CN106248078A - 机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于惯性导航领域，公开了机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法，该方法通过：一、建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程；二、简化机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程；三、建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型；四、机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型参数估计；五、机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差补偿的步骤，实现了振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差的补偿。本发明解决了振动条件下机抖激光陀螺敏感轴发生动态偏移影响惯导系统精度的问题，可进一步应用于大过载、高机动条件下机抖激光陀螺惯导系统的误差补偿。

Description

机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法

技术领域：

本发明涉及一种机抖激光陀螺误差参数估计与补偿方法，特别涉及一种机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法，属于惯性导航领域。

背景技术：

机抖激光陀螺的基本原理是萨格纳(Sagnac)效应，并以其特有的优势在捷联式惯性导航系统中得到了广泛应用。机抖激光陀螺在实际使用中存在闭锁效应，因此需要通过抖动机构(抖轮)给整个陀螺腔体施加高频角振动，使得激光陀螺在锁区内停留的时间极短，进而保证激光陀螺的测量精度。

但是由于存在抖轮这个活动部件，机抖激光陀螺在振动环境下会产生与振动相关的零偏，进而产生相应的姿态漂移，这种误差的产生与姿态解算的频率无关，即使将姿态解算频率提高到4000Hz，姿态精度仍然没有得到改善。造成这种情况出现的原因实质上是由于活动部件抖轮的存在，机抖激光陀螺的敏感轴在振动环境下会发生动态偏移，造成等效安装误差，进而产生相应的角速度误差，影响姿态解算精度。针对振动环境下，机抖激光陀螺敏感轴发生动态偏移进而产生相应误差的情况，一般的解决方法是：1、优化系统的减振结构2、优化机抖激光陀螺抖轮结构，减小陀螺敏感轴动态偏移误差。

文献(“二频机抖激光陀螺单轴旋转惯性导航系统若干关键技术研究”，国防科学技术大学博士学位论文，2011年，于旭东)重新设计了机抖激光陀螺抖轮的结构，提高激光陀螺的抖频和侧向固有频率，使得单表级激光陀螺在振动环境下的精度有了明显改善，但是该文献没有给出振动环境下系统级精度测试情况。文献(“椭圆锥动效应对机械抖动激光陀螺振动特性的影响”，《中国惯性技术学报》，2015年4月，第23卷第2期，赵小宁等)对振动条件下椭圆锥动效应对机抖激光陀螺的影响进行了分析，指出增大抖轮的横向抗弯刚度可以改善振动条件下机抖激光陀螺的精度，但并未给出振动条件下系统级误差补偿方法。文献(“Drift error analysis caused by RLG dither axis bending”，Sensors andActuators A 133(2007)425-430，Kwangjin Kim，Chan Gook Park)理论推导了由机抖激光陀螺抖动轴弯曲变形造成的漂移误差，认为该误差与输入加速度及载体的动态频率成正比，并进行了仿真验证，但没有进一步的实验验证和误差补偿方法。

振动条件下机抖激光陀螺敏感轴发生动态偏移是造成捷联惯导系统精度下降的重要原因，目前公开的资料集中在优化机抖激光陀螺抖轮的设计，增大抖轮的侧向刚度，以期改善机抖激光陀螺单表级精度，未见有关于系统级机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿的方法，因此，寻找一种振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法具有十分重要的意义。

发明内容：

本发明的目的是针对振动条件下机抖激光陀螺敏感轴发生动态偏移影响惯导系统精度的问题，提供了一种机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法，对振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移造成的误差进行补偿，改善惯导系统的精度。

本发明的目的通过以下技术方案来实现：

一种机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法，该方法包括以下步骤：

步骤一，建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程：

根据欧拉定理，外力矩作用下，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程为，

$\left[\begin{array}{c}{J}_{xy}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{iby}^b)\\ J_{xz}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibz}^b)\\ J_{yx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibx}^b)\\ J_{yz}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yz}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibz}^b)\\ J_{zx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibx}^b)\\ J_{zy}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{iby}^b)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_{xy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}\\ c_{xz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}\\ c_{yx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}\\ c_{yz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yz}\\ c_{zx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}\\ c_{zy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{k}_{xy}{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ k_{xz}{\mathrm{\ϵ}}_{xz}\\ k_{yx}{\mathrm{\ϵ}}_{yx}\\ k_{yz}{\mathrm{\ϵ}}_{yz}\\ k_{zx}{\mathrm{\ϵ}}_{zx}\\ k_{zy}{\mathrm{\ϵ}}_{zy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{J}_x({\mathrm{\ω}}_{dx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b)\\ -J_x({\mathrm{\ω}}_{dx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^b)\\ -J_y({\mathrm{\ω}}_{dy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b)\\ J_y({\mathrm{\ω}}_{dy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b)\\ J_z({\mathrm{\ω}}_{dz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^b)\\ -J_z({\mathrm{\ω}}_{dz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b)\end{array}\right]=m\left[\begin{array}{c}-f_z^b{l}_{xx}+f_x^b{l}_{xz}\\ f_y^b{l}_{xx}-f_x^b{l}_{xy}\\ f_z^b{l}_{yy}-f_y^b{l}_{yz}\\ -f_x^b{l}_{yy}+f_y^b{l}_{yx}\\ -f_y^b{l}_{zz}+f_z^b{l}_{zy}\\ f_x^b{l}_{zz}-f_z^b{l}_{zx}\end{array}\right]---\left(1\right)$

上式中，

J_x＝J_y＝J_z＝J为x陀螺、y陀螺、z陀螺绕其各自敏感轴方向的转动惯量；

J_xy≈J_xz≈J_yx≈J_yz≈J_zx≈J_zy≈J₁为x陀螺、y陀螺、z陀螺绕与其敏感轴正交的对称轴的转动惯量；

c_xy≈c_xz≈c_yx≈c_yz≈c_zx≈c_zy≈c为陀螺抖轮的侧向形变阻尼；

k_xy、k_xz、k_yx、k_yz、k_zx、k_zy分别为各个陀螺抖轮的侧向刚度，m为陀螺光学本体的质量；

[l_xx l_xy l_xz]^T、[l_yx l_yy l_yz]^T、[l_zx l_zy l_zz]^T分别为x陀螺、y陀螺、z陀螺质心偏离的杆臂参数；

ω_dx、ω_dy、ω_dz分别为x陀螺、y陀螺、z陀螺的抖动角速率；

步骤二，简化机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程：

同一陀螺不同方向的侧向刚度非常接近，可以忽略非等弹性的影响，即，

k_xz≈k_xy＝k_x，k_yz≈k_yx＝k_y，k_zx≈k_zy＝k_z (2)

鉴于机抖激光陀螺侧向形变阻尼的存在，忽略交叉耦合项的影响，同时忽略外界角加速度的影响(其影响等价于动力学方程的外界输入)，只考虑偏心力矩对陀螺敏感轴侧向形变的影响，同时考虑到机抖激光陀螺侧向形变的固有频率一般在700Hz以上(远高于作用于机抖激光陀螺的偏心力矩频率)，得到机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角动力学方程的简化解(即(1)式的稳态响应近似解)为，

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{xz}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{yx}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{yz}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{zx}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{zy}\end{array}\right]\≈\left[\begin{array}{c}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}+f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xz}}{k_x}\\ f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}-f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xy}}{k_x}\\ f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yy}}{k_y}-f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yz}}{k_y}\\ -f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yy}}{k_y}+f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yx}}{k_y}\\ -f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zz}}{k_z}+f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zy}}{k_z}\\ f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zz}}{k_z}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zx}}{k_z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-f_z^b{\mathrm{\τ}}_{xx}+f_x^b{\mathrm{\τ}}_{xz}\\ f_y^b{\mathrm{\τ}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\τ}}_{xy}\\ f_z^b{\mathrm{\τ}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\τ}}_{yz}\\ -f_x^b{\mathrm{\τ}}_{yy}+f_y^b{\mathrm{\τ}}_{yx}\\ -f_y^b{\mathrm{\τ}}_{zz}+f_z^b{\mathrm{\τ}}_{zy}\\ f_x^b{\mathrm{\τ}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\τ}}_{zx}\end{array}\right]---\left(3\right)$

上式中，

步骤三，建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型：

设机抖激光陀螺捷联惯导系统IMU(Inertial Measurement Unit)的x陀螺敏感轴为x轴，y陀螺敏感轴为y轴，z陀螺敏感轴为z轴；设ε_xy、ε_xz分别为x陀螺敏感轴绕y轴、z轴转动的形变角，ε_yx、ε_yz分别为y陀螺敏感轴绕x轴、z轴转动的形变角，ε_zx、ε_zy分别为z陀螺敏感轴绕x轴、y轴转动的形变角；无外部力学环境作用下，以x陀螺敏感轴为基准，ε_yz0为y陀螺敏感轴绕z轴转动的常值偏角；ε_zx0、ε_zy0分别为z陀螺敏感轴绕x轴、y轴转动的常值偏角，则动态情况下敏感轴动态偏移造成的等效陀螺漂移误差模型可表示为，

${\mathrm{\δ\ω}}_{ibd}^b=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ϵ}}_{xz}& -{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ -({\mathrm{\ϵ}}_{yz}+{\mathrm{\ϵ}}_{yz0})& 0& {\mathrm{\ϵ}}_{yx}\\ ({\mathrm{\ϵ}}_{zy}+{\mathrm{\ϵ}}_{zy0})& -({\mathrm{\ϵ}}_{zx}+{\mathrm{\ϵ}}_{zx0})& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\ω}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\ω}}_{ibz}^b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{xz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ -{\mathrm{\ϵ}}_{yx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yz}{\mathrm{\ϵ}}_{yx}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{zy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}{\mathrm{\ϵ}}_{zx}\end{array}\right]---\left(4\right)$

上式中，第一项为陀螺敏感轴常值偏角、动态偏移形变角对应的等效安装偏差造成的动态误差，第二项为陀螺敏感轴动态偏移形变角对应的等效圆锥误差；

考虑到式(4)中陀螺敏感轴常值偏角是陀螺安装参数的一部分，可以通过标定消除；忽略非等弹性影响时，陀螺敏感轴动态偏移形变角对应的等效圆锥误差也很小，可以忽略；进一步根据式(3)，将式(4)简化为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ\ω}}_{ibd}^b\≈\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\ϵ}}_{xz}& -{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ -{\mathrm{\ϵ}}_{yz}& 0& {\mathrm{\ϵ}}_{yx}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{zy}& -{\mathrm{\ϵ}}_{zx}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\ω}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\ω}}_{ibz}^b\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& f_y^b{\mathrm{\τ}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\τ}}_{xy}& f_z^b{\mathrm{\τ}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\τ}}_{xz}\\ f_x^b{\mathrm{\τ}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\τ}}_{yx}& 0& f_z^b{\mathrm{\τ}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\τ}}_{yz}\\ f_x^b{\mathrm{\τ}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\τ}}_{zx}& f_y^b{\mathrm{\τ}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\τ}}_{zy}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\ω}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\ω}}_{ibz}^b\end{array}\right]\end{array}---\left(5\right)$

式(5)即机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差简化模型；

步骤四，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型参数估计：

在固定位置处，对惯导系统施以固定频率线振动，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变会产生等效陀螺漂移，相对地理系造成的姿态误差微分方程表示为，

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}^n=-{\mathrm{\ω}}_{ie}^n\×{\mathrm{\ψ}}^n-C_b^n{\mathrm{\δ\ω}}_{ibd}^b---\left(6\right)$

记时刻t₀为线振动开始时刻，振动持续时间记为T，则t₀+T时刻的姿态误差为，

${\mathrm{\ψ}}^n(t_0+T)=\underset{t_0}{\overset{t_{0}T}{\∫}}(-{\mathrm{\ω}}_e^n\×{\mathrm{\ψ}}^n(t)-C_b^n{\mathrm{\δ\ω}}_{ibd}^b)dt---\left(7\right)$

将式(5)代入上式，

${\mathrm{\ψ}}^n(t_0+T)=-\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\∫}}{\mathrm{\ω}}_e^n\×{\mathrm{\ψ}}^n\left(t\right)dt-\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\∫}}{C}_b^{n}M\mathrm{\τ}dt---\left(8\right)$

其中，

$\begin{array}{c}M=\left[\begin{array}{ccc}{M}_1& 0_{1\×3}& 0_{1\×3}\\ 0_{1\×3}& M_2& 0_{1\×3}\\ 0_{1\×3}& 0_{1\×3}& M_3\end{array}\right]\\ M_1=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b{f}_z^b+{\mathrm{\ω}}_{iby}^b{f}_y^b& -{\mathrm{\ω}}_{iby}^b{f}_x^b& -{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b{f}_x^b\end{array}\right]\\ M_2\left[\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b{f}_y^b& {\mathrm{\ω}}_{ibz}^b{f}_z^b+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b{f}_x^b& -{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b{f}_y^b\end{array}\right]\\ M_3=\left[\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b{f}_z^b& -{\mathrm{\ω}}_{iby}^b{f}_z^b& {\mathrm{\ω}}_{iby}^b{f}_y^b+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b{f}_x^b\end{array}\right]\\ \mathrm{\τ}={\left[\begin{array}{ccccccccc}{\mathrm{\τ}}_{xx}& {\mathrm{\τ}}_{xy}& {\mathrm{\τ}}_{xz}& {\mathrm{\τ}}_{yx}& {\mathrm{\τ}}_{yy}& {\mathrm{\τ}}_{yz}& {\mathrm{\τ}}_{zx}& {\mathrm{\τ}}_{zy}& {\mathrm{\τ}}_{zz}\end{array}\right]}^T\end{array}---\left(9\right)$

忽略对准造成的姿态误差，时刻t₀的姿态误差记为ψⁿ(t₀)＝0，通过数值积分获得式(9)的数值解，该数值解表示为τ的确定形式；t₀+T时刻线振动结束，惯导静止一段时间进行对准，利用此姿态基准获得t+T时刻的姿态误差观测值，为：

${\mathrm{\ψ}}_{obs}^n(t_0+T)=I-{\tilde{C}}_b^n(t_0+T)C_n^b(t_0+T)---\left(10\right)$

其中，为姿态误差观测值，为惯导系统从时刻t₀至时刻t₀+T时间段内解算得到的姿态矩阵，为线振动结束后惯导系统再次对准得到的姿态参考矩阵；

根据式(9)、(10)，设计多组线振动实验，利用最小二乘法实现九个误差参数的估计；

步骤五，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差补偿：

利用步骤四中估计得到的误差参数τ，并根据机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差简化模型(5)，对振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差按如下方式进行补偿，

${\mathrm{\ω}}_{ib}^b={\widetilde{\mathrm{\ω}}}_{ib}^b-{\mathrm{\δ\ω}}_{ibd}^b---\left(11\right)$

其中，为带有误差的陀螺实测角速度，为误差补偿量，为真实角速度。

本发明具有以下技术效果：

1)本发明建立了机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型，明确了误差机理，通过对误差参数的估计，能够实现振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差的有效补偿；

2)本发明作为系统级补偿方法，可以用于振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差的实时补偿；

3)本发明可进一步应用于大过载、高机动条件下，机抖激光陀螺惯导系统的误差补偿。

附图说明：

1.图1是机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法流程图；

2.图2是X-Y面水平时线振动实验示意图；

3.图3是X-Z面水平时线振动实验示意图；

4.图4是初步补偿结果对比示意图。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明中的方法做进一步详细阐述：

步骤一，建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程：

根据欧拉定理，外力矩作用下，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程为，

$\left[\begin{array}{c}{J}_{xy}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{iby}^b)\\ J_{xz}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibz}^b)\\ J_{yx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibx}^b)\\ J_{yz}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zz}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibz}^b)\\ J_{zx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{ibx}^b)\\ J_{zy}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{iby}^b)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_{xy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}\\ c_{xz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}\\ c_{yx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}\\ c_{yz}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yz}\\ c_{zx}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}\\ c_{zy}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{k}_{xy}{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ k_{xz}{\mathrm{\ϵ}}_{xz}\\ k_{yx}{\mathrm{\ϵ}}_{yx}\\ k_{yz}{\mathrm{\ϵ}}_{yz}\\ k_{zx}{\mathrm{\ϵ}}_{zx}\\ k_{zy}{\mathrm{\ϵ}}_{zy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{J}_x({\mathrm{\ω}}_{dx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b)\\ -J_x({\mathrm{\ω}}_{dx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^b)\\ -J_y({\mathrm{\ω}}_{dy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^b)\\ J_y({\mathrm{\ω}}_{dy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{yx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b)\\ J_z({\mathrm{\ω}}_{dz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zy}+{\mathrm{\ω}}_{iby}^b)\\ -J_z({\mathrm{\ω}}_{dz}+{\mathrm{\ω}}_{ibz}^x)({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{zx}+{\mathrm{\ω}}_{ibx}^b)\end{array}\right]=m\left[\begin{array}{c}-f_z^b{l}_{xx}+f_x^b{l}_{xz}\\ f_y^b{l}_{xx}-f_x^b{l}_{xy}\\ f_z^b{l}_{yy}-f_y^b{l}_{yz}\\ -f_x^b{l}_{yy}+f_y^b{l}_{yx}\\ -f_y^b{l}_{zz}+f_z^b{l}_{zy}\\ f_x^b{l}_{zz}-f_z^b{l}_{zx}\end{array}\right]---\left(12\right)$

上式中，

J_x＝J_y＝J_z＝J为x陀螺、y陀螺、z陀螺绕其各自敏感轴方向的转动惯量；

J_xy≈J_xz≈J_yx≈J_yz≈J_zx≈J_zy≈J₁为x陀螺、y陀螺、z陀螺绕与其敏感轴正交的对称轴的转动惯量；

c_xy≈c_xz≈c_yx≈c_yz≈c_zx≈c_zy≈c为陀螺抖轮的侧向形变阻尼；

k_xy、k_xz、k_yx、k_yz、k_zx、k_zy分别为各个陀螺抖轮的侧向刚度，m为陀螺光学本体的质量；

[l_xx l_xy l_xz]^T、[l_yx l_yy l_yz]^T、[l_zx l_zy l_zz]^T分别为x陀螺、y陀螺、z陀螺质心偏离的杆臂参数；

ω_dx、ω_dy、ω_dz分别为x陀螺、y陀螺、z陀螺的抖动角速率；

步骤二，简化机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程：

同一陀螺不同方向的侧向刚度非常接近，可以忽略非等弹性的影响，即，

k_xz≈k_xy＝k_x，k_yz≈k_yx＝k_y，k_zx≈k_zy＝k_z(13)

为便于实际工程应用，对式(12)进行简化，以x陀螺为例进行说明；考虑到x陀螺沿y、z方向形变阻尼的影响，忽略交叉耦合项的影响，同时忽略的影响(其影响等价于动力学方程的外界输入)，只考虑偏心力矩对x陀螺敏感轴侧向形变的影响，x陀螺的动力学方程可以简化为，

$J_1\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xy}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_{xz}\end{array}\right]+k_x\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{xy}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{xz}\end{array}\right]\≈m\left[\begin{array}{c}-f_z^b{l}_{xx}+f_x^b{l}_{xz}\\ f_y^b{l}_{xx}-f_x^b{l}_{xy}\end{array}\right]---\left(14\right)$

假设作用到x陀螺上的等效偏心力矩为正弦力矩Mcos(ωt)，由于减振器对高频振动的隔离，实际作用于陀螺的偏心力矩的频谱集中于低频段，鉴于陀螺敏感轴侧向形变的固有频率一般在700Hz以上，则有，

${\mathrm{\&omega;}}_n=\sqrt{\frac{k_x}{J_1}}=2{\mathrm{\&pi;f}}_n>1400\mathrm{\&pi;},\frac{\mathrm{\&omega;}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}<<1---\left(15\right)$

同时考虑到则x陀螺侧向形变稳态响应的近似解为：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}\end{array}\right]\&ap;\left[\begin{array}{c}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}+f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xz}}{k_z}\\ f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}-f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xy}}{k_x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}+f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xz}\\ f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xy}\end{array}\right]---\left(16\right)$

同理，可得y、z陀螺侧向形变的稳态响应近似解，式(12)所示动力学方程的稳态响应近似解为：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}\end{array}\right]\&ap;\left[\begin{array}{c}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}+f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xz}}{k_x}\\ f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}-f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xy}}{k_x}\\ f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yy}}{k_y}-f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yz}}{k_y}\\ -f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yy}}{k_y}+f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yx}}{k_y}\\ -f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zz}}{k_z}+f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zy}}{k_z}\\ f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zz}}{k_z}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zx}}{k_z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}+f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xz}\\ f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xy}\\ f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yz}\\ -f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}+f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yx}\\ -f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}+f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zy}\\ f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zx}\end{array}\right]---\left(17\right)$

上式中，

步骤三，建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型：

设机抖激光陀螺捷联惯导系统IMU(Inertial Measurement Unit)的x陀螺敏感轴为x轴，y陀螺敏感轴为y轴，z陀螺敏感轴为z轴；设ε_xy、ε_xz分别为x陀螺敏感轴绕y轴、z轴转动的形变角，ε_yx、ε_yz分别为y陀螺敏感轴绕x轴、z轴转动的形变角，ε_zx、ε_zy分别为z陀螺敏感轴绕x轴、y轴转动的形变角；无外部力学环境作用下，以x陀螺敏感轴为基准，ε_yz0为y陀螺敏感轴绕z轴转动的常值偏角；ε_zx0、ε_zy0分别为z陀螺敏感轴绕x轴、y轴转动的常值偏角，则动态情况下敏感轴动态偏移造成的等效陀螺漂移误差模型可表示为，

${\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ -({\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{yz0})& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ ({\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{zy0})& -({\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx0})& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xy}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xz}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yx}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yz}{\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zx}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zy}{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}\end{array}\right]---\left(18\right)$

上式中，第一项为陀螺敏感轴常值偏角、动态偏移形变角对应的等效安装偏差造成的动态误差，第二项为陀螺敏感轴动态偏移形变角对应的等效圆锥误差；

考虑到式(18)中陀螺敏感轴常值偏角是陀螺安装参数的一部分，可以通过标定消除；忽略非等弹性影响时，陀螺敏感轴动态偏移形变角对应的等效圆锥误差也很小，可以忽略；进一步根据式(17)，将式(18)简化为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b\&ap;\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xy}& f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xz}\\ f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yx}& 0& f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yz}\\ f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zx}& f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zy}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b\end{array}\right]\end{array}---\left(19\right)$

式(19)即机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差简化模型；

步骤四，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型参数估计：

在固定位置处，对惯导系统施以固定频率线振动，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变会产生等效陀螺漂移，相对地理系造成的姿态误差微分方程表示为，

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}^n=-{\mathrm{\&omega;}}_{ie}^n\&times;{\mathrm{\&psi;}}^n-C_b^n{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b---\left(20\right)$

记时刻t₀为线振动开始时刻，振动持续时间记为T，则t₀+T时刻的姿态误差为，

${\mathrm{\&psi;}}^n(t_0+T)=\underset{t_0}{\overset{k_0+T}{\&Integral;}}(-{\mathrm{\&omega;}}_{ie}^n\&times;{\mathrm{\&psi;}}^n(t)-C_b^n{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b)dt---\left(21\right)$

将式(19)代入上式，

${\mathrm{\&psi;}}^n(t_0+T)=-\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\&Integral;}}{\mathrm{\&omega;}}_e^n\&times;{\mathrm{\&psi;}}^n\left(t\right)dt-\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\&Integral;}}{C}_b^{n}M\mathrm{\&tau;}dt---\left(22\right)$

其中，

$\begin{array}{c}M=\left[\begin{array}{ccc}{M}_1& 0_{1\&times;3}& 0_{1\&times;3}\\ 0_{1\&times;3}& M_2& 0_{1\&times;3}\\ 0_{1\&times;3}& 0_{1\&times;3}& M_3\end{array}\right]\\ M_1=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_z^b+{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_y^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_x^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_x^b\end{array}\right]\\ M_2\left[\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_y^b& {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_z^b+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_x^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_y^b\end{array}\right]\\ M_3=\left[\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_z^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_z^b& {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_y^b+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_x^b\end{array}\right]\\ \mathrm{\&tau;}={\left[\begin{array}{ccccccccc}{\mathrm{\&tau;}}_{xx}& {\mathrm{\&tau;}}_{xy}& {\mathrm{\&tau;}}_{xz}& {\mathrm{\&tau;}}_{yx}& {\mathrm{\&tau;}}_{yy}& {\mathrm{\&tau;}}_{yz}& {\mathrm{\&tau;}}_{zx}& {\mathrm{\&tau;}}_{zy}& {\mathrm{\&tau;}}_{zz}\end{array}\right]}^T\end{array}---\left(23\right)$

忽略对准造成的姿态误差，时刻t₀的姿态误差记为ψⁿ(t₀)＝0，通过数值积分获得式(23)的数值解，该数值解表示为τ的确定形式；t₀+T时刻线振动结束，惯导静止一段时间进行对准，利用此姿态基准获得t+T时刻的姿态误差观测值，为：

${\mathrm{\&psi;}}_{obs}^n(t_0+T)=I-{\tilde{C}}_b^n(t_0+T)C_n^b(t_0+T)---\left(24\right)$

其中，为姿态误差观测值，为惯导系统从时刻t₀至时刻t₀+T时间段内解算得到的姿态矩阵，为线振动结束后惯导系统再次对准得到的姿态参考矩阵；

根据式(23)、(24)，设计多组线振动实验，利用最小二乘法实现九个误差参数的估计；

参数估计过程需要充分激励误差，不同振动实验条件下，可以对不同的待辨识参数造成的误差进行充分激励；从式(19)可以看出，比力与角速率乘积项耦合，产生等效漂移，据此，可以设计线振动实验对待辨识参数进行标定估计；

线振动实验设计：为了使得惯导系统在线振动条件下同时存在较大的角运动，需要在惯导系统安装底座的下部加装外减振器，之后将系统固联到振动台上，进而分别沿惯导系统的两个水平轴向、两个对角线方向进行固定频率线振动实验(图2所示)；第一组次实验完成后，绕惯导系统的X轴或Y轴转动90°将Z轴转动至线振动台水平面内，进而分别沿惯导系统的两个水平轴向、两个对角线方向进行固定频率线振动实验(图3所示)；这样便实现了陀螺在各个方向误差参数的充分激励；

步骤五，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差补偿：

利用步骤四中估计得到的误差参数τ，并根据机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差简化模型(19)，对振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差按如下方式进行补偿，

${\mathrm{\&omega;}}_{ib}^b={\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}_{ib}^b-{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b---\left(25\right)$

其中，为带有误差的陀螺实测角速度，为误差补偿量，为真实角速度。

按照以上发明方法，对振动条件下某90型机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数进行估计，同时考察误差补偿效果。

在振幅为2g，频率为20Hz正弦线振动条件下，按照误差模型和误差参数估计方法对某90型机抖激光陀螺捷联惯导系统待辨识参数进行估计，得到未知参数值。每组振动实验按照以下顺序组织：惯导系统首先静止10min，然后振动10min，最后再次静止10min。考虑到t₀+T时刻的姿态参考矩阵的航向角误差受等效东向陀螺漂移的影响较大，t₀+T时刻的姿态误差参考值只取水平姿态角误差。将辨识得到的参数用于振幅为2g，频率为40Hz的正弦线振动实验误差补偿，验证误差模型的补偿效果，图4给出了补偿前后的速度误差对比示意图，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差补偿后，10min线振动时间内，系统纯惯导精度提高30％以上。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差参数估计与补偿方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一，建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程：

根据欧拉定理，外力矩作用下，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程为，

$\left[\begin{array}{c}{J}_{xy}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xy}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{iby}^b)\\ J_{xz}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xz}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ibz}^b)\\ J_{yx}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yx}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ibx}^b)\\ J_{yz}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yz}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ibz}^b)\\ J_{zx}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zx}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ibx}^b)\\ J_{zy}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zy}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{iby}^b)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_{xy}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xy}\\ c_{xz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xz}\\ c_{yx}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yx}\\ c_{yz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yz}\\ c_{zx}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zx}\\ c_{zy}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{k}_{xy}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ k_{xz}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}\\ k_{yx}{\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ k_{yz}{\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}\\ k_{zx}{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}\\ k_{zy}{\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{J}_x({\mathrm{\&omega;}}_{dx}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^x)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xz}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b)\\ -J_x({\mathrm{\&omega;}}_{dx}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^x)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xy}+{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b)\\ -J_y({\mathrm{\&omega;}}_{dy}+{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^x)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yz}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b)\\ J_y({\mathrm{\&omega;}}_{dy}+{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^y)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yx}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b)\\ J_z({\mathrm{\&omega;}}_{dz}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^z)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zy}+{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b)\\ -J_z({\mathrm{\&omega;}}_{dz}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^z)({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zx}+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b)\end{array}\right]=m\left[\begin{array}{c}-f_z^b{l}_{xx}+f_x^b{l}_{xz}\\ f_y^b{l}_{xx}-f_x^b{l}_{xy}\\ f_z^b{l}_{yy}-f_y^b{l}_{yz}\\ -f_x^b{l}_{yy}+f_y^b{l}_{yx}\\ -f_y^b{l}_{zz}+f_z^b{l}_{zy}\\ f_x^b{l}_{zz}-f_z^b{l}_{zx}\end{array}\right]---\left(1\right)$

上式中，

J_x＝J_y＝J_z＝J为x陀螺、y陀螺、z陀螺绕其各自敏感轴方向的转动惯量；

J_xy≈J_xz≈J_yx≈J_yz≈J_zx≈J_zy≈J₁为x陀螺、y陀螺、z陀螺绕与其敏感轴正交的对称轴的转动惯量；

c_xy≈c_xz≈c_yx≈c_yz≈c_zx≈c_zy≈c为陀螺抖轮的侧向形变阻尼；

k_xy、k_xz、k_yx、k_yz、k_zx、k_zy分别为各个陀螺抖轮的侧向刚度，m为陀螺光学本体的质量；

[l_xx l_xy l_xz]^T、[l_yx l_yy l_yz]^T、[l_zx l_zy l_zz]^T分别为x陀螺、y陀螺、z陀螺质心偏离的杆臂参数；

ω_dx、ω_dy、ω_dz分别为x陀螺、y陀螺、z陀螺的抖动角速率；

步骤二，简化机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角的动力学方程：

同一陀螺不同方向的侧向刚度非常接近，可以忽略非等弹性的影响，即，

k_xz≈k_xy＝k_x，k_yz≈k_yx＝k_y，k_zx≈k_zy＝k_z (2)

鉴于机抖激光陀螺侧向形变阻尼的存在，忽略交叉耦合项的影响，同时忽略外界角加速度的影响(其影响等价于动力学方程的外界输入)，只考虑偏心力矩对陀螺敏感轴侧向形变的影响，同时考虑到机抖激光陀螺侧向形变的固有频率一般在700Hz以上(远高于作用于机抖激光陀螺的偏心力矩频率)，得到机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变角动力学方程的简化解(即(1)式的稳态响应近似解)为，

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}\end{array}\right]\&ap;\left[\begin{array}{c}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}+f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xz}}{k_x}\\ f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xx}}{k_x}-f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{xy}}{k_x}\\ f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yy}}{k_y}-f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yz}}{k_y}\\ -f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yy}}{k_y}+f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{yx}}{k_y}\\ -f_y^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zz}}{k_z}+f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zy}}{k_z}\\ f_x^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zz}}{k_z}-f_z^b\frac{{\mathrm{ml}}_{zx}}{k_z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}+f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xz}\\ f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xy}\\ f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yz}\\ -f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}+f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yx}\\ -f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}+f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zy}\\ f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zx}\end{array}\right]---\left(3\right)$

上式中，

步骤三，建立机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型：

设机抖激光陀螺捷联惯导系统IMU(Inertial Measurement Unit)的x陀螺敏感轴为x轴，y陀螺敏感轴为y轴，z陀螺敏感轴为z轴；设ε_xy、ε_xz分别为x陀螺敏感轴绕y轴、z轴转动的形变角，ε_yx、ε_yz分别为y陀螺敏感轴绕x轴、z轴转动的形变角，ε_zx、ε_zy分别为z陀螺敏感轴绕x轴、y轴转动的形变角；无外部力学环境作用下，以x陀螺敏感轴为基准，ε_yz0为y陀螺敏感轴绕z轴转动的常值偏角；ε_zx0、ε_zy0分别为z陀螺敏感轴绕x轴、y轴转动的常值偏角，则动态情况下敏感轴动态偏移造成的等效陀螺漂移误差模型可表示为，

${\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ -({\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{yz0})& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ ({\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{zy0})& -({\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx0})& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xy}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{xz}{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yx}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{yz}{\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zx}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{zy}{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}\end{array}\right]---\left(4\right)$

上式中，第一项为陀螺敏感轴常值偏角、动态偏移形变角对应的等效安装偏差造成的动态误差，第二项为陀螺敏感轴动态偏移形变角对应的等效圆锥误差；

考虑到式(4)中陀螺敏感轴常值偏角是陀螺安装参数的一部分，可以通过标定消除；忽略非等弹性影响时，陀螺敏感轴动态偏移形变角对应的等效圆锥误差也很小，可以忽略；进一步根据式(3)，将式(4)简化为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b\&ap;\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{xz}& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{xy}\\ -{\mathrm{\&epsiv;}}_{yz}& 0& {\mathrm{\&epsiv;}}_{yx}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{zy}& -{\mathrm{\&epsiv;}}_{zx}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xy}& f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{xx}-f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{xz}\\ f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yx}& 0& f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{yy}-f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{yz}\\ f_x^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zx}& f_y^b{\mathrm{\&tau;}}_{zz}-f_z^b{\mathrm{\&tau;}}_{zy}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b\\ {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b\end{array}\right]\end{array}---\left(5\right)$

式(5)即机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差简化模型；

步骤四，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差模型参数估计：

在固定位置处，对惯导系统施以固定频率线振动，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移形变会产生等效陀螺漂移，相对地理系造成的姿态误差微分方程表示为，

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}^n=-{\mathrm{\&omega;}}_{ie}^n\&times;{\mathrm{\&psi;}}^n-C_b^n{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b---\left(6\right)$

记时刻t₀为线振动开始时刻，振动持续时间记为T，则t₀+T时刻的姿态误差为，

${\mathrm{\&psi;}}^n(t_0+T)=\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\&Integral;}}(-{\mathrm{\&omega;}}_{ie}^n\&times;{\mathrm{\&psi;}}^n(t)-C_b^n{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b)dt---\left(7\right)$

将式(5)代入上式，

${\mathrm{\&psi;}}^n(t_0+T)=-\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\&Integral;}}{\mathrm{\&omega;}}_{ie}^n\&times;{\mathrm{\&psi;}}^n\left(t\right)dt-\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\&Integral;}}{C}_b^{n}M\mathrm{\&tau;}dt---\left(8\right)$

其中，

$M=\left[\begin{array}{ccc}{M}_1& 0_{1\&times;3}& 0_{1\&times;3}\\ 0_{1\&times;3}& M_2& 0_{1\&times;3}\\ 0_{1\&times;3}& 0_{1\&times;3}& M_3\end{array}\right]$

$M_1=\&lsqb;\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_z^b+{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_y^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_x^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_x^b\end{array}\&rsqb;$

$M_2=\&lsqb;\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_y^b& {\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_z^b+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_x^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{ibz}^b{f}_y^b\end{array}\&rsqb;---\left(9\right)$

$M_3=\&lsqb;\begin{array}{ccc}-{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_z^b& -{\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_z^b& {\mathrm{\&omega;}}_{iby}^b{f}_y^b+{\mathrm{\&omega;}}_{ibx}^b{f}_x^b\end{array}\&rsqb;$

τ＝[τ_0x τ_xy τ_xz τ_yx τ_yy τ_yz τ_zx τ_zy τ_zz]^T

忽略对准造成的姿态误差，时刻t₀的姿态误差记为ψⁿ(t₀)＝0，通过数值积分获得式(9)的数值解，该数值解表示为τ的确定形式；t₀+T时刻线振动结束，惯导静止一段时间进行对准，利用此姿态基准获得t+T时刻的姿态误差观测值，为：

${\mathrm{\&psi;}}_{obs}^n(t_0+T)=I-{\tilde{C}}_b^n(t_0+T)C_n^b(t_0+T)---\left(10\right)$

其中，为姿态误差观测值，为惯导系统从时刻t₀至时刻t₀+T时间段内解算得到的姿态矩阵，为线振动结束后惯导系统再次对准得到的姿态参考矩阵；

根据式(9)、(10)，设计多组线振动实验，利用最小二乘法实现九个误差参数的估计；

步骤五，机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差补偿：

利用步骤四中估计得到的误差参数τ，并根据机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差简化模型(5)，对振动条件下机抖激光陀螺敏感轴动态偏移误差按如下方式进行补偿，

${\mathrm{\&omega;}}_{ib}^b={\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}_{ib}^b-{\mathrm{\&delta;\&omega;}}_{ibd}^b---\left(11\right)$

其中，为带有误差的陀螺实测角速度，为误差补偿量，为真实角速度。