind}}{U_0}---\left(5\right)$

其中，C_die为未发生放电时系统的电容值，即绝缘介质和气隙总电容值；U₀为气隙两端电压；q_ind为放电过程中产生的感应电荷量，其表达式为：

$q_{ind}=-\frac{4}{3}{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\mathrm{ab}}^2{\mathrm{\ϵ}}_{rel}K(a/b)\mathrm{\Δ}E\▿u_0---\left(6\right)$

式中，ε₀为真空介电常数，ε_rel为绝缘介质相对介电常数，△E为放电前后气隙电场强度的变化量；K(a/b)为椭球形单气隙等效轴长比值的函数，表征气隙的形状，a为气隙长轴半径，b为气隙短轴半径；

由式(5)可知，放电过程中感应电荷的出现会引起系统电容的变化，得到系统电容变化量

6.如权利要求5所述的一种单气隙绝缘介质局部放电仿真建模方法，其特征在于，步骤(4)所述的引入气隙温度和压强对放电特性的影响，具体方法如下：

假定放电过程中气体体积不变，根据气体状态方程：

$\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}---\left(7\right)$

式中：p₀、T₀和p₁、T₁为放电前和放电后气隙气体的压强和温度；

令p₀、T₀为标准大气条件，则放电后的气体压强为：

$p_1=\frac{p_0}{T_0}{T}_1---\left(8\right)$

放电温度T_PD与放电量之间的关系为：

T_PD＝4.283q+17.02 (9)

其中，放电电荷量q为：

q＝πε₀b²{1+ε_rel[K(a/b)-1]}△E (10)

放电间隙温度T'随时间的变化关系为：

T'＝0.682exp[-(208.07t+0.1256)²]+0.651exp[-(90.66t-0.825)²] (11)

式中，t为每次放电停止的时间；

因此气隙内气体温度T₁为：

T₁＝T_PDT' (12)

将式(12)代入式(8)即可得气隙内气体压强，再将求解出的气体压强代入式(3)、(4)，即可得气隙压强变化时的相应放电特性。