CN106021930A - 扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法 - Google Patents

Abstract

一种扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法，方法分为两步，一步是将节点均约束在一个球面上，进一步地将节点分布在两组球面对数螺旋上，即球面上的两组航迹线上。而节点的拓扑连接关系采用双螺旋交叉连接形式。压杆在和拉索均沿着这两族螺旋布置，将螺旋上的节点联通，但两族螺旋上的压杆在节点处并不相交。特别的，为了保证扭转力矩作用下的最小质量特性，两族螺旋在各自交点处在球面上相互正交。按照本发明给出球面正交航迹线布置下，当该结构在双向扭矩作用时，可以获得最小质量的张拉整体结构。这对于大型结构的减重效果将更为明显。同时，通过合理选择结构的复杂度，该结构还可以承受径向载荷。

Description

扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法

技术领域

本发明主要涉及到张拉整体结构领域，具体涉及一种扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法。

背景技术

张拉整体结构(Tensegrity)由美国建筑师富勒(Fuller)和他的学生斯内尔森(Snelson)发明。张拉整体结构由两种构件组成，一种是受拉的拉索，另一种是受压的压杆。这两种构件相互连接，形成连续的张拉结构。其中的压杆只受到压力，而拉索只受拉力。该结构体系能够高效的利用材料和结构拓扑属性，最大化的减小结构质量。在某种情况下，已经证明张拉整体结构是同等强度下的最优结构。起初，张拉整体结构主要应用于雕塑等艺术领域。随后，在建筑和桥梁结构中得到应用。在一些需要进行变形控制和轻质结构要求的领域也得到了很好应用，例如空间可展机构、变形机翼、隔振平台、仿生机器人等。

目前，张拉整体结构虽然在国外已经有了初步应用。但张拉整体结构的优良特性并没有完全展示出来，其潜力有待进一步发掘。这一方面由于张拉整体结构是一种运动不定和静不定的结构，其分析和建模都较一般结构更困难。另一方面，目前尚无有效的设计方法来获得最优的拓扑结构。

为了展示张拉整体结构的优越性能，可以先对典型的结构进行比较分析，优化张拉整体结构的拓扑结构，获得某种意义下的最优结构。这对未来具体结构的设计将起到基础性的指导作用。

发明内容

为了获得最优的扭转结构，本发明提供一种扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法。

本发明采用以下技术方案：一种扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法，步骤如下：

(1)根据结构所受方向相反的两个扭矩的作用点距离，将该距离作为张拉整体结构球面的直径R_d；

(2)确定球面上两族航迹线，其中一族航迹线左旋，另一族航迹线右旋，每族航迹线数目p相等；

(3)确定球面张拉整体结构沿着纬度方向的网格数目，即q，为了获得最小质量结构，取p＝q，此时保证两组螺旋在交点处相互球面意义下正交；

(4)确定最优复杂度，即p、q的值，该确定过程按照具体实施方式最后给出的方法进行；

(5)沿着两族螺旋布置压杆，布置在同一条螺旋线上的压杆，从一个螺旋的节点n₁(i,k)出发，跨越节点n₂(i,k)，而另一组压杆沿着与此螺旋相反的螺旋布置，连接在n₂(i,k)上，这两组压杆并不相交；

(6)布置拉索：拉索除了沿着这两族螺旋线将相邻节点连接在一起外，还沿着球面的经线和纬线将相邻节点连接在一起，从而完成整个张拉整体结构。

本发明的优点：张拉整体结构仅由两种简单构件组成，压杆仅受压力，拉索仅受拉力，外扭矩在其中形成高效的压力和拉力分布，由抗压能力强的材料制成的压杆和由抗拉能力强的拉索各自发挥各自强度优势。按照本发明给出球面正交航迹线布置下，当该结构在双向扭矩作用时，可以获得最小质量的张拉整体结构。这对于大型结构的减重效果将更为明显。同时，通过合理选择结构的复杂度，该结构还可以承受径向载荷。因此，该结构可以应用于对要求质量轻或对结构质量敏感的应用领域，例如空间可展机构、空间机械臂和行星表面探测用的星球车车轮等。

附图说明

图1为扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构球的俯视图；

图2为扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构球的侧视图；

图3为扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构球三维立体图；

图4为平面上的对数螺旋线图；

图5为球面上的航迹线图；

图6为有两族航迹线的球面的俯视图；

图7为图6的侧视图；

图8为球面航迹线螺旋上的张拉整体结构的构造示意图；

图9为该张拉整体结构的俯视图；

图10为图9的侧视图。

具体实施方式

下面根据说明书附图举例对本发明作进一步说明：

实施例1

一种扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法，步骤如下：

(1)根据结构所受方向相反的两个扭矩的作用点距离，将该距离作为本发明张拉整体结构球面的直径R_d；

(2)确定球面上两族航迹线，其中一族航迹线左旋，另一族航迹线右旋，每族航迹线数目p相等，例如p＝6；

(3)确定球面张拉整体结构沿着纬度方向的网格数目，即q，为了获得最小质量(即质量最小意义下的最优结构)结构，取p＝q，此时保证两组螺旋在交点处球面意义下相互正交；

(4)确定最优复杂度，即p、q的值，该确定过程按照具体实施方式最后给出的方法进行；

(5)沿着两族螺旋布置压杆，布置在同一条螺旋线上的压杆，从一个螺旋的节点出发，如附图8中的节点n₁(i,k)，跨越节点n₂(i,k)，而另一组压杆沿着与此螺旋相反的螺旋布置，连接在n₂(i,k)上，这两组压杆并不相交。

(6)布置拉索：拉索除了沿着这两族螺旋线将相邻节点连接在一起外，还沿着球面的经线和纬线将相邻节点连接在一起，从而完成整个张拉整体结构。

实施例2

1.平面上的对数螺旋

平面上的对数螺旋和直线y＝ax+b的关系可以通过图4表示出来。极坐标形式的平面对数螺旋方程为

r＝Ae^θ/α且A＝e^-b/α (1)由图4中可以看到，代表直线斜率的参数α可以看作为螺旋线与各条射线的夹角。b为待选择的常数(实际上，之后会看到，通过选择不同的b，可以产生一族对数螺旋)。如图4所示，左侧为平面上的对数螺旋线，右侧为平面上对数坐标下的直线。二者之间存在变换或映射关系。对数螺旋通过自然对数Log作用下，映射成右侧图直线。而右侧图直线在自然指数Exp变换下，映射成左侧图的对数螺旋线。对数螺旋线S与各条射线交角相同，均为α。由于对数变换为保角变换，该直线与水平线交角亦为α角。此处，需要指出的是，当α＝1时，意味着螺旋线与射线的交角为45度。

2.航迹线方程

球面上的对数螺旋，即航迹线如图5所示，该螺旋与所有经线的夹角相等。该航迹线由复平面上的对数螺旋通过立体投影而得到。这样，方程(1)表示的对数螺旋在立体投影的映射下，其在球面上的坐标参数化方程为

$\left\{\begin{array}{c}X=\frac{2rcos\mathrm{\θ}}{1+r^2}\\ Y=\frac{2rsin\mathrm{\θ}}{1+r^2}\\ Z=\frac{1-r^2}{1+r^2}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中r＝Ae^θ/α且A＝e^-b/α；

该球面曲线的一个更为简洁的表示为球坐标参数化表示

$\left\{\begin{array}{c}X=\sin \mathrm{\φ}cos\mathrm{\θ}\\ Y=\sin \mathrm{\φ}\sin \mathrm{\θ}\\ Z=cos\mathrm{\φ}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中θ为经度角，φ为伪纬度角，之所以称为伪纬度角是因为这里φ＝0对应北极而非赤道。比较公式(4)和公式(5)，可以看到有下述关系：

且

3.球面上的航迹线螺旋族

通过选择α来获得一族球面上的航迹线螺旋，选择方法为取

α＝q/p (6)

此处q为竖直方向上的单元数目。

由于平面上的对数螺旋线具有下述形式

r＝Ae^θ/α＝Ae^θp/q

通过选择合适的参数A的值，使得所有的p个螺旋线间距相等。因为变量θ是周期性的，每2π弧度周期重复一次，这样有

r＝e^θp/q＝e^(θ-2π)p/q＝e^-2πp/qe^θp/q

因而，等间距的p个螺旋可以通过在一个2π弧度周期上的等间距分割，可以获得由p个方程描述的p个不同的螺旋，即

r_k＝e^{(θ-2kπ/p)p/q}＝e^-2πk/qe^θp/q，k＝1,2,...,p (7)

如图6-7，给出了当p＝q＝6时的两族航迹螺旋线，每族有六条航迹线。这两族螺旋线其中一族为左旋，另一族为右旋。特别的，当p＝q，即图1平面上的直线交角α＝1时,意味着对数螺旋与射线夹角为45°。因而，这种情况下，球面上的两族对数螺旋将成90°夹角，即他们在交点处正交。

4.球面航迹线上张拉整体结构拓扑构造

本实施例提出的球面航迹线螺旋上的张拉整体结构的构造示意图如图8所示。张拉整体结构中各个构件的节点位于两族螺旋线的交点n_l(i,k)(l＝1,2；i＝1～q；k＝1～p)。此处，q和p分别为垂直单元数和水平单元数。组成张拉整体结构的两种构件——压杆和拉索分别与相应节点相连。例如，压杆沿着两族螺旋布置(图8中粗实线)，从一个螺旋的节点出发，如n₁(i,k)，跨越节点n₂(i,k)，而另一组压杆沿着与此螺旋相反的螺旋布置，连接在n₂(i,k)上。因此，这两组压杆并不相交。当球面上的螺旋线数目逐渐增大至无穷，则这两组压杆则逼近于(收敛于)球面上的两族螺旋线。因此，该拓扑结构是这两族航迹线螺旋的离散化。另一方面，拉索在经线、纬线和螺旋上均有布置。

假设球面半径为R_d.张拉整体结构球的节点坐标为

$n_l(i,k)=\left[\begin{array}{c}{x}_l(i,k)\\ y_l(i,k)\\ z_l(i,k)\end{array}\right]$

其中

$r_l(i,k)=e^{-2\mathrm{\π}k/q}{e}^{-{\mathrm{\θ}}_l(i,k)p/q}$

当p＝q＝6时,该张拉整体结构球如图9-10所示。

5.扭转载荷下球面张拉整体结构最小质量设计

考虑在平衡状态下，满足屈服强度约束条件下的最小质量设计问题。压杆的质量可以表示为

m_b＝ρ_bA_b||b||

其中ρ_b为压杆密度，A_b为压杆截面面积。处于临界屈服状态的压杆截面积A_b可以表示为

$A_b=\frac{{\mathrm{\λ}}_b}{{\mathrm{\σ}}_b}\left|\right|b\left|\right|$

其中σ_b是压杆的屈服强度。λ_b为压杆的力密度(即力/长度)。压杆质量可以表示为

$m_b=\frac{{\mathrm{\ρ}}_b}{{\mathrm{\σ}}_b}{\mathrm{\λ}}_b\left|\right|b|{|}^2$

其中，||b||为压杆长度。

类似的，拉索的质量可以表示为

$m_s=\frac{{\mathrm{\ρ}}_s}{{\mathrm{\σ}}_s}{\mathrm{\λ}}_s\left|\right|s|{|}^2$

其中，||s||为拉索长度，λ_s为拉索力密度，ρ_s为拉索密度，σ_s为拉索的屈服强度。张拉整体结构的总质量为所有压杆和拉索的质量之和，即

$m=\underset{i=1}{\overset{n_b}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\ρ}}_{b_i}}{{\mathrm{\σ}}_{b_i}}{\mathrm{\λ}}_{b_r}\left|\right|b_i|{|}^2+\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\ρ}}_{s_i}}{{\mathrm{\σ}}_{s_i}}{\mathrm{\λ}}_{s_i}|\left|s_i\right|{|}^2$

当所有压杆和拉索都采用相同的材料，此时张拉整体结构的总质量可表示为

$m=\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\σ}}J$

其中

$J=\underset{i=1}{\overset{n_b}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{b_i}\left|\right|b_i|{|}^2+\underset{i=1}{\overset{n_s}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_{s_i}|\left|s_i\right|{|}^2$

为此可以构造以质量最小为优化目标，以压杆力密度λ_b和拉索的力密度λ_s为优化变量，以结构平衡和材料的临界屈服为约束条件的最优化问题。该最优化问题是关于压杆和拉索的力密度的线性规划问题，即

$\begin{array}{cc}\underset{x}{\min imize}& \stackrel{\‾}{m}=c^{T}x\end{array}$

约束条件：平衡条件Ax＝ω，且x＞0

其中x为所有压杆和拉索力密度组成的向量，x＞0表示所有压杆受到压力，所有拉索受到拉力，避免拉索松弛。A为整体张拉结构的平衡矩阵，该矩阵由结构拓扑和节点坐标确定。该线性规划问题很容易编程求解。从而获得最小质量的张拉整体结构。

最后，需要说明的是，随着结构复杂度增加，即p、q值增大，如果不考虑节点处的质量，该整体张拉结构的质量将逐渐减小。而实际上由于压杆与压杆之间或与拉索连接处一般均有一定质量，例如连接铰质量。当复杂度增加时，即p、q值增大，则连接点数量会显著增加，连接铰的总质量将逐渐增大。当这部分质量与复杂度优势达到均衡时，此时的复杂度就是最优的。该复杂度的最优值的获得可以通过将上述优化问题中的最小质量计算部分将节点质量包含在内来实现。

Claims (1)

1.一种扭转力矩作用下的最小质量张拉整体结构设计方法，其特征在于，步骤如下：

(1)根据结构所受方向相反的两个扭矩的作用点距离，将该距离作为张拉整体结构球面的直径R_d；

(2)确定球面上两族航迹线，其中一族航迹线左旋，另一族航迹线右旋，每族航迹线数目p相等；

(3)确定球面张拉整体结构沿着纬度方向的网格数目，即q，为了获得最小质量结构，取p＝q，此时保证两组螺旋在交点处相互正交；

(4)确定最优复杂度，即p、q的值，该确定过程按照具体实施方式最后给出的方法进行；

(5)沿着两族螺旋布置压杆，布置在同一条螺旋线上的压杆，压杆沿着两族螺旋布置，从一个螺旋的节点n₁(i,k)出发，跨越节点n₂(i,k)，而另一组压杆沿着与此螺旋相反的螺旋布置，连接在n₂(i,k)上，这两组压杆并不相交。

(6)布置拉索：拉索除了沿着这两族螺旋线将相邻节点连接在一起外，还沿着球面的经线和纬线将相邻节点连接在一起，从而完成整个张拉整体结构。