CN106099902A - 一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法，该方法首先给出dc‑dc换流器的电流计算公式，进而写出描述直流配电网动态特性的微分代数方程，并分析其矩阵形式，结合微分求导、左乘、右乘等运算，得出所有dc‑dc换流器网侧输出的有功功率之和，并依据所得出的有功功率之和判断系统是否稳定；进而将直流配电网动态特性的微分代数方程转为状态空间方程形式，并进行线性化处理，通过求取特征方程的特征根和特征向量，得出系统是否处于稳定状态的判断公式。该方法所计算量较少，可方便进行系统的在线稳定性评估，且由于计及了端口电容和互联电缆的影响，可有效反映系统的稳态特性。

Description

一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法

技术领域

本发明属于直流配电网技术领域，具体涉及一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法。

背景技术

在分布式电源、柔性直流输电、电动汽车等新兴元素不断涌现的情况下，传统配电网正在发生根本性的变化，交直流混合配电网逐步成为未来配电网的主流运行方式。

直流配电网是交直流混合配电网的核心组成部分，也是目前交直流混合配电理论研究和工程应用中的重点。相对于传统交流配电，直流配电网拥有下列优势：(1)线路造价低；(2)直流电缆绝缘介质的投资要少得多；(3)电能损耗小；(4)由于DG的控制只取决于直流电压，直流配电网的DG较易协同运行；(5)发电电能和消费负荷的改变在直流网络里可以作为一个整体进行补偿；(6)只有与主网连接处需要使用逆变器，系统成本和损耗大大降低；(7)供电可靠性高；(8)具有环保优势。

电动汽车除了促进能源的利用外，其电池还可用于其他的辅助服务，如电压支撑、频率调节、削峰、无功功率支持等。混合动力汽车是兼顾了电动汽车和传统汽车优点的新一代汽车结构型式，因其具有低油耗低排放的潜力，其动力性接近于传统汽车，而生产成本低于纯电动汽车。

混合动力汽车的优点：

(1)与传统汽车相比，由于内燃机总是工作在最佳工况，油耗非常低；(2)内燃机主要工作在最佳工况点附近，燃烧充分，排放气体较干净；起步无怠速(怠速停机)；(3)不需要外部充电系统，一次充电续驶里程、基础设施等问题得到解决；(4)电池组的小型化使成本和重量低于电动汽车；(5)发动机和电机动力可互补；低速时可用电机驱动行驶。

目前，国内外对混合动力汽车的研究还不充分，尤其在有效的建模方面。

综上所述，考虑到目前直流混合配电网存在的问题，需要一种新的含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法以解决上述问题。

发明内容

为克服上述缺陷，本发明提供了一种基于含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法，所述方法包括以下步骤：

一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：第i个dc-dc换流器的电流i_ti计算公式为：

$i_{ti}=\frac{1}{v_i}{P}_{dci}^{*}$

其中，i＝1，2，…，n；n表示自然数；表示dc-dc换流器的额定功率；v_i表示网侧dc-dc换流器的端电压；

步骤2：描述直流配电网动态特性的微分代数方程为：

$\left\{\begin{array}{c}-v_i+R_i{i}_i+L_i\frac{{\mathrm{di}}_i}{dt}+L_0\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{di}}_k}{dt}+R_0\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{i}_k+v_{dc}=0\\ C_i\frac{{\mathrm{dv}}_i}{dt}=\frac{P_{dci}^{*}}{v_i}-i_i\end{array}\right.$

其中，d表示求导，t表示时间变量，R_i表示第i个dc-dc换流器支路的电阻，i_i表示第i个dc-dc换流器支路的电流，L_i表示第i个dc-dc换流器支路的电感，L₀表示电源支路的电感，R₀表示电源支路的电阻，v_dc表示电源支路的等效电压，C_i表示第i个dc-dc换流器支路的电容；

步骤3：将步骤2直流配电网动态特性的微分代数方程转换为矩阵形式：

$-v+R_{b}i+L_b\frac{di}{dt}+L_0\frac{di}{dt}+R_{0}i+v_{dc}=0$

其中，

步骤4：将步骤3的矩阵形式进行微分求导，并设定初始状态为零状态，可得：

V＝RI+V_dc

其中，R＝R₀+R_b；V表示v的稳态值，I表示i的稳态值，V_dc表示v_dc的稳态值；

步骤5：对步骤4的公式进行左乘I^T，可得：

$I^{T}V=I^{T}RI+I^T{V}_{dc}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{V}_i{I}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{dci}^{*}=P_T$

其中，上标T表示转置，P_T表示所有dc-dc换流器网侧输出的有功功率之和；

步骤5的公式描述了直流配电网的稳态潮流方程，I^TRI表示直流配电网中电缆上损耗的功率，I^TV_dc表示经由直流端口的模块化多电平换流器进入直流网络的功率；

步骤6：当I趋向于0时，P_T对I进行求导，可得：

$\frac{\∂P_T}{\∂I}{|}_{I=I_{ext}}=2{\mathrm{RI}}_{ext}+V_{dc}=0$

其中，表示偏微分，

步骤7：步骤6公式的二阶导数为2R，当R_i≠0时，R为对称正定，从而2R也为正定矩阵；因此，当I取值为I_ext时，由步骤5公式可求得P_T的最小值P_T，min，其计算公式为：

$P_{T,\min }=-\frac{1}{4}{V}_{dc}^T{R}^{-1}{V}_{dc}$

步骤8：系统是否处于稳定状态的判断公式为：

P_T≥P_T，min

若上式满足，则表示系统处于稳定状态；

步骤9：对步骤2的公式进行线性化处理，可得：

$C_i\frac{d\widetilde{v_i}}{dt}=-\frac{P_{dci}^{*}}{{V_i}^2}\widetilde{v_i}-\widetilde{i_i}$

其中，～表示变量的小信号扰动分解值，V_i表示v_i的稳态值；

步骤10：步骤2公式的矩阵形式表示为：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{d\tilde{i}}{dt}=-R\tilde{i}-\tilde{v}\\ C\frac{d\tilde{v}}{dt}=-P\tilde{v}-\tilde{i}\end{array}\right.$

其中，L＝L₀+L_b， 当C_i≠0、L_i≠0，C和L均为对称正定矩阵；

步骤11：将步骤10中的公式写为状态空间方程，其具体形式为：

$\stackrel{\·}{x}=Ax$

其中，

步骤12：步骤11中的矩阵A的形式变换为：

$A=\left[\begin{array}{cc}-L^{-1}& 0_{n\×n}\\ 0_{n\×n}& -C^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& -I_{n\×n}\\ I_{n\×n}& P\end{array}\right]=N^{-1}M$

其中，N为对称正定矩阵；

步骤13：设λ为矩阵A的特征根，则步骤11中的方程变为：

Aw＝λw，w≠0

其中，w为矩阵A中对应于λ的特征向量；

步骤14：将步骤12中的A带入步骤13的公式中，可得：

N^-1Mw＝λw

步骤15：对步骤13的公式进行左乘N，可得：

Mw＝λNw

步骤16：对步骤15的公式进行共轭转置，可得：

$\stackrel{\‾}{w}{M}^T=\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\stackrel{\‾}{w}N$

其中，表示λ的共轭复数，表示w的共轭，M^T表示M的转置；

步骤17：对步骤15的公式进行左乘对步骤16的公式进行右乘w，可得：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{w}Mw=\mathrm{\λ}\stackrel{\‾}{w}Nw\\ \stackrel{\‾}{w}{M}^{T}w=\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\stackrel{\‾}{w}Nw\end{array}\right.$

步骤18：将步骤17的公式中对应的虚部列出等式方程为：

$\stackrel{\‾}{w}(M+M^T)w=2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\λ}\right)\stackrel{\‾}{w}Nw$

当(M+M^T)为正定矩阵时，λ的实部为负，从而步骤18的公式可变为：

$\stackrel{\‾}{w}(M+M^T)w=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{-}{w_1}& \stackrel{-}{w_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2R& 0_{n\×n}\\ 0_{n\×n}& 2P\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]=2\stackrel{-}{w_1}{\mathrm{Rw}}_1+2\stackrel{-}{w_2}{\mathrm{Pw}}_2$

其中，

步骤19：当P为正定时，由下式判断系统是否稳定：

$P>0\&DoubleRightArrow;\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)<0$

步骤20：步骤15的公式变为：

(M-λN)w＝0，w≠0

步骤21：将M、N带入到步骤11-步骤20的公式中，可得：

$\left|\begin{array}{cc}R+\mathrm{\&lambda;}L& -I_{n\&times;n}\\ I_{n\&times;n}& P+\mathrm{\&lambda;}C\end{array}\right|=0$

即：

|(R+λL)(P+λC)+I_n×n|＝0

将上式进一步展开为：

其中，

步骤22：设定R₀和L₀为零矩阵，且R和L为对称的，则R+λL的表达式为：

步骤23：当系统满足如下的方程组时，则系统是稳定的：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{dck}^{*}>-\frac{V_k^2}{R_k}\\ P_{dck}^{*}>-\frac{R_k{C}_k{V}_k^2}{L_k},(k=1,2,...n)\end{array}\right..$

与现有技术相比，本发明一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法具有以下优势：

1)该方法所采用的特征方程较传统的矩阵方程的计算量大为减少，可方便进行系统的在线稳定性评估；

2)该方法模型计及了端口电容和互联电缆的影响，可有效反映系统的稳态特性。

附图说明

图1为本发明所述直流配电网的结构示意图。

图2为本发明所述交直流混合配电网的等效电路图。

具体实施方式

下面结合附图进一步阐明本发明。

图1为本发明所述直流配电网的结构示意图，图1中的中央模块化多电平换流器(MMC)单元连接直流母线和交流网络，用于将交流电能转换为直流电能；实线形式的直流母线为直流配电网电力流的汇集母线，虚线形式的直流母线为直流配电网信息流的汇集母线，且虚线形式的直流母线经由能源管理单元与交流网络相连；一系列的dc-dc换流器用以连接光伏发电装置和混合动力汽车；各个电力电子器件经由电缆实现互联。

图2为本发明所述交直流混合配电网的等效电路图。图2中，L₀表示电源支路的电感，R₀表示电源支路的电阻，v_dc表示电源支路的等效电压；R₁、L₁分别表示第1个dc-dc换流器支路的电阻、电感，v₁表示网侧第1个dc-dc换流器的端电压，C₁表示第1个dc-dc换流器支路的电容，i₁表示第1个dc-dc换流器支路的电流，i_t1表示第1个换流器的电流，表示第1个dc-dc换流器的额定功率；R₂、L₂分别表示第2个dc-dc换流器支路的电阻、电感，v₂表示网侧第2个dc-dc换流器的端电压，C₂表示第2个dc-dc换流器支路的电容，i₂表示第2个dc-dc换流器支路的电流，i_t2表示第2个换流器的电流，表示第2个dc-dc换流器的额定功率；R₃、L₃分别表示第3个dc-dc换流器支路的电阻、电感，v₃表示网侧第3个dc-dc换流器的端电压，C₃表示第3个dc-dc换流器支路的电容，i₃表示第3个dc-dc换流器支路的电流，i_t3表示第3个换流器的电流，表示第3个dc-dc换流器的额定功率；R_n、L_n分别表示第n个dc-dc换流器支路的电阻、电感，v_n表示网侧第n个dc-dc换流器的端电压，C_n表示第n个dc-dc换流器支路的电容，i_n表示第n个dc-dc换流器支路的电流，i_tn表示第n个换流器的电流，表示第n个dc-dc换流器的额定功率。

本发明含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法包括以下步骤：

步骤1：第i个dc-dc换流器的电流i_ti计算公式为：

$i_{ti}=\frac{1}{v_i}{P}_{dci}^{*}$

其中，i＝1，2，…，n；n表示自然数；表示dc-dc换流器的额定功率；v_i表示网侧dc-dc换流器的端电压；

步骤2：描述直流配电网动态特性的微分代数方程为：

$\left\{\begin{array}{c}-v_i+R_i{i}_i+L_i\frac{{\mathrm{di}}_i}{dt}+L_0\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\frac{{\mathrm{di}}_k}{dt}+R_0\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{i}_k+v_{dc}=0\\ C_i\frac{{\mathrm{dv}}_i}{dt}=\frac{P_{dci}^{*}}{v_i}-i_i\end{array}\right.$

其中，d表示求导，t表示时间变量，R_i表示第i个dc-dc换流器支路的电阻，i_i表示第i个dc-dc换流器支路的电流，L_i表示第i个dc-dc换流器支路的电感，L₀表示电源支路的电感，R₀表示电源支路的电阻，v_dc表示电源支路的等效电压，C_i表示第i个dc-dc换流器支路的电容；

步骤3：将步骤2直流配电网动态特性的微分代数方程转换为矩阵形式：

$-v+R_{0}i+L_b\frac{di}{dt}+L_0\frac{di}{dt}+R_{0}i+v_{dc}=0$

其中，

步骤4：将步骤3的矩阵形式进行微分求导，并设定初始状态为零状态，可得：

V＝RI+V_dc

其中，R＝R₀+R_b；V表示v的稳态值，I表示i的稳态值，V_dc表示v_dc的稳态值；

步骤5：对步骤4的公式进行左乘I^T，可得：

$I^{T}V=I^{T}RI+I^T{V}_{dc}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{V}_i{I}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{P}_{dci}^{*}=P_T$

其中，上标T表示转置，P_T表示所有dc-dc换流器网侧输出的有功功率之和；

步骤5的公式描述了直流配电网的稳态潮流方程，I^TRI表示直流配电网中电缆上损耗的功率，I^TV_dc表示经由直流端口的模块化多电平换流器进入直流网络的功率；

步骤6：当I趋向于0时，P_T对I进行求导，可得：

$\frac{\&part;P_T}{\&part;I}{|}_{I=I_{ext}}=2{\mathrm{RI}}_{ext}+V_{dc}=0$

其中，表示偏微分，

步骤7：步骤6公式的二阶导数为2R，当R_i≠0时，R为对称正定，从而2R也为正定矩阵；因此，当I取值为I_ext时，由步骤5公式可求得P_T的最小值P_T，min，其计算公式为：

$P_{T,\min }=-\frac{1}{4}{V}_{dc}^T{R}^{-1}{V}_{dc}$

步骤8：系统是否处于稳定状态的判断公式为：

P_T≥P_T，min

若上式满足，则表示系统处于稳定状态；

步骤9：对步骤2的公式进行线性化处理，可得：

$C_i\frac{d\widetilde{v_i}}{dt}=-\frac{P_{dci}^{*}}{{V_i}^2}\widetilde{v_i}\widetilde{i_i}$

其中，～表示变量的小信号扰动分解值，V_i表示v_i的稳态值；

步骤10：步骤2公式的矩阵形式表示为：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{d\tilde{i}}{dt}=-R\tilde{i}-\tilde{v}\\ C\frac{d\tilde{v}}{dt}=-P\tilde{v}-\tilde{i}\end{array}\right.$

其中，L＝L₀+L_b，

当C_i≠0、L_i≠0，C和L均为对称正定矩阵；

步骤11：将步骤10中的公式写为状态空间方程，其具体形式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax$

其中，

步骤12：步骤11中的矩阵A的形式变换为：

$A=\left[\begin{array}{cc}-L^{-1}& 0_{n\&times;n}\\ 0_{n\&times;n}& -C^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& -I_{n\&times;n}\\ I_{n\&times;n}& P\end{array}\right]=N^{-1}M$

其中，N为对称正定矩阵；

步骤13：设λ为矩阵A的特征根，则步骤11中的方程变为：

Aw＝λw，w≠0

其中，w为矩阵A中对应于λ的特征向量；

步骤14：将步骤12中的A带入步骤13的公式中，可得：

N^-1Mw＝λw

步骤15：对步骤13的公式进行左乘N，可得：

Mw＝λNw

步骤16：对步骤15的公式进行共轭转置，可得：

$\stackrel{\&OverBar;}{w}{M}^T=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}\stackrel{\&OverBar;}{w}N$

其中，表示λ的共轭复数，表示w的共轭，M^T表示M的转置；

步骤17：对步骤15的公式进行左乘对步骤16的公式进行右乘w，可得：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{w}Mw=\mathrm{\&lambda;}\stackrel{\&OverBar;}{w}Nw\\ \stackrel{\&OverBar;}{w}{M}^{T}w=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}\stackrel{\&OverBar;}{w}Nw\end{array}\right.$

步骤18：将步骤17的公式中对应的虚部列出等式方程为：

$\stackrel{\&OverBar;}{w}(M+M^T)w=2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\stackrel{\&OverBar;}{w}Nw$

当(M+M^T)为正定矩阵时，λ的实部为负，从而步骤18的公式可变为：

$\stackrel{\&OverBar;}{w}(M+M^T)w=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{-}{w_1}& \stackrel{-}{w_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2R& 0_{n\&times;n}\\ 0_{n\&times;n}& 2P\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]=2\stackrel{-}{w_1}{\mathrm{Rw}}_1+2\stackrel{-}{w_2}{\mathrm{Pw}}_2$

其中，

步骤19：当P为正定时，由下式判断系统是否稳定：

$P>0\&DoubleRightArrow;\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)<0$

步骤20：步骤15的公式变为：

(M-λN)w＝0，w≠0

步骤21：将M、N带入到步骤11-步骤20的公式中，可得：

$\left|\begin{array}{cc}R+\mathrm{\&lambda;}L& -I_{n\&times;n}\\ I_{n\&times;n}& P+\mathrm{\&lambda;}C\end{array}\right|=0$

即：

|(R+λL)(P+λC)+I_n×n|＝0

将上式进一步展开为：

其中，

步骤22：设定R₀和L₀为零矩阵，且R和L为对称的，则R+λL的表达式为：

步骤23：当系统满足如下的方程组时，则系统是稳定的：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{dck}^{*}>-\frac{V_k^2}{R_k}\\ P_{dck}^{*}>-\frac{R_k{C}_k{V}_k^2}{L_k},(k=1,2,...n)\end{array}\right..$

Claims (1)

1.一种含混合动力汽车的直流配电网稳态建模方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：第i个dc-dc换流器的电流i_ti计算公式为：

$i_{ti}=\frac{1}{v_i}{P}_{dci}^{*}$

其中，i＝1，2，…，n；n表示自然数；表示dc-dc换流器的额定功率；v_i表示网侧dc-dc换流器的端电压；

步骤2：描述直流配电网动态特性的微分代数方程为：

$\left\{\begin{array}{c}-v_i+R_i{i}_i+L_i\frac{{\mathrm{di}}_i}{dt}+L_0\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\frac{{\mathrm{di}}_k}{dt}+R_0\underset{k=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{i}_k+v_{dc}=0\\ C_i\frac{{\mathrm{dv}}_i}{dt}=\frac{P_{dci}^{*}}{v_i}-i_i\end{array}\right.$

其中，d表示求导，t表示时间变量，R_i表示第i个dc-dc换流器支路的电阻，i_i表示第i个dc-dc换流器支路的电流，L_i表示第i个dc-dc换流器支路的电感，L₀表示电源支路的电感，R₀表示电源支路的电阻，v_dc表示电源支路的等效电压，C_i表示第i个dc-dc换流器支路的电容；

步骤3：将步骤2直流配电网动态特性的微分代数方程转换为矩阵形式：

$-v+R_{b}i+L_b\frac{di}{dt}+L_0\frac{di}{dt}+R_{0}i+v_{dc}=0$

其中，

步骤4：将步骤3的矩阵形式进行微分求导，并设定初始状态为零状态，可得：

V＝RI+V_dc

其中，R＝R₀+R_b；V表示v的稳态值，I表示i的稳态值，V_dc表示v_dc的稳态值；

步骤5：对步骤4的公式进行左乘I^T，可得：

$I^{T}V=I^{T}RI+I^T{V}_{dc}=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{V}_i{I}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{P}_{dci}^{*}=P_T$

其中，上标T表示转置，P_T表示所有dc-dc换流器网侧输出的有功功率之和；

步骤5的公式描述了直流配电网的稳态潮流方程，I^TRI表示直流配电网中电缆上损耗的功率，I^TV_dc表示经由直流端口的模块化多电平换流器进入直流网络的功率；

步骤6：当I趋向于0时，P_T对I进行求导，可得：

$\frac{\&part;P_T}{\&part;I}{|}_{I=I_{ext}}=2{\mathrm{RI}}_{e\&times;t}+V_{dc}=0$

其中，表示偏微分，

步骤7：步骤6公式的二阶导数为2R，当R_i≠0时，R为对称正定，从而2R也为正定矩阵；因此，当I取值为I_ext时，由步骤5公式可求得P_T的最小值P_T，min，其计算公式为：

$P_{T,\min }=-\frac{1}{4}{V}_{dc}^T{R}^{-1}{V}_{dc}$

步骤8：系统是否处于稳定状态的判断公式为：

P_T≥P_T，min

若上式满足，则表示系统处于稳定状态；

步骤9：对步骤2的公式进行线性化处理，可得：

$C_i\frac{d\widetilde{v_i}}{dt}=-\frac{P_{dci}^{*}}{V_i^2}\widetilde{v_i}-\widetilde{i_i}$

其中，～表示变量的小信号扰动分解值，V_i表示v_i的稳态值；

步骤10：步骤2公式的矩阵形式表示为：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{d\tilde{i}}{dt}=-R\tilde{i}-\tilde{v}\\ C\frac{d\tilde{v}}{dt}=-P\tilde{v}-\tilde{i}\end{array}\right.$

其中，L＝L₀+L_b， 当C_i≠0、L_i≠0，C和L均为对称正定矩阵；

步骤11：将步骤10中的公式写为状态空间方程，其具体形式为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax$

其中，

步骤12：步骤11中的矩阵A的形式变换为：

$A=\left[\begin{array}{cc}-L^{-1}& 0_{n\&times;n}\\ 0_{n\&times;n}& -C^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}R& -I_{n\&times;n}\\ I_{n\&times;n}& P\end{array}\right]=N^{-1}M$

其中，N为对称正定矩阵；

步骤13：设λ为矩阵A的特征根，则步骤11中的方程变为：

Aw＝λw，w≠0

其中，w为矩阵A中对应于λ的特征向量；

步骤14：将步骤12中的A带入步骤13的公式中，可得：

N^-1Mw＝λw

步骤15：对步骤13的公式进行左乘N，可得：

Mw＝λNw

步骤16：对步骤15的公式进行共轭转置，可得：

$\stackrel{-}{w}{M}^T=\stackrel{-}{\mathrm{\&lambda;}}\stackrel{-}{w}N$

其中，表示λ的共轭复数，表示w的共轭，M^T表示M的转置；

步骤17：对步骤15的公式进行左乘对步骤16的公式进行右乘w，可得：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{-}{w}Mw=\mathrm{\&lambda;}\stackrel{-}{w}Nw\\ \stackrel{-}{w}{M}^{T}w=\stackrel{-}{\mathrm{\&lambda;}}\stackrel{-}{w}Nw\end{array}\right.$

步骤18：将步骤17的公式中对应的虚部列出等式方程为：

$\stackrel{-}{w}(M+M^T)w=2\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\stackrel{-}{w}Nw$

当(M+M^T)为正定矩阵时，λ的实部为负，从而步骤18的公式可变为：

$\stackrel{-}{w}(M+M^T)w=\&lsqb;\begin{array}{cc}\stackrel{-}{w_1}& \stackrel{-}{w_2}\end{array}\&rsqb;\left[\begin{array}{cc}2R& 0_{n\&times;n}\\ 0_{n\&times;n}& 2P\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]=2\stackrel{-}{w_1}{\mathrm{Rw}}_1+2\stackrel{-}{w_2}{\mathrm{Pw}}_2$

其中，

步骤19：当P为正定时，由下式判断系统是否稳定：

$P>0\&DoubleRightArrow;\mathrm{Re}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)<0$

步骤20：步骤15的公式变为：

(M-λN)w＝0，w≠0

步骤21：将M、N带入到步骤11-步骤20的公式中，可得：

$\left|\begin{array}{cc}R+\mathrm{\&lambda;}L& -I_{n\&times;n}\\ I_{n\&times;n}& P+\mathrm{\&lambda;}C\end{array}\right|=0$

即：

|(R+λL)(P+λC)+I_n×n|＝0

将上式进一步展开为：

其中，

步骤22：设定R₀和L₀为零矩阵，且R和L为对称的，则R+λL的表达式为：

步骤23：当系统满足如下的方程组时，则系统是稳定的：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{dck}^{*}>-\frac{V_k^2}{R_k}\\ P_{dck}^{*}>-\frac{R_k{C}_k{V}_k^2}{L_k},(k=1,2,...n)\end{array}\right..$