CN105787267B - Sma聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法，首先建立组分材料的增量本构方程，包括建立时间域内线性热‑粘弹性聚合物的本构方程和SMA的三维增量热‑力耦合本构方程；再建立SMA聚合物基材料统一增量本构方程；其次基于变分渐近均匀化理论建立求解SMA聚合物基材料有效材料属性和波动函数的细观力学模型；并基于波动函数和全局响应建立局部场重构关系；最后描述SMA聚合物基材料的有效时变和超弹性行为特征。该方法采用非强制性边界条件，仅需要一次求解过程即可获得不同方向上不同材料的属性，相对于在不同加载条件下重复运行的方法更简便、高效、快捷。

Description

SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法

技术领域

本发明涉及材料力学性能分析领域，具体涉及一种SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法。

背景技术

SMA(沥青玛蹄脂碎石混合料的简称)聚合物基材料是通过SMA纤维、颗粒或薄层嵌入聚合物基体形成的新型智能材料。与SMA相关的两种主要现象是：(1)超弹性(pseudoelasticity,PE)，即在一个滞后回线内，加载下产生较大的非线弹性应变，卸载后可完全恢复；(2)单向或双向的形状记忆效应。SMA的这种能力很好地满足了航空航天和舰船结构中的一些特殊要求，是很有前景的新材料。在结构设计中利用SMA的上述特性，可以有效地增加系统的阻尼和抗震性能，提高结构抗宽频带随机干扰能力，从而实现系统的被动式减振，因此，准确预测SMA有效时变和超弹性响应，对于SMA减振系统来说，有非常重要的意义。

细观力学模型是分析SMA聚合物基材料热-力耦合行为不可或缺工具。所以目前最常用的方法是根据细观力学模型来预测SMA聚合物基材料的有效时变和超弹性响应，从而来了解SMA聚合物基材料的超弹性性质和记忆效应。Boyd和Lagoudas应用Mori-Tanaka细观力学模型预测了嵌入SMA纤维的聚合物基复合材料的有效属性，其中聚合物基建模为弹性材料。Damanpack等用有限元RVE模型研究了含SMA和弹性聚合物基复合材料的离轴热-力响应，其中SMA的热-力行为采用Panico等提出的本构模型进行描述。Birman等提出了结合细观力学方法计算均匀热场和纵向载荷下弹性基体内含SMA纤维复合材料体系的等效属性，通过扩展Chamis多胞细观力学方法推导了SMA复合材料响应的解析解，并假设变形应变张量变化率与马氏体体积分数成正比。

由上述分析可知：许多学者对SMA聚合物基材料的热-力耦合进行了大量研究，但大多数研究将聚合物基考虑为弹性材料。众所周知，聚合物材料会表现出强时变粘弹性行为，从而导致SMA聚合物基材料宏观粘弹性响应预测精度不足，分析效率低的问题。因此，要将上述模型结果应用于材料的宏观粘弹性响应预测显然是不够的，我们有必要提供一种高效可靠的SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法。

发明内容

针对现有技术中存在的上述不足，本发明专利提供一种高效可靠的SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法，解决现有技术对SMA聚合物基材料的热-力耦合的研究时存在的分析效率低，精度差的不足，尤其是宏观粘弹性响应预测精度不足的问题。

为解决上述技术问题，实现发明目的，本发明采用的技术方案如下：

SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法，包括以下步骤：

1)建立组分材料的增量本构方程，包括建立时间域内线性热-粘弹性聚合物的本构方程和SMA的三维增量热-力耦合本构方程；

2)建立SMA聚合物基材料统一增量本构方程；

3)基于变分渐近均匀化理论建立求解SMA聚合物基材料有效材料属性和波动函数的细观力学模型；

4)基于波动函数和全局响应建立局部场重构关系，来预测SMA聚合物基材料的有效时变和超弹性行为特征。

进一步，所述步骤1具体为：

建立时间域内线性热-粘弹性聚合物的本构方程，即

式中：C_ijkl(t)为应力松弛刚度；为应变率和温度变化率张量，σ_ij(t),β_ij(t)为瞬时应力和瞬时热应力张量，β_ij(t)＝-C_ijklα_kl，其中α_kl为热膨胀系数，α_kl为常量；

建立SMA的三维增量热-力耦合本构方程：

Δσ_ij＝B_ijkl(Ψ)Δε_kl+β_ij(Ψ)Δθ+Λ_ij(Ψ)ΔΨ

式中：Δσ_ij(t)＝σ_ij(t+Δt)-σ_ij(t)，Ψ为代表马氏体体积分数的内部状态变量；B_ijkl(Ψ)为SMA的弹性刚度张量；Δε_kl，Δθ，ΔΨ分别为Ψ在时间步Δt的取值，β_ij(Ψ)为SMA的热应力张量，β_ij(Ψ)＝-B_ijkl(Ψ)α_kl(Ψ)，其中α_kl(Ψ)为SMA的热膨胀系数， 为纯马氏体和奥氏体的热膨胀系数，Λ_ij为转换函数。

进一步，所述步骤2具体为：

建立SMA聚合物基材料统一增量本构方程，即

进一步，所述步骤3具体为：

基于变分渐近均匀化理论建立求解SMA聚合物基材料有效材料属性和波动函数的细观力学模型：

并受如下约束

式中：χ_i称为波动函数；上标“+j”和“-j”表示单胞正、负边界表面上相应的量；为全局应变增量，G为每单位温度的能量变化；cv为恒定体积下每单位体积的比热；T₀为组分材料无应力状态下的参考温度；h_v代表能量变化与马氏体体积分数变化的比率，为应变增量；

通过将波动函数离散化，得到离散形式泛函；根据变分原理，最小化离散泛函，将得到波动函数节点值列阵代入单胞泛函，得到单胞能量密度

进一步，所述步骤4具体为：

基于波动函数和全局响应建立局部场重构关系，来预测SMA聚合物基材料的有效时变和超弹性行为特征，

式中：分别为对从节点和约束节点进行重构后的形函数和波动函数节点值列阵；

式中：Γ_h为算子矩阵；

局部应力场增量

式中：M，η，分别为含M_ijkl(t)，η_ij(t,Ψ)，的系数矩阵。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、本发明提供的模拟SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的方法，采用变分渐近均匀化作为数学基础，仅含细观力学最基本假设，不需要任何周期性和边界假设，具有数学上的严密性。

2、本发明提供的模拟SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的方法，采用非强制性边界条件，仅需要一次求解过程即可获得不同方向上不同材料的属性，相对于在不同加载条件下重复运行的方法更简便、高效、快捷。

3、本发明提供的模拟SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的方法，计算的有效应力松弛系数与波动函数精度相一致，无需引入更多近似关系，计算精度更高，提高了对SMA宏观粘弹性响应的预测精度。

4、本发明提供的模拟SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的方法，可有效模拟SMA聚合物基材料的宏观粘弹性响应，突破了传统计算方法中将聚合物基考虑为弹性材料的局限性。

5、本发明提供的模拟SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的方法，实用性强，通用性高，可显著提高SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的解算速度和效率。

附图说明

图1为周期性SMA增强聚合物基非均匀材料。

图2为不同加载速率下SMA聚合物基复合材料在一个加载-卸载循环中的轴向应力-应变曲线。

图3为不同加载速率下SMA聚合物基复合材料在一个加载-卸载循环中的轴向应力-应变曲线。

图4为不同温度下SMA聚合物基复合材料在加载过程中的有效轴向应力-应变曲线。

图5为正温度变化率对SMA聚合物基复合材料有效粘弹性刚度和宏观相为临界应力的影响。

图6为负温度变化率对SMA聚合物基复合材料有效粘弹性刚度和宏观相为临界应力的影响。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例：

1、组分材料增量本构方程

1.1、线性热-粘弹性聚合物的增量本构方程

考虑线性热-粘弹性聚合物t＝0前无应力和变形过程，基于Bolzman叠加原理(Wineman AS,Rajagopal KR.Mechanical response of polymers:An introduction[M].New York:Cambridge University Press,2000.)建立时间域内线性热-粘弹性聚合物的本构方程

式中：t为时间，C_ijkl(t)为应力松弛刚度；为应变率和温度变化率张量，σ_ij(t),β_ij(t)为瞬时应力和瞬时热应力张量，β_ij(t)＝-C_ijklα_kl，其中α_kl为热膨胀系数，这里考虑聚合物的α_kl为常量。

根据时间-温度转换原理，真实时间t可用考虑温度变化影响的折减时间ξ代替。式(1)可改写为

折减时间ξ＝ξ(t)可定义为

式中：a_T为时间尺度偏移因子。

正如Pyatigorets(Pyatigorets AV,Marasteanu MO,Khazanovich L,StolarskiHK.Application of a matrix operator method to the thermocviscoelasticanalysis of composite structures[J].Journal ofMechanics ofMaterials andStructures,2010,5(5):837–854)指出的，可在折减时间ξ内找到与真实时间t内相对应的值，反之亦然。折减时间域内的应力和应变可用真实时间内相应的应力和应变代替，即

σ_ij(ξ)≡σ_ij[ξ(t)]≡σ_ij(t),ε_ij(ξ)≡ε_ij[ξ(t)]≡ε_ij(t) (4)

式中：ε_ij为真实时间内的应变。

式(2)可简化为

对于复合材料非线性、时变、多物理场响应需进行增量分析。式(5)的增量方程可表示为

尽管在整个时间域内不为常量，但可合理假设在各时间步Δt内是常量。温度变化率在整个复合材料内保持均匀。式(6)可改写为

Δσ_ij(t)＝L_ijkl(t)Δε_kl(t)+γ_ij(t)Δθ(t)+ω_ij(t) (7)

1.2SMA的增量本构方程。

基于Brinson的一维模型(Brinson LC.One-dimensional constitutivebehavior of shape memory alloys:Thermomechanical derivation with non-constantmaterialfunctions and redefined martensite internal variable[J].JournalofIntelligent MaterialSystems and Structures,1993,4:229–242.)，SMA的三维增量热-力耦合本构方程可表示为

Δσ_ij＝B_ijkl(Ψ)Δε_kl+β_ij(Ψ)Δθ+Λ_ij(Ψ)ΔΨ (8)

式中：Ψ为代表马氏体体积分数的内部状态变量；B_ijkl(Ψ)为SMA的弹性刚度张量；SMA的弹性模量E(Ψ)＝E_A+Ψ(E_M-E_A)，其中E_M,E_A分别为纯马氏体和奥氏体的弹性模量；β_ij(Ψ)为SMA的热应力张量，β_ij(Ψ)＝-B_ijkl(Ψ)α_kl(Ψ)，其中α_kl(Ψ)为SMA的热膨胀系数， 为纯马氏体和奥氏体的热膨胀系数。

转换函数Λ_ij和SMA弹性刚度张量的关系为

Λ_ij(Ψ)＝-B_ijkl(Ψ)(ε^Lδ_kl) (9)

式中：δ_kl为Kronecker(克罗内克)符号；ε^L为最大残余应变。

式中：分别为马氏体和奥氏体的临界应力，下同。

式中：当M_f＜T＜M_s,T＜T₀时否则为零。

奥氏体在T＞A_s,C_A(T-A_f)＜σ^e＜C_A(T-A_s)时的逆变换可表示为

式中：参数a_M,a_A可定义为

式(12)中其它参数包括4个重要的温度参数：M_f,M_s分别为马氏体相变结束和开始温度；A_s,A_f分别为奥氏体相变开始和结束温度。常量C_M,C_A为马氏体和奥氏体相变时应力和温度的等效转换系数；分别为相变开始和结束应力极限；σ^e为von mises应力；Ψ_s0,Ψ_T0为相变开始前应力诱发和温度诱发马氏体体积分数。

最后，得到马氏体体积分数增量

2、细观力学模型

图1为周期性SMA增强聚合物基非均匀材料，图1中，1为SMA聚合物基体，2为可识别单胞。考虑图1所示的周期性微结构构成的智能复合材料。引入两组坐标系x＝(x₁,x₂,x₃)和y＝(y₁,y₂,y₃)以方便细观力学模型推导。x_i为全局坐标系以描述宏观结构，与x_i平行的y_i为局部坐标系描述单胞(文中拉丁字母下标i＝1,2,3，下标重复时表示累加)。选择局部坐标系y_i的原点为单胞的几何中心。

2.1智能复合材料统一增量本构方程

由SMA和聚合物基构成的智能复合材料的局部非线性和时变力学响应统一增量方程可表示为

式中：M_ijkl(t)对于聚合物材料和SMA分别为L_ijkl(t),B_ijkl(Ψ)；η_ij(t,Ψ)对于聚合物材料和SMA分别为γ_ij(t),β_ij(Ψ)；对于聚合物材料和SMA分别为ω_ij(t),Λ_ijkl(Ψ)ΔΨ。

式(15)可通过如下瞬时能量增量ΔU(t,Ψ)对Δε_ij(t)求偏导得到

式中：G为每单位温度的能量变化；c_v为恒定体积下每单位体积的比热；T₀为组分材料无应力状态下的参考温度；h_v与c_v相似，代表能量变化与马氏体体积分数变化的比率。

SMA复合材料有效瞬时刚度矩阵可通过如下两种方式定义：

式中：为全局应变增量；为上画线项表示均匀化后材料宏观分析使用的变量；带星号项表示细观模型计算得到的有效属性；Ω为单胞的体积域。

2.2变分渐近均匀化模型

式(18)中应变张量增量在线性系统中可定义为

由无数单胞构成连续非均匀材料，相邻单胞界面上的位移场增量需满足连续性条件：

式中：上标“+j”和“-j”表示单胞正、负边界表面上相应的量。

单胞可均匀化意味着存在Δv_i满足

使用Lagrange(拉格朗日)乘子技术，可将问题转换为求如下泛函的驻点(最小化)：

式中：λ,γ_ij为将式(5)和式(6)的约束强加于式(2)引入的Lagrange乘子；S_j为垂直于y_j的单胞表面。

细观力学的主要目标是由Δv_i找到真实的位移Δu_i，为此需求解式在全局坐标系x_i下各点的驻值问题，这使该问题的求解十分困难。为解决这一难题，就必须找出某种无需将每个微结构都表示出来的等效材料模型，这一模型应当既能表征材料的平均力学性能，又能反映材料的非均质性，为此可将Δu_i精确解表示为平均值Δv_i和差值之和，即

Δu(t；x；y)＝Δv_i(t；x)+w_i(t；x；y) (23)

根据式(6)可知，式(8)中的〈w_i〉＝0。由非均质材料同质化分析可知，w_i应渐近小于Δv_i，即w_i～ηΔv_i。将(8)代入式(7)，并使用式(4)可得到泛函的主导项为

式中：R为材料体积域；

对J₁进行变分分析可得到求解w_i的Euler-Lagrange(欧拉-拉格朗日)方程组和相应的非齐次边界条件。为方便推导，可通过变量变化使边界条件齐次化。考虑式(9)的最后一项，可用如下变量变化表征w_i：

式中：χ_i称为波动函数。

由于选择局部坐标系的原点为单胞的中点，这意味着对χ_i存在以下约束：

〈χ_i〉＝0 (26)

根据变分渐近法(钟轶峰，张亮亮，周小平，矫立超.复合材料热导性能的变分渐近均匀化细观模型[J].复合材料学报,2015,32(4):1173-1178.)，将式(10)代入式(9)，得到定义在单胞上的求解χ_i驻值的问题为

式中，为均质化材料的全局应变张量分量；S为形函数节点值列阵，S_j为S中的元素。

式(12)的泛函J_Ω包含热弹性细观力学模型的所有信息。对于二元复合材料的简单驻值问题，可通过变分解析求解。但对更一般的情况，需使用数值方法(如有限元法)进行数值求解。

3、有限元实现

从式(2)的自由能出发，通过对如下泛函的最小化，可最终构建控制细观力学模型的变分表达式。直接应用有限元求解式(12)时，引入的Lagrange乘子会增加未知量数目。为避免这种情况，可将约束直接作为边界条件，转化为对如下泛函的求驻值问题：

并受如下约束

式中：χ_i称为波动函数；上标“+j”和“-j”表示单胞正、负边界表面上相应的量。

引入如下矩阵

式中：

其中：Δv_i(x)为单胞内局部位移矢量Δu_i(t；x；y)的体积平均值，可表示为

式(24)中局部场变量Δu_i(t；x；y)可表示为

Δu_i(t；x；y)＝Δv_i+yjΔv_i,j+χi(t；x；y) (33)

Δε₁的矩阵形式可写为

式中：Γ_h为算子矩阵，χ为含位移波动函数χ_i的列阵，使用有限元将χ离散化为

χ(x_i:y_i)＝S(y_i)N(x_i) (35)

式中：S为形函数的节点值列阵(不包括约束节点和从节点)；N为所有活动节点波动函数的节点值列阵。

将式(27)-(25)代入式(20)，得到泛函的离散形式为

式中：

最小化式(28)中的Π_Ω，得到如下线性系统

波动函数节点值列阵N与线性相关，这意味着解可表示为

式中：N₀＝-D_hε/D_hh，N_θ＝-D_hθ/D_hh，N_c＝-D_hc/D_hh。

将式(31)代入式(28)，得到单胞的自由能密度为

式中：

式中：M^*是6×6阶含四阶瞬时张量M_ijkl的有效材料矩阵；η^*是6×1阶含二阶有效瞬时热应力张量的有效矩阵；是6×1阶含二阶有效瞬时热应力张量的有效矩阵。

3.1局部场重构

唯一确定波动函数后，可重构局部位移场增量

式中：分别为对从节点和约束节点进行重构后的形函数和波动函数节点值列阵。

局部应变场增量可重构为

局部应力场增量可使用组分材料的三维本构关系直接重构为

基于式(19)的增量过程模拟SMA复合材料的时变、非线性行为。当前机械荷载和温度下的M^*,η^*,确定后，可从前值和增量确定当前值，即

模拟过程中可不调用在ANSYS和ABAQS有限元分析中所需的各边界条件。

4算例

利用构建的变分渐近均匀化模型预测SMA纤维增强聚合物基复合材料的有效时变超弹性行为特征。圆形SMA纤维呈矩形阵列(图2所示)，Ψ_s0＝Ψ_T0＝0.0。主要研究沿纤维方向最强的有效超弹性行为。

4.1SMA和聚合物的组分材料属性

SMA组分材料属性列于表1。

表1 记忆合金的热-力学材料属性

聚合物为各向同性、线性粘弹性材料，其弹性松弛模量可使用Prony级数表示为

式中：E₀为瞬时杨氏模量；g_k为无量纲模量，τ_k为材料随时间松弛系数。为简化起见，考虑特殊情况，n＝1,g₁＝0.5,τ₁＝30，式(46)简化为

E(t)＝0.5E₀(1+e^-t/ρ)＝A+Be^-t/ρ (47)

式中：E₀＝8000Mpa，ρ＝30；则A＝B＝4000MPa。聚合物材料的热膨胀系数为α＝54×10^-6℃^-1。

式(2)中的时间尺度偏移因子α_T由Williams-Landel-Ferry方程(简称WLF方程)确定，

式中：C₁,C₂为经验常数，本例中C₁＝4.92，C₂＝215.0。

式(48)中T₀为参考温度，时刻t的温度T由下式给出

T＝T₀+θ＝T₀+C₀T (49)

式中：C₀为温度变化率。

因此，缩减时间ξ_t+Δt,ξ_t,ξ_τ为

式(7)中的应力松弛刚度矩阵[L_ijkl(t)]的计算式为：

式(51)中的矩阵[W]为

式中：v是聚合物的泊松比，这里设为常量v＝0.4。

式(7)中的应力松弛刚度矩阵[γ_ij(t)]的计算式为：

[γ_ij(t)]＝[L_ijkl(t)]{α} (53)

式中：{α}为含聚合物材料热膨胀系数的列阵。

式(7)中的系数矩阵可计算为

式中：[Δε(i)]为第i时间步Δt内含应变增量的6×1阶列阵；Δθ(i)为第i时间步Δt内含温度变化增量；n＝t/Δt。

4.2模拟结果与讨论

图2绘出了本发明模拟的不同加载速率下SMA聚合物基复合材料在一个加载-卸载循环中的轴向应力-应变曲线。由图中可看出：复合材料的响应随着加载速率的增加变得更强，这意味着加载越快，宏观相变的临界应力越大。

图3绘出了本发明模拟的不同SMA纤维体积分数下SMA聚合物基复合材料在一个加载-卸载循环中的轴向应力-应变曲线。由图中可看出：总变形、有效粘弹性刚度和宏观马氏体相变的临界应力随SMA纤维体积分数的增加而增加。

为研究温度的影响，图4绘出了本发明模拟的不同温度下SMA聚合物基复合材料在加载过程中的有效轴向应力-应变曲线。由图中可看出：由于纯SMA马氏本相变的临界应力随温度增加则增加，宏观马氏体相变的临界应力同样随温度的增加而增加。

图5、6绘出了本发明模拟的温度变化率对SMA聚合物基复合材料有效粘弹性刚度和宏观马氏体相变临界应力的影响。考虑两种工况：(1)正温变化率，C₀＝0.05,0.1,0.15℃/s；(2)负温变化率，C₀＝-0.1,-0.2,-0.3℃/s。初始温度为T＝A_s+5℃＝39.5℃。机械荷载速率保持为常量0.5MPa/s，并与热载同时作用。由图中可看出：宏观马氏体相变临界应力随正温度变化率的增加而增加，但有效粘弹性刚度反而下降。这主要是由于复合材料的响应是各组分的组合。SMA马氏体相变的临界应力随温度的增加而增加，但两种组分的热膨胀系数随着温度增加导致复合材料响应变弱。因此，负温度变化率的影响刚好相反。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.SMA聚合物基材料有效时变、超弹性响应的模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立组分材料的增量本构方程，包括建立时间域内线性热-粘弹性聚合物的本构方程和SMA的三维增量热-力耦合本构方程；该步骤具体为：

建立时间域内线性热-粘弹性聚合物的本构方程，即

式中：C_ijkl(t)为应力松弛刚度；为应变率和温度变化率张量，σ_ij(t),β_ij(t)为瞬时应力和瞬时热应力张量，β_ij(t)＝-C_ijklα_kl，其中α_kl为热膨胀系数，α_kl为常量；

建立SMA的三维增量热-力耦合本构方程：

Δσ_ij＝B_ijkl(Ψ)Δε_kl+β_ij(Ψ)Δθ+Λ_ij(Ψ)ΔΨ

式中：Δσ_ij(t)＝σ_ij(t+Δt)-σ_ij(t)，Ψ为代表马氏体体积分数的内部状态变量；B_ijkl(Ψ)为SMA的弹性刚度张量；Δε_kl，Δθ，ΔΨ分别为Ψ在时间步Δt的取值，β_ij(Ψ)为SMA的热应力张量，β_ij(Ψ)＝-B_ijkl(Ψ)α_kl(Ψ)，其中α_kl(Ψ)为SMA的热膨胀系数， 为纯马氏体和奥氏体的热膨胀系数，Λ_ij为转换函数；

2)建立SMA聚合物基材料统一增量本构方程；该步骤具体为：

建立SMA聚合物基材料统一增量本构方程，即

式中：M_ijkl(t)对于聚合物材料和SMA分别为L_ijkl(t),B_ijkl(Ψ)；η_ij(t,Ψ)对于聚合物材料和SMA分别为γ_ij(t),β_ij(Ψ)；对于聚合物材料和SMA分别为ω_ij(t),Λ_ij(Ψ)ΔΨ， ξ为折减时间；

3)基于变分渐近均匀化理论建立求解SMA聚合物基材料有效材料属性和波动函数的细观力学模型；该步骤具体为：

基于变分渐近均匀化理论建立求解SMA聚合物基材料有效材料属性和波动函数的细观力学模型：

并受如下约束

式中：χ_i称为波动函数；上标“+j”和“-j”表示单胞正、负边界表面上相应的量；为全局应变增量，G为每单位温度的能量变化；c_v为恒定体积下每单位体积的比热；T₀为组分材料无应力状态下的参考温度；h_v代表能量变化与马氏体体积分数变化的比率，为应变增量；

通过将波动函数离散化，得到离散形式泛函；根据变分原理，最小化离散泛函，将得到波动函数节点值列阵代入单胞泛函，得到单胞能量密度

式中：M^*是6×6阶含四阶瞬时张量M_ijkl的有效材料矩阵；η^*是6×1阶含二阶有效瞬时热应力张量的有效矩阵；是6×1阶含二阶有效瞬时热应力张量的有效矩阵；为由构成的矩阵，Δv_i(x)为单胞内局部位移矢量Δu_i(t；x；y)的体积平均值，上画线项表示均匀化后材料宏观分析使用的变量；带星号项表示细观模型计算得到的有效属性；

4)基于波动函数和全局响应建立局部场重构关系，来预测SMA聚合物基材料的有效时变和超弹性行为特征；该步骤具体为：

基于波动函数和全局响应建立局部场重构关系，来预测SMA聚合物基材料的有效时变和超弹性行为特征，

局部位移场增量：

式中：分别为对从节点和约束节点进行重构后的形函数和波动函数节点值列阵；

局部应变场增量

式中：Γ_h为算子矩阵；

局部应力场增量

式中：M，η，分别为含M_ijkl(t)，η_ij(t,Ψ)，的系数矩阵。