CN105825309A - 一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法，包含：1)将水库汛期调度过程转化为当前与未来两阶段滚动决策过程；2)构建水库汛期双目标两阶段优化调度对冲模型；3)利用KKT条件，结合经济学原理，提出水库汛期兴利和防洪目标的最优协调控制条件；4)提出优化对冲模型的求解方法；5)基于优化对冲模型，揭示水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系，给出下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线。本发明考虑预报信息的不确定性及防洪风险，建立一个汛限水位实时动态控制的两阶段模型，能在保证水库防洪安全的前提下，最大限度的提高水库效益。

Description

一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法

技术领域

本发明属于水库调度技术领域，特别涉及一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法。

背景技术

水库防洪目标与兴利目标之间是矛盾的竞争关系，汛期调度是防洪与兴利双目标的协调控制问题，其中，汛限水位是协调水库兴利与防洪矛盾的关键。传统的汛限水位控制方法时刻预防设计洪水与校核洪水的发生，没有充分挖掘水库兴利效益，造成了一定的洪水资源浪费。但随着水文气象预报预见期与预报精度的大幅度提高，考虑水文气象预报的水库汛限水位动态控制方法得到了快速发展。水文预报用于水库调度中能够有效提高水库综合效益，但另一方面，预报不确定性给水库调度带来一定的风险和效益损失。因此，汛期水位动态控制属于风险调度范畴，需要综合分析其风险以及经济效益以获得效益最大化。

目前，汛期水位动态控制的主要方法有：预蓄预泄法、综合信息推理模式法、优化调度方法等，这些方法从成因分析与统计学的条件概率事件出发，综合利用现代科学提供的一切可利用的信息，并采用弥补措施预防预报的小概率误差与稀遇洪水事件发生，安全经济地确定一个允许动态控制域，并在此约束域内对汛限水位实施动态控制，实时调度过程中，可调整库水位，以提高洪水与水资源的利用率，提高水库的防洪能力。但这些方法都没有明确地定量分析防洪与兴利目标之间的权衡关系。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明基于两阶段调度思想，构建了一个考虑预报不确定性的水库汛期双目标两阶段优化调度对冲模型。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法，包括以下步骤：

第一步，在实时调度中，依据面临阶段(阶段1)与余留阶段(阶段2)的水、雨、工、灾情信息，将水库汛期调度过程转化为当前与未来两阶段滚动决策过程。面临阶段(阶段1)也即决策阶段，包含1个调度时段，余留阶段(阶段2)包含T-1个调度时段(T为预报信息可利用预见期，以预报时段为单位)，实时调度模型随着时间不断向前滚动，处于决策时段的决策也不断向前滚动实施。

第二步，分析面临阶段的洪水预报信息和余留阶段的径流预报信息，得到洪水预报信息和径流预报信息的不确定性，基于面临阶段和余留阶段的目标函数，构建水库汛期双目标两阶段的优化调度对冲模型；所述的双目标表示面临阶段蓄水效益最大和余留阶段防洪风险最小；所述的两阶段表示面临阶段与余留阶段。

2.1面临阶段的目标函数

$\min G_1=(1-\mathrm{\ω})\·R_1^b+\mathrm{\ω}\·B_1^{-}=(1-\mathrm{\ω})\·0+\mathrm{\ω}\·{(1-W_1/W_N)}^m---\left(13\right)$

其中，G₁为阶段1的总目标，ω为蓄水目标权重，(1-ω)为防洪目标权重，为阶段1下游控制站防洪风险率，为阶段1水库效益差值，W₁为水库阶段1末预蓄水量，W_N为水库正常高水位对应的预蓄水量，m水库蓄水目标函数曲线形状系数。

2.2余留阶段的目标函数

$\min G_2=(1-\mathrm{\ω})\·R_2^b+\mathrm{\ω}\·B_2^{-}=(1-\mathrm{\ω})\·{\∫}_{Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left({\mathrm{\ϵ}}_2^b\right){\mathrm{d\ϵ}}_2^b+\mathrm{\ω}\·1---\left(14\right)$

其中，G₂为阶段2的总目标，为阶段2下游控制站防洪风险率，为阶段2水库效益差值，为阶段2下游控制站最大过水量，为阶段2下游控制站期望组合水量，为阶段2下游控制站期望组合水量误差，为的概率密度函数。

2.3优化调度对冲模型

$\min (G_1+G_2)=\mathrm{\ω}\·{(1-W_1/W_N)}^m+(1-\mathrm{\ω})\·{\∫}_{Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left({\mathrm{\ϵ}}_2^b\right){\mathrm{d\ϵ}}_2^b+\mathrm{\ω}\·1---\left(15\right)$

第三步，利用Karush–Kuhn–Tucker(KKT)条件，结合经济学原理，求解优化调度对冲模型，得到水库汛期兴利和防洪目标的最优协调控制条件；所述的最优协调控制条件为蓄水边际效益和防洪边际效益尽可能地接近，其蓄水边际效益与防洪边际效益的关系式为：

$f_1\left(W_1^{*}\right)+{\mathrm{\μ}}_{wl}-{\mathrm{\μ}}_{wu}+{\mathrm{\μ}}_{rl1}=f_2\left({\mathrm{\δ}}_2^{*}\right)+{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}l}={\mathrm{\λ}}_{m2}---\left(25\right)$

其中，为蓄水边际效益，为防洪边际效益，μ_wl为控制域下限减小一个单位的蓄水边际效益，μ_wu为控制域上限增大一个单位的蓄水边际效益，μ_rl1为下游最小需水减小一个单位的蓄水边际效益，μ_δl为下游最小防洪安全值增大一个单位的防洪边际效益，λ_m2为阶段2来水量减小一个单位的边际效益。

第四步，基于最优协调控制条件和优化调度对冲模型边际效益递减的经济学特性，提出优化对冲模型的求解方法；所述的优化对冲模型求解方法如下：

1)采用一维搜索法求得满足边际效益相等原则的最优预蓄水量和最优防洪安全值δ^*。

2)判断最优解和δ^*是否在可行域内，若在可行域内，则和δ^*即为最优解，若不在可行域内，则相应的边界值为最优解。

3)在得到最优预蓄水量决策后，根据当前阶段的水量平衡方程得到当前阶段泄水量决策并判断其是否在可行域内，若在可行域内，则即为最优解，若不在可行域内，则相应的边界值为最优解。

第五步，基于上述的优化调度对冲模型的建模及求解方法，进一步揭示水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系，并给出下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线，该变化曲线可直接指导水库实时调度。

本发明的有益效果为：1)将水库汛期防洪与兴利协调控制的复杂问题，转化为面临时段效益目标与余留阶段防洪目标之间协调控制的两阶段调度问题，使复杂问题得到了合理简化；2)本发明充分利用了预报信息，并考虑了预报信息的不确定性影响及由其此可能产生的附加防洪风险，建立了一个汛限水位实时动态控制的两阶段模型。该模型在保证水库防洪安全的前提下，能最大限度的提高水库的兴利效益，可为水库汛期防洪与兴利双目标协调控制提供决策依据，尤其适用于水资源短缺地区；3)本发明利用KKT最优化条件，结合经济学原理，揭示了水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系，并给出了下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线，该曲线可直接指导水库实时调度。

附图说明

图1为两阶段调度滚动决策方式示意图；

图2为基于边际效益相等的最优条件与边际效益递减规律的模型求解方法设计图；

图3(a)为最小防洪安全值很小(δ_min≤δ_d)时，最优预蓄水量随剩余防洪能力RFCC的变化曲线；

图3(b)为最小防洪安全值很小(δ_min≤δ_d)时，最优预蓄水量随阶段2预报来水量的变化曲线；

图4(a)为最小防洪安全值适中(δ_d≤δ_min≤δ_e)时，最优预蓄水量随剩余防洪能力RFCC的变化曲线；

图4(b)为最小防洪安全值适中(δ_d≤δ_min≤δ_e)时，最优预蓄水量随阶段2预报来水量的变化曲线；

图5(a)为最小防洪安全值很大(δ_min≥δ_e)时，最优预蓄水量随剩余防洪能力RFCC的变化曲线；

图5(b)为最小防洪安全值很大(δ_min≥δ_e)时，最优预蓄水量随阶段2预报来水量的变化曲线。

具体实施方式

本发明基于两阶段思想，将水库汛期调度过程转化为面临阶段与余留阶段两阶段滚动决策过程，进而构建了水库汛期双目标两阶段优化调度对冲模型。随后，利用数学分析方法结合经济学原理，提出水库汛期兴利和防洪目标的最优协调控制条件，在此基础上设计了优化调度对冲模型的求解方法，揭示了水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系，并给出下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线。

下面通过实施例，并结合附图，对本发明的技术方案做进一步具体说明。

一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法，包含以下步骤：

第一步，在实时调度中，依据面临阶段(阶段1)与余留阶段(阶段2)的水、雨、工、灾情信息，将水库汛期调度过程转化为当前与未来两阶段滚动决策过程。面临阶段(阶段1)也即决策阶段，包含1个调度时段，余留阶段(阶段2)包含T-1个调度时段(T为预报信息可利用预见期，以预报时段为单位)，实时调度模型随着时间不断向前滚动，处于决策时段的决策也不断向前滚动实施。

两阶段调度滚动决策方式示意图如图1所示，其中，D_t，D_t+1分别为决策时段t～t+1和t+1～t+2的泄流；N为调洪计算时段长的时段数。

第二步，分析面临阶段的洪水预报信息和余留阶段的径流预报信息，得到洪水预报信息和径流预报信息的不确定性，基于面临阶段和余留阶段的目标函数，构建水库汛期双目标两阶段的优化调度对冲模型；所述的双目标表示面临阶段蓄水效益最大和余留阶段防洪风险最小；所述的两阶段表示面临阶段与余留阶段。

1)考虑预报信息不确定性的下游防洪风险率

面临阶段(阶段1)对调控决策起决定作用的是由已发生降雨得到的洪水预报信息，其预报精度较高，因此阶段1可按确定性预报处理，则只要下游组合流量不超过其安全泄水量就可满足规划设计要求，即无防洪风险，可用如下公式表示：

${\mathrm{\ϵ}}_1^a=0,{\mathrm{\ϵ}}_1^{ab}=0,R_1^b=P(Q_1^b\≥Q_{1,max}^b)=0---\left(1\right)$

式中，为水库阶段1来水预报误差，为阶段k(k＝1,2)水库与下游区间来水预报误差，为阶段1下游控制站防洪风险，为阶段1下游控制站组合泄水量，为阶段1下游控制站最大过水量。

余留阶段(阶段2)要考虑未来一段时间内的降雨预报信息，其预报不确定性随预见期增长而增大趋势明显，因此阶段2预报误差(实际来水与预报来水的差值)对下游防洪风险的影响不可忽略。根据水库水量平衡方程可得阶段2末的水库蓄水量(忽略水库蒸散发渗漏损失)用公式表示如下：

$V_2=V_1+({\stackrel{\‾}{Q}}_2^a+{\mathrm{\ϵ}}_2^a)-D_2=V_0+Q_1^a-D_1+({\stackrel{\‾}{Q}}_2^a+{\mathrm{\ϵ}}_2^a)-D_2---\left(2\right)$

式中，V₂为阶段2水库末库容，V₁为阶段1水库末库容，为阶段2水库预报来水，为阶段2水库来水预报误差，D₂为阶段2水库实际泄流决策，V₀为计算时段水库初始库容，为阶段1水库实际来水，D₁为阶段1水库实际泄流决策。

由于预见期以外的来水存在较大的不确定性，保守的调度策略是将预见期末水位控制在汛限水位控制域下限，即

$V_2=V\left(Z_d^{-}\right)---\left(3\right)$

式中，汛限水位动态控制域下限，为汛限水位动态控制域下限对应的库容。

预蓄水量W是指汛期库水位与汛限水位动态控制域下限之间的库容差，则阶段1的预蓄水量W₁为：

$W_1=V_1-V\left(Z_d^{-}\right)---\left(4\right)$

水库泄水量决策的不确定性是由水库来水的预报误差引起的，用表示阶段2水库期望泄水量，则依据式(2)和(3)有：

$D_2={\stackrel{\‾}{D}}_2+{\mathrm{\ϵ}}_2^a=(W_1+{\stackrel{\‾}{Q}}_2^a)+{\mathrm{\ϵ}}_2^a---\left(5\right)$

根据河道洪水演进的连续方程，下游控制站的组合泄水量为水库泄水量与区间来水之和，即

$Q_2^b=({\stackrel{\‾}{D}}_2+{\mathrm{\ϵ}}_2^a)+({\stackrel{\‾}{Q}}_2^{ab}+{\mathrm{\ϵ}}_2^{ab})=({\stackrel{\‾}{D}}_2+{\stackrel{\‾}{Q}}_2^{ab})+({\mathrm{\ϵ}}_2^a+{\mathrm{\ϵ}}_2^{ab})={\stackrel{\‾}{Q}}_2^b+{\mathrm{\ϵ}}_2^b---\left(6\right)$

式中，为阶段2下游控制站的组合泄水量，阶段2水库与下游区间预报来水，阶段2为水库与下游区间来水预报误差，阶段2为下游控制站期望组合泄水量，为阶段2下游控制站期望组合泄水量误差。

用表示阶段2下游控制站可以安全通过的最大过水量，则组合泄水量超过安全泄水量的概率为利用预报信息后的下游防洪风险率。则下游防洪风险率可用如下式表示：

$R_2^b=P(Q_2^b>Q_{2,max}^b)={\∫}_{Q_{2,\max }^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left(Q_2^b\right){\mathrm{dQ}}_2^b---\left(7\right)$

式中，为阶段2下游控制站防洪风险率；表示阶段2下游控制站的组合泄水量的概率密度函数。

由公式(6)和(7)即可得到以预报误差为变量的下游防洪风险率计算公式，如下式所示：

$R_2^b=P({\mathrm{\ϵ}}_2^b>Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b)={\∫}_{Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left({\mathrm{\ϵ}}_2^b\right){\mathrm{d\ϵ}}_2^b---\left(8\right)$

式中，表示下游控制站阶段2预报来水误差的概率密度函数。

公式(8)中的是下游控制站处安全泄水量与期望来水量之间的差值，定义为防洪安全值，用δ表示，即有：

$\mathrm{\δ}=Q_{2,\max }^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b---\left(9\right)$

防洪安全值δ是为预报不确定性余留的安全空间，是洪水管理的安全指标，该值越大时说明下游可承受越大的预报误差。将式(9)代入式(8)，可得到以防洪安全值δ为变量的防洪风险率计算公式，如下式所示：

$R_2^b=P({\mathrm{\ϵ}}_2^b>\mathrm{\δ})={\∫}_{\mathrm{\δ}}^{+\mathrm{\∞}}h\left({\mathrm{\ϵ}}_2^b\right){\mathrm{d\ϵ}}_2^b---\left(10\right)$

2)水库汛期兴利目标函数

用与规划设计相比的水库兴利效益增加值B⁺描述兴利目标，属越大越优型。鉴于下游防洪风险目标属于越小越优型，为便于将多目标问题转换为单目标，将水库兴利效益增加越大越优的目标，转化为越小越优的目标。由于预蓄水量达到上限W_N(兴利蓄水位)时，兴利效益增加值达到最大，所以将预蓄效益上限与实际调控效益的差值作为兴利效益的越小越优目标，简称为效益差值。当预蓄水量上限给定时，效益差值B^-取决于预蓄水量W，且呈负相关关系，效益差值B^-的归一化计算公式可表示为：

$B^{-}={(1-\frac{W}{W_N})}^m---\left(11\right)$

式中，W_N为水库正常高水位对应的水量；m为水库蓄水目标函数曲线形状系数。

由公式(11)可求得两阶段的效益差值，如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_1^{-}={(1-W_1/W_N)}^m\\ B_2^{-}={(1-W_2/W_N)}^m\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中，W₁为水库阶段1末预蓄水量，W₂为水库阶段2末预蓄水量，为阶段1水库效益差值，为阶段2水库效益差值。

3)两阶段优化调度对冲模型

目标函数：因阶段2能将阶段1的预蓄水量安全地泄出，故水库在阶段2末的调控目标是不预蓄，即W₂＝0，则阶段2的效益差值设兴利目标权重为ω，则防洪目标权重为(1-ω)。采用加权求和方法将多目标转化为单目标，并将代入，求得阶段1的目标函数分别为：

$\min G_1=(1-\mathrm{\ω})\·R_1^b+\mathrm{\ω}\·B_1^{-}=(1-\mathrm{\ω})\·0+\mathrm{\ω}\·{(1-W_1/W_N)}^m---\left(13\right)$

式中，G₁为阶段1的总目标，ω为蓄水目标权重，(1-ω)为防洪目标权重，为阶段1下游控制站防洪风险率，为阶段1水库效益差值，W₁为水库阶段1末预蓄水量，W_N为水库正常高水位对应的预蓄水量，m水库蓄水目标函数曲线形状系数。

阶段2的目标函数分别为：

$\min G_2=(1-\mathrm{\ω})\·R_2^b+\mathrm{\ω}\·B_2^{-}=(1-\mathrm{\ω})\·{\∫}_{Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left({\mathrm{\ϵ}}_2^b\right){\mathrm{d\ϵ}}_2^b+\mathrm{\ω}\·1---\left(14\right)$

式中，G₂为阶段2的总目标，为阶段2下游控制站防洪风险率，为阶段2水库效益差值，为下游控制站阶段2最大过水量，为阶段2下游控制站期望组合水量，为阶段2下游控制站期望组合水量误差，为的概率密度函数。

如公式(13)、(14)所示，阶段1的目标函数只有效益目标随预蓄水量W₁变化，阶段2的目标函数只有防洪目标随组合泄水量和预报误差变化，其它均为常量。便将水库汛期防洪与兴利协调控制的复杂问题，转化为阶段1的兴利目标与阶段2的防洪目标之间协调控制的两阶段优化问题，从而使复杂问题得到了合理简化。两阶段综合目标函数可表示为：

$\min (G_1+G_2)=\mathrm{\ω}\·{(1-W_1/W_N)}^m+(1-\mathrm{\ω})\·{\∫}_{Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left({\mathrm{\ϵ}}_2^b\right){\mathrm{d\ϵ}}_2^b+\mathrm{\ω}\·1---\left(15\right)$

约束条件：水库调度的约束条件主要有水量平衡、预蓄水量上限W_max、规划设计的下游防洪风险及安全泄水量等约束。

①水量平衡约束，可用下列公式表示：

$\left\{\begin{array}{c}{W}_0+Q_1^a-D_1=W_1\\ W_0+{\stackrel{\‾}{Q}}_2^a-{\stackrel{\‾}{D}}_2=W_2=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

式中，W₀为计算时段水库初始预蓄水量，为阶段1实际来水，D₁为阶段1水库实际泄水决策。

②水库库容约束，可用下列公式表示：

0≤W₁≤W_max(17)

③泄水量约束：

阶段1泄水量约束：阶段1来水为确定的，来水可控，约束始终能满足，阶段1的泄水量约束只考虑：

$D_1\≥Q_{1,\min }^b-Q_1^{ab}---\left(18\right)$

式中，为阶段1下游控制站最小需水，为阶段1水库与下游区间实际来水。

阶段2泄水量约束：由于阶段2需要将预蓄水量全部下泄，且要满足防洪风险不超过下游防洪标准即

$R_2^b={\∫}_{Q_{2,max}^b}^{+\mathrm{\∞}}h\left(Q_2^b\right){\mathrm{dQ}}_2^b\≤R_0^b---\left(19\right)$

对泄水量约束进行机遇约束处理，可得：

${\stackrel{\‾}{Q}}_2^b\≤Q_{2,max}^b-F^{-1}(1-R_0^b)---\left(20\right)$

式中，为预报误差对下游控制站期望来水和水库泄水量的影响值。

将代入(20)可得：

${\stackrel{\‾}{D}}_2\≤Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^{ab}-F^{-1}(1-R_0^b)---\left(21\right)$

综上，泄水量约束为：

$\left\{\begin{array}{c}{D}_1\≥Q_{1,\min }^b-Q_1^{ab}\\ {\stackrel{\‾}{D}}_2\≤Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^{ab}-F^{-1}(1-R_0^b)\end{array}\right.---\left(22\right)$

第三步，利用数学分析方法，结合经济学原理，求解优化调度对冲模型，得到水库汛期兴利和防洪目标的最优协调控制条件；所述的最优协调控制条件为蓄水边际效益和防洪边际效益尽可能地接近。

对于非线性规划问题，当目标函数为凸函数，等式约束为仿射函数时，KKT条件是模型最优解的充分必要条件。如前所述，本发明的水库汛期双目标两阶段优化调度对冲模型属于非线性凸规划问题，从而KKT条件为模型最优解的充分必要条件，模型对应KKT条件为：

$\left\{\begin{array}{c}{G_1}^{\′}\left(W_1^{*}\right)-{\mathrm{\λ}}_{m1}+{\mathrm{\λ}}_{m2}-{\mathrm{\μ}}_{wl}+{\mathrm{\μ}}_{wu}=0\\ {G_2}^{\′}\left({{\mathrm{\δ}}_2}^{*}\right)+{\mathrm{\λ}}_{m2}-{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}l}=0\\ -{\mathrm{\λ}}_{m1}+{\mathrm{\μ}}_{rl1}=0\\ W_0+Q_1^a-{D_1}^{*}-W_1^{*}=0\\ W_1^{*}+{\stackrel{\‾}{Q}}_2^a+{\stackrel{\‾}{Q}}_2^{ab}-(Q_{2,\max }^b-{\mathrm{\δ}}^{*})=0\\ {\mathrm{\μ}}_{rl1}(Q_{1,\min }^b-Q_1^{ab}-{D_1}^{*})=0\\ -{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}l}({\mathrm{\δ}}^{*}-{\mathrm{\δ}}_{\min })=0\\ {\mathrm{\μ}}_{wu}(W_1^{*}-W_{\max })=0\\ {\mathrm{\μ}}_{wl}(0-W_1^{*})=0\\ {\mathrm{\μ}}_{rl1},{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}l},{\mathrm{\μ}}_{wl},{\mathrm{\μ}}_{wu}\≥0\end{array}\right.---\left(23\right)$

式中，为最优预蓄水量，δ^*为最优防洪安全值，G₁'(W₁)与G₂'(δ)在经济学上的意义为预蓄水量W₁与防洪安全值δ对两阶段损失的边际贡献，μ_rl1、μ_δl、μ_wl、μ_wu、λ_m1、λ_m2均为拉格朗日乘子，经济学上为相应约束的影子价格，具体而言，μ_rl1为下游最小需水减小一个单位的蓄水边际效益，μ_δl为下游最小防洪安全值增大一个单位的防洪边际效益，μ_wl为控制域下限减小一个单位的蓄水边际效益，μ_wu为控制域上限增大一个单位的蓄水边际效益，λ_m1为阶段1来水量增大一个单位的边际效益，λ_m2为阶段2来水量减小一个单位的边际效益，D₁ ^*为阶段1最优水库实际泄水量，δ_min为下游最小防洪安全值。

当预报误差服从均值为零的正态分布时，有：

$\left\{\begin{array}{c}{G_1}^{\′}\left(W_1\right)=\frac{{\mathrm{dG}}_1\left(W_1\right)}{{\mathrm{dW}}_1}=-\mathrm{\ω}\·\frac{m}{W_N}{\[1-\frac{W_1}{W_N}\]}^{m-1}=-f_1\left(W_1\right)\\ {G_2}^{\′}\left(\mathrm{\δ}\right)=\frac{{\mathrm{dG}}_2\left(\mathrm{\δ}\right)}{d\mathrm{\δ}}=-(1-\mathrm{\ω})\·\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_2^b\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp (-\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{2{\left({\mathrm{\σ}}_2^b\right)}^2})=-f_2\left(\mathrm{\δ}\right)\end{array}\right.---\left(24\right)$

式中，f₁(W₁)为考虑决策者偏好的蓄水边际效益，f₂(δ)为考虑决策者偏好的防洪边际效益，为阶段2下游控制站期望组合水量误差标准差。

G₁(W₁)为凸函数，说明f₁(W₁)为W₁的减函数，即增加单位预蓄水量W₁增加的蓄水效益随总预蓄水量的增加而减小，也即f₁(W₁)具有边际效益递减的经济学特性。G₂(δ)为凸函数，说f₂(δ)为δ的减函数，即增加单位防洪安全值δ减小的风险率随防洪安全值的增加而减小，f₂(δ)同样具有边际效益递减的经济学特性。

由公式(23)得到最优解的蓄水边际效益与防洪边际效益f₂(δ^*)的关系，如下式所示：

$f_1\left(W_1^{*}\right)+{\mathrm{\μ}}_{wl}-{\mathrm{\μ}}_{wu}+{\mathrm{\μ}}_{rl1}=f_2\left({\mathrm{\δ}}^{*}\right)+{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}l}={\mathrm{\λ}}_{m2}---\left(25\right)$

公式(25)说明模型的最优控制条件即蓄水边际效益与防洪边际效益f₂(δ^*)尽可能地接近。特别地，当泄水量约束防洪安全值约束δ≥δ_mi和预蓄水量约束0≤W₁≤W_max均能满足时，影子价格μ_rl1＝μ_wl＝μ_wu＝μ_δl＝0，那么，最优条件为蓄水边际效益与防洪边际效益f₂(δ^*)相等，即

$f_1\left(W_1^{*}\right)=f_2\left({\mathrm{\δ}}^{*}\right)---\left(26\right)$

第四步，基于最优协调控制条件和优化调度对冲模型边际效益递减的经济学特性，提出优化对冲模型的求解方法。

将下游安全泄水量与预报来水的差值定义为剩余防洪能力RFCC，即

$RFCC=Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^a-{\stackrel{\‾}{Q}}_2^{ab}=Q_{2,max}^b-{\stackrel{\‾}{Q}}_2---\left(27\right)$

式中，为水库与区间阶段2预报来水总和。

由最优控制条件可知，水库汛期防洪与兴利双目标两阶段协调控制优化模型本质上是剩余防洪能力RFCC在预蓄水量W₁和防洪安全值δ之间的分配问题，即满足W₁+δ＝RFCC。由于阶段1泄水量与目标函数没有直接关系，但其影响预蓄水量的取值，因此阶段1最小泄水流约束可先不考虑，在求得预蓄水量后，再考虑该约束。

基于上述分析，可以将模型简化为一元非线性规划在进行求解，再结合目标函数边际效益递减规律，设计模型求解算法及步骤。所述的优化对冲模型求解方法如下：

1)采用一维搜索法求得满足边际效益相等原则的最优预蓄水量和最优防洪安全值δ^*。

2)判断最优解是和δ^*否在可行域内，若在可行域内，则和δ^*即为最优解，若不在可行域内，则相应的边界值为最优解。

3)在得到最优预蓄水量决策后，根据当前阶段的水量平衡方程得到当前阶段泄水量决策并判断其是否在可行域内，若在可行域内，则即为最优解，若不在可行域内，则相应的边界值为最优解。

模型求解方法设计详见图2。

第五步，基于上述的优化调度对冲模型的建模及求解方法，进一步揭示水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系，并给出下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线，该变化曲线可直接指导水库实时调度。

公式(20)中，为预报误差对下游控制站期望来水和水库泄水量的影响值，若预报误差服从正态分布，则阶段2的水库来水预报误差服从分布区间来水预报误差服从分布下游控制站组合来水预报误差服从分布因此，可用下式计算：

$F^{-1}(1-R_0^b)={\mathrm{\μ}}_2^b+{\mathrm{\σ}}_2^b{\mathrm{\Φ}}^{-1}(1-R_0^b)---\left(28\right)$

式中，Φ^-1(·)为标准正态累计分布函数的反函数。

定义为给定规划设计的防洪风险率时下游控制站期望组合泄水量的最大值，则有：

${\stackrel{\‾}{Q}}_{2,max}^b=Q_{2,max}^b-F^{-1}(1-R_0^b)---\left(29\right)$

对应的防洪安全值为最小防洪安全值，用δ_min表示，即有：

${\mathrm{\δ}}_{\min }=F^{-1}(1-R_0^b)={\mathrm{\μ}}_2^b+{\mathrm{\σ}}_2^b{\mathrm{\Φ}}^{-1}(1-R_0^b)---\left(30\right)$

模型约束条件包含预蓄水量约束与泄流约束。对于水库预蓄水量，水库预蓄水量不能超过最大值，即满足0≤W₁≤W_max，由边际效益递减性质可知边界值对应的边际效益分别为最大、最小蓄水边际效益，即f₁(0)与f₁(W_max)，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(0\right)=\mathrm{\ω}\·\frac{m}{W_N}\\ f_1\left(W_{\max }\right)=\mathrm{\ω}\·\frac{m}{W_N}{\[1-\frac{W_{\max }}{W_N}\]}^{m-1}\end{array}\right.---\left(31\right)$

水库水量必须满足下游防洪标准要求，即防洪安全值δ必须大于最小防洪安全值δ_min，由防洪边际效益递减性质，f₂(δ_min)为最大的防洪边际效益。预报误差服从均值为零的正态分布时，最小防洪安全值δ_min与最大防洪边际效益f₂(δ_min)的计算式分别为：

${\mathrm{\δ}}_{\min }={\mathrm{\σ\Φ}}^{-1}(1-R_0^b)---\left(32\right)$

$f_2\left({\mathrm{\δ}}_{\min }\right)=(1-\mathrm{\ω})\·\frac{1}{\mathrm{\σ}\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp \{-0.5\×{\[{\mathrm{\Φ}}^{-1}(1-R_0^b)\]}^2\}---\left(33\right)$

公式(32)和(33)中σ为公式(28)中的简化表达。

由公式(32)可知，最小防洪安全值δ_min与预报不确定性σ、可接受风险(下游防洪标准)相关。当给定下游可接受风险的大小时，若预报不确定性σ越大，则下游需要的最小防洪安全值δ_min越大；当给定预报不确定性σ的大小时，若下游可接受风险越小，则下游需要的最小防洪安全值δ_min越大。由于δ_min对应的防洪风险为可接受风险的大小，即从而只有在剩余防洪能力满足下游最小防洪安全值时，水库才可恰当进行蓄水。用RFCC_c表示恰好满足最小防洪安全值的剩余防洪能力，即RFCC_c＝δ_min，对应的水库与区间来水之和用表示，则有当或时，水库才可在汛期开展防洪与兴利双目标协调控制。

若某一防洪安全值的防洪边际效益恰好等于最小预蓄水量(W₁＝0)的蓄水边际效益，记该防洪安全值为δ_d，对应剩余防洪能力、入流分别用RFCC_d、表示，则有：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{RFCC}}_d={\mathrm{\δ}}_d=\mathrm{\σ}\sqrt{2ln\frac{(1-\mathrm{\ω})\·\frac{1}{\mathrm{\σ}\sqrt{2\mathrm{\π}}}}{\mathrm{\ω}\·\frac{m}{W_N}}}\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{2,d}=Q_{2,max}^b-{\mathrm{RFCC}}_d\end{array}\right.---\left(34\right)$

若某一防洪安全值的防洪边际效益恰好等于最大预蓄水量W_max的蓄水边际效益，记该防洪安全值为δ_e，对应的剩余防洪能力、入流分别用RFCC_e、表示，则有：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_e=\mathrm{\σ}\sqrt{2ln\frac{(1-\mathrm{\ω})\·\frac{1}{\mathrm{\σ}\sqrt{2\mathrm{\π}}}}{\mathrm{\ω}\·\frac{m}{W_N}{(1-\frac{W_{\max }}{W_N})}^{m-1}}}\\ {\mathrm{RFCC}}_e=W_{max}+{\mathrm{\δ}}_e\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{2,e}=Q_{2,\max }^b-{\mathrm{RFCC}}_e\end{array}\right.---\left(35\right)$

若某一预蓄水量对应的蓄水边际效益恰好等于最大防洪边际效益f₂(δ_min)时，记该预蓄水量记为(W₁)_h，对应剩余防洪能力、入流分别用RFCC_h、表示，则有：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\[{\left(W_1\right)}_h\]=f_2\left({\mathrm{\δ}}_{\min }\right)\\ {\mathrm{RFCC}}_h={\left(W_1\right)}_h+{\mathrm{\δ}}_{\min }\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{2,h}=Q_{2,\max }^b-{\mathrm{RFCC}}_h\end{array}\right.---\left(36\right)$

当剩余防洪能力恰好使水库水位蓄至控制域上限时，对应的剩余防洪能力、入流分别用RFCC_f、表示，则有：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{RFCC}}_f={\mathrm{\δ}}_{\min }+W_{\max }\\ {\stackrel{\‾}{Q}}_{2,f}={\stackrel{\‾}{Q}}_{2,c}-W_{\max }\end{array}\right.---\left(37\right)$

最小防洪安全值δ_min与预报不确定性σ、可接受风险有关。所以，当考虑最小防洪安全值δ_min约束时，根据δ_min是否处于区间[δ_d,δ_e]内，存在以下三种情况，δ_min≤δ_d，δ_d≤δ_min≤δ_e，δ_min≥δ_e，相应δ_min分别划分为小、中、大三个等级。

水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系与δ_min有关，δ_min在不同量级时，两目标的竞争关系不同。Case1：当δ_min≤δ_d时，防洪边际效益始终大于蓄水边际效益，也即两目标始终不存在对冲关系。Case2：当δ_d≤δ_min≤δ_e时，当剩余防洪能力RFCC＞RFCC_h时，蓄水边际效益f₁(W₁)大于防洪边际效益f₂(δ)，两目标始终不存在对冲关系；当剩余防洪能力RFCC_h＜RFCC＜RFCC_e时，蓄水边际效益与防洪边际效益可相等，即两目标存在竞争关系。Case3：当δ_min≥δ_e时蓄水边际效益始终大于防洪边际效益，也即两目标始终不存在对冲关系。各情况下的最优解如下所述：

Case1：当最小防洪安全值很小且δ_min≤δ_d时，即预报不确定性较小或可接受风险较大，则当预报来水量较大时(较大)，水库可开展汛期防洪与兴利双目标协调控制，在该范围内：当未来阶段预报来水较大时防洪边际效益大于蓄水边际效益，也即防洪目标占主导作用，所以将所有剩余防洪能力RFCC分配给防洪安全值是最优选择，即将共用库容全部腾空，水库不蓄水，δ^*＝RFCC。当预报来水时，水库预蓄水量与防洪安全值均满足约束条件，水库防洪与兴利目标存在竞争关系，最优调度决策为防洪边际效益与蓄水边际效益相等；当预报来水时，来水量比较小，始终有f₂(δ)＜f₂(δ_e)＝f₁(W_max)＜f₁(W₁)，即防洪边际效益f₂(δ)始终小于蓄水边际效益f₁(W₁)，所以将水库蓄至最大预蓄水量是最优决策，即

最优预蓄水量随剩余防洪能力(或预报来水)的变化如图3所示，图中虚线为预报完全准确时，有多大剩余防洪能力水库便可预蓄多少水，即＝RFCC；点划线为防洪权重接近于0，即水库蓄水目标始终占主导作用时，水库以下游防洪风险(下游最小防洪安全值)蓄水，蓄水目标与防洪目标存在权衡关系时，最优预蓄水量为图中粗实线。其最优预蓄水量与预报来水量大小的关系为：

$\left\{\begin{array}{ccc}{W}_1^{*}=0,{\mathrm{\&delta;}}^{*}=RFCC& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2>{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,d}\\ f_1\left(W_1^{*}\right)=f_2\left({\mathrm{\&delta;}}^{*}\right)& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,e}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,d}\\ W_1^{*}=W_{\max },{\mathrm{\&delta;}}^{*}=RFCC-W_{max}& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2<{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,e}\end{array}\right.---\left(38\right)$

Case2：当最小防洪安全值适中且δ_d＜δ_min＜δ_e时，即预报不确定性适中或可接受风险适中，则当预报来水量适中时(适中)，水库才可开展汛期防洪与兴利双目标的协调控制，在此范围内，当未来阶段预报来水较大时蓄水边际效益大于防洪边际效益，转化为单目标，水库在保证下游最小防洪安全值的前提下尽可能蓄水，即δ^*＝δ_min当未来阶段预报来水较小时蓄水边际效益大于防洪边际效益，转化为单目标，将水库水位蓄至控制域上限；当预报来水在二者范围内时，即水库防洪与兴利目标存在竞争关系，最优调度决策为防洪边际效益与蓄水边际效益相等。

最优预蓄水量随剩余防洪能力(或预报来水)的变化如图4所示，图4(a)中当剩余防洪能力满足RFCC_c≤RFCC≤RFCC_h时，其最优解与虚线平行(均为45°线)，即其余线条的意义与图3一致。最优预蓄水量与预报来水量大小的关系为：

$\left\{\begin{array}{ccc}{W}_1^{*}=0,{\mathrm{\&delta;}}^{*}=RFCC& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2>{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,c}\\ W_1^{*}=FRCC-{\mathrm{\&delta;}}_{\min },{\mathrm{\&delta;}}^{*}={\mathrm{\&delta;}}_{\min }& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,h}<{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,c}\\ f_1\left(W_1^{*}\right)=f_2\left({\mathrm{\&delta;}}^{*}\right)& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,e}<{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,h}\\ W_1^{*}=W_{\max },{\mathrm{\&delta;}}^{*}=RFCC-W_{max}& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2<{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,e}\end{array}\right.---\left(39\right)$

Case3：当最小防洪安全值很大且δ_min≥δ_e时，即预报不确定性较大或可接受风险较小，则当未来阶段预报来水较小时(较小)，才能满足下游防洪标准要求，在这种情况下，水库蓄水边际效益始终大于防洪边际效益，不存在水库防洪与兴利目标竞争的情况，水库在保证下游最小防洪安全值的前提下尽可能蓄水，即δ^*＝δ_min。

最优预蓄水量随剩余防洪能力(或预报来水)的变化，如公式(40)所示和图5所示。

$\left\{\begin{array}{ccc}{W}_1^{*}=0,{\mathrm{\&delta;}}^{*}=RFCC& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2>{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,c}\\ W_1^{*}=FRCC-{\mathrm{\&delta;}}_{\min },{\mathrm{\&delta;}}^{*}={\mathrm{\&delta;}}_{\min }& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,f}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,c}\\ W_1^{*}=W_{\max },{\mathrm{\&delta;}}^{*}=RFCC-W_{max}& if& {\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2<{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_{2,f}\end{array}\right.---\left(40\right)$

上述下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线可直接指导水库实时调度。

Claims (3)

1.一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，在实时调度中，依据阶段1面临阶段与阶段2余留阶段的水、雨、工、灾情信息，将水库汛期调度过程转化为当前与未来两阶段滚动决策过程；

第二步，分析面临阶段的洪水预报信息和余留阶段的径流预报信息，得到洪水预报信息和径流预报信息的不确定性，基于面临阶段和余留阶段的目标函数，构建水库汛期双目标两阶段的优化调度对冲模型；

2.1)面临阶段的目标函数

$\min G_1=(1-\mathrm{\&omega;})\&CenterDot;R_1^b+\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;B_1^{-}=(1-\mathrm{\&omega;})\&CenterDot;0+\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;{(1-W_1/W_N)}^m---\left(13\right)$

其中，G₁为阶段1的总目标，ω为蓄水目标权重，(1-ω)为防洪目标权重，为阶段1下游控制站防洪风险率，为阶段1水库效益差值，W₁为水库阶段1末预蓄水量，W_N为水库正常高水位对应的预蓄水量，m水库蓄水目标函数曲线形状系数；

2.2)余留阶段的目标函数

$\min G_2=(1-\mathrm{\&omega;})\&CenterDot;R_2^b+\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;B_2^{-}=(1-\mathrm{\&omega;})\&CenterDot;{\&Integral;}_{Q_{2,\max }^b-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\&infin;}}h\left({\mathrm{\&epsiv;}}_2^b\right){\mathrm{d\&epsiv;}}_2^b+\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;1---\left(14\right)$

其中，G₂为阶段2的总目标，为阶段2下游控制站防洪风险率，为阶段2水库效益差值，为阶段2下游控制站最大过水量，为阶段2下游控制站期望组合水量，为阶段2下游控制站期望组合水量误差，为的概率密度函数；

2.3)优化调度对冲模型

$min(G_1+G_2)=\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;{(1-W_1/W_N)}^m+(1-\mathrm{\&omega;})\&CenterDot;{\&Integral;}_{Q_{2,\max }^b-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^b}^{+\mathrm{\&infin;}}h\left({\mathrm{\&epsiv;}}_2^b\right){\mathrm{d\&epsiv;}}_2^b+\mathrm{\&omega;}\&CenterDot;1---\left(15\right)$

第三步，利用Karush–Kuhn–Tucker条件，结合经济学原理，求解优化调度对冲模型，得到水库汛期兴利和防洪目标的最优协调控制条件；所述的最优协调控制条件为蓄水边际效益和防洪边际效益接近；

第四步，基于最优协调控制条件和优化调度对冲模型边际效益递减的经济学特性，提出优化对冲模型的求解方法；所述的优化对冲模型求解方法具体如下：

4.1)采用一维搜索法求得满足边际效益相等原则的最优预蓄水量和最优防洪安全值δ^*；

4.2)判断最优预蓄水量和最优防洪安全值δ^*是否在可行域内，若在可行域内，则和δ^*即为最优解；若不在可行域内，则相应的边界值为最优解；

4.3)在得到最优预蓄水量决策后，根据当前阶段的水量平衡方程得到当前阶段泄水量决策并判断其是否在可行域内，若在可行域内，则即为最优解，若不在可行域内，则相应的边界值为最优解；

第五步，得到水库汛期防洪风险与兴利效益之间的竞争与转化关系，并给出下游最小防洪安全值在小、中、大三个量级时的最优蓄水决策随未来阶段预报来水的变化曲线，该变化曲线能够直接指导水库实时调度。

2.根据权利要求1所述的一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法，其特征在于，第三步中所述的最优协调控制条件中蓄水边际效益与防洪边际效益的关系式为：

$f_1\left(W_1^{*}\right)+{\mathrm{\&mu;}}_{wl}-{\mathrm{\&mu;}}_{wu}+{\mathrm{\&mu;}}_{rl1}=f_2\left({\mathrm{\&delta;}}_2^{*}\right)+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&delta;}l}={\mathrm{\&lambda;}}_{m2}---\left(25\right)$

其中，为蓄水边际效益，为防洪边际效益，μ_wl为控制域下限减小一个单位的蓄水边际效益，μ_wu为控制域上限增大一个单位的蓄水边际效益，μ_rl1为下游最小需水减小一个单位的蓄水边际效益，μ_δl为下游最小防洪安全值增大一个单位的防洪边际效益，λ_m2为阶段2来水量减小一个单位的边际效益。

3.根据权利要求1或2所述的一种协调水库汛期防洪风险与兴利效益的调度方法，其特征在于，第二步中所述的双目标表示面临阶段蓄水效益最大和余留阶段防洪风险最小。