CN106021865A - 一种基于d-最优设计的逐批投入试验设计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于D‑最优设计的逐批投入试验设计方法，步骤如下：一：确定基本试验信息；二：采用D‑最优设计方法给出最小试验次数n_min的D‑最优设计方案三：确定逐批投入设计批次节点，直到达到试验资源允许的最大试验次数n_max为止；四：进行逐批试验方案设计；五：基于G‑效率确定最优试验次数；六：进行试验及模型验证；根据试验方案，逐批投入试验，进行模型检验；七:回归拟合求得关系模型y中未知参数，确定最佳因子水平组合。本发明解决了试验区域不规则、因子维数较高、试验次数有限等情况下的试验设计问题，在保证试验设计效率的基础上，缓解了设计工程中一些不确定性带来的影响，容易实现，方便工程技术人员使用，具有良好的应用价值。

Description

一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，可以有效解决传统试验设计试验次数与设计最优性之间的约束限制，并且保证逐批开展试验具有很好的设计最优性质，适用于产品设计、生产制造、质量控制以及工艺优化等相关技术领域。

背景技术

一个合理的试验设计方案可以在有限的时间、成本等资源条件下，充分揭示各个影响因子对目标响应的影响，在有限的试验次数下获得最优的目标响应结果，为提高产品质量寻求最优的工艺参数组合等。

广义上说，所有的试验设计本身都是资源受限的设计，试验设计的目的就是在尽量节约资源的情况下，获取尽量多的系统或者过程的信息，优化设计和工艺。虽然D-最优试验设计(即以最大化试验点行列式(Determinant)为准则的设计方法)可以根据实际需求确定试验次数，在给定试验次数的基础上设计试验，相比于正交设计等经典方法，更为灵活。但是，在实际工程中，由于时间经费等试验资源，或者实际试验时间的不确定性，具体试验次数在试验前往往不能确定，更常见的是只能给出大概的试验次数范围。再者，在试验进行过程中，经常会出现试验资源还可以继续支撑更多的试验，或者试验资源不足以完成之前固定的试验设计方案，这会导致试验资源不能充分利用，或者不能按照事先确定的最优试验设计方案进行试验，从而使得模型估计和预测效果不佳。此时，在初始试验基础上添加或筛减试验，将直接破坏试验方案的最优性，导致试验点并不是全局范围内具有最优性质的试验设计点集；而若重新设计、安排试验，前期的试验结果则不能充分利用；若在试验结束后发现初始设定的输入偏差较大，则需要在对相关信息进行修正后，重新实施整套试验，容易造成时间、物力、人力等各方面资源的极大浪费。

因此，针对传统的D-最优试验设计，试验次数不能根据实际需求灵活调整，一旦试验开始，试验次数不能改变，否则会影响设计最优性的问题，研究提出一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，可以在已有试验设计方案的基础上，继续添加试验点，并且仍维持设计的最优性，从而科学地收集和分析数据，获得更优的参数组合，优化设计和工艺，具有重要的理论意义和迫切的现实需求。

为此，本发明给出了一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法。

发明内容

(1)本发明的目的：

本发明针对传统的D-最优试验设计，试验次数不能根据实际需求灵活调整，一旦试验开始，试验次数不能改变，否则会影响设计最优性的问题，提供一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，可以保证在试验次数变动的情况下，保证试验方案具有较好的最优性质，建立贴近产品加工或生产过程实际的数学模型，进行准确的数据分析和预测，从而确定最佳的因子水平组合，优化设计和工艺，具有重要的理论意义和迫切的现实需求。

(2)技术方案：

本发明给出了一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法。

本发明基于D-最优设计，给出了一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法。首先，利用两步寻优D-最优试验设计算法，给出试验资源允许的最小次数的试验设计方案χ₁；然后，在方案χ₁的基础上，添加试验点构成方案χ₂，即方案χ₁为方案χ₂的一个子集，同时，保证新的试验设计方案仍为最优试验设计。以此类推，直到给出试验条件允许的最大试验次数的设计方案。

逐批投入试验设计更为灵活，且更贴近实际工程需求。试验初期，使用一个试验资源允许次数的方案进行试验；若在试验结束时，发现试验结果尚不满足需求，且试验资源还可以支持试验继续进行，可以在前期试验的基础上，在不破坏试验设计最优性的条件下，添加试验点继续开展试验。

基于上述理论和思路，本发明给出了一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，具体实施步骤如下：

步骤一：根据试验目的、条件以及工程经验，给出试验基本试验信息，包括试验响应(即所关注的质量特性)、影响因子及其取值范围，各因子之间的约束关系、试验资源允许的试验次数范围[n_min,n_max]以及确定响应与因子之间的关系模型；其中响应与因子之间的关系模型具体确定方法如下：

基于试验因子与响应等试验基本信息，采用数学模型的形式给出响应与因子之间的关系模型，记为y＝Xβ+ε。其中,为已知的n^inner×p维参数模型矩阵；f(x_i)为关于x_i的已知函数，反映全部可控因子及其之间的约束关系；β＝(β₀,β₁,β₂,...,β_p)^T为p个待估参数，反映各个因子与响应之间的影响关系；

步骤二：在设计区域内，采用D-最优设计方法给出最小试验次数n_min的D-最优设计方案其具体设计方法如下：

1.将各因子取值范围规范至[-1，1]区间范围内；

2.根据实际因子间的约束关系，建立约束方程，得到设计区域；

3.在该设计区域内，依据信息矩阵行列式最大的原则，确定满足给定次数的设计至此完成D-最优内表设计；

步骤三：确定逐批投入设计批次节点，直到达到试验资源允许的最大试验次数n_max为止；下面给出节点的定义及选取原则：

记K₀＝n_min,K_i＝K_i-1+m_i,i＝1,2,...,q-1。即，K₀是最小设计ξ_n的试验次数，K_i,i＝1,2,...,q-1记录了设计的试验次数。方便起见，记K_i,i＝1,2,...,q-1为设计节点。则，设计节点K_i,i＝1,2,...,q-1的选取应满足以下特点：

1.K_i,i＝1,2,...,q-1应该相对均匀的分散在允许的试验次数区间内；

2.K_i,i＝1,2,...,q-1个设计节点所代表的设计方案应该具有相对较高的G-效率；

3.如果在选择设计节点的过程中存在两个或两个以上G-效率一致或相差很小的试验方案，则选取较小试验次数较小的设计次数作为设计节点；

步骤四：进行逐批试验方案设计，其具体方法如下：

依据步骤二、步骤三中得到的最小设计方案逐批投入设计批次节点K_i＝K_i-1+m_i,i＝1,2,...,q-的结果，确定逐批试验方案为保持的D-最优性，其确定准则如下：

$\underset{x\∈{\mathrm{\ξ}}_{m_i}}{min}\left(d\right(x,{\mathrm{\ξ}}_{m_i}\left)\right)=\underset{x\∉{\mathrm{\ξ}}_{K_{i-1}}}{\underset{x\∈\mathrm{\χ}}{max}}\underset{x\∈{\mathrm{\ξ}}_{m_i}}{min}\left(d\right(x,\mathrm{\ξ}\left)\right);$

上列逐批试验方案D最优确定准则的公式证明如下：

当在ξ_n的基础上添加一个试验点x_n+1构成了一个新的设计方案ξ_n+1，二者之间的关系可由其信息矩阵表示：

$\left(X_{n+1}^T{X}_{n+1}\right)=\left(X_n^T{X}_n\right)+(x_{n+1}*x_{n+1}^T)$

这样，该点产生的影响可由其行列式表示，从而避免正交方面的复杂分析，相应的信息矩阵行列式之间的关系为：

$\left|X_{n+1}^T{X}_{n+1}\right|=\left|X_n^T{X}_n\right|*(1+d(x_{n+1}\left)\right)$

以此类推，在ξ_n的基础上添加m个试验点x_n+l,l＝1,2,...,m，可得其信息矩阵行列式：

$\begin{array}{c}\left|M\left({\mathrm{\ξ}}_{n+m}\right)\right|=\left|X_{n+m}^T{X}_{n+m}\right|\\ =\left|X_n^T{X}_n\right|*\underset{j=1}{\overset{m}{\Π}}\left(1+d\left(x_{n+j}\right)\right)\\ \≥X_n^T{X}_n|*\underset{j=1}{\overset{m}{\Π}}2{\left(d\left(x_{n+j}\right)\right)}^{1/2}\\ \≥\left|X_n^T{X}_n\right|*2^m{\left(\min \left(d\left(x_{n+j}\right)\right)\right)}^{m/2}\end{array}$

因此，要最小化D-最优准则值Ψ(M(ξ))，即最大化log|(M(ξ)|，需最大化m个新添加的试验点中最小的响应预测方差值，即

步骤五：基于G-效率确定最优试验次数。具体确定方法如下：

对于一个有p个参数的模型，设计ξ的G-最优效率定义为

$G_{eff}=\frac{p}{\underset{x\∈X}{max}d(x,\mathrm{\ξ})}$

一般使用G-最优效率来衡量D-最优设计的优良性。根据G-最优效率的定义，G-最优效率值G_eff越接近于1，则表示设计ξ越好。

在试验资源允许的次数范围[n_min,n_max]内，计算各个节点对应的设计的G-最优效率，选择相应的G-效率最高的次数为最优试验次数：

$n_{*}=\underset{n_{\min }\≤K_i\≤n_{\max }}{\mathrm{argmax}}\left(G_{eff}\right({\mathrm{\ξ}}_{K_i}\left)\right)$

步骤六：进行试验及模型验证。根据试验方案进行具体试验，并利用逐批投入试验可以边试验、边分析的特点进行模型检验，具体检验方法如下：

在进行完第一个子设计后，应进行F检验，并计算判定系数R²值。如果F检验未通过或者R²值太小，说明因子变量或者模型选择不准确，均需重新检验和调整；否则，则可以继续进行下一阶段试验。其中，F统计量表示为：

$F=\frac{SSR/p}{SSE/(n-p-1)}$

对一个给定的置信度α，如果F≥F_1-α(p,n-p-1)，则接受假设模型；反之，如果F＜F_1-α(p,n-p-1)，则拒绝假设模型，此时，需要对模型重新进行分析和修正；其中，为总平方和；为回归平方和；为残差平方和。

判定系数R²的定义为：

$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\left({\hat{y}}_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_i-\stackrel{\‾}{y})}^2}=1-\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_i-\stackrel{\‾}{y})}^2}$

R²的取值范围为[0，1]，表示预测模型和观测值的拟合优度，R²越大，则说明模型能更好的拟合实际数据；

步骤七:回归拟合求得关系模型y中未知参数，确定最佳因子水平组合，使得在该试验方案下质量特性估计值最接近目标值；

通过以上步骤，解决了试验区域不规则、因子维数较高、试验次数有限等情况下的试验设计问题，并且在保证试验设计效率的基础上，缓解了试验设计前以及设计工程中一些不确定性带来的影响，容易实现，方便工程技术人员使用，具有良好的应用价值。

(3)优点和功效：

本发明提供一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，其优点为：

①本发明有效解决了传统D-最优设计试验次数与设计最优性之间的限制关系，即使试验已经实施，仍可以根据实际需求对试验次数进行修正，且不会破坏设计的最优性，使得试验方案次数可以灵活调整。

②本发明所提供的方法允许边试验、边分析，可有效避免在全部试验完成之后，发现试验因子变量或者模型选择不准确，最大程度地避免损失。

③将本发明所提供的方法与传统设计方法对比，表1给出了在不同的试验次数下，由逐批投入算法与传统D-最优设计得到的试验设计方案的G最优效率对比。

表1 逐批投入与传统D-最优设计G-效率对比

④从表1中可以看出，二者得到的设计方案的G效率相当，证明了所发明方法的有效性。

附图说明

图1是本发明方法流程图。

图2是不同节点下G-效率趋势图。

具体实施方式

下面飞机中央翼板为例，结合附图，对本发明做进一步详细说明。

飞机中央翼板背后面板由大量铝合金肋拱组成，是典型的铝合金薄壁件部件。铝合金薄壁件应用范围广泛，但由于其局部强度差，是行业各界公认的难加工产品。而其常表现出的质量问题形式，以表面粗糙度不合格为主。

为了能在生产过程中直接控制表面粗糙度质量，需要找到最优的切削参数，目标是使得表面粗糙度y最小。

本发明一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，见图1所示，其具体实施步骤如下：

步骤一：确定基本试验信息。根据试验目的、条件以及工程经验，给出试验基本试验信息，包括试验响应(即所关注的质量特性)、影响因子及其取值范围，各因子之间的约束关系、试验资源允许的试验次数范围[n_min,n_max]以及确定响应与因子之间的关系模型。其中响应与因子之间的关系模型具体确定方法如下：

基于试验因子等试验基本信息，采用数学模型的形式表达出响应与因子之间的关系模型，记为y＝Xβ+ε。其中,为已知的n^inner×p维参数模型矩阵；f(x_i)为关于x_i的已知函数，反应全部可控因子及其之间的约束关系；β＝(β₀,β₁,β₂,...,β_p)^T为p个待估参数，反应各个因子与响应之间的影响关系。

本案例中，由于时间经费等试验资源的不确定性，允许做20-40次左右试验，具体试验次数在试验前尚不能确定。

在加工过程中，对表面粗糙度影响较大的因子主要有进给、切深、切宽和转速，表2汇总了各个影响因子及其取值范围：

表2 影响因子及其取值范围

	因子	取值范围
			x1	进给(mmpm)	[1950,2450]
x2	切深(mm)	[1,3.5]
			x3	切宽(mm)	[0.5,3.5]
x4	转速(rpm)	[8300,9000][10500,11000]

其中，切宽与切深之和不能大于5.5，即存在约束条件：

x₂+x₃≤5.5

转速则不能出现(9000,10500)之间的取值，即必须在两个连续区间[8300,9000]或[10500,11000]中取值，即

x₄∈[8300,11000]\(9000,10500)

根据工程经验，因子与响应之间的关系模型确定为根据工程经验，考虑一阶效应与部分二阶、三阶交互作用，试验的目标是使得表面粗糙度最小，其响应模型如下：

y＝β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+β₄x₄+β₅x₁x₂+β₆x₁x₃+β₇x₁x₄+β₈x₁x₂x₃+e

其中，e为误差项，β为模型中的未知参数。由于时间经费等试验资源的不确定性，允许做20-40次左右试验。

步骤二：在设计区域内，采用D-最优设计方法给出最小试验次数n_min的D-最优设计方案其具体设计方法如下：

首先，将各因子取值范围规范至[-1，1]区间范围内，根据实际因子间的约束关系，确定设计区域；然后，在该设计区域内，选择满足给定次数的设计使得信息矩阵行列式最大，至此完成D-最优内表设计。进一步，使用G-最优效率衡量该设计的优良性。G-最优效率的定义为：

$G_{eff}=\frac{p}{\underset{x\∈X}{max}d(x,\mathrm{\ξ})}$

这里，G-最优效率值G_eff越接近于1，表示设计越好。

在设计区域内，采用D-最优设计方法给出最小试验次数n_min的D-最优设计方案见表3：

表3 基于最小试验次数的D-最优设计方案

试验号	进给(mmpm)	切深(mm)	切宽(mm)	转速(rpm)
					1	1	1	-1	-1
2	-1	-1	1	1
					3	-1	-1	1	-1
4	1	-1	-1	-1
					5	-1	0.5252	0.39567	-1
6	-1	-1	-1	1
					7	1	-1	-1	-1
8	1	-1	1.00E+00	-1
					9	1	-1	-1	1
10	-1	1	-1	1
					11	1	-1	1	1
12	1	1	5.20E-18	-1
					13	1	0.56648	0.36127	1
14	-1	-1	-1	1
					15	-1	-1	1	1
16	1	1	-1	1
					17	-1	1	-1.39E-17	1
18	-1	1	-1.00E+00	-1
					19	-1	-1	-1	-1
20	1	-1	1	1

步骤三：确定逐批投入设计批次节点，直到达到试验资源允许的最大试验次数n_max为止。下面给出节点的定义及选取原则：

记K₀＝n_min,K_i＝K_i-1+m_i,i＝1,2,...,q-1。即，K₀是最小设计ξ_n的试验次数，Ki,i＝1,2,...,q-1记录了设计的试验次数。方便起见，记K_i,i＝1,2,...,q-1为设计节点。则，设计节点K_i,i＝1,2,...,q-1的选取应满足以下特点：

1.K_i,i＝1,2,...,q-1应该相对均匀的分散在允许的试验次数区间内；

2.K_i,i＝1,2,...,q-1个设计节点所代表的设计方案应该具有相对较高的G-效率；

3.如果在选择设计节点的过程中存在两个或两个以上G-效率一致或相差很小的试验方案，则选取较小试验次数较小的设计次数作为设计节点。

考虑在上面小节中提的节点确定的三个原则，选择设计节点分别为20，24，28，30，32，36，即

K₀＝20,K₁＝24,K₂＝28,K₃＝30,K₄＝32,K₅＝36

依据步骤二、步骤三中得到的最小设计方案逐批投入设计批次节点K_i＝K_i-1+m_i,i＝1,2,...,q-的结果，确定逐批试验方案为保持的D-最优性，其确定准则如下：

$\underset{x\∈{\mathrm{\ξ}}_{m_i}}{min}\left(d\right(x,{\mathrm{\ξ}}_{m_i}\left)\right)=\underset{x\∉{\mathrm{\ξ}}_{K_{i-1}}}{\underset{x\∈\mathrm{\χ}}{max}}\underset{x\∈{\mathrm{\ξ}}_{m_i}}{min}\left(d\right(x,\mathrm{\ξ}\left)\right)$

下面利用逐批投入设计方法，在20次试验的基础上，依次添加试验点，分别给出24次、28次、30次、32次、36次下的试验设计方案，见表4。

表4 逐批投入D-最优试验设计方案

步骤五：基于G-效率确定最优试验次数。具体确定方法如下：

对于一个有p个参数的模型，设计ξ的G-最优效率定义为

$G_{eff}=\frac{p}{\underset{x\∈X}{max}d(x,\mathrm{\ξ})}$

一般使用G-最优效率来衡量D-最优设计的优良性。根据G-最优效率的定义，G-最优效率值G_eff越接近于1，则表示设计ξ越好。

在试验资源允许的次数范围[n_min,n_max]内，计算各个节点对应的设计的G-最优效率，选择相应的G-效率最高的次数为最优试验次数：

$n_{*}=\underset{n_{\min }\≤K_i\≤n_{\max }}{\mathrm{argmax}}\left(G_{eff}\right({\mathrm{\ξ}}_{K_i}\left)\right)$

本案例中，表5给出了不同节点下试验次数的G-效率。

表5 不同节点下试验次数的G-效率

次数	20	24	28	30	32	36
							G-效率	0.8146	0.8117	0.8418	0.8072	0.9254	0.9163

图2给出了不同节点下G-效率趋势图。

显然，第32次试验的G-效率比明显高于其他次数。虽然在32次之后的试验设计效率仍较高，但是如果再继续试验，不仅花费了人力物力时间，而且所收获的信息有限。因此，最优的试验次数确定为32。

步骤六：进行试验及模型验证。根据试验方案进行具体试验，并利用逐批投入试验可以边试验、边分析的特点进行模型检验，具体检验方法如下：

在进行完第一个子设计后，应进行F检验，并计算判定系数R²值。如果F检验未通过或者R²值太小，说明因子变量或者模型选择不准确，均需重新检验和调整；否则，则可以继续进行下一阶段试验。其中，F统计量表示为：

$F=\frac{SSR/p}{SSE/(n-p-1)}$

对一个给定的置信度α，如果F≥F_1-α(p,n-p-1)，则接受假设模型；反之，如果F＜F_1-α(p,n-p-1)，则拒绝假设模型，此时，需要对模型重新进行分析和修正；其中，为总平方和；为回归平方和；为残差平方和。

判定系数R²的定义为：

$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\left({\hat{y}}_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_i-\stackrel{\‾}{y})}^2}=1-\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(y_i-\stackrel{\‾}{y})}^2}$

R²的取值范围为[0，1]，表示预测模型和观测值的拟合优度。R²越大，则说明模型能更好的拟合实际数据。

本案例中，在进行完首批20个试验之后，根据收集到的数据进行辅助决策分析，得到模型参数：

β＝(β₀,β₁,β₂,...,β_p)^T

＝(-20.8709,8.2127,-0.9426，-2.0756,31.2762,0.6642,0.7178,-11.1521,-0.0969)^T

计算得到F值：

$F=\frac{SSR/p}{SSE/\left(n_{\min }-p-1\right)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{20}{\Σ}}{\left({\hat{y}}_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2/9}{\underset{i=1}{\overset{20}{\Σ}}{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2/\left(20-9-1\right)}$

对给定的显著性水平α＝0.05，F_1-α(p,n-p-1)＝F_0.95(9,21-9-1)＝3.02。显然F＞F_1-α(p,n-p-1)，接受假设模型。判定系数R²为：

$R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{\underset{i=1}{\overset{20}{\Σ}}{\left({\hat{y}}_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{20}{\Σ}}{\left(y_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}=1-\frac{\underset{i=1}{\overset{20}{\Σ}}{\left(y_i-\hat{y}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{20}{\Σ}}{\left(y_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}=0.8101$

相似的，在每进行完一个子设计后进行辅助决策分析，若通过了便可继续进行下一阶段试验，否则，需要对模型进行修正。每一个子设计后的F值、F_1-α值以及判定系数R²如表6所示。

表6 每个子设计的F值、F_1-α值以及判定系数R²

	20	24	28	30	32
						F值	5.8645	7.1743	8.6078	7.5811	13.4396
F1-α值	3.02	3.03	2.96	2.94	2.92
						R2	0.8101	0.7928	0.7838	0.7428	0.8238

从表6中可以看出，对每个子设计，F值总是大于F_1-α值，且判定系数R²值均较高，说明因子的选取和模型的建立均很合理。

步骤七:回归拟合求得关系模型y中未知参数，确定最佳因子水平组合，使得在该试验方案下质量特性估计值最接近目标值

本案例中，利用最小二乘法，得到模型参数：

β＝(β₀,β₁,β₂,...,β_p)^T

＝{-12.8802,5.3678,-0.4430,-1.9179,22.2882,0.4710,0.6651,-7.8425,-0.1190}

即响应模型为：

y＝-12.8802+5.3678x₁-0.4430x₂-1.917x₃+22.2882x₄

+0.4710x₁x₂+0.6651x₁x₃-7.8425x₁x₄-0.1190x₁x₂x₃+e

判定系数R²＝0.8238。

下面利用非线性求解法，求出在满足试验约束的情况下使得表面粗糙度最小的因子水平，即

min y

2.2≤x₁≤2.8

s.t.1≤x₂≤3.5

0.5≤x₃≤3.5

0.83≤x₄≤0.9or1.05≤x₄≤1.1

在此约束条件下，利用非线性方法，求得各个水平最优的组合

x^*＝[2.2,2.0,3.5,0.83]

该参数组合下，铝合金表面粗糙度预测值为1.146μm，达到目标值要求，圆满完成了优化铝合金薄壁件的表面切削处理工艺的目标。

Claims (2)

1.一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，其特征在于：具体实施步骤如下：

步骤一：根据试验目的、条件以及工程经验，给出试验基本试验信息，包括试验响应即所关注的质量特性、影响因子及其取值范围，各因子之间的约束关系、试验资源允许的试验次数范围[n_min,n_max]以及确定响应与因子之间的关系模型；其中响应与因子之间的关系模型具体确定方法如下：

基于试验因子与响应试验基本信息，采用数学模型的形式给出响应与因子之间的关系模型，记为y＝Xβ+ε；其中,为已知的n^inner×p维参数模型矩阵；f(x_i)为关于x_i的已知函数，反映全部可控因子及其之间的约束关系；β＝(β₀,β₁,β₂,...,β_p)^T为p个待估参数，反映各个因子与响应之间的影响关系；

步骤二：在设计区域内，采用D-最优设计方法给出最小试验次数n_min的D-最优设计方案其具体设计方法如下：

1.将各因子取值范围规范至[-1，1]区间范围内；

2.根据实际因子间的约束关系，建立约束方程，得到设计区域；

3.在该设计区域内，依据信息矩阵行列式最大的原则，确定满足给定次数的设计至此完成D-最优内表设计；

步骤三：确定逐批投入设计批次节点，直到达到试验资源允许的最大试验次数n_max为止；下面给出节点的定义及选取原则：

记K₀＝n_min,K_i＝K_i-1+m_i,i＝1,2,...,q-1；即K₀是最小设计ξ_n的试验次数，K_i,i＝1,2,...,q-1记录了设计的试验次数；方便起见，记K_i,i＝1,2,...,q-1为设计节点，则，设计节点K_i,i＝1,2,...,q-1的选取应满足以下特点：

1.K_i,i＝1,2,...,q-1应该相对均匀的分散在允许的试验次数区间内；

2.K_i,i＝1,2,...,q-1个设计节点所代表的设计方案应该具有相对较高的G-效率；

3.如果在选择设计节点的过程中存在两个及两个以上G-效率一致及相差很小的试验方案，则选取较小试验次数较小的设计次数作为设计节点；

步骤四：进行逐批试验方案设计，其具体方法如下：

依据步骤二、步骤三中得到的最小设计方案逐批投入设计批次节点的结果，确定逐批试验方案为保持的D-最优性，其确定准则如下：

$\underset{x\∈{\mathrm{\ξ}}_{m_i}}{min}\left(d\right(x,{\mathrm{\ξ}}_{m_i}\left)\right)=\underset{x\∉{\mathrm{\ξ}}_{K_{i-1}}}{\underset{x\∈\mathrm{\χ}}{max}}\underset{x\∈{\mathrm{\ξ}}_{m_i}}{\min }\left(d\right(x,\mathrm{\ξ}\left)\right);$

步骤五：基于G-效率确定最优试验次数；

步骤六：进行试验及模型验证；根据试验方案进行具体试验，并利用逐批投入试验，采用边试验、边分析的特点进行模型检验；具体检验方法如下：

在进行完第一个子设计后，应进行F检验，并计算判定系数R²值；如果F检验未通过及R²值太小，说明因子变量及模型选择不准确，均需重新检验和调整；否则，则继续进行下一阶段试验；其中，F统计量表示为：

$F=\frac{SSR/p}{SSE/(n-p-1)}$

对一个给定的置信度α，如果F≥F_1-α(p,n-p-1)，则接受假设模型；反之，如果F＜F_1-α(p,n-p-1)，则拒绝假设模型，此时，需要对模型重新进行分析和修正；其中，为总平方和；为回归平方和；为残差平方和；

判定系数R²的定义为：

$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left({\hat{y}}_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(y_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}=1-\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(y_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2}$

R²的取值范围为[0，1]，表示预测模型和观测值的拟合优度，R²越大，则说明模型能更好的拟合实际数据；

步骤七:回归拟合求得关系模型y中未知参数，确定最佳因子水平组合，使得在该试验方案下质量特性估计值最接近目标值；

通过以上步骤，解决了试验区域不规则、因子维数较高、试验次数有限情况下的试验设计问题，并且在保证试验设计效率的基础上，缓解了试验设计前以及设计工程中一些不确定性带来的影响，容易实现，方便工程技术人员使用，具有良好的应用价值。

2.根据权利要求1所述的一种基于D-最优设计的逐批投入试验设计方法，其特征在于：在步骤五中所述的“基于G-效率确定最优试验次数”，其具体确定方法如下：

对于一个有p个参数的模型，设计ξ的G-最优效率定义为

$G_{eff}=\frac{p}{\underset{x\∈X}{max}d(x,\mathrm{\ξ})}$

一般使用G-最优效率来衡量D-最优设计的优良性；根据G-最优效率的定义，G-最优效率值G_eff越接近于1，则表示设计ξ越好；

在试验资源允许的次数范围[n_min,n_max]内，计算各个节点对应的设计的G-最优效率，选择相应的G-效率最高的次数为最优试验次数：

$n_{*}=\underset{n_{\min }\≤K_i\≤n_{max}}{\mathrm{argmax}}\left(G_{eff}\right({\mathrm{\ξ}}_{K_i}\left)\right).$