CN105808867B - 一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法，旨在提供一种采用模拟退火算法，求解组合优化问题的方法及程序设计的思路，并应用到实际建筑规划优化设计中。本发明首先将拟建建筑区域均匀分为若干小格，并将这些小格向上拉伸为小柱，基于小柱与被遮挡窗口的位置关系，对窗口进行日照分析，确定窗口日照累计时间；然后，基于窗口最小日照时间约束，构建拟建建筑最佳高度的数学模型；最后，针对该数学模型，设计模拟退火算法的步骤并进行求解。本发明针对特定数学模型，设计更合理的模拟退火算法，与传统手工方式相比，软件的自动化分析计算，更加快速，准确和高效，为实现节约型用地的设计提供一种有效方法和途径。

Description

一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法

技术领域

本发明涉及一种建筑高度优化设计的方法，特别是一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法，属于土地管理电子信息化技术领域。

背景技术

随着我国城市建设的快速发展，高层建筑楼群密度的不断提高，对原有房屋日照的遮挡也越来越严重，造成了高层建筑与日照环境质量之间的矛盾日益尖锐。传统的待建建筑的设计中，考虑建设约束条件时，对建筑的设计主要依据《城市规划设计规范》等要求。如果对日照要求严格的地区，进行精确分析，只有根据《规范》中要求的日照标准，进行规划设计，传统的方法就显得过于粗略和简单。

模拟退火(SA)是根据熔融金属中粒子的统计力学，与复杂的组合最优化问题的求解过程的相似性而提出来的。在对固体物质进行退火处理时，首先，将它加温溶化，使其中的粒子可自由运动；然后随着温度的逐渐下降，粒子也逐渐形成了低能态的晶格；若在凝结点附近的温度下降速率足够慢，则固体物质一定会形成最低能量的基态，这相当于能量函数的全局极小点。对于组合优化问题来说，有着类似的过程。模拟退火算法是通过赋予搜索过程一种时变且最终趋于零的概率突跳性，从而可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优的串行结构的优化算法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题：克服现有技术的不足，采用模拟退火算法求解日照约束下建筑最佳高度，建立的数学模型与以往技术不同，能够准确获得窗口的日照累计时间，并自动求解拟建建筑的高度最优值，从而得到容积率，为建筑结构优化设计提供有效方法。

本发明的技术解决方案：一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法，该方法包括：

步骤1基于被遮挡窗口与拟建建筑的位置关系的窗口日照分析

1.1确定日照参数

对规划用地进行优化设计时，拟建建筑的基地以及周边情况是已知的，因此进行建筑优化设计时，一个很重要约束条件是被遮挡建筑日照的影响。为了进行日照分析，需要记录一些参数。首先，确定计算的日期和地点，设计算地点的经度J，纬度χ；Year、Month、Data、Hour，Minute等参数。确定太阳位置是进行日照分析的一个基本要素，关于太阳相关参数可以采用简单的方法查找《地年气象观测规范》。

1.2被遮挡建筑区域的确定

已知拟建建筑区域的基底，将拟建建筑基底分成若干宽度为w的小格，将这些小格向上拉伸为若干小柱，由于拟建建筑位于遮挡建筑的南面，对遮挡建筑的遮挡主要取决于拟建建筑东西方向的长度L，以及拟建区域最北侧的一些小柱，则这些小柱的个数n＝L/w，记为h₀,h₁,...,h_i,...,h_n-1。

通过太阳方位角可以求出太阳高度角、拟建建筑物对遮挡建筑的遮挡范围。设X_Begin和X_end分别为遮挡范围的起始和终止位置。设第t_su时刻所形成的太阳时角为φ_su，此时根据第h₀个柱体位置，计算被遮挡区域的起始位置公式为：

X_begin＝btgφ_su

设第t_ss时刻所形成的太阳时角为φ_ss，此时根据第h_n-1个柱体，计算被遮挡区域的终止位置公式为：

X_end＝L-btgφ_ss

设窗口宽度为Wa，窗口间距为Wb，计算被遮挡建筑的控制窗口个数的公式为：

1.3窗口日照累计时间的确定

(1)确定时间切片

一般情况，一天的日出时间到日落时间的时间段记为有效日照时间[t_su～t_ss]，设最小连续日照时间为t_m，以分钟为计算单位。因为太阳的位置是时刻变化的，为了分析n个小柱的棒影情况，可以将[t_su～t_ss]划分为S_t＝(t_ss-t_su)/t_m个时间段，被划分的时间分别记为

(2)生成小柱棒影长度矩阵

采用传统棒影法，计算小柱的棒影长度。设高度为H的直棒，与特定的投影平面，计算不同时间段太阳所在高度角α产生的阴影长度，即棒影长度l计算公式为：

l＝Hcotα

首先，计算第h_i个小柱t_j时刻太阳的高度角，然后基于该高度角，计算小柱h_i在t_j时刻棒影的长度l_ij；同理，可以得到n个小柱在时间的棒影长度，构建小柱棒影长度矩阵为：

(3)生成小柱到窗口距离矩阵

已知拟建建筑与被遮挡建筑之间的间距为b，根据此时太阳时角φ，可以计算第h₀个小柱与窗口win₀之间距离d₀₀的公式为：

因为第h₀小柱与第h₁小柱距离相差w，则第h₁个柱体与窗口win₀之间距离d₁₀公式为：

以此类推，可以计算第h_i个柱体与窗口win_p之间的距离d_ip。根据n个小柱分别到m个窗体的距离，构建矩阵：

(4)确定窗口日照累积时间

由小柱到窗口距离矩阵Λ，可得每一个小柱到窗口win_p的距离向量D_p＝[d_0p,...d_ip...d_n-1p]，下面考察矩阵L中的元素，即每个小柱的每个时间内棒影长度l_ij与D_p的关系。如果满足D_p＞l_ij，表示时间切片t_j时，win_p没有被遮挡，该窗口可以获得最小连续日照时间为t_m；表示小柱高度遮挡了窗口win_p。因此，窗口win_p在时间t_j时获得的日照时间记为T_pj，可以表示为：

此外，需要考虑分割小柱宽度对T_pj的影响。由于窗体宽度Wa与小柱宽度w的之间存在比例关系R＝Wa/w，根据日照平行光原理，单个小柱对于窗口的光照时间可以表示为t_m×R；然而，满足向量D_p＞l_ij条件的元素可能会存在多个，记为M,M≥0；又因为存在t_m时间切片长度的约束，所以，对于某窗口win_p最大日照时间不能超多t_m，窗口win_p在时间t_j时获得的日照时间记为T_pj，可以改进为：

最后，考察所有时间时，win_p获得连续累计日照时间可以估算为：

步骤2日照约束条件下拟建建筑高度的数学模型

设待求拟建建筑的高度为H，记被遮挡建筑最底层的第p个窗口为win_p，已知满足《城市规划设计规范》要求的窗口日照时间不得少于T_win；当且仅当，窗口win_p日照累计时间Tsum_p≥T_win时，此时H满足要求，因此，构建的目标函数为：

f_p(H)＝Tsum_p

类似的，所有窗口win₀,...,win_p,....,win_m-1满足日照要求时，对应的目标函数分别记为：f₀(H),...,f_p(H),...,f_m-1(H)。

很明显，当小柱高度H越高，对窗口获得的日照时间就越短，当所有窗口都满足规范的要求时间T_win时，此时的小柱高度H为最大值。这显然是个组合优化问题。所以，可以将求解m个窗口获得规范的日照约束问题，转化为多目标求解最小值问题。

为此，建立的数学模型如下：

由该数学模型可以看出，如果存在H，使得f₀(H),...,f_p(H),...,f_m-1(H)值同时满足最小值，则H为最优解。

步骤3基于模拟退火算法拟建建筑最佳高度的求解

针对步骤2中的数学模型，本文采用模拟退火算法进行优化求解。首先设置参数的初始值，在取值范围内，随机产生一个拉伸小柱的初始高度采用实数编码；并在区间[1,5]随机产生一个随机变量h，h即为模拟退火算法给定初始温度。

具体求解步骤如下：

(1)参数的设置，随机生成初始解；

(2)计算目标函数值f₀(H+h),...,f_p(H+h),...,f_m-1(H+h)；

(3)判断是否f₀(H+h)＞T_win,...,f_p(H+h)＞T_win,...,f_m-1(H+h)＞T_win，如果m个函数值，当且仅当都不满足条件，将H+h赋值H，即H＝H+h；然后转(2)；如果存在m'，m'≤m，个函数满足条件，则可以删除m-m'个不满足条件的函数；则剩下m'个优化函数的数学模型为：

(4)对于m'个函数，此时h递增过大，需采用合适的降温方式，设此时迭代次数为t，计算小柱的递增高度为h(t)，即：

(5)判断是否h(t)-h(t-1)≤Δh，如果不满足条件，则将h(t)赋值h，即h＝h(t)；转步骤(2)；如果满足条件，停止进化，拟建筑高度达到最优值，输出结果。

上述技术方案具有如下有益效果：

(1)本发明针对特定数学模型，采用模拟退火算法，当温度过高时，采用合理的退温控制方式，能够快速提高求解最优值的算法的精度。

(2)本发明旨在将基于模拟退火算法求解组合优化问题的方法及程序设计的思路，应用到实际建筑规划优化设计中，为实现节约型用地的设计提供一种有效途径。

(3)本发明能够准确获得窗口的日照累计时间，并自动求解拟建建筑的高度最优值，与传统手工方式相比，软件的自动化分析计算，更加快速，准确和高效。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明提出一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法总流程图；

图2为遮挡面与日照圆锥切面相交情况图；

图3为本发明实施例中窗口与小柱距离示意图；

图4为本发明实施例中采用模拟退火算法求解拟建建筑最佳高度的流程图；

图5为本发明实施例中最佳小柱高度时的棒影长度变化图；

图6为本发明实施例中最佳小柱高度的棒影长度与窗口到小柱距离向量列表的关系透视图。

具体实施方式

下面结合具体附图和实例对本发明的实施例作进一步详细描述，但本实施例并不用于限制本发明，凡是采用本发明的相似方法及其相似变化，均应列入本发明的保护范围。

如图1所示，为本发明提出一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法总流程图。该方法包括：

步骤1.基于被遮挡窗口与拟建建筑的位置关系的窗口日照分析

1.1确定日照参数

拟建建筑在设计时，拟建建筑的基地以及周边情况是已知的，因此进行拟建建筑优化设计时，一个很重要约束条件是被遮挡建筑日照的影响。为了进行日照分析，需要记录一些参数。首先，确定计算的日期和地点，设计算地点的经度J，纬度χ；Year、Month、Data、Hour，Minute等参数。

确定太阳位置是进行日照分析的一个基本要素，关于太阳相关参数可以采用简单的方法查找《地年气象观测规范》进行计算。

1.2被遮挡建筑区域的确定

已知拟建建筑区域的基底，将拟建建筑基底分成若干宽度为w的小格，将这些小格向上拉伸为若干小柱，由于拟建建筑位于遮挡建筑的南面，对遮挡建筑的遮挡主要取决于拟建建筑东西方向的长度L，以及拟建区域最北侧的一些小柱，则这些小柱的个数n＝L/w，记为h₀,h₁,...,h_i,...,h_n-1。

为了分析被遮挡底层窗口日照情况，必须确定被遮挡建筑区域，以及被遮挡的底层窗口。将任何一个待观测点作为一个顶点，把太阳的运动轨迹当作底面，这样就形成了一个日照圆锥；当拟建建筑物突出圆锥面的时候，就对观测点形成遮挡，此时建筑物和圆锥面形成相贯线；同时计算作相贯线的切线，该切线对应一个太阳方位角。因此，通过太阳方位角可以求出太阳高度角、拟建建筑物对遮挡建筑的遮挡范围。

如图2所示为正南朝向被遮挡面的矩形与日照圆锥切面相交的一般情况，图中X_Begin和X_end之前的距离为遮挡范围。

设第t_su时刻所形成的太阳时角为φ_su，此时根据第h₀个柱体位置，计算被遮挡区域的起始位置为：

X_begin＝btgφ_su (1)

设第t_ss时刻所形成的太阳时角为φ_ss，此时根据第h_n-1个柱体，计算被遮挡区域的终止位置：

X_end＝L-btgφ_ss (2)

设窗口宽度为Wa，窗口间距为Wb，由式(2，3)可知，计算被遮挡建筑的控制窗口个数：

1.3窗口日照累计时间的确定

为了确定窗口日照累计时间，首先，以窗口中点为测试参照点，基于计算日期的有效日照时段，按照指定间隔分割时间切片；然后，根据不同时间切片内太阳位置，得到小柱的棒影长度矩阵；最后，考察小柱到窗口的距离向量与棒影长度矩阵的关系，获得窗口累计日照时间。

(1)时间切片的确定

一般情况，一天的日出时间到日落时间的时间段记为有效日照时间[t_su～t_ss]，设最小连续日照时间为t_m，以分钟为计算单位。因为太阳的位置是时刻变化的，为了分析n个小柱的棒影情况，可以将[t_su～t_ss]划分为S_t＝(t_ss-t_su)/t_m个时间段，被划分的时间分别记为(2)生成小柱棒影长度矩阵

采用传统棒影法，计算小柱棒影长度。设高度为H的直棒，与特定的投影平面，计算不同时间段太阳所在高度角α产生的阴影长度，即棒影长度l，即

l＝Hcotα (4)

首先，计算第h_i个小柱t_j时刻太阳的高度角，然后基于该高度角，由式(4)计算小柱h_i在t_j时刻棒影的长度l_ij；同理，可以得到n个小柱在时间的棒影长度，并组小柱棒影长度矩阵，记为：

(3)生成小柱到窗口距离矩阵

已知拟建建筑与被遮挡建筑之间的间距为b，如图3所示，基于太阳时角φ，可以计算第h₀个柱体与窗口win₀之间的距离为d₀₀：

因为第h₀小柱与第h₁小柱距离相差w，则第h₁小柱体与窗口win₀之间的距离为

以此类推，可以计算第h_i个柱体与窗口win_p之间的距离d_ip；从而，构建n个小柱分别到m个窗体的距离的矩阵为：

(4)确定窗口日照累积时间

由小柱到窗口距离矩阵Λ，可得每一个小柱到窗口win_p的距离向量D_p＝[d_0p,...d_ip...d_n-1p]，下面考察矩阵L中的元素，即每个小柱的每个时间内棒影长度l_ij与D_p的关系。如果满足D_p＞l_ij，表示时间切片t_j时，win_p没有被遮挡，该窗口可以获得最小连续日照时间为t_m；表示小柱高度遮挡了窗口win_p。因此，窗口win_p在时间t_j时获得的日照时间记为T_pj，可以表示为：

此外，需要考虑分割小柱宽度对T_pj的影响。由于窗体宽度Wa与小柱宽度w的之间存在比例关系R＝Wa/w；根据日照平行光原理，单个小柱对于窗口的光照时间可以表示为t_m×R；然而，满足向量D_p＞l_ij条件的元素可能会存在多个，记为M，M≥0；又因为存在t_m时间切片长度的约束，所以，对于某窗口win_p最大日照时间不能超多t_m，因此式(7)可以改进为：

最后，考察所有时间时，win_p获得连续累计日照时间可以估算为：

步骤2日照约束条件下拟建建筑高度的数学模型

设待求拟建建筑的高度为H，记被遮挡建筑最底层的第p个窗口为win_p，已知满足《城市规划设计规范》要求的窗口日照时间不得少于T_win；当且仅当，窗口win_p日照时间Tsum_p≥T_win时，此时H满足要求，则对应的函数为：

f_p(H)＝Tsum_p (10)

类似的，所有窗口win₀,...,win_p,....,win_m-1满足日照要求时，对应的目标函数分别记为：f₀(H),...,f_p(H),...,f_m-1(H)。

很明显，当小柱高度H越高，对窗口获得的日照时间就越短，当所有窗口都满足规范的要求时间T_win时，此时的小柱高度H为最大值。这显然是个组合优化问题。所以，可以将求解m个窗口获得规范的日照约束问题，转化为多目标求解最小值问题。

为此，建立的数学模型如下：

由式(11)可以看出，如果存在H，使得f₀(H),...,f_p(H),...,f_m-1(H)同时满足最小值，则H为最优解。

步骤3基于模拟退火算法拟建建筑最佳高度的求解

针对步骤2中的数学模型，本文采用模拟退火算法进行优化求解。首先设置参数的初始值，在取值范围内，随机产生一个拉伸小柱的初始高度采用实数编码；并在区间[1,5]随机产生一个随机变量h，h即为模拟退火算法给定初始温度。

模拟退火算法求解拟建建筑最佳高度的流程如图4所示，具体求解步骤如下：

(1)参数的设置，随机生成初始解；

(2)计算目标函数值f₀(H+h),...,f_p(H+h),...,f_m-1(H+h)；

(3)判断是否f₀(H+h)＞T_win,...,f_p(H+h)＞T_win,...,f_m-1(H+h)＞T_win，如果m个函数值，当且仅当都不满足条件，将H+h赋值H，即H＝H+h；然后转(2)；如果存在m'，m'≤m，个函数满足条件，则可以删除m-m'个不满足条件的函数；则剩下m'个优化函数的数学模型为：

(4)对于m'个函数，此时h递增过大，需采用合适的降温方式，设此时迭代次数为t，计算小柱的递增高度为h(t)，即：

由式(13)曲线可知，温度h(t)的值随着迭代次数，缓慢减少。

(5)判断是否h(t)-h(t-1)≤Δh，如果不满足条件，则将h(t)赋值h，即h＝h(t)；转步骤(2)；如果满足条件，停止进化，拟建筑高度达到最优值，输出结果。

需要说明的是，上面步骤中，删除m-m'个不满足条件的函数，目标函数的个数是逐渐减少，可以降低了式(11)求解的难度。Δh取值一般为很小值，如0.1。

3.4实例分析

计算地点：徐州市，经度J＝117°11'，纬度χ＝34°15'，计算时间2015年12月22日。当日有效日照时段为[8:00～16:00]，最小连续日照时间t_m为10分钟，可知有效日照时间段划分为S_t＝48个。采样的48个时间，计算得到不同时间太阳的时角、高度角、赤纬角、方位角的值，如表1日照参数及棒影长度所列。

表1为日照参数及棒影长度：

设拟建区域建筑东西方向长度L为60m，柱宽度为w为1m，则拉伸的小柱个数为n为60个。设窗口宽度Wa为1.5m，窗口间距Wb为1.5m。与被遮挡建筑之间的间距b为40米。根据规范要求，设窗口日照时间T_win为120分钟。

采用模拟退火算法求解式(11)数学模型，得到拟建建筑高度最大值为27.14m。

接着，需要考察当拟建建筑高度最优值时，所有窗体累计日照情况如表3所列，被遮挡的12个窗口获得累计日照时间，均满足最小日照时间不能少于120分钟的规范要求。其中窗口1到8日照累计时间最小为130分钟，窗口11到12日照累计时间最多为190分钟。

表2为窗口累计日照情况：

窗口编号	日照累计时间(分钟)	窗口编号	日照累计时间(分钟)
				1	170	7	150
2	170	8	150
				3	150	9	170
4	130	10	170
				5	130	11	190
6	130	12	190

进一步分析，当得到最佳小柱高度33.50m时，有效日照时间[8:00～16:00]内48个采样时间切片内小柱棒影长度的变化情况，如图5所示，其中X轴为时间，Y轴为棒影长度；小柱棒影长度具体值如表1第7和14列所示，从表中可以看出，在8:00时，棒影长度最大，为172.23米；在12：00时，棒影长度最小，为46.56米。

为验证图5数值的合理性，考察时间切片阴影长度变化和窗口到小柱之间的距离的关系，如图6所示为最佳小柱高度下阴影长度与窗口到小柱距离向量列表的关系透视图。该透视图中，灰色柱形序列表示小柱在8:00至16:00的48个时间切片阴影变化情况，即棒影序列，12条线形序列表示12个窗口到达各个小柱之间的距离变化向量列表。

从图6中可知，12个窗口到小柱的距离向量都存在大于棒影序列凹处的若干值，故这些窗口可以获得相应的日照时间。以5号窗口为例，观察该序列标签显示内容，其最大值为：49.94m，即表示从5号窗口到小柱的最远距离为49.94m，而棒影序列中满足小于49.94m的棒影长度值则是从本序列的49.90m向左起始，至右侧49.90m为止，共13个棒影值。则比例关系R取值为1，则5号窗口可获得日照时间为130分钟。

Claims (3)

1.一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法，其特征在于，该方法包括：

步骤1.1：基于被遮挡窗口与拟建建筑的位置关系的窗口日照分析；

首先，基于拟建建筑区域的一天有效日照时段，按照指定间隔分割时间切片；然后，根据不同时间切片内的太阳位置，构建拟建区域分割后拉伸小柱的棒影长度矩阵；最后，考察小柱到窗口的距离向量与棒影长度矩阵的关系，获得窗口累计日照时间；

步骤1.2：日照约束条件下拟建建筑高度的数学模型；

设待求拟建建筑的高度为H，记被遮挡建筑最底层的第p个窗口为win_p，已知满足《城市规划设计规范》要求的窗口日照时间不得少于T_win；当且仅当，窗口win_p日照累计时间Tsum_p≥T_win时，此时H满足要求，构建的目标函数为：

f_p(H)＝Tsum_p

类似的，m个窗口win₀,...,win_p,....,win_m-1满足日照要求时，对应的目标函数分别记为：f₀(H),...,f_p(H),...,f_m-1(H)；

为此，建立的数学模型如下：

由该数学模型可以看出，如果存在H，使得f₀(H),...,f_p(H),...,f_m-1(H)同时满足最小值，则H为最优解；

步骤1.3:基于模拟退火算法拟建建筑最佳高度的求解；

针对步骤1.2的数学模型，采用模拟退火算法进行优化求解；首先设置参数的初始值，在取值范围内，随机产生一个拉伸小柱的初始高度采用实数编码；并在区间[1,5]随机产生一个随机变量h，h即为模拟退火算法给定初始温度；

具体求解步骤如下：

(1)参数的设置，随机生成初始解；

(2)计算目标函数值f₀(H+h),...,f_p(H+h),...,f_m-1(H+h)；

(3)判断是否f₀(H+h)＞T_win,...,f_p(H+h)＞T_win,...,f_m-1(H+h)＞T_win，如果m个函数值，当且仅当都不满足条件，将H+h赋值H，即H＝H+h；然后转(2)；如果存在m'，m'≤m，个函数满足条件，则可以删除m-m'个不满足条件的函数；

(4)对于m'个函数，此时h递增过大，需采用合适的降温方式，设此时迭代次数为t，此时小柱的递增高度为h(t)，即：

(5)设Δh为一个常数，判断是否h(t)-h(t-1)≤Δh，如果不满足条件，则将h(t)赋值h，即h＝h(t)；转步骤(2)；如果满足条件，停止进化，输出拟建建筑高度最优值。

2.权利要求1中所述一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法，其特征在于，构建拟建区域分割后拉伸小柱的棒影长度矩阵时，向上拉伸的小柱为n个，记为h₀,...,h_i,...,h_n-1，采用传统棒影法生成小柱的棒影，设第h_i个小柱，在t_j时刻棒影的长度为l_ij；那么n个小柱h₀,...,h_i,...,h_n-1在时间的棒影长度，构建的小柱棒影长度矩阵为：

3.权利要求1中所述一种基于模拟退火算法的建筑高度优化设计的方法，其特征在于，获得窗口日照累积时间时，由小柱到窗口距离矩阵，可得每一个小柱到窗口win_p的距离向量D_p＝[d_0p,...d_ip...d_n-1p]，然后考察矩阵L中的元素，即每个小柱的每个时间内棒影长度l_ij与D_p的关系；如果满足D_p＞l_ij，表示在时间切片t_j时，win_p没有被遮挡，该窗口可以获得最小连续日照时间为t_m；表示小柱高度遮挡了窗口win_p；因此，窗口win_p在时间t_j时获得的日照时间记为T_pj，可以表示为：

此外，需要考虑分割小柱宽度对T_pj的影响；由于窗体宽度Wa与小柱宽度w的之间存在比例关系R＝Wa/w，根据日照平行光原理，单个小柱对于窗口的光照时间可以表示为t_m×R；然而，满足向量D_p＞l_ij条件的元素可能会存在多个，记为M，M≥0；又因为存在t_m时间切片长度的约束，所以，对于某窗口win_p最大日照时间不能超多t_m，窗口win_p在时间t_j时获得的日照时间记为T_pj，可以改进为：

最后，考察所有时间时，win_p获得连续累计日照时间可以估算为：