CN105759633A - 一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法 - Google Patents

Abstract

一种分布式的带强连通分支多机器人系统可控包含控制方法，包括以下步骤：（1）根据网络拓扑结构，将有向网络中强连通分支机器人集视为一个整体，即为单元智能体，其他机器人为一般智能体；（2）为单元智能体个体设计相应的一致性控制律，从而实现各个单元的一致，得到网络的缩聚图；（3）针对网络的缩聚图，利用二分图最大匹配算法求取满足网络可控的驱动节点集，驱动节点即为该网络中的领导者，其他节点为跟随者；（4）根据跟随者邻接个体的相对信息为跟随者和领导者机器人设计相应的多机器人领导者包含控制律，驱使跟随者机器人渐近收敛到由领导者机器人所构成的动态凸包中，从而实现多机器人网络的可控包含控制。

Description

一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法

技术领域

本发明涉及智能机器人技术领域，具体来说涉及一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法。

背景技术

移动机器人是由计算机工程、自动化控制工程、信息和传感技术以及人工智能等多学科交叉而形成的一种高新技术，是一个集感知、决策规划、行为控制和交互能力的等多功能于一体的综合系统。机器人技术的发展是衡量一个国家高科技水平和工业自动化程度的重要标志之一，随着机器人开发速度的不断加快，智能化程度越来越高，其应用范围也愈加广泛，不仅在工农业生产、社会服务、医疗卫生以及军事领域等有着广阔的应用前景，而且在海洋资源开发、宇宙探测、危险物资搜捕以及救援等场合都有着巨大的发展空间。因此，移动机器人技术是目前科学研究中最活跃的领域之一，受到了世界各国的普遍关注。

目前，国内外对机器人技术的研究已经取得了一定的进步，开发出各种配备多种先进传感器，具有较强适应能力的智能机器人，如各种微型机器人、水下机器人、军用机器人、服务娱乐机器人以及仿人机器人等，与一般的自动化装备不同，这些智能机器人不仅在外观上突破了最初简单的工业机器人形状的局限，而且针对不同的任务和面对一些特殊环境时，其功能和智能程度都有大幅度的提高。随着机器人技术研究的不断深入，在实际工作中的广泛应用又为机器人学提出了新的要求，在这些应用需求的驱动下，产生了一系列新的研究课题，如路径规划、机器人视觉处理、多机器人协同合作以及一致性等，都是未来机器人技术研究研究的重要分支。

多机器人协调控制是控制领域新兴的研究热点之一，一致性问题作为分布式协同控制的一个重要研究方向，主要任务是设计控制协议，使系统能够通过局部信息交互在关键信息上达成一致，最终达到理想的一致性状态。Olfati-SaberR,MurrayRM(Consensusproblemsinnetworksofagentswithswitchingtopologyandtime-delays.IEEETransactionsonAutomaticControl,2004)和RenW,BeardRW.(Consensusseekinginmultiagentsystemsunderdynamicallychanginginteractiontopologies.IEEETransactionsonAutomaticControl,2005)等最早对于一致性问题展开了研究工作。根据系统中领导者个体数目的不同，一致性问题可划分为以下几种情况：无领导者一致性、一致性追踪(领导-跟随一致性)、多领导者一致性。无领导者一致性在过去的几年中已得到深入的研究，然而在一些实际应用中,通常会出现一个或多个领导者的情况。

多领导者一致性在实际中有着广泛的应用，而包含控制作为一种特殊的多领导者协同控制近年来更是发展迅速。所谓包含控制是指一组跟随者在多个领航者的引领下，实现并保持在由领导者所围成的最小几何空间(凸包)中运动。包含控制在多机器人处理危险物资、敌区搜索、火灾营救以及合作运输等任务中有大量的潜在应用。JiM,Ferrari-TrecateG,EgerstedtM(Containmentcontrolinmobilenetworks.IEEETransactionsonAutomaticControl,2008)和CaoYC,StuatD,RenW(Distributedcontainmentformultipleautonomousveicleswithdouble-integratordynamic:Algorithmsandexperiments.IEEETransactionsonControlSystemsTechnology,2011)等最早展开了相关课题的研究。MeiJ,RenW,MaG(DistributedcontainmentcontrolforLagrangiannetworkswithparametricuncertaintiesunderadirectedgraph.Automatica,2012)研究了拉格朗日系统包含控制问题，并提出了基于神经网络的包含控制协议。ZhouFeng,WuYan-xuan(MeanSquareContainmentControlofMulti-agentSystemswithTransmissionNoises.ActaAutomaticaSinica,2013)和WangY,ChengL,HouZG(Containmentcontrolofmulti-agentsystemsinanoisycommunicationenvironment.Automatica,2014)研究了噪声环境下的多智能体包含控制，两篇文章分别通过引入了衰减增益法和时延增益法来抑制噪声并实现有限时间包含。SuHS,JiaG,ChenMZQ(Semi-globalcontainmentcontrolofmulti-agentsystemswithintermittentinputsaturation.JournaloftheFranklinInstitute,2014)和SuHS,ChenMZQ.Multi-agentcontainmentcontrolwithinputsaturationonswitchingtopologies.IETControlTheory&Applications,2015)研究了输入饱和情况下的多智能体系统包含控制，两篇文献提出了两种低增益反馈方法得到系统的半全局状态反馈量和输出反馈量,并据此设计控制协议有效实现系统的包含控制。ZhengY,WangL(Containmentcontrolofheterogeneousmulti-agentsystems.InternationalJournalofControl,2014)侧重研究了分阶异质群体分别作为领导者和跟随者的包含控制，HaghshenasH,BadamchizadehMA,BaradaranniaM(Containmentcontrolofheterogeneouslinearmulti-agentsystems.Automatica,2015)则研究了基于输出反馈调节的异质网络包含控制。随着多领导一致性的研究，人们发现多机器人系统能控性是一个非常重要且具有实际意义的课题。系统的能控性是指通过对网络中某些领导者个体施加外部控制输入，网络中其它跟随者个体能够实现控制信号的可达并由通过机器人之间的相互作用，使得跟随者个体能够由任意的初始状态达到预期的最终状态。在大规模的多机器人包含控制中，特别是带有强连通分支这种特殊的多智能体系统中如何合理的选择领导者，从而满足整个系统的可控运行是当前控制领域专家们非常感兴趣的问题。该控制问题具有两个显著特征，一是个体之间存在着局部信息传递且个体独立进行分布式控制，二是系统存在强连通分支，可以看出由个体形成的网络的拓扑结构起着非常重要的作用，其领导者的选择是群体实现同步的前提条件，因此为了解决的多机器人系统的同步包含控制问题，需要着重解决群体网络拓扑结构的构建及优化和机器人之间的领导者选择。

发明内容

本发明的目的是，为了求取满足网络可控的最少的领导者集合并实现系统的可控包含控制，本发明提供一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法。

实现本发明的技术方案是，本发明一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法，结合图论和矩阵理论等工具，研究了带有强连通子图结构的多机器人系统包含控制过程中的领导者选择及可控包含控制，根据网络的拓扑结构确定单元智能体与一般智能体，为单元智能体设计相应的一致性控制律，实现各个单元的一致从而得到网络的缩聚图；再结合二分图最大匹配算法，求取满足网络可控的最少的领导者集合，根据跟随者邻接个体的相对信息，为跟随者和领导者机器人设计相应的多机器人领导者包含控制律，驱使跟随者渐近收敛到多个领导者所构成的动态凸包中，从而实现网络的可控包含控制。

所述方法包括以下步骤：

(1)根据网络拓扑结构，将有向网络中强连通分支机器人集视为一个整体，即为单元智能体，其他机器人为一般智能体；

(2)为单元智能体个体设计相应地一致性控制律，从而实现各个单元的一致，得到网络的缩聚图；

(3)针对网络的缩聚图，利用二分图最大匹配算法求取满足网络可控的驱动节点集，驱动节点即为该网络中的领导者，其他节点为跟随者；

(4)根据跟随者邻接个体的相对信息为跟随者和领导者机器人设计相应的包含控制律，确定单元智能体的一致性控制率和多机器人系统的包含控制率；驱使跟随者个体渐近收敛到由领导者所构成的动态凸包中，从而实现网络的可控包含控制。

其中，确定单元智能体与一般智能体的方法有：

应用图论的方法表示网络中机器人之间的通信关系，其中，我们将多机器人系统视为由N个节点组成的有向网络G(A)，N×N矩阵A＝{a_ij|i,j∈[1,N]}表示网络中节点的邻接关系，如果节点i能够接收到节点j的信息，则a_ij＞0；其中强连通分支节点集G'＝(G'₁,G'₂,...,G'_k)视为一个整体，即为单元智能体，其余为一般智能体。

单元智能体的一致性控制律为：

考虑单元智能体G'＝(G'₁,G'₂,...,G'_k)中k个个体的动力学模型如下：

${\stackrel{\·}{x}}_i\left(t\right)={\mathrm{Ax}}_i\left(t\right)+{\mathrm{Bu}}_i\left(t\right),i=1,2,...,n---\left(1\right)$

其中A＝(a_ij)_k×k为系统邻接矩阵，表示网络中节点的邻接关系，B＝(b_ij)_k×k为输入矩阵，表示节点与外部控制信号的连接关系，b_ij＝1表示节点i上施加信号u_j(t)，u_i(t)为t时刻第k个节点的控制输入，对G'中的个体施加如下控制输入：

$u_i\left(t\right)=-K\underset{j\∈G^{\′}}{\Σ}{a}_{ij}\left(x_i\right(t)-x_j(t\left)\right)---\left(2\right)$

其中，K为设计的反馈矩阵,满足K＝B^TP,其中P为对称的正定矩阵且满足Riccati方程A^TP+PA+I_s-PBB^TP＝0，a_ij为邻接矩阵A＝(a_ij)_k×k中第(i,j)个对应的项；在控制输入的作用下，单元智能体达到一致，从而得到网络的缩聚图

多机器人领导者包含控制律如下：

(1)针对所得到的缩聚图将有向图转换为二分图H(A)表示：

将转化后的二分图其中分别表示状态矩阵A的各列与各行的节点集合，E＝{(x_i,x_j)|a_ij≠0}表示边集；

根据二分图最大匹配算法，求得网络中的匹配节点与非匹配节点集合，对于一个非匹配节点数不为0的网络，驱动节点数即为非匹配节点数。

(2)对于由N'个智能体所组成的有向网络，用二分图最大匹配算法确定满足网络可控的驱动节点集，驱动节点即为网络中的领导者，其个数记为N'-m(m＜N')，非驱动节点为网络中的跟随者，其个数为m，分别用F＝{x₁,x₂,...,x_m}和L＝{x_m+1,x_m+2,...,x_n}代表跟随者和领导者的集合；系统中领导者之间无通信，且领导者不受跟随者的影响，跟随者个体只有部分能够知道领导者状态信息.其中，跟随者的动力学模型的表达式同(2)式；

设计分布式控制协议如下：

$u_i\left(t\right)=\underset{j\∈N^{\′}}{\Σ}{a}_{ij}{u}_j\left(t\right)-K\underset{j\∈N^{\′}}{\Σ}{a}_{ij}\left(x_i\right(t)-x_j(t\left)\right)---\left(3\right)$

对于控制律(3),其中K为设计的反馈矩阵,满足K＝B^TP,其中P为对称的正定矩阵且满足Riccati不等式A^TP+PA-2PBB^TP<0,u_j为第i个个体所相邻的智能体的控制输入，可知对于N'-m个领导者个体而言，由于其不存在影响它的邻居个体，u_j则表示外部输入的预期量.领导者的控制输入如下式所示：

$u_i\left(t\right)=\underset{j\&Element;N^{\&prime;}-m}{\&Sigma;}{a}_{ij}{u}_j\left(t\right)-K\underset{j\&Element;N^{\&prime;}-m}{\&Sigma;}{a}_{ij}{x}_i\left(t\right)$

本发明的有益效果是：

(1)本发明将图论与机器人群体的控制相结合，形象直观的表现出机器人位置之间形成的网络拓扑以及控制作用关系；

(2)本发明将控制理论中的可控性理论应用于多机器人系统中，应用可控性理论及图论中的二分图最大匹配算法提出了一种包含控制中如何有效地选取满足网络可控的最少的领导者集合的方法。

(3)本发明在设计过程中引入单元智能体概念，能够避免伪驱动节点的出现，得到网络中有效的驱动节点,从而实现网络的可控。

(4)本发明提出的控制协议不仅满足于带有强连通分支的多机器人系统可控包含控制，也满足于一般网络的多机器人可控包含控制。

(5)本发明提出两种新的控制率，一种是单元智能体的一致性控制率，用以实现单元智能体的一致性，一种是多机器人系统的包含控制率，用以实现最终多机器人网络的可控包含控制。

附图说明

图1是示例网络拓扑结构图；

图2表示示例对应的二分图；

图3是示例网络拓扑结构图；

图4是本发明网络拓扑结构图；

图5是6、9、12个体为领导者时智能体的运动轨迹；

图6是单元智能体运动轨迹；

图7是网络拓扑缩聚图；

图8是智能体可控包含控制运动轨迹图；

图9是本发明方法的步骤框图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明进行详细的描述。

本发明具体实施方式的步骤如图9所示。

多智能体系统的能控性是指通过对网络中某些领导者个体施加外部控制输入，网络中其它跟随者个体能够实现控制信号的可达并由通过个体之间的相互作用，使得跟随者个体能够由任意的初始状态达到预期的最终状态。

在现代控制理论中,系统可控性是反映输入对系统状态的控制能力的一般概念。给定一个线性定常控制系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right),x\&Element;R^N,u\&Element;R^M---\left(4\right)$

其中A＝(ai_j)_N×N和B＝(b_ij)_N×M(M≤N)分别为系统矩阵和输入矩阵。如果对于任意给定的初态x(0)＝x₀和终态x_f，都存在控制输入u和有限时刻T使得x(T)＝x_f，就称系统(4)是可控的。可控性一个经典的充要判据是对应的可控性矩阵满秩，表示为：

rankQ_c＝rank(B,AB,A²B,...,A^N-1B)＝N(5)

现将系统(4)视为由N个节点组成的有向网络G＝(V,E)的状态方程，矩阵A＝{a_ij|i,j∈[1,N]}表示网络中节点的邻接关系,Γ＝{(x_i,x_j)|a_ij≠0}表示网络中节点间的边集，如若节点i能够接受到j的信息，有a_ij＞0.x(t)＝(x₁(t),x₂(t),...,x_n(t))^T表示N个节点在时刻t的状态，N×M矩阵B＝{bi_j|i∈[1,N],j∈[1,M]}表示节点与外部控制信号的连接关系，u(t)＝(u₁(t),u₂(t),...,u_M(t))^T为t时刻M个节点的输入控制信号，b_ij＝1表示节点i上施加信号u_j(t)。有向路径是一系列边集所形成的序列，表示节点之间的连接关系。如果在一个有向网络中存在至少有一个智能体到其它任意智能体都存在一条有向路径，那么就说这个有向图中存在有向生成树。在有向图G中,若任意两个节点i,j，都存在一条有向路径起始于i终止于j，则图G为强连通图。若图G'为图G的强连通子图,则称G'为G的强连通分支。

一个网络中的最大匹配的求取可以用二分图的方式求解，所谓最大匹配是指：给定一个二分图G(A)，M′为图G(A)边集的一个子集,如果M′满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M′是一个匹配,图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。这里应用二分图最大匹配算法来求取网络中的最大匹配,将有向图G(A)转换为二分图H(A)，且有

$H\left(A\right)=(V_A^{+},V_A^{-},E)---\left(6\right)$

其中：分别表示状态矩阵A各列与各行的节点集合，E＝{(x_i,x_j)|a_ij≠0}表示边集。由二分图最大匹配算法,可得出网络中的最大匹配节点集，对于一个非匹配节点数不为0的网络，驱动节点即为非匹配节点。

图1以一个有向网络为例描述了二分图最大匹配算法求取驱动节点的过程。

图1为网络拓扑结构图，将图1化为图2所示二分图形式，用最大匹配算法求取此二分图的最大匹配边，由图可知其最大匹配边集为：1⁺→3^-，3⁺→2^-，4⁺→5^-，可知节点2、3、5为匹配节点，1、4为非匹配节点；即节点1、4为该网络的驱动节点。对此两个个节点的控制就可以使整个网络可控。

图3以一种简单的强连通分支图为例，描述了单元智能体概念的引入原因及可能出现的伪驱动节点。由强连通子图G'的定义可知，强连通分支中任意两个体之间都存在一条有向路径，即强连通分支只需对其中任意智能体施加控制信号即可使得控制信号在强连通分支全局可达。但对于入度为零出度不为零的当强连通子图而言，由强连通图自身的可控性，应用最大匹配算法求取的驱动节点中可能存在无效的驱动节点，对这类控制节点施加控制输入并不能使整个网络有效可控。图3以一个简单图为例描述了此种情况，如图3所示可知，智能体1、2、3所构成的子图为强连通图，直接应用二分图最大匹配算法可得到图3网络的驱动节点有两组：1个体或者4个体。即通过对个体1或个体4施加控制输入能够使得图3所示网络可控。结合公式(5)验证可知，当1智能体作为驱动节点施加控制输入时满足网络可控，4智能体施加控制输入时可控性矩阵不满秩，即4节点为无效的驱动节点，从图中观察也能较明显的看出节点4作为驱动节点不能有效的使得控制信息全局可达。图5即为不引入单元智能体，即直接应用二分图最大匹配求去的驱动节点作为领导者时的一种情况。针对图4拓扑应用上述方法确定网络中的驱动节点，可得网络的驱动节点集有四组：1)6、9、12个体；2)1、6、12个体；3)5、9、12个体；4)1、5、12个体；在此以第一组为例应用第4节所示包含控制协议验证其包含控制过程，其个体运动轨迹如图5所示，由图5可知，智能体不能有效的实现可控包含控制，其中个体1、2、3及4、5由于之间的相互信息作用且不受领导者个体信息影响从而不能有效的收敛到凸包中，个体8受个体3和7的影响也能未收敛到凸包中。其中智能体6、9为无效的驱动节点。

在此引入单元智能体概念，可将网络中强连通分支智能体集视为一个整体，即网络中智能个体分为两类：单元智能体和一般智能体。在图3中节点1、2、3为单元智能体，先为单元智能体设计一致性协议，实现单元智能体的一致后1、2、3个体构成一个单元，再应用最大匹配算法即可知该单元为网络唯一的驱动节点。单元智能体概念的引入能够避免伪驱动节点的出现，得到网络中有效的驱动节点，从而实现网络的可控。

引入单元智能体概念后，首先找出网络中的单元智能体个体，并为单元智能体设计一致性协议，找出其邻接矩阵A中的k个不可约子矩阵，即为系统中的强连通子图G'＝(G'₁,G'₁,...,G'_k)对G'中的个体施加如下的控制输入：

$u_i\left(t\right)=-K\underset{j\&Element;G^{\&prime;}}{\&Sigma;}{a}_{ij}\left(x_i\right(t)-x_j(t\left)\right)---\left(7\right)$

其中K为设计的反馈矩阵,满足K＝B^TP,其中P为对称的正定矩阵且满足Riccati方程A^TP+PA+I_s-PBB^TP＝0。引入单元智能体概念后确定网络中的单元智能体与一般智能体，可得图4中有三个单元U₁(个体1，2，3)、U₂(个体4，5)、U₃(个体6，7，8)，应用控制协议(7)实现单元智能体的一致性，得到网络的缩聚图7。单元智能体的运动轨迹如图6所示。

由网络的缩聚图7，结合上述的二分图最大匹配算法确定图7中满足网络可控的最少领导者个体，可知图7的最大匹配边集为：即个体C₁、C₂、12为网络的非匹配节点(领导者个体)。分别用F＝{x₁,x₂,...,x_m}和L＝{x_m+1,x_m+2,...,x_n'}表示，跟随者的动力学模型如式(1)所示，现设计分布式控制协议如下：

$u_i\left(t\right)=\underset{j\&Element;N^{\&prime;}}{\&Sigma;}{a}_{ij}{u}_j\left(t\right)-K\underset{j\&Element;N^{\&prime;}}{\&Sigma;}{a}_{ij}\left(x_i\right(t)-x_j(t\left)\right)---\left(8\right)$

对于控制律(3),其中K为设计的反馈矩阵,满足K＝B^TP,其中P为对称的正定矩阵且满足Riccati不等式A^TP+PA-2PBB^TP<0u_j为第i个个体所相邻的智能体的控制输入，可知对于N'-m个领导者个体而言，由于其不存在影响它的邻居个体，u_j则表示外部输入的预期量.领导者的控制输入如下式所示。结合式(8)控制协议仿真得到图7中节点的运动轨迹如下图8所示，由图可看出智能体能够有效的实现可控包含控制。

Claims (4)

1.一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法，其特征在于，所述方法根据网络的拓扑结构确定单元智能体与一般智能体；为单元智能体设计相应的一致性控制律，实现各个单元的一致，从而得到网络的缩聚图；再结合二分图最大匹配算法，求取满足网络可控的最少的领导者集合，根据跟随者邻接个体的相对信息，为跟随者和领导者机器人设计相应的多机器人领导者包含控制律，驱使跟随者渐近收敛到多个领导者所构成的动态凸包中，从而实现网络的可控包含控制；

所述方法包含以下步骤：

(1)根据网络拓扑结构，将有向网络中强连通分支机器人集视为一个整体，即为单元智能体，其他机器人为一般智能体；

(2)为单元智能体个体设计相应的一致性控制律，从而实现各个单元的一致，得到网络的缩聚图；

(3)针对网络的缩聚图，利用二分图最大匹配算法求取满足网络可控的驱动节点集，驱动节点即为该网络中的领导者，其他节点为跟随者；

(4)根据跟随者邻接个体的相对信息为跟随者和领导者机器人设计相应的包含控制律，确定单元智能体的一致性控制率和多机器人领导者包含控制律；驱使跟随者个体渐近收敛到由领导者所构成的动态凸包中，从而实现网络的可控包含控制。

2.根据权利要求1所述的一种带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法，其特征在于，所述确定单元智能体与一般智能体的方法,为应用图论的方法表示网络中机器人之间的通信关系：

将多机器人系统视为由N个节点组成的有向网络G(A)，N×N矩阵A＝{a_ij|i,j∈[1,N]}表示网络中节点的邻接关系，如果节点i能够接收到节点j的信息，则a_ij＞0；其中强连通分支节点集G'＝(G′₁,G′₂,...,G′_k)视为一个整体，即为单元智能体，其余为一般智能体。

3.根据权利要求1所述的带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法，其特征在于，所述单元智能体的一致性控制律为：

考虑单元智能体G'＝(G′₁,G′₂,...,G′_k)中k个个体的动力学模型如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i\left(t\right)={\mathrm{Ax}}_i\left(t\right)+{\mathrm{Bu}}_i\left(t\right),i=1,2,...,n$

其中A＝(a_ij)_k×k为系统邻接矩阵，表示网络中节点的邻接关系，B＝(b_ij)_k×k为输入矩阵，表示节点与外部控制信号的连接关系，b_ij＝1表示节点i上施加信号u_j(t)，u_i(t)为t时刻第k个节点的控制输入，对G'中的个体施加如下控制输入：

$u_i\left(t\right)=-K\underset{j\&Element;G^{\&prime;}}{\&Sigma;}{a}_{ij}\left(x_i\right(t)-x_j(t\left)\right)$

其中，K为设计的反馈矩阵，满足K＝B^TP,其中P为对称的正定矩阵且满足Riccati方程A^TP+PA+I_s-PBB^TP＝0，a_ij为邻接矩阵A＝(a_ij)_k×k中第(i,j)个对应的项；在控制输入的作用下，单元智能体达到一致，从而得到网络的缩聚图

4.根据权利要求1所述的带强连通分支的多机器人系统可控包含控制方法，其特征在于，所述多机器人领导者包含控制律如下：

(1)针对所得到的缩聚图将有向图转换为二分图H(A)表示：

将转化后的二分图其中分别表示邻接矩阵A的各列与各行的节点集合，E＝{(x_i,x_j)|a_ij≠0}表示边集；

根据二分图最大匹配算法，求得网络中的匹配节点与非匹配节点集合，对于一个非匹配节点数不为0的网络，驱动节点数即为非匹配节点数；

(2)对于由N'个智能体所组成的有向网络，用二分图最大匹配算法确定满足网络可控的驱动节点集，驱动节点即为网络中的领导者，其个数记为N'-m(m＜N')，非驱动节点为网络中的跟随者，其个数为m，分别用F＝{x₁,x₂,...,x_m}和L＝{x_m+1,x_m+2,...,x_n}代表跟随者和领导者的集合；

跟随者的动力学模型表示为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_i\left(t\right)={\mathrm{Ax}}_i\left(t\right)+{\mathrm{Bu}}_i\left(t\right)$

设计分布式包含控制律为：

$u_i\left(t\right)=\underset{j\&Element;N^{\&prime;}}{\&Sigma;}{a}_{ij}{u}_j\left(t\right)-K\underset{j\&Element;N^{\&prime;}}{\&Sigma;}{a}_{ij}\left(x_i\right(t)-x_j(t\left)\right)$

其中K为设计的反馈矩阵,满足K＝B^TP,其中P为对称的正定矩阵且满足Riccati不等式A^TP+PA-2PBB^TP<0，u_j为第i个个体所相邻的智能体的控制输入，可知对于N'-m个领导者个体而言，由于其不存在影响它的邻居个体，u_j则表示外部输入的预期量；领导者的控制输入如下式所示：

$u_i\left(t\right)=\underset{j\&Element;N^{\&prime;}-m}{\&Sigma;}{a}_{ij}{u}_j\left(t\right)-K\underset{j\&Element;N^{\&prime;}-m}{\&Sigma;}{a}_{ij}{x}_i\left(t\right).$