CN106202688A - 六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法，给出了动力学完全各向同性条件，包括：一个几何协调方程、两个惯量方程和三个质量几何约束方程。根据给出的完全各向同性条件设计隔振平台的几何、质/惯量参数，可以使隔振平台六个非零自然频率全部相等，在任意方向上获得相同的隔振性能。

Description

六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法

技术领域

本发明属于机械装备的动力学、优化设计研究领域，尤其是基于并联机构的隔振平台的动力学性能优化设计。

背景技术

高精度空间系统的精确指向需要超静环境，空间干涉仪、激光通信设备等高精度航天器需达到纳米级的运动稳定性。然而，航天器在轨运行期间，星上反作用飞轮、控制力矩陀螺、低温制冷机、太阳电池阵驱动机构等部件的运动将产生频带较宽的低幅机械振动，称为航天器微振动。为了使航天器在六个自由度上达到极高的光学稳定水平，可以设计一种基于Stewart机构的六轴隔振平台。它由上、下两个平台和六个并联的腿组成，每条腿形成一个单轴隔振器，通过两个球铰与上、下两平台相连。近二十年已有不少研究者开展了这方面的研究。Geng和Haynes最早提出了一种基于特殊构型Stewart机构的六轴隔振方法和系统，这种特殊构型称为立方Stewart平台，成为设计六轴隔振系统的典型形式。采用立方构型的隔振平台的优势是能够建立简化的解耦动力学模型，每条支腿对平台的作用力相对独立，可以采用分散控制策略实现主动隔振。之后，Spanos和Rahman，Hauge和Campbell以及Preumont等也基于立方Stewart平台研究了六轴隔振系统的动力学建模和主动控制。然而，上述隔振平台的六个非零自然频率不同，而每条腿机械结构、作动器、传感器和控制增益是相同的，这就不能针对所有的模态得到一致的隔振性能。因此，隔振平台的设计应使其最大自然频率与最小自然频率的比值最小。这个问题称为隔振平台动力学各向同性设计，目的是使其六个非零自然频率相等，以便在任意方向上获得相同的隔振性能。在动力学各向同性设计方面，Ma和Angeles定义了基于广义质量矩阵的动力学各向同性指标，并以Stewart平台为例进行了动力学各向同性设计研究，得到的最优指标值(等价于最大最小频率比)为1.1242。Jiang和He等人针对Stewart平台提出了基于自然频率矩阵的动力学各向同性设计，得到的最优指标值(定义为最大最小频率比)为1.2508。基于自然频率矩阵的动力学各向同性指标的优化会使得系统的各阶自然频率更加接近，当各向同性指标为最优(值为1)时，系统的各阶自然频率相同，称之为动力学完全各向同性。目前，动力学完全各向同性设计问题仍然没有解决。

故，需要一种新的技术方案以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的不足，提供一种六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法。

为解决上述问题，本发明的六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计可采用如下技术方案：

1、一种六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法，所述的六轴隔振平台包括上平台、下平台和连接上平台及下平台的六条腿，每一条腿是一个单轴隔振器，每一条腿的两端用球铰分别与上平台、下平台相连；其中，与上平台连接的球铰为上球铰；与下平台连接的球铰为下球铰；其特征在于，该方法包括如下步骤：

(1)确定动力学各向同性设计变量

连接上平台的六个上球铰安装在一个平面内，且相邻两个上球铰点的夹角为α；连接下平台的六个下球铰同样安装在一个平面内，相邻两个下球铰点的夹角为β；定义夹角差γ＝(α-β)/2，上平台半径为r_a，下平台半径为r_b，每条腿上安装一个作动器，作动器的等效刚度为k；六轴隔振平台处于平衡位置时高度为h；定义上平台的质量m_a，上平台相对于质心的转动惯量为I_a＝diag(I_ax I_ay I_az)^3×3，下平台的质量是m_b，下平台相对于质心的转动惯量为I_b＝diag(I_bx I_by I_bz)^3×3；六轴隔振平台的设计变量为上、下平台的质/惯量参数和隔振平台的机构几何参数，共十二个，满足如下约束条件：

h>0,ζ>0,μ>0,0＜γ＜π/2

m_a>0,m_b>0,I_ax>0,I_ay>0,I_az>0,I_bx>0,I_by>0,I_bz>0

上式中，ζ＝r_a/h，μ＝r_b/h，ζ为上平台的半径和平台高度比；μ为下平台的半径和平台高度比；

(2)按照以下动力学各向同性条件确定设计参数值

一个几何协调方程：

$cos\mathrm{\γ}=\frac{\sqrt{{\mathrm{\ζ}}^2{\mathrm{\μ}}^2+1}-1}{\mathrm{\ζ}\mathrm{\μ}};$

两个惯量方程：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{ax}=I_{ay}\\ I_{bx}=I_{by}\end{array}\right.;$

三个质量几何约束方程：

$\left\{\begin{array}{c}(\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b})/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2h^2(\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2{\mathrm{\μ}}^2}-1)\\ \frac{1}{I_{ax}}/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2+2{\mathrm{\μ}}^2-2\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2{\mathrm{\μ}}^2}\\ \frac{1}{I_{bx}}/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2+2{\mathrm{\ζ}}^2-2\sqrt{1+{\mathrm{\ζ}}^2{\mathrm{\μ}}^2}\end{array}\right..$

附图说明

图1是本发明中六轴隔振平台的几何描述图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

其中，如图1所示，本发明中所述的六轴隔振平台包括上平台(载荷平台)、下平台(基平台)和连接上平台及下平台的六条腿，每一条腿是一个单轴隔振器，设计有作动器和传感器，每一条腿的两端用球铰分别与上平台、下平台相连；其中，与上平台连接的球铰为上球铰；与下平台连接的球铰为下球铰。而针对该六轴隔振平台包，本发明提供的六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法包括如下步骤。

1求解六轴隔振平台的自然频率

连接上平台的六个上球铰安装在一个平面内，且相邻两个上球铰点的夹角为α；连接下平台的六个下球铰同样安装在一个平面内，相邻两个下球铰点的夹角为β；α和β按圆周循环对称分布。定义夹角差γ＝(α-β)/2，上平台半径为r_a，下平台半径为r_b，每条腿上安装一个压电作动器，作动器的等效刚度为k。隔振平台处于平衡位置时高度为h。定义上平台的质量m_a，上平台相对于质心的转动惯量为I_a＝diag(I_ax I_ay I_az)^3×3，下平台的质量是m_b，下平台相对于质心的转动惯量为I_b＝diag(I_bx I_by I_bz)^3×3。

建立三个笛卡尔直角坐标系，分别为惯性系G-xyz，下平台质心坐标系O-xyz和上平台质心坐标系O'-xyz。O'-xyz和O-xyz相对于G-xyz的姿态分别用转动矩阵R_a和R_b表示。p_a0和p_b0分别表示上、下平台的初始位置，p_a和p_b分别表示上、下平台的位移。每支腿与上平台的连接点在O'-xyz中的矢径记为：a₁...a₆，与下平台的连接点在O-xyz中的矢径记为：b₁...b₆。a_i和b_i在G-xyz中用q_ai和q_bi表示，那么存在转换关系：q_ai＝R_aa_i,q_bi＝R_bb_i。仅考虑隔振平台的平衡位置处的自然频率，那么R_a＝R_b＝E，E是3×3单位矩阵。

隔振平台的位置方程为

l_ie_i＝p_a+p_a0+q_ai-p_b-p_b0-q_bi(i＝1,2,…,6) (1)

l_i是每条腿的长度，e_i是沿着每条腿的单位矢量，表示腿的方向。

隔振平台的质量矩阵为：

M＝diag(m_aE I_a m_bE I_b)^12×12 (2)

隔振平台的刚度矩阵为：

K＝J^Tdiag(k)^6×6J (3)

J是Stewart机构雅可比矩阵：

$J_{lu}=\left(\begin{array}{cccc}{e}_1^T& {(q_{a1}\×e_1)}^T& -e_1^T& -{(q_{b1}\×e_1)}^T\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ e_6^T& {(q_{a6}\×e_6)}^T& -e_6^T& -{(q_{b6}\×e_6)}^T\end{array}\right)---\left(4\right)$

最后求解K关于M的广义特征值，即自然频率的平方：

${\mathrm{\ω}}_1^2={\mathrm{\ω}}_2^2={\mathrm{\ω}}_3^2={\mathrm{\ω}}_4^2={\mathrm{\ω}}_5^2={\mathrm{\ω}}_6^2=0$

${\mathrm{\ω}}_7^2=\frac{6{\mathrm{kh}}^2}{l_0^2}(\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}),{\mathrm{\ω}}_8^2=\frac{3{\mathrm{kr}}_a^2{r}_b^2(1-\cos 2\mathrm{\γ})}{l_0^2}(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})---\left(5\right)$

${\mathrm{\ω}}_9^2={\mathrm{kh}}^2(A+\sqrt{B})/l_0^2,{\mathrm{\ω}}_{10}^2={\mathrm{kh}}^2(A-\sqrt{B})/l_0^2$

${\mathrm{\ω}}_{11}^2={\mathrm{kh}}^2(C+\sqrt{D})/l_0^2,{\mathrm{\ω}}_{12}^2={\mathrm{kh}}^2(C-\sqrt{D})/l_0^2$

上式中，

$\begin{array}{c}A=\frac{3}{2h^2{I}_{ax}{I}_{bx}{m}_a{m}_b}\left(I_{ax}{I}_{bx}\right(l_0^2-h^2\left)\right(m_a+m_b)+h^2{m}_a{m}_b(I_{bx}{r}_a^2+I_{ax}{r}_b^2\left)\right)\\ B=\frac{3}{2h^2{I}_{ax}{I}_{bx}{m}_a{m}_b}\left(\begin{array}{c}{\left(I_{ax}{I}_{bx}\right(l_0^2-h^2\left)\right(m_a+m_b)+h^2{m}_a{m}_b(I_{bx}{r}_a^2+I_{ax}{r}_b^2\left)\right)}^2-\\ 4h^2{I}_{ax}{I}_{bx}{m}_a{m}_b(h^2{m}_a{m}_b+(I_{ax}+I_{bx}\left)\right(m_a+m_b\left)\right)r_a^2{r}_b^2{\sin }^2\mathrm{\γ}\end{array}\right)\\ C=\frac{3}{2h^2{I}_{ay}{I}_{by}{m}_a{m}_b}\left(I_{ay}{I}_{by}\right(l_0^2-h^2\left)\right(m_a+m_b)+h^2{m}_a{m}_b(I_{by}{r}_a^2+I_{ay}{r}_b^2\left)\right)\\ D=\frac{3}{2h^2{I}_{ay}{I}_{by}{m}_a{m}_b}\left(\begin{array}{c}{\left(I_{ay}{I}_{by}\right(l_0^2-h^2\left)\right(m_a+m_b)+h^2{m}_a{m}_b(I_{by}{r}_a^2+I_{ay}{r}_b^2\left)\right)}^2-\\ 4h^2{I}_{ay}{I}_{by}{m}_a{m}_b(h^2{m}_a{m}_b+(I_{ay}+I_{by}\left)\right(m_a+m_b\left)\right)r_a^2{r}_b^2{\sin }^2\mathrm{\γ}\end{array}\right)\end{array}---\left(6\right)$

六个为零的自然频率表示隔振平台的自由漂浮状态。和和分别是两个二次代数方程组的根。动力学完全各向同性设计的目标是使得ω₇，…，ω₁₂相同。

2动力学完全各向同性条件

隔振平台的设计变量确定为上、下平台的质/惯量参数和隔振平台的机构几何参数，共十二个，满足如下约束条件：

$\begin{array}{c}h>0,\mathrm{\&zeta;}>0,\mathrm{\&mu;}>0,0<\mathrm{\&gamma;}<\mathrm{\&pi;}/2\\ m_a>0,m_b>0,I_{ax}>0,I_{ay}>0,I_{az}>0,I_{bx}>0,I_{by}>0,I_{bz}>0\end{array}---\left(7\right)$

上式中，ζ＝r_a/h，μ＝r_b/h。

令隔振平台的六阶非零自然频率相等：ω₇＝ω₈＝…＝ω₁₂，可以获得隔振平台获得动力学各向同性条件，包括

一个几何协调方程：

$cos\mathrm{\&gamma;}=\frac{\sqrt{{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2+1}-1}{\mathrm{\&zeta;}\mathrm{\&mu;}}---\left(8\right)$

两个惯量方程：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{ax}=I_{ay}\\ I_{bx}=I_{by}\end{array}\right.---\left(9\right)$

三个质量几何约束方程：

$\left\{\begin{array}{c}(\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_b})/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2h^2(\sqrt{1+{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2}-1)\\ \frac{1}{I_{ax}}/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2+2{\mathrm{\&mu;}}^2-2\sqrt{1+{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2}\\ \frac{1}{I_{bx}}/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2+2{\mathrm{\&zeta;}}^2-2\sqrt{1+{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2}\end{array}\right.---\left(10\right)$

3应用示范

在进行隔振平台动力学各向同性设计时，根据(8)、(9)和(10)共6个约束方程，无法唯一地确定12个设计变量，此时可以根据其他设计条件确定一部分参数后再求解其他参数，完成设计。这里将给出已知质/惯量参数情形下的应用示范。

当质/惯量参数确定后，由方程(10)可以确定h,ζ,μ，γ再由方程(8)解出。

表1给出了三组设计条件，表2是按照各向同性条件得到的三组设计结果，数据均采用国际单位制(SI)。尽管表2中的γ大于π/3，在结构设计时可以改变腿的设计，使相邻两腿不相交。

表1三组设计实例的质/惯量参数

表2三组设计实例的结果

Claims (1)

1.一种六轴隔振平台的动力学完全各向同性设计方法，所述的六轴隔振平台包括上平台、下平台和连接上平台及下平台的六条腿，每一条腿是一个单轴隔振器，每一条腿的两端用球铰分别与上平台、下平台相连；其中，与上平台连接的球铰为上球铰；与下平台连接的球铰为下球铰；其特征在于，该方法包括如下步骤：

(1)确定动力学各向同性设计变量

连接上平台的六个上球铰安装在一个平面内，且相邻两个上球铰点的夹角为α；连接下平台的六个下球铰同样安装在一个平面内，相邻两个下球铰点的夹角为β；定义夹角差γ＝(α-β)/2，上平台半径为r_a，下平台半径为r_b，每条腿上安装一个作动器，作动器的等效刚度为k；六轴隔振平台处于平衡位置时高度为h；定义上平台的质量m_a，上平台相对于质心的转动惯量为I_a＝diag(I_ax I_ay I_az)^3×3，下平台的质量是m_b，下平台相对于质心的转动惯量为I_b＝diag(I_bx I_by I_bz)^3×3；六轴隔振平台的设计变量为上、下平台的质/惯量参数和隔振平台的机构几何参数，共十二个，满足如下约束条件：

h>0,ζ>0,μ>0,0<γ<π/2

m_a>0,m_b>0,I_ax>0,I_ay>0,I_az>0,I_bx>0,I_by>0,I_bz>0

上式中，ζ＝r_a/h，μ＝r_b/h；ζ为上平台的半径和平台高度比；μ为下平台的半径和平台高度比；

(2)按照以下动力学各向同性条件确定设计参数值

一个几何协调方程：

$cos\mathrm{\&gamma;}=\frac{\sqrt{{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2+1}-1}{\mathrm{\&zeta;}\mathrm{\&mu;}};$

两个惯量方程：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_{ax}=I_{ay}\\ I_{bx}=I_{by}\end{array}\right.;$

三个质量几何约束方程：

$\left\{\begin{array}{c}(\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b})/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2h^2(\sqrt{1+{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2}-1)\\ \frac{1}{I_{ax}}/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2+2{\mathrm{\&mu;}}^2-2\sqrt{1+{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2}\\ \frac{1}{I_{bx}}/(\frac{1}{I_{az}}+\frac{1}{I_{bz}})=2+2{\mathrm{\&zeta;}}^2-2\sqrt{1+{\mathrm{\&zeta;}}^2{\mathrm{\&mu;}}^2}\end{array}\right..$