CN106074086A - 一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于自动控制技术领域，涉及一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法。本发明在模型参数存在不确定性的情况下，为使髋关节康复机器人能够保证对患者在适当的速度下进行康复训练设计了自适应控制律，其主要步骤为：(1)根据人体髋关节生理机能，设计康复训练的期望跟踪轨迹；(2)根据康复训练的期望跟踪轨迹，限定在动态过程中各驱动器的输出变化范围；(3)给出动力学方程中的未知函数和未知控制增益的界函数；(4)计算轨迹跟踪误差以及速度跟踪误差；(5)利用分层模糊逻辑系统和模糊逻辑系统设计控制律。该方法具有安全可靠、控制精度高和实时性好的优点。

Description

一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法

技术领域

本发明涉及自动控制技术领域，具体涉及一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法。

背景技术

近年，随着社会老龄化的加剧，由中风、脊髓损伤、脑外伤等原因造成的肢体残障人口迅速增加。然而，我国现有康复医疗资源紧缺，国内普遍采用的康复治疗方法存在人员消耗大、康复周期长等问题。康复机器人与智能辅助系统的研发有望有效缓解康复医疗资源供需矛盾。

髋关节是人体中承上启下的重要骨关节，它是多轴性关节，能做屈伸、收展、旋转运动。若髋关节发生病变，髋的内旋和屈伸活动就会受到限制。除髋关节本身的损伤之外，患过中风、脊椎损伤以及经过某些外科手术的病人也往往需要进行必要的髋关节康复医疗。尽管人们在机器人辅助康复训练的研究与推广方面已取得了许多成果，然而，正如文献“康复机器人的同步主动交互控制与实现”(见《自动化学报》，2015年第11期，作者：彭亮，侯增广，王卫群)所述：相对于人工方式，其康复效果并没有显著提高；除了平台本身不够完善之外，更重要的是缺乏针对康复机器人的控制方法。

新近，文献“HipBot—The design,development and control of a therapeuticrobot for hip rehabilitation”(见《Mechatronics》，2015年第30卷，作者：C.H.Guzmán-Valdivia,等)结合人体髋关节生物动力学特点设计了一种结构简单的机电一体化髋关节康复机器人，并给出了PID控制方法。这种康复机器人能够执行内收/外展以及屈/伸这些髋关节最重要的康复运动训练任务；该机器人含有1个主动转动关节和4个主动移动关节，转动关节用来实现内收/外展活动，移动关节用来实现屈/伸运动，机器人底部装配1个旋转驱动器和4个线性驱动器构成机电一体化系统；供病人穿的含有3个内置被动关节的靴子为其终端装置；这种机器人能够分别对左、右髋关节进行康复训练，其工作原理图和驱动器的结构图见该文献中的图3。然而，所给出的控制方法需要精确的数学模型；但正如文献“不确定移动机器人编队间接自适应模糊动力学控制”(见《控制与决策》，2010年第12期，作者：吴孔逸，霍伟)所指出的那样：机器人的动力学模型通常都不是精确已知的，因此还应针对模型不确定的情况给出控制方法。此外，该文献没有考虑康复训练过程中的跟踪速度问题，如果跟踪速度过快，患者可能感到不适，甚至不安全。为解决这些问题，本发明提出了综合考虑轨迹跟踪与速度跟踪的髋关节康复机器人模糊自适应控制方法，该控制方法能保证康复者在适当的速度下进行康复训练。

发明内容

本发明的目的是基于人体髋关节活动特点，在模型参数不确定的情况下，提供一种实时性好，控制精度高，且能保证闭环系统稳定性的一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法。

实现本发明目的的技术方案是：一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法，应用于髋关节康复机器人，所述髋关节康复机器人包括1个旋转驱动器、4个线性驱动器，所述旋转驱动器用来驱动机器人的主动转动关节以训练患者髋关节的内收、外展运动，所述线性驱动器用来驱动机器人的主动移动关节以训练患者髋关节的屈、伸运动，该髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法通过以下步骤实现：

步骤1，根据人体髋关节生理机能，设计康复训练的期望跟踪轨迹如下：

步骤1.1，为训练右髋关节的内收与外展活动能力，将髋关节康复机器人的旋转驱动器即驱动器1的期望跟踪轨迹设计为

${\mathrm{\θ}}^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\π}}{6T_1}t,& t\≤T_1\\ \frac{\mathrm{\π}}{6}-\frac{\mathrm{\π}}{6}\frac{1}{T_2-T_1}(t-T_1),& T_1\≤t\≤T_2\\ -\frac{\mathrm{\π}}{4}\frac{1}{T_3-T_2}(t-T_2),& T_2\≤t\≤T_3\\ -\frac{\mathrm{\π}}{4}+\frac{\mathrm{\π}}{4}\frac{1}{T_4-T_3}(t-T_3),& T_3\≤t\≤T_4\end{array}\right.---\left(1\right)$

(1)式中，t为训练时间，T₁,T₂,T₃为内收、外展的转折时刻，T₄代表完成内收、外展活动一个训练周期的时刻；诸T_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸T_i越大；

将(1)式中的与互换,即得训练左髋关节的内收与外展活动能力的期望跟踪轨迹；

步骤1.2，为训练髋关节的屈、伸运动能力，将髋关节康复机器人的第i个线性驱动器即驱动器i(i＝2,3,4,5)的期望跟踪轨迹设计为

$d_i^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& t\&le;t_1\\ \frac{h_i}{t_2-t_1}(t-t_1),& t_1<t\&le;t_2\\ h_i-\frac{h_i}{t_3-t_2}(t-t_2),& t_2<t\&le;t_3\\ 0,& t_3<t\&le;t_4\end{array}\right.---\left(2\right)$

(2)式中的i＝2,4,5；

$d_3^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& t\&le;t_1\\ -\frac{h_3}{t_2-t_1}(t-t_1),& t_1<t\&le;t_2\\ -h_3+\frac{h_3}{t_3-t_2}(t-t_2),& t_2<t\&le;t_3\\ 0,& t_3<t\&le;t_4\end{array}\right.---\left(3\right)$

(2)式与(3)式中，t₁,t₂,t₃为屈、伸的转折时刻，t₄代表完成屈、伸活动一个训练周期的时刻，诸t_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸t_i越大；诸h_i＞0为设计参数，视小腿所能抬起的最大高度和驱动器i的最大位移而定；

步骤2，根据康复训练的期望跟踪轨迹，限定在动态过程中各驱动器位移的变化范围；

步骤3，根据髋关节康复机器人动力学方程中未知参数的变化范围，给出其动力学方程中的未知函数f(x)的界函数f^U(x)以及未知控制增益g(d₃)的上界函数g^U(d₃)和下界函数g^L(d₃)；即f^U(x)，g^U(d₃)和g^L(d₃)满足：

|f(x)|≤f^U(x)，0＜g^L(d₃)≤g(d₃)≤g^U(d₃)， (4)

其中髋关节康复机器人动力学方程为

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=f\left(x\right)+g\left(d_3\right){\mathrm{\&tau;}}_1,---\left(5a\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_i=-g+b_i{F}_i,i=2,4,5,---\left(5b\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_3=b_3{F}_3,---\left(5c\right)$

(5)式中：T为转置符号；θ为旋转驱动器的角位移，即驱动器1的输出；d₂,d₄,d₅分别为线性驱动器2,线性驱动器4,线性驱动器5在铅直方向上的位移,即分别为驱动器2,驱动器4,驱动器5的输出；d₃为线性驱动器3在水平方向上的位移，即驱动器3的输出；τ₁为驱动器1的驱动力矩，是系统的输入,F₂,F₃,F₄,F₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的驱动力，是系统的输入；g为重力加速度；

$f\left(x\right)=\frac{-2m_{3}a{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3-2m_3{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3^2}{J+w_m{a}^2+2m_3{\mathrm{ad}}_3+m_3{d}_3^2}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},---\left(6\right)$

$g\left(d_3\right)=\frac{1}{J+w_m{a}^2+2m_3{\mathrm{ad}}_3+m_3{d}_3^2},---\left(7\right)$

$b_2=\frac{1}{w_m},b_i=\frac{1}{m_i},i=3,4,5;---\left(8\right)$

其中,J为整个机器人的转动惯量；m₂,m₃,m₄,m₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的质量,w_m＝m₂+m₃；a为驱动器1的中心到机器人铅直中轴线的距离，满足2a＞|d₃|；并且，转动惯量J,质量m₂,m₃,m₄,m₅,距离a均为未知的正参数,但这些参数的界是已知的,且有:

J^-＜J＜J⁺,a^_＜a＜a⁺；

且J^-,J⁺,a^-,a⁺均为已知的正常数；

步骤4，计算轨迹跟踪误差：e₁＝θ_r(t)-θ,

步骤5，计算速度跟踪误差：

步骤6，给定一组正数α_i和β_i，并选取一组具有负实部的复数λ_i1，且满足λ_i1+α_i＜0，取λ_i2为λ_i1的共轭复数，再取k_i1＝-λ_i1-λ_i2，k_i2＝λ_i1·λ_i2，i＝1,2,3,4,5；

步骤7，选取列向量选取矩阵并给定2阶正定对称矩阵解李雅普诺夫方程

(A_i+α_iI)^TP_i+P_i(A_i+α_iI)＝-Q_i, (9)

得到正定解：P_i的元素由(10)式确定：

$\left[\begin{array}{c}{p}_{i11}\\ p_{i11}\\ p_{i22}\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}-q_{i11}\\ -q_{i12}\\ -q_{i22}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{ccc}2{\mathrm{\&alpha;}}_i& -2k_{i2}& 0\\ 1& -k_{i1}+2{\mathrm{\&alpha;}}_i& -k_{i2}\\ 0& 2& -2k_{i1}+2{\mathrm{\&alpha;}}_i\end{array}\right];---\left(10\right)$

(9)式中，I为2阶单位矩阵；

步骤8，利用分层模糊逻辑系统设计控制律τ₁:

步骤8.1，用两层模糊系统来逼近f(x),的表达式为

$\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})={\mathrm{\&theta;}}_{f2}^T{\mathrm{\&xi;}}_{f2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1),---\left(11\right)$

(11)式中, d₃为第1层模糊系统的输入,z₁为第1层模糊系统的输出,第2层模糊系统的输入为和z₁；且

${\mathrm{\&xi;}}_{f1}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)={\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{f1}^1(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3),...,{\mathrm{\&xi;}}_{f1}^{L_1}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)\&rsqb;}^T,{\mathrm{\&xi;}}_{f2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)={\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{f2}^1({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1),...,{\mathrm{\&xi;}}_{f2}^{L_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)\&rsqb;}^T,$

其中，L₁为第1层模糊系统中所含的模糊规则数目，L₂为第2层模糊系统中所含的模糊规则数目,和均为模糊基函数,L₁维参数列向量θ_f1和L₂维参数列向量θ_f2均通过自适应律来调节；

用模糊逻辑系统来逼近g(d₃)，的表达式为

$\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)={\mathrm{\&theta;}}_g^T{\mathrm{\&xi;}}_g\left(d_3\right),---\left(12\right)$

(12)式中,ξ_g(d₃)＝(ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃))^T,M为模糊规则数目,ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃)为模糊基函数，M维参数列向量θ_g通过自适应律来调节；

步骤8.2，设计控制律τ₁：

τ₁＝u_c1+u_r1+u_s1, (13)

(13)式中，u_c1为模糊控制项；u_s1为监督控制项，u_r1为误差补偿控制项，分别设计为

$u_{c1}=\frac{-\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})-{\hat{f}}_1\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f1})+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1}{\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)},---\left(14\right)$

其中，

$u_{r1}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_1}{{\mathrm{\&alpha;}}_1{g}_L\left(d_3\right)}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^T{P}_{1}B,---\left(15\right)$

$u_{s1}=I_1^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^T{P}_{1}B\right)\frac{1}{g^L\left(d_3\right)}\&lsqb;\left|\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})\right|+f^U\left(x\right)+\left|{\hat{f}}_1\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f1})\right|+\left|\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)u_{c1}\right|+\left|g^U\left(d_3\right)u_{c1}\right|\&rsqb;,---\left(16\right)$

(16)式中:当时,当时, 为设计者取定的一个正常量；符号的含义是：当时,当时,

步骤9，利用模糊系统设计控制律F_i(i＝2,3,4,5):

将控制律F_i设计为

F_i＝u_ci+u_ri+u_si,i＝2,3,4,5； (17)

(17)式中，为模糊控制项，M_i为模糊规则数目,为模糊基函数；M_i维参数列向量θ_i通过自适应律来调节；u_si为监督控制项，u_ri误差补偿控制项，u_ri,u_si分别设计为

$u_{ri}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_i}{{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i^T{P}_{i}B,i=2,3,4,5,---\left(18\right)$

(18)式中，

$u_{s3}=I_3^{*}\mathrm{sgn}\left({{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_3}^T{P}_{3}B\right)\&lsqb;\left|u_{c3}\right|+m_3^{+}|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_3^r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_3}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_3|\&rsqb;,---\left(19\right)$

$u_{si}=I_i^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i^T{P}_{i}B\right)\&lsqb;\left|u_{ci}\right|+m_i^{+}(g+|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_i^r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_i}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i\left|\right)\&rsqb;,i=2,4,5;---\left(20\right)$

(19)、(20)两式中:当时，当时 为设计者给定的正常量；符号的含义是：当时，当时,

本发明的有益效果是：

①首次根据人体髋关节生理特点，设计了期望的康复训练跟踪轨迹，为髋关节康复机器人的控制器设计打下了基础。

②首次针对髋关节康复机器人模型参数不确定的情况，提出了自适应控制方法，该方法控制精度高，且系统达到稳态的时间极短。

③本发明提出的控制方法综合考虑了轨迹跟踪与速度跟踪问题，从而实现了髋关节康复机器人在安全速度下的轨迹跟踪，避免了过快的速度可能给患者带来的不适。

④由于控制结构中使用了分层模糊系统，避免了处理含有多个输入变量的系统时，模糊控制器中规则数目随系统变量个数呈指数增长的问题，使规则数目大大减少，便于实时控制。

⑤本发明提出的控制方法可保证闭环系统的稳定性。

附图说明

图1为本发明实施例中驱动器1的输出θ对其期望轨迹的跟踪曲线图；

图2为本发明实施例中驱动器1的输出对其期望轨迹的跟踪速度的曲线图；

图3为本发明实施例中驱动器2的输出d₂对其期望轨迹的跟踪曲线图；

图4为本发明实施例中驱动器2的输出对其期望轨迹的跟踪速度的曲线图；

图5为本发明实施例中驱动器3的输出d₃对其期望轨迹的跟踪曲线图；

图6为本发明实施例中驱动器3的输出对其期望轨迹的跟踪速度的曲线图；

图7为本发明实施例中驱动器4的输出d₄对其期望轨迹的跟踪曲线图；

图8为本发明实施例中驱动器4的输出对其期望轨迹的跟踪速度的曲线图；

图9为本发明实施例中驱动器5的输出d₅对其期望轨迹的跟踪曲线图；

图10为本发明实施例中驱动器5的输出对其期望轨迹的跟踪速度的曲线图。

具体实施方式

为使本发明的内容和技术方案更加清楚明白，以下结合实施例对本发明进一步详细说明。

实施例：

本一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法，应用于髋关节康复机器人，所述髋关节康复机器人包括1个旋转驱动器、4个线性驱动器，所述旋转驱动器用来驱动机器人的主动转动关节以训练患者髋关节的内收、外展运动，所述线性驱动器用来驱动机器人的主动移动关节以训练患者髋关节的屈、伸运动，该髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法通过以下步骤实现：

步骤1，根据人体髋关节生理机能，设计康复训练的期望跟踪轨迹如下：

步骤1.1，为训练右髋关节的内收与外展活动能力，将髋关节康复机器人的旋转驱动器即驱动器1的期望跟踪轨迹设计为

${\mathrm{\&theta;}}^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&pi;}}{6T_1}t,& t\&le;T_1\\ \frac{\mathrm{\&pi;}}{6}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{6}\frac{1}{T_2-T_1}(t-T_1),& T_1\&le;t\&le;T_2\\ -\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\frac{1}{T_3-T_2}(t-T_2),& T_2\&le;t\&le;T_3\\ -\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\frac{1}{T_4-T_3}(t-T_3),& T_3\&le;t\&le;T_4\end{array}\right.---\left(1\right)$

(1)式中，t为训练时间，T₁,T₂,T₃为内收、外展的转折时刻，T₄代表完成内收、外展活动一个训练周期的时刻；诸T_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸T_i越大；

将(1)式中的与互换,即得训练左髋关节的内收与外展活动能力的期望跟踪轨迹。

在实施例中，取T₁＝2秒,T₂＝3.5秒,T₃＝7秒,T₄＝10秒；并以训练右髋关节的内收与外展活动能力为例进行仿真实验。

步骤1.2，为训练髋关节的屈、伸运动能力，将髋关节康复机器人的第i个线性驱动器即驱动器i(i＝2,3,4,5)的期望跟踪轨迹设计为

$d_i^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& t\&le;t_1\\ \frac{h_i}{t_2-t_1}(t-t_1),& t_1<t\&le;t_2\\ h_i-\frac{h_i}{t_3-t_2}(t-t_2),& t_2<t\&le;t_3\\ 0,& t_3<t\&le;t_4\end{array}\right.---\left(2\right)$

(2)式中的i＝2,4,5；

$d_3^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& t\&le;t_1\\ -\frac{h_3}{t_2-t_1}(t-t_1),& t_1<t\&le;t_2\\ -h_3+\frac{h_3}{t_3-t_2}(t-t_2),& t_2<t\&le;t_3\\ 0,& t_3<t\&le;t_4\end{array}\right.---\left(3\right)$

(2)式与(3)式中，t₁,t₂,t₃为屈、伸的转折时刻，t₄代表完成屈、伸活动一个训练周期的时刻，诸t_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸t_i越大；诸h_i＞0为设计参数，视小腿所能抬起的最大高度和驱动器i的最大位移而定。

在实施例中，取t₁＝2秒,t₂＝3.5秒,t₃＝7秒，t₄＝10秒，h₂＝h₄＝0.19米，h₃＝0.2米，h₅＝0.08米。

步骤2，根据康复训练的期望跟踪轨迹，限定在动态过程中各驱动器位移的变化范围；

在实施例中，限定在动态过程中，-π/4≤θ≤π/4,-0.25≤d₃≤0.05,-0.05≤d_i≤0.25,i＝2,4,5；d_i的上、下限其单位均为米；及诸的变化范围分别与θ及d_i的变化范围相同。

步骤3，根据髋关节康复机器人动力学方程中未知参数的变化范围，给出其动力学方程中的未知函数f(x)的界函数f^U(x)以及未知控制增益g(d₃)的上界函数g^U(d₃)和下界函数g^L(d₃)；即f^U(x)，g^U(d₃)和g^L(d₃)满足：

|f(x)|≤f^U(x)，0＜g^L(d₃)≤g(d₃)≤g^U(d₃)， (4)

其中髋关节康复机器人动力学方程为

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=f\left(x\right)+g\left(d_3\right){\mathrm{\&tau;}}_1,---\left(5a\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_i=-g+b_i{F}_i,i=2,4,5,---\left(5b\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_3=b_3{F}_3,---\left(5c\right)$

(5)式中：T为转置符号；θ为旋转驱动器的角位移，即驱动器1的输出；d₂,d₄,d₅分别为线性驱动器2,线性驱动器4,线性驱动器5在铅直方向上的位移,即分别为驱动器2,驱动器4,驱动器5的输出；d₃为线性驱动器3在水平方向上的位移，即驱动器3的输出；τ₁为驱动器1的驱动力矩，是系统的输入,F₂,F₃,F₄,F₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的驱动力，是系统的输入；g为重力加速度；

$f\left(x\right)=\frac{-2m_{3}a{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3-2m_3{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3^2}{J+w_m{a}^2+2m_3{\mathrm{ad}}_3+m_3{d}_3^2}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},---\left(6\right)$

$g\left(d_3\right)=\frac{1}{J+w_m{a}^2+2m_3{\mathrm{ad}}_3+m_3{d}_3^2},---\left(7\right)$

$b_2=\frac{1}{w_m},b_i=\frac{1}{m_i},i=3,4,5;---\left(8\right)$

其中,J为整个机器人的转动惯量；m₂,m₃,m₄,m₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的质量,w_m＝m₂+m₃；a为驱动器1的中心到机器人铅直中轴线的距离，满足2a＞|d₃|；并且，转动惯量J,质量m₂,m₃,m₄,m₅,距离a均为未知的正参数,但这些参数的界是已知的,且有:

J^-＜J＜J⁺,a^-＜a＜a⁺；

且J^-,J⁺,a^-,a⁺均为已知的正常数。

康复机器人动力学模型中的各个参数值见文献“HipBot—The design,development and control of a therapeutic robot for hip rehabilitation”(C.H.Guzmán-Valdivia,A.Blanco-Ortega,M.A.Oliver-Salazar,F.A.Gómez-Becerra.Mechatronics,2015,55-64)。

在实施例中，假设机器人动力学模型中的参数均未知,但它们的上下界是已知的；即a^-＝0.9a,a⁺＝1.1a,J^-＝0.9J,J⁺＝1.2J。根据(6)式和(7)式，f^U(x)，g^U(d₃)和g^L(d₃)分别取为

$f^U\left(x\right)=\frac{2m_3^{+}a\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3\right|+2m_3^{+}\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3^2\right|}{J^{-}+m_2^{-}{\left(a^{-}\right)}^2}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right|,g^U\left(d_3\right)=\frac{1}{J^{-}+m_2^{-}{\left(a^{-}\right)}^2},$

$g^L\left(d_3\right)=\frac{1}{J^{+}+(m_2^{+}+m_3^{+}){\left(a^{+}\right)}^2+4m_3^{+}{\left(a^{+}\right)}^2+m_3^{+}{d}_3^2};$

步骤4，计算轨迹跟踪误差：e₁＝θ_r(t)-θ,

步骤5，计算速度跟踪误差：

步骤6，给定一组正数α_i和β_i，并选取一组具有负实部的复数λ_i1，且满足λ_i1+α_i＜0，取λ_i2为λ_i1的共轭复数，再取k_i1＝-λ_i1-λ_i2，k_i2＝λ_i1·λ_i2，i＝1,2,3,4,5。

在实施例中，取α_i＝0.2，β₁＝β₂＝β₄＝β₅＝20，β₃＝40，取此处，j为虚数单位，则k_i1＝1，k_i2＝2。

步骤7，选取列向量选取矩阵并给定2阶正定对称矩阵解李雅普诺夫方程

(A_i+α_iI)^TP_i+P_i(A_i+α_iI)＝-Q_i, (9)

得到正定解：P_i的元素由(10)式确定：

$\left[\begin{array}{c}{p}_{i11}\\ p_{i12}\\ p_{i22}\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}-q_{i11}\\ -q_{i12}\\ -q_{i22}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{ccc}2{\mathrm{\&alpha;}}_i& -2k_{i2}& 0\\ 1& -k_{i1}+2{\mathrm{\&alpha;}}_i& -k_{i2}\\ 0& 2& -2k_{i1}+2{\mathrm{\&alpha;}}_i\end{array}\right];---\left(10\right)$

(9)式中，I为2阶单位矩阵；在实施例中，取则

步骤8，利用分层模糊逻辑系统设计控制律τ₁:

步骤8.1，用两层模糊系统来逼近f(x),的表达式为

$\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})={\mathrm{\&theta;}}_{f2}^T{\mathrm{\&xi;}}_{f2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1),---\left(11\right)$

(11)式中, d₃为第1层模糊系统的输入,z₁为第1层模糊系统的输出,第2层模糊系统的输入为和z₁；且

${\mathrm{\&xi;}}_{f1}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)={\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{f1}^1(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3),...,{\mathrm{\&xi;}}_{f1}^{L_1}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)\&rsqb;}^T,{\mathrm{\&xi;}}_{f2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)={\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{f2}^1({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1),...,{\mathrm{\&xi;}}_{f2}^{L_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)\&rsqb;}^T,$

其中，L₁为第1层模糊系统中所含的模糊规则数目，L₂为第2层模糊系统中所含的模糊规则数目，和均为模糊基函数，其表达式分别为

${\mathrm{\&xi;}}_{f1}^l(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{A_1^l}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right){\mathrm{\&mu;}}_{A_2^l}\left(d_3\right)}{\underset{l=1}{\overset{L_1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_1^l}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right){\mathrm{\&mu;}}_{A_2^l}\left(d_3\right)},l=1,2,...,L_1;$

${\mathrm{\&xi;}}_{f2}^n({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{A_3^n}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3\right){\mathrm{\&mu;}}_{B_1^n}\left(z_1\right)}{\underset{l=1}{\overset{L_2}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_3^n}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3\right){\mathrm{\&mu;}}_{B_1^n}\left(z_1\right)},n=1,2,...,L_2;$

均为模糊集,分别为 对应的隶属函数；L₁维参数列向量θ_f1和L₂维参数列向量θ_f2分别通过如下自适应律(11—1)式、(11—2)式来调节：

其中，

在以上自适应律中γ_f1,γ_f2＞0都是调节增益，M_f1和M_f2是设计者取定的正数。

用模糊逻辑系统来逼近g(d₃)，的表达式为

$\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)={\mathrm{\&theta;}}_g^T{\mathrm{\&xi;}}_g\left(d_3\right),---\left(12\right)$

(12)式中,ξ_g(d₃)＝(ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃))^T,M为模糊规则数目,ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃)为模糊基函数,其表达式为 为对应于F^k的隶属函数；M维参数列向量θ_g通过如下自适应律(12—1)式和(12—2)式来调节：

当θ_g的某一分量θ_gi＝ε时，采用

其中u_c1按式(14)确定,ε＞0为设计参数，由g^L(d₃)的值和模糊规则数目来确定；

否则,采用

其中，γ_g＞0是调节增益，M_g是设计者取定的正数。

在实施例中，由步骤3知：的论域为[-π/4,π/4]，在其上取5个模糊集合，相应的隶属函数为

${\mathrm{\&mu;}}_{A_1^1}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&pi;}/4}{\mathrm{\&pi;}/8}\right)}^2\right\},{\mathrm{\&mu;}}_{A_1^2}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\mathrm{\&pi;}/8}{\mathrm{\&pi;}/8}\right)}^2\right\},$

${\mathrm{\&mu;}}_{A_1^3}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&pi;}/8}\right)}^2\right\},{\mathrm{\&mu;}}_{A_1^4}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&pi;}/8}{\mathrm{\&pi;}/8}\right)}^2\right\},$

${\mathrm{\&mu;}}_{A_1^5}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{\mathrm{\&theta;}-\mathrm{\&pi;}/4}{\mathrm{\&pi;}/8}\right)}^2\right\}.$

在d₃的论域[-0.25,0.05]上取4个模糊集合，相应的隶属函数为

${\mathrm{\&mu;}}_{A_2^k}\left(d_3\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{d_3+0.25-0.1(k-1)}{0.1}\right)}^2\right\},k=1,2,3,4;$

在的论域[-0.25,0.05]上也取4个模糊集合，相应的隶属函数为

${\mathrm{\&mu;}}_{A_3^k}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3+0.25-0.1(k-1)}{0.1}\right)}^2\right\},k=1,2,3,4;$

z₁的论域为[0,1](参见文献：孙多青,霍伟.具有任意形状隶属函数的分层模糊系统逼近性能研究.控制理论与应用,2003,20(3):377-381)，在其上取5个模糊集合,相应的隶属函数为

${\mathrm{\&mu;}}_{B^k}\left(z_1\right)=\exp \&lsqb;-16{(z_1-0.25(k-1\left)\right)}^2\&rsqb;,k=1,2,3,4,5;$

对于用来逼近g(d₃)的模糊逻辑系统在d₃的论域[-0.25,0.05]上也取4个模糊集合,且相应的隶属函数为

步骤8.2，设计控制律τ₁：

τ₁＝u_c1+u_r1+u_s1, (13)

(13)式中，u_c1为模糊控制项；u_s1为监督控制项，u_r1为误差补偿控制项，分别设计为

$u_{c1}=\frac{-\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})-{\hat{f}}_1\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f1})+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1}{\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)},---\left(14\right)$

其中，

$u_{r1}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_1}{{\mathrm{\&alpha;}}_1{g}_L\left(d_3\right)}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^T{P}_{1}B,---\left(15\right)$

$u_{s1}=I_1^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^T{P}_{1}B\right)\frac{1}{g^L\left(d_3\right)}\&lsqb;\left|\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})\right|+f^U\left(x\right)+\left|{\hat{f}}_1\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f1})\right|+\left|\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)u_{c1}\right|+\left|g^U\left(d_3\right)u_{c1}\right|\&rsqb;,---\left(16\right)$

(16)式中:当时,当时, 为设计者取定的一个正常量；符号的含义是：当时,当时,在实施例中，取

步骤9，利用模糊系统设计控制律F_i(i＝2,3,4,5):

将控制律F_i设计为

F_i＝u_ci+u_ri+u_si,i＝2,3,4,5； (17)

(17)式中，为模糊控制项，M_i为模糊规则数目,为模糊基函数,其表达式为

${\mathrm{\&xi;}}_{il}\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i\right)=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{F_{i1}^l}\left(d_i\right){\mathrm{\&mu;}}_{F_{i2}^l}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\right)}{\underset{l=1}{\overset{M_i}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_{F_{i1}^l}\left(d_i\right){\mathrm{\&mu;}}_{F_{i2}^l}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\right)},i=2,3,4,5;l=1,2,...,M_i;$

和分别为对应于和的隶属函数；

在实施例中，对于用于设计控制律F₃的模糊系统,在d₃和的论域[-0.25,0.05]上取4个模糊集合,且相应的隶属函数为对于用于设计控制律F_i(i＝2,4,5)的模糊系统,在d_i的论域[-0.05,0.25]上取4个模糊集合，且相应的隶属函数为

${\mathrm{\&mu;}}_{F_{i1}^k}\left(d_i\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{d_i+0.05-0.1\left(k-1\right)}{0.1}\right)}^2\right\},k=1,2,3,4;$

在的论域[-0.05,0.25]上也取4个模糊集合，相应的隶属函数为

${\mathrm{\&mu;}}_{F_{i2}^k}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i\right)=\exp \left\{-{\left(\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_i+0.05-0.1\left(k-1\right)}{0.1}\right)}^2\right\},k=1,2,3,4.$

M_i维参数列向量θ_i通过如下自适应律(17—1)式来调节：

其中，γ_i＞0是调节增益，M_i是设计者取定的正数。

u_si为监督控制项，u_ri误差补偿控制项，u_ri,u_si分别设计为

$u_{ri}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_i}{{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i^T{P}_{i}B,i=2,3,4,5,---\left(18\right)$

(18)式中，

$u_{s3}=I_3^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e_3}}^T{P}_{3}B\right)\&lsqb;\left|u_{c3}\right|+m_3^{+}|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_3^r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_3}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_3|\&rsqb;,---\left(19\right)$

$u_{si}=I_i^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i^T{P}_{i}B\right)\&lsqb;\left|u_{ci}\right|+m_i^{+}(g+|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_i^r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_i}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i\left|\right)\&rsqb;,i=2,4,5;---\left(20\right)$

(19)、(20)两式中:当时，当时 为设计者给定的正常量；符号的含义是：当时，当时,

取

最后，将所设计的控制律τ₁即(13)式和控制律F_i(i＝2,3,4,5)即(17)式施加到由(5a)式、(5b)式和(5c)式所描述的控制对象中，使系统的输出(θ(t),d₂(t),d₃(t),d₄(t),d₅(t))^T能够以期望的速度跟踪给定的轨迹。

在实施例中，取M_f1＝M_f2＝1，ε＝0.01，M_g＝0.5，γ_f1＝γ_f2＝γ_g＝1，γ₃＝1000，γ_i＝1000000，i＝2,4,5，M_i＝500，i＝2,3,4,5。

初始条件取为:θ(0)＝0,d₃(0)＝0.001,d_i(0)＝0，(i＝2,4,5),θ_f1(0),θ_f2(0),θ_g(0),以及诸θ_i(0)和在(0,0.01)中随机选取。

仿真实验结果如图1至图10中的实线所示，图1中的实线是驱动器1的输出θ对其期望轨迹的跟踪曲线，图2中的实线是驱动器1的输出对其期望轨迹的跟踪速度的跟踪曲线，图3、图5、图7、图9中的实线是驱动器i(i＝2,3,4,5)的输出d_i对其期望轨迹的跟踪曲线；图4、图6、图8、图10中的实线是驱动器i(i＝2,3,4,5)的输出对其期望轨迹的跟踪速度的跟踪曲线；图1至图10中的虚线是期望的轨迹，因控制精度高，有些虚线与实线重合。仿真实验结果表明：采用本发明提出的方法，有效克服了髋关节康复机器人模型不确定性对控制精度的影响，其各个驱动器的输出在极短的时间内即达到了稳定状态，控制精度达到10^–1毫米量级。

根据动力学方程特点，对驱动器1采用了两层模糊逻辑系统来设计控制律。若用传统模糊逻辑系统需要5*4*4＝80条规则，而本发明所采用的两层模糊逻辑系统中模糊规则数目为(20+20)＝40，减少了50％的规则数目，提高了控制的实时性。

本发明未详细说明部分则属于本领域技术人员公知常识。

Claims (1)

1.一种髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法，应用于髋关节康复机器人，所述髋关节康复机器人包括1个旋转驱动器、4个线性驱动器，所述旋转驱动器用来驱动机器人的主动转动关节以训练患者髋关节的内收、外展运动，所述线性驱动器用来驱动机器人的主动移动关节以训练患者髋关节的屈、伸运动，其特征在于该髋关节康复机器人轨迹与速度跟踪的自适应控制方法通过以下步骤实现：

步骤1，根据人体髋关节生理机能，设计康复训练的期望跟踪轨迹如下：

步骤1.1，为训练右髋关节的内收与外展活动能力，将髋关节康复机器人的旋转驱动器即驱动器1的期望跟踪轨迹设计为

${\mathrm{\&theta;}}^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\&pi;}}{6T_1}t,& t\&le;T_1\\ \frac{\mathrm{\&pi;}}{6}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{6}\frac{1}{T_2-T_1}(t-T_1),& T_1\&le;t\&le;T_2\\ -\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\frac{1}{T_3-T_2}(t-T_2),& T_2\&le;t\&le;T_3\\ -\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\frac{1}{T_4-T_3}(t-T_3),& T_3\&le;t\&le;T_4\end{array}\right.---\left(1\right)$

(1)式中，t为训练时间，T₁,T₂,T₃为内收、外展的转折时刻，T₄代表完成内收、外展活动一个训练周期的时刻；诸T_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸T_i越大；

将(1)式中的与互换,即得训练左髋关节的内收与外展活动能力的期望跟踪轨迹；

步骤1.2，为训练髋关节的屈、伸运动能力，将髋关节康复机器人的第i个线性驱动器即驱动器i(i＝2,3,4,5)的期望跟踪轨迹设计为

$d_i^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& t\&le;t_1\\ \frac{h_i}{t_2-t_1}(t-t_1),& t_1\&le;t\&le;t_2\\ h_i-\frac{h_i}{t_3-t_2}(t-t_2),& t_2<t\&le;t_3\\ 0,& t_3<t\&le;t_4\end{array}\right.---\left(2\right)$

(2)式中的i＝2,4,5；

$d_3^r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}0,& t\&le;t_1\\ -\frac{h_3}{t_2-t_1}(t-t_1),& t_1\&le;t\&le;t_2\\ -h_3+\frac{h_3}{t_3-t_2}(t-t_2),& t_2<t\&le;t_3\\ 0,& t_3<t\&le;t_4\end{array}\right.---\left(3\right)$

(2)式与(3)式中，t₁,t₂,t₃为屈、伸的转折时刻，t₄代表完成屈、伸活动一个训练周期的时刻，诸t_i的大小根据患者的病情而定：病情越重，诸t_i越大；诸h_i＞0为设计参数，视小腿所能抬起的最大高度和驱动器i的最大位移而定；

步骤2，根据康复训练的期望跟踪轨迹，限定在动态过程中各驱动器位移的变化范围；

步骤3，根据髋关节康复机器人动力学方程中未知参数的变化范围，给出其动力学方程中的未知函数f(x)的界函数f^U(x)以及未知控制增益g(d₃)的上界函数g^U(d₃)和下界函数g^L(d₃)；即f^U(x)，g^U(d₃)和g^L(d₃)满足：

|f(x)|≤f^U(x)，0＜g^L(d₃)≤g(d₃)≤g^U(d₃)， (4)其中髋关节康复机器人动力学方程为

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=f\left(x\right)+g\left(d_3\right){\mathrm{\&tau;}}_1,---\left(5a\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_i=-g+b_i{F}_i,i=2,4,5,---\left(5b\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_3=b_3{F}_3,---\left(5c\right)$

(5)式中：T为转置符号；θ为旋转驱动器的角位移，即驱动器1的输出；d₂,d₄,d₅分别为线性驱动器2,线性驱动器4,线性驱动器5在铅直方向上的位移,即分别为驱动器2,驱动器4,驱动器5的输出；d₃为线性驱动器3在水平方向上的位移，即驱动器3的输出；τ₁为驱动器1的驱动力矩，是系统的输入,F₂,F₃,F₄,F₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的驱动力，是系统的输入；g为重力加速度；

$f\left(x\right)=\frac{-2m_{3}a{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3-2m_3{\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3^2}{J+w_m{a}^2+2m_3{\mathrm{ad}}_3+m_3{d}_3^2}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},---\left(6\right)$

$g\left(d_3\right)=\frac{1}{J+w_m{a}^2+2m_3{\mathrm{ad}}_3+m_3{d}_3^2},---\left(7\right)$

$b_2=\frac{1}{w_m},b_i=\frac{1}{m_i},i=3,4,5;---\left(8\right)$

其中,J为整个机器人的转动惯量；m₂,m₃,m₄,m₅分别为驱动器2,驱动器3,驱动器4,驱动器5的质量,w_m＝m₂+m₃；a为驱动器1的中心到机器人铅直中轴线的距离，满足2a＞|d₃|；并且，转动惯量J,质量m₂,m₃,m₄,m₅,距离a均为未知的正参数,但这些参数的界是已知的,且有:

J^-＜J＜J⁺,i＝2,3,4,5；a^_＜a＜a⁺；

且J^-,J⁺,a^-,a⁺均为已知的正常数；

步骤4，计算轨迹跟踪误差：e₁＝θ_r(t)-θ,i＝2,3,4,5；

步骤5，计算速度跟踪误差：i＝2,3,4,5；

步骤6，给定一组正数α_i和β_i，并选取一组具有负实部的复数λ_i1，且满足λ_i1+α_i＜0，取λ_i2为λ_i1的共轭复数，再取k_i1＝-λ_i1-λ_i2，k_i2＝λ_i1·λ_i2，i＝1,2,3,4,5；

步骤7，选取列向量选取矩阵并给定2阶正定对称矩阵i＝1,2,3,4,5；解李雅普诺夫方程

(A_i+α_iI)^TP_i+P_i(A_i+α_iI)＝-Q_i, (9)

得到正定解：P_i的元素由(10)式确定：

$\left[\begin{array}{c}{p}_{i11}\\ p_{i12}\\ p_{i22}\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{c}-q_{i11}\\ -q_{i12}\\ -q_{i22}\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{ccc}2{\mathrm{\&alpha;}}_i& -2k_{i2}& 0\\ 1& -k_{i1}+2{\mathrm{\&alpha;}}_i& -k_{i2}\\ 0& 2& -2k_{i1}+2{\mathrm{\&alpha;}}_i\end{array}\right];---\left(10\right)$

(9)式中，I为2阶单位矩阵；

步骤8，利用分层模糊逻辑系统设计控制律τ₁:

步骤8.1，用两层模糊系统来逼近f(x),的表达式为

$\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})={\mathrm{\&theta;}}_{f2}^T{\mathrm{\&xi;}}_{f2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1),---\left(11\right)$

(11)式中, 为第1层模糊系统的输入,z₁为第1层模糊系统的输出,第2层模糊系统的输入为和z₁；且

${\mathrm{\&xi;}}_{f1}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)={\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{f1}^1(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3),...,{\mathrm{\&xi;}}_{f1}^{L_1}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},d_3)\&rsqb;}^T,{\mathrm{\&xi;}}_{f2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)={\&lsqb;{\mathrm{\&xi;}}_{f2}^1({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1),...,{\mathrm{\&xi;}}_{f2}^{L_2}({\stackrel{\&CenterDot;}{d}}_3,z_1)\&rsqb;}^T,$

其中，L₁为第1层模糊系统中所含的模糊规则数目，L₂为第2层模糊系统中所含的模糊规则数目,和均为模糊基函数,L₁维参数列向量θ_f1和L₂维参数列向量θ_f2均通过自适应律来调节；

用模糊逻辑系统来逼近g(d₃)，的表达式为

$\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)={\mathrm{\&theta;}}_g^T{\mathrm{\&xi;}}_g\left(d_3\right),---\left(12\right)$

(12)式中,ξ_g(d₃)＝(ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃))^T,M为模糊规则数目,ξ_g1(d₃),…,ξ_gM(d₃)为模糊基函数，M维参数列向量θ_g通过自适应律来调节；

步骤8.2，设计控制律τ₁：

τ₁＝u_c1+u_r1+u_s1, (13)

(13)式中，u_c1为模糊控制项；u_s1为监督控制项，u_r1为误差补偿控制项，分别设计为

$u_{c1}=\frac{-\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})-{\hat{f}}_1\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f1})+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1}{\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)},---\left(14\right)$

其中，

$u_{r1}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_1}{{\mathrm{\&alpha;}}_1{g}_L\left(d_3\right)}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^T{P}_{1}B,---\left(15\right)$

$u_{s1}=I_1^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^T{P}_{1}B\right)\frac{1}{g^L\left(d_3\right)}\&lsqb;\left|\hat{f}\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f2})\right|+f^U\left(x\right)+\left|{\hat{f}}_1\left(x\right|{\mathrm{\&theta;}}_{f1})\right|+\left|\hat{g}\left(d_3\right|{\mathrm{\&theta;}}_g)u_{c1}\right|+\left|g^U\left(d_3\right)u_{c1}\right|\&rsqb;,---\left(16\right)$

(16)式中:当时,当时, 为设计者取定的一个正常量；符号的含义是：当时,当时,

步骤9，利用模糊系统设计控制律F_i(i＝2,3,4,5):

将控制律F_i设计为

F_i＝u_ci+u_ri+u_si,i＝2,3,4,5； (17)

(17)式中，为模糊控制项，M_i为模糊规则数目,为模糊基函数；M_i维参数列向量θ_i通过自适应律来调节；u_si为监督控制项，u_ri误差补偿控制项，u_ri,u_si分别设计为

$u_{ri}=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_i}{{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i^T{P}_{i}B,i=2,3,4,5,---\left(18\right)$

(18)式中，

$u_{s3}=I_3^{*}\mathrm{sgn}\left({{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_3}^T{P}_{3}B\right)\&lsqb;\left|u_{c3}\right|+m_3^{+}|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_3^r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_3}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_3|\&rsqb;,---\left(19\right)$

$u_{si}=I_i^{*}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i^T{P}_{i}B\right)\&lsqb;\left|u_{ci}\right|+m_i^{+}(g+|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{d}}_i^r+{{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_i}^T{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_i\left|\right)\&rsqb;,i=2,4,5;---\left(20\right)$

(19)、(20)两式中:当时，当时 为设计者给定的正常量；符号的含义是：当时，当时,i＝2,3,4,5。