CN106055798B - 一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法 - Google Patents
一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，包括：(1)确定随机动态载荷的均值和自协方差矩阵；(2)计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并确定特征值和特征向量的截断阶数；(3)建立结构有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算均值和特征向量分别作为载荷下结构关注部位的响应函数，以及有限元所有节点处的速度响应函数；(4)建立声学边界元模型，将有限元节点上的速度响应函数插值映射到声学边界元节点上，并计算声学关注部位的响应函数；(5)基于KL展开获得结构和声学的非平稳随机动响应，包括动响应的方差和自协方差函数。本发明不仅可以进行非平稳随机动态载荷下的声振响应方法而且可以适用于复杂结构的声振动响应分析方法。
Description
技术领域
本发明涉及非平稳随机动响应分析方法，尤其涉及一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法。
背景技术
航空航天结构在服役时面临着复杂的平稳或非平稳声振动力学环境，例如：湍流边界层噪声、发动机噪声、气动噪声和随机基础激励等。声振动力学环境容易引起结构和设备元件发生振动，造成仪器设备故障，进而影响结构的运行精度和可靠性。在实际应用中，由于非平稳声振动响应分析方法的局限性，常将非平稳随机动态载荷简化为平稳随机动态载荷，然而这样的简化方式会对后续的声振动响应分析带来不可忽视的误差。因此，很有必要在声振动响应分析中考虑载荷的非平稳特性。
近来年，随着计算机性能的提高，数值方法成为声振响应分析的重要分析手段。目前，声振响应分析的数值分析主要采用有限元-有限元、有限元-边界元等方法。有限元-有限元方法中结构和声场均采用有限元建模，但由于空间声场采用体单元模拟使得分析效率降低，因此其应用受到限制。有限元-边界元方法中结构采用有限元建模，声场则采用边界元模拟，边界元法将声场内的计算转化到边界上，可使分析自由度减少，问题的维数降低，因此对于无限域或半无限域问题，采用边界元法声场无需在远场边界离散，所有计算均在结构表面进行，大大缩小了计算域。目前的声振响应研究主要集中于平稳随机动态载荷下声振响应研究，较少涉及非平稳随机动态载荷下的声振响应研究。因此，提出一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法具有非常重要的工程应用价值。
发明内容
发明目的：本发明提供一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，解决目前方法仅能针对平稳随机激励进行声振动响应分析的局限性问题，同时给出非平稳随机动态载荷下针对复杂结构声振响应分析的解决方法。
技术方案：本发明所述的一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法包括：
(1)根据非平稳随机动态载荷F(t)计算得到其均值μ(t)和自协方差矩阵C(t1,t2)；
(2)计算自协方差矩阵C(t1,t2)的特征值λi和特征向量φi(t)，并获得特征值λi和特征向量φi(t)的截断阶数n；
(3)建立结构有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算非平稳随机动态载荷均值和自协方差矩阵特征向量分别作为载荷下，结构关注部位的响应函数A(t)和mi(t)，以及有限元所有节点处的速度响应函数B(t)和vi(t)；
(4)建立声学边界元模型，将有限元节点上的速度响应函数B(t)和vi(t)插值映射到声学边界元节点上，并计算声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)；
(5)根据响应函数mi(t)和pi(t)，并基于KL展开获得结构和声学的非平稳随机动响应，包括动响应的方差和自协方差函数。
进一步的，所述步骤(1)中均值和自协方差矩阵的计算公式为：
均值为：μ(t)＝E[F(t)]；
自协方差矩阵为：C(t1,t2)＝E[(F(t1)-μ(t1))(F(t2)-μ(t2))]；
其中，t1、t2为时间变量，E[·]表示求期望值。
进一步的，所述步骤(2)具体包括：
(21)将时间t划分成m个时间段{[tk-1,tk]|k＝1,2,…,m}；其中m的取值大于或等于随机动态载荷时间步数；
(22)根据划分的时间段生成分段基函数，并作为正交基；其中，分段基函数为：
(23)根据所述正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值λi和特征向量φi(t)；
其中，第二类Fredholm积分方程为：Mφ＝ΛNφ；式中，矩阵φ中的元素为特征向量φi(t)，矩阵M中的元素为矩阵N中的元素为矩阵Λ中的元素为Λij＝δijλi，tmin和tmax分别为分析时间的上下界，C(t1,t2)为非平稳随机载荷的自协方差矩阵，δij为克罗内克函数，i、j＝1,2,…,m；
(24)获取特征值和特征向量的截断阶数n，即前n阶特征值λi之和大于所有特征值之和的95％时，在第n阶处截断。
进一步的，所述步骤(3)中的瞬态分析方法具体为商业有限元软件中的瞬态分析方法。
进一步的，所述步骤(4)中声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)采用商业有限元-边界元软件计算得到。
进一步的，所述步骤(5)中基于KL展开获得的结构关注部位的结构响应x(t)、方差和自协方差函数Rx(tk-1,tk)，以及声学关注部位的声学响应pre(t)、方差和自协方差函数Rpre(tk-1,tk)分别为：
其中，ξi表示一组均值为0，方差为1的标准正态随机变量。
有益效果：本发明与现有技术相比，其显著优点是：提供了一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，拓展了目前声振响应分析方法的研究范围，可以解决非平稳动态载荷下的声振响应分析；同时结合商业有限元和边界元软件，解决非平稳动态载荷下针对复杂结构的声振响应分析。
附图说明
图1是本发明的一个实施例的流程示意图；
图2为活塞几何中心处的位移响应标准差；
图3为活塞几何中心处的位移响应自协方差函数；
图4为声学关注点的声压响应标准差；
图5为声学关注点的声压响应自协方差函数。
具体实施方式
如图1所示，本实施例具体包括以下步骤：
(1)根据非平稳随机动态载荷F(t)计算得到其均值μ(t)和自协方差矩阵C(t1,t2)。
其中，均值和自协方差矩阵的计算公式为：均值为：μ(t)＝E[F(t)]；自协方差矩阵为：C(t1,t2)＝E[(F(t1)-μ(t1))(F(t2)-μ(t2))]；式中，t1、t2为时间变量，E[·]表示求期望值。
以某单自由度活塞系统为例(如图2所示)，其几何参数和材料参数如表1所示。施加均值为零，自协方差为调制指数形式的非平稳随机动载荷，载荷步数为1000，载荷时长为1s。
表1单自由度活塞系统的几何和材料参数
| 参数 | 数值 |
| 质量 | 8Kg |
| 刚度 | 4.39×105N/m |
| 阻尼 | 130N s/m |
| 直径 | 0.1m |
则计算得到的随机动态载荷F(t)的均值μ(t)＝0，自协方差矩阵为：
(2)计算自协方差矩阵C(t1,t2)的特征值λi和特征向量φi(t)，并获得特征值λi和特征向量φi(t)的截断阶数n。
具体的，步骤(2)包括：
(21)将时间t划分成m个时间段{[tk-1,tk]|k＝1,2,…,m}；其中m的取值大于或等于随机动态载荷时间步数。
例如，以单自由度活塞系统为例，可以将1s分成1000个时间段{[tk-1,tk]|k＝1,2,…,1000}。
(22)根据划分的时间段生成分段基函数，并作为正交基；其中，分段基函数为：
(23)根据所述正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值λi和特征向量φi(t)。
其中，第二类Fredholm积分方程为：Mφ＝ΛNφ；式中，矩阵φ中的元素为特征向量φi(t)，矩阵M中的元素为矩阵N中的元素为矩阵Λ中的元素为Λij＝δijλi，tmin和tmax分别为分析时间的上下界，C(t1,t2)为非平稳随机载荷的自协方差矩阵，δij为克罗内克函数，i、j＝1,2,…,m。
(24)获取特征值和特征向量的截断阶数n，即前n阶特征值λi之和大于所有特征值之和的95％时，在第n阶处截断。
例如，以单自由度活塞系统为例，前40阶特征值之和为0.95，所以在第40阶处截断，即n＝40。
(3)建立结构有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算非平稳随机动态载荷均值和自协方差矩阵特征向量分别作为载荷下，结构关注部位的响应函数A(t)和mi(t)，以及有限元所有节点处的速度响应函数B(t)和vi(t)。
其中，建立结构有限元模型为现有技术，在此不做具体介绍。瞬态分析方法可以采用商业有限元软件中的瞬态分析方法，将非平稳随机动态载荷均值和自协方差矩阵特征向量分别作为载荷，即可得到结构关注部位的响应函数A(t)和mi(t)，以及有限元所有节点处的速度响应函数B(t)和vi(t)。
(4)建立声学边界元模型，将有限元节点上的速度响应函数B(t)和vi(t)插值映射到声学边界元节点上，并计算声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)。
其中，建立声学边界元模型为现有技术，在此不做具体介绍。声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)采用商业有限元-边界元软件计算得到，即将有限元节点上的速度响应函数B(t)和vi(t)插值映射到声学边界元节点上，并基于商业有限元-边界元软件即可计算得到声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)。
(5)根据响应函数mi(t)和pi(t)，基于KL展开获得结构和声学的非平稳随机动响应，包括动响应的方差和自协方差函数。
其中，基于KL展开获得的结构关注部位的结构响应x(t)、方差和自协方差函数Rx(tk-1,tk)，以及声学关注部位的声学响应pre(t)、方差和自协方差函数Rpre(tk-1,tk)分别为：
其中，ξi表示一组均值为0，方差为1的标准正态随机变量。
例如，以单自由度活塞系统为例，基于KL展开获得活塞几何中心处的结构位移响应x(t)、方差和自协方差函数Rx(tk-1,tk)，以及(0.61,0,0)m处的声学响应pre(t)、方差和自协方差函数Rpre(tk-1,tk)分别如下面的公式所示：
采用图形的形式表示，活塞几何中心处的结构位移响应标准差σx(t)和自协方差函数Rx(tk-1,tk)分别如图2和图3所示，(0.61,0,0)m处的声学响应标准差σpre(t)和自协方差函数Rpre(t1,t2)分别如图4和图5所示。
Claims (6)
1.一种非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，其特征在于该方法包括：
(1)根据非平稳随机动态载荷F(t)计算得到其均值μ(t)和自协方差矩阵C(t1,t2)；
(2)计算自协方差矩阵C(t1,t2)的特征值λi和特征向量φi(t)，并获得特征值λi和特征向量φi(t)的截断阶数n；
(3)建立结构有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算非平稳随机动态载荷均值和自协方差矩阵特征向量分别作为载荷下，结构关注部位的响应函数A(t)和mi(t)，以及有限元所有节点处的速度响应函数B(t)和vi(t)；
(4)建立声学边界元模型，将有限元节点上的速度响应函数B(t)和vi(t)插值映射到声学边界元节点上，并计算声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)；
(5)根据响应函数mi(t)和pi(t)，并基于KL展开获得结构和声学的非平稳随机动响应，包括动响应的方差和自协方差函数。
2.根据权利要求1所述的非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，其特征在于：所述步骤(1)中均值和自协方差矩阵的计算公式为：
均值为：μ(t)＝E[F(t)]；
自协方差矩阵为：C(t1,t2)＝E[(F(t1)-μ(t1))(F(t2)-μ(t2))]；
其中，t1、t2为时间变量，E[·]表示求期望值。
3.根据权利要求1所述的非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，其特征在于：所述步骤(2)具体包括：
(21)将时间t划分成m个时间段{[tk-1,tk]|k＝1,2,…,m}；其中m的取值大于或等于随机动态载荷时间步数；
(22)根据划分的时间段生成分段基函数，并作为正交基；其中，分段基函数为：
(23)根据所述正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值λi和特征向量φi(t)；
其中，第二类Fredholm积分方程为：Mφ＝ΛNφ；式中，矩阵φ中的元素为特征向量φi(t)，矩阵M中的元素为矩阵N中的元素为矩阵Λ中的元素为Λij＝δijλi，tmin和tmax分别为分析时间的上下界，C(t1,t2)为非平稳随机载荷的自协方差矩阵，δij为克罗内克函数，i、j＝1,2,…,m；
(24)获取特征值和特征向量的截断阶数n，即前n阶特征值λi之和大于所有特征值之和的95％时，在第n阶处截断。
4.根据权利要求1所述的非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，其特征在于：所述步骤(3)中的瞬态分析方法具体为商业有限元软件中的瞬态分析方法。
5.根据权利要求1所述的非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，其特征在于：所述步骤(4)中声学关注部位的响应函数D(t)和pi(t)采用商业有限元-边界元软件计算得到。
6.根据权利要求1所述的非平稳随机动态载荷下的声振响应分析方法，其特征在于：所述步骤(5)中基于KL展开获得的结构关注部位的结构响应x(t)、方差和自协方差函数Rx(tk-1,tk)，以及声学关注部位的声学响应pre(t)、方差和自协方差函数Rpre(tk-1,tk)分别为：
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