CN105740592A - 基于序贯采样的拉丁超立方实验设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种序贯采样的拉丁超立方实验设计方法，通过基矩阵构造2^m因子2^m+1+1水平的正交拉丁超立方设计矩阵，在序贯采样过程中，引入优化算法，提高所设计采样点的空间分布性能，提高采样准确性。

Description

基于序贯采样的拉丁超立方实验设计方法

技术领域

本发明涉及工程优化设计技术领域，具体的涉及一种序贯采样的拉丁超立方实验设计方法。

背景技术

合理的实验设计手段可以有效地选择采样点，用尽量少的样本点反映出尽可能多的输出特性，能显著减少采样量，从而提高工作效率减轻计算量。拉丁超立方实验(LatinHypercubeSampling，LHS)设计由于其突出的充满空间(SpaceFilling)特性，并且对于每个不同的设计变量个数均能自由设计采样点个数，因此在安排计算机仿真实验中应用最为广泛。

LHS在1979年首次提出，其设计结果为一n×m矩阵，该矩阵中每一行代表一组输入变量组合，每一列代表对应变量的采样值，任意一列均是1～n的排列，然而由于LHS多为基本随机布点，不能充分发挥LHS能充满空间的特性，采样点分布如图1(a)所示均匀性较差，因此需要对采样点的分布进行优化设计得到如图1(b)所示的采样点分布。提高采样点在空间中的分布均匀性。

目前常用的优化拉丁超立方实验设计方法有：

(1)基于智能算法，选择一定的充满空间的性能指标(通常为最大化最小距离，最小化中心偏差，最小化列相关系数等)，对m维中的n个值的排列进行优化，得到优化的LHS，这种方法在维度较低，采样点数目较少时，可以得到较好的采样结果(一般要求m＜10,n＜200)，随着维度和采样点个数的增加，计算复杂度呈指数增加趋势(n！)^m，因此对于高维大样本的采样，优化效果较差。

(2)针对LHS的低相关性(正交性)，直接推导得到正交LHS设计。YeKQ.OrthogonalColumnLatinHypercubesandTheirApplicationinComputerExperiments[J].JournaloftheAmericanStatisticalAssociation.1998,93(444):1430-1439在1998年通过随机排列演化的方法得出2m因子2^m+1+1或2^m+1(m为任意正整数)水平的正交拉丁方直接构造方法；随着研究的深入在此基础上，进一步设计出了因子2^m+1+1或2^m+1水平的正交LHS_SunF,LiuM,LinDKJ.ConstructionoforthogonalLatinhypercubedesigns[J].Biometrika.2009提出了可以容纳更多设计因子的正交拉丁超立方设计(2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平)，并提出了将其扩充到更高水平数的方法。

(3)CioppaTM,LucasTW.EfficientNearlyOrthogonalandSpace-FillingLatinHypercubes[J].Technometrics.2007,49(1):45-55.在直接构造正交设计的基础上，对其空间分布性进行改进。

目前常用的优化拉丁超立方设计方法存在以下缺点：

(1)基于优化的LHS计算需要大量的迭代，计算效率低下，难以在规定时间内得到空间分布均匀性较好的实验设计点；

(2)直接采用正交拉丁方优化方法进行采样虽然可以保证设计点的正交性，但其空间分布均匀性难以保证。

(3)在直接构造的基础上，对空间分布进行优化的方法可以在一定程度上解决上述问题，但是仍然需要求解计算复杂度为(n！)²的问题，计算代价仍然较大。

发明内容

本发明的目的在于提供一种序贯采样的拉丁超立方实验设计方法，该发明解决了现有技术中基于优法的LHS计算效率低下；所得采样点空间分布均匀性难以保证；计算代价大的技术问题。

本发明提供一种序贯采样的拉丁超立方实验设计方法，包括以下步骤：

步骤S100：根据所处理设计的条件和目标，建立工程优化设计数学模型，确定n维归一化后的设计空间中需要产生的试验点数量m，其中n为设计变量个数，m为不小于log₂n的整数，通过基矩阵构造2^m因子2^m+1+1水平正交拉丁超立设计矩阵T；

步骤S200：选择在设计矩阵T中空间分布性能最好的n列作为优化矩阵T'，并记录优化矩阵T'对应的n列在设计矩阵T中的编号[k₁,k₂,…,k_n]，并以优化矩阵T'作为初始设计矩阵将初始设计矩阵中的各元素均同时除以2^m后，映射到[-1,1]ⁿ中，得到2^m+1+1个初始采样点；

步骤S300：令index＝0后，生成初始设计矩阵其中n列为[k₁,k₂,…,k_n]列，计算所有样本点的空间分布特性，通过调整第k次迭代得到的初始排列e_k，根据设计点空间分布性能指标选择能使所有样本点空间分布性能最优的迭代初始排列e_opt对应的设计矩阵，作为优化后的设计矩阵

步骤S400：将优化后的设计矩阵中各元素同时除以2^m+index，映射到[-1,1]ⁿ中，并加入所有样本点中，得到(2^m+index+2+1)×n的实验设计矩阵；

步骤S500：判断所得实验设计矩阵中的各采样点是否满足终止条件，如果满足，则退出采样，输出所得实验设计矩阵；如果不满足则将index+＝1后返回步骤300继续下一次迭代；

所有样本点包括拟加入的点和已有样本点。

进一步地，2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平正交拉丁超立设计矩阵T构造方法，包括以下步骤：

步骤S110：定义基矩阵：

$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& R=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]& 1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]& B=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\end{array}\\ e={\left[\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& \mathrm{...}& 2^m& -0& 2^m\end{array}\right]}^T\end{array}---\left(1\right)$

符号矩阵S和排列矩阵M为基矩阵的Kronecker积，定义如下：

给定任意整数k∈[1,2^m]，符号矩阵S和排列矩阵M第k列生成规则：

将k-1转化为m位二进制串，g_k为k-1的格雷码，b_k为k-1的二进制码，

$\begin{array}{c}{S}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\⊗}}f(g_k^{\left(i\right)},1,B)\\ A_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\⊗}}f(b_k^{\left(i\right)},I,R)\\ M_k=Ae\end{array}---\left(3\right)$

其中，表示g_k，b_k从高向低的第i位，f(j,x₁,x₂)定义如下：

$f(j,x_1,x_2)=\left\{\begin{array}{cc}{x}_1& j=0\\ x_2& j=1\end{array}\right.---\left(4\right)$

设计矩阵T为符号矩阵S和排列矩阵M的Hadamard积，Hadamard积的定义如下：

因此

按

$T_{(2^{m+1}+1)\×2^m}=\left[\begin{array}{c}{T}_{2^m\×2^m}\\ 0_{1\×2^m}\\ -T_{2^m\×2^m}\end{array}\right]---\left(8\right)$

扩充后得到(2^m+1+1)×2^m设计矩阵；

步骤S120：去掉(2^m+1+1)×2^m设计矩阵中的中心点后，并重新安排各水平，使各水平之间的距离相等，即为2^m+1×2^m设计矩阵：

$T_{2^{m+1}\×2^m}=\left[\begin{array}{c}{T}_{2^m\×2^m}^{\′}\\ -T_{2^m\×2^m}^{\′}\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中，T_ij′＝sign(T_ij)×[abs(T_ij)-0.5]，sign()，abs()分别为符号和绝对值函数。

本发明的技术效果：

本发明提供的序贯采样的拉丁超立方实验设计方法，采用序贯采样设计，不断增加水平数，在对拉丁超立方采样正交性进行优化的基础上，继续对采样点的空间分布特性进行优化，使得拉丁超立方采样的计算的复杂度降为(n/4)！，显著提高拉丁超立方采样的计算效率与空间分布性能。可以有效提高样本点空间散布性，降低计算代价。

具体请参考根据本发明的序贯采样的拉丁超立方实验设计方法提出的各种实施例的如下描述，将使得本发明的上述和其他方面显而易见。

附图说明

图1是现有技术中二维拉丁超立方采样点空间分布示意图，其中(a)为未经优化设计的二维拉丁超立方采样点空间分布示意图，(b)为经优化后的二维拉丁超立方采样点空间分布示意图；

图2是本发明提供的序贯采样的拉丁超立方实验设计方法的流程示意图；

图3是本发明优选算例中二维初始设计点空间分布示意图；

图4是本发明优选算例中第一次序贯采样后所得采样点加入图3所示设计点后的空间分布示意图；

图5是本发明优选算例中第二次序贯采样后所得采样点加入图4所示采样点后的空间分布示意图；

图6是本发明优选算例中重复多次序贯采样后采样点至33个时的空间分布示意图；

图7是本发明优选算例中重复多次序贯采样后采样点至65个时的空间分布示意图分布。

具体实施方式

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

为了便于理解，首先对其原理叙述如下：首先通过基矩阵构造2^m因子2^m+1+1水平正交拉丁超立方设计，之后在序贯采样过程中，引入优化算法，提高所设计采样点的空间分布均匀性，提高采样准确性。另外，在后续增加采样点过程中，前期采样点的位置固定不变，不参与优化，因此可大大减少优化计算的复杂度，降低优化设计的计算量，提高采样计算效率。

参见图2，本发明提供的序贯采样的拉丁超立方实验设计方法包括以下步骤：

步骤S100：根据所处理设计的条件和目标，建立工程优化设计数学模型，确定n维归一化后的设计空间中需要产生的试验点数量m，其中n为设计变量个数，m为不小于log₂n的整数，通过基矩阵构造2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平正交拉丁超立设计矩阵T；

步骤S200：选择在设计矩阵T中空间分布性能最好的n列作为优化矩阵T'，并记录优化矩阵T'对应的n列在设计矩阵T中的编号[k₁,k₂,…,k_n]，并以优化矩阵T'作为初始设计矩阵将初始设计矩阵中的各元素均同时除以2^m后，映射到[-1,1]ⁿ中，得到2^m+1+1个初始采样点；

步骤S300：令迭代次数index＝0后，生成初始设计矩阵其中n列为[k₁,k₂,…,k_n]列，计算所有样本点(包括拟加入的点和已有样本点)的空间分布特性，通过调整第k次迭代得到的初始排列e_k，根据设计点空间分布性能指标选择能使所有样本点空间分布性能最优的迭代初始排列e_opt对应的设计矩阵，作为优化后的设计矩阵

步骤S400：将优化后的设计矩阵中各元素同时除以2^m+index，映射到[-1,1]ⁿ中，并加入所有样本点中，得到(2^m+index+2+1)×n的实验设计矩阵；从而生成了一个更大的实验设计矩阵。

步骤S500：判断所得实验设计矩阵中的各采样点是否满足终止条件，如果满足，则退出采样；如果不满足则将index+＝1后返回步骤300继续下一次迭代。

此处的终止条件可以为在使用该方法时由用户自己设定，比如：可以设定为采样点个数已经达到要求，或根据采样点构造的近似模型的近似精度已经满足要求。

通过上述计算步骤可知，本发明在最大计算量为2^m+k列中仅选出n列进行计算，即因而对于所构建的拉丁超立方设计矩阵T的计算量远远小于(2^m+k+2)！的计算量。

本发明提出的序贯拉丁超立方设计方法，不改变设计样本点位置的情况下，充分利用设计样本点处计算得到的输入输出关系，通过序贯拉丁超立方设计方法优化设计样本点，从而实现从最小的优化拉丁方设计开始，不断衍生出更大规模的拉丁超立方设计。提高采样的分布均匀性减少了迭代计算的计算量。提高计算效率。

本发明提供的方法可以适用于各类工程问题，例如建筑行业或飞行器设计行业均可适用。

2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平正交拉丁超立设计矩阵T构造方法，包括以下步骤：

2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平正交拉丁超立方构造方法。

步骤S110：2^m因子2^m+1+1水平的拉丁超立方设计结果为一个(2^m+1+1)×2^m的矩阵，每一行代表一组变量的组合，每一列代表不同水平数的排列。

为构造上述(2^m+1+1)×2^m的实验设计矩阵，首先构造2^m×2^m的符号矩阵S和排列矩阵M。符号矩阵S为所有元素均为1或者-1的矩阵，排列矩阵M一共有2^m列，每一列为1～2^m的排列。其中m为矩阵个数。

为构造符号矩阵S和排列矩阵M，首先定义基矩阵：

$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& R=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]& 1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]& B=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\end{array}\\ e={\left[\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& \mathrm{...}& 2^m& -0& 2^m\end{array}\right]}^T\end{array}---\left(1\right)$

其中，e为初始排列。此处的其他矩阵与e合称为基矩阵。

符号矩阵S和排列矩阵M为以上基矩阵的Kronecker积，定义如下

给定任意整数k∈[1,2^m]，S和M第k列按如下规则生成：

首先将k-1转化为m位二进制串，g_k为k-1的格雷码，b_k为k-1的二进制码，

$\begin{array}{c}{S}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\⊗}}f(g_k^{\left(i\right)},1,B)\\ A_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\⊗}}f(b_k^{\left(i\right)},I,R)\\ M_k=Ae\end{array}---\left(3\right)$

其中，表示g_k，b_k从高向低的第i位，f(j,x₁,x₂)定义如下：

$f(j,x_1,x_2)=\left\{\begin{array}{cc}{x}_1& j=0\\ x_2& j=1\end{array}\right.---\left(4\right)$

m位二进制串刚好可以表示2^m个数，对应矩阵S和M的2^m列。

例如，当m＝2时，S和M为4×4矩阵，每一列分别编码为0,1,2,3的格雷码和二进制码：

S矩阵对应的格雷码为：00，01，11，10，因此对应的四列为和M矩阵对应的二进制码为：00，01，10，11，因此对应的四列为和生成的S和M矩阵如下：

$S=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right]---\left(5\right)$

步骤S120：按上述规则生成S和M为2^m×2^m矩阵，最终的设计矩阵为符号矩阵S和排列矩阵M的元素积(Hadamard积)，Hadamard积的定义如下：

因此生成设计矩阵为：

生成T矩阵后，按式(8)即可扩充为(2^m+1+1)×2^m的第一设计矩阵。

$T_{(2^{m+1}+1)\×2^m}=\left[\begin{array}{c}{T}_{2^m\×2^m}\\ 0_{1\×2^m}\\ -T_{2^m\×2^m}\end{array}\right]---\left(8\right)$

按式(8)生成(2^m+1+1)×2^m的设计矩阵后，去掉中心点，并重新安排各水平(各设计变量的取值)，使各水平之间的距离相等，即为2^m+1×2^m设计矩阵。

$T_{2^{m+1}\×2^m}=\left[\begin{array}{c}{T}_{2^m\×2^m}^{\′}\\ -T_{2^m\×2^m}^{\′}\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中，T_ij′＝sign(T_ij)×[abs(T_ij)-0.5]，sign()，abs()分别为符号和绝对值函数，该操作的本质是将所有点的所有坐标项中心点平移0.5，因为去掉了中心点，因此平移后，所有排列从-2^m,-2^m+1,…,-1,0,1,…,2^m-1,2^m调整为-2^m+0.5,-2^m+1.5,…,-1.5,-0.5,0.5,1.5,…,2^m-1.5,2^m-0.5，因此所有坐标之间的间隔仍然为1。

步骤S200中包括以下步骤：

任意因子最优拉丁超立方设计

首先，根据因子个数n确定基矩阵个数m。为了确保生成的试验设计矩阵，可以包含所有的因子，m为不小于log₂n的整数。

采用上述方法，生成(2^m+1+1)×2^m的设计矩阵T。根据采样点的空间分布性能(即采样点空间分布的最大化最小距离、最小化中心偏差、最小化列相关系数中的一个或多个性能指标的组合最优作为判断指标)，选择在设计矩阵T中空间分布性能最好的n列作为优化矩阵T'，并记录优化矩阵T'对应的n列在设计矩阵T中的编号[k₁,k₂,…,k_n]。

在上述过程中(即从初始排列e到最后生成T'的过程。对于每一个初始排列e，均可生成T')，对于任意初始排列e，均可生成相应的设计矩阵T，为了达到更好的空间分布性能，采用模拟退火算法对上述过程中产生的初始排列e进行优化，即选取设计矩阵T中空间分布性能最优的n列作为优化矩阵T'，并将优化矩阵T'作为初始设计矩阵

由于该方法的输入参数仅有n个设计变量，优选的，为方便起见，将n个设计变量归一化到超立方体[-1,1]ⁿ后，再进行实验设计。

以下以2维实验设计为例，对本发明提供的序贯采样的拉丁超立方实验设计方法进行详细说明。

在二维实验设计中，设计变量个数为2，设计变量范围为[-1,1]²，即-1≤x₁≤1、-1≤x₂≤1，终止条件设置为采样点个数不小于50个。此时选取最小的m＝1，初始设计为5×2的设计矩阵。

1)生成2×2矩阵S和M，其第一列和第二列对应的g₁＝0,g₂＝1，b₁＝0,b₂＝1，初始排列e＝[1,2]^T。

此时

$\begin{array}{c}{S}_1=1,S_2=B\\ M_1=Ie=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],M_1=\mathrm{Re}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]\end{array}---\left(10\right)$

2)根据公式可得T_2×2为

3)按式(8)扩展T矩阵为5×2设计矩阵：

$T_{5\×2}=\left[\begin{array}{c}T\\ 0\\ -T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\\ 0& 0\\ -1& -2\\ -2& 1\end{array}\right]---\left(12\right)$

4)将上述矩阵除以2^m，得到[-1,1]²中的设计点，其空间分布如图3所示。得到初始设计矩阵后，开始序贯采样。

第一次序贯采样：

1)m＝1，存在两种初始排列e＝[1,2]^T或e＝[2,1]^T可供选择，根据初始排列e，生成2×2矩阵T，根据初始设计中选择第一列和第二列；

2)根据公式，生成设计矩阵T_4×2；

3)根据加入新样本点后，设计矩阵空间分布性能，选择使空间分布性能最好的e＝[2,1]^T，此时设计矩阵：

$T_{4\×2}=\left[\begin{array}{cc}1.5& 0.5\\ 0.5& -1.5\\ -1.5& -0.5\\ -0.5& 1.5\end{array}\right]---\left(13\right)$

4)将上述四个样本点同时除以2进行归一化后加入图3，得到图4所示的9个采样点的二维正交拉丁超立方设计。

第二次序贯采样：

1)m＝2，存在4！种初始排列，根据初始排列e，生成4×4矩阵T，根据初始设计中选择第一列和第二列；

2)根据公式(8)，生成设计矩阵T_8×2；

3)根据加入新样本点后所得设计矩阵的空间分布性能，选择使空间分布性能最好的初始排列e＝[4,3,1,2]^T，此时生成的矩阵为：

$T_{8\×2}={\left[\begin{array}{cccccccc}3.5& 2.5& 0.5& 1.5& -3.5& -2.5& -0.5& -1.5\\ 2.5& -3.5& 1.5& -0.5& -2.5& 3.5& -1.5& 0.5\end{array}\right]}^T---\left(14\right)$

4)将上述矩阵同时除以2^m＝4，将所得采样点加入图4中，得到如图5所示的采样点分布。

由图4可以看出，在新采样点加入过程中，原来采样点位置不变，仅在原有采样点之间均匀地插入了新采样点。令m＝3、m＝4重复两次序贯采样步骤后，根据上述步骤，即可实现将样本点个数扩充至33和65个，满足停止准则，停止采样，所得采样点分布分别如图6～7所示。

由上可知，采用本发明提供的方法能充分理由的样本点信息，为后续增加的采样点的选取提供依据，在提高采样点数量的同时，保证采样点的分布均匀性。

本领域技术人员将清楚本发明的范围不限制于以上讨论的示例，有可能对其进行若干改变和修改，而不脱离所附权利要求书限定的本发明的范围。尽管己经在附图和说明书中详细图示和描述了本发明，但这样的说明和描述仅是说明或示意性的，而非限制性的。本发明并不限于所公开的实施例。

通过对附图，说明书和权利要求书的研究，在实施本发明时本领域技术人员可以理解和实现所公开的实施例的变形。在权利要求书中，术语“包括”不排除其他步骤或元素，而不定冠词“一个”或“一种”不排除多个。在彼此不同的从属权利要求中引用的某些措施的事实不意味着这些措施的组合不能被有利地使用。权利要求书中的任何参考标记不构成对本发明的范围的限制。

Claims (2)

1.一种序贯采样的拉丁超立方实验设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤S100：根据所处理设计的条件和目标，建立工程优化设计数学模型，确定n维归一化后的设计空间和所需基矩阵的个数m，其中n为设计变量个数，m为不小于log₂n的整数，通过基矩阵构造2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平拉丁超立设计矩阵T；

步骤S200：选择在设计矩阵T中空间分布性能最好的n列作为优化矩阵T'，并记录优化矩阵T'对应的n列在设计矩阵T中的编号[k₁,k₂,…,k_n]，并以优化矩阵T'作为初始设计矩阵将初始设计矩阵中的各元素均同时除以2^m后，映射到[-1,1]ⁿ中，得到2^m+1+1个初始采样点；

步骤S300：令迭代次数index＝0后，生成初始设计矩阵其中n列为[k₁,k₂,…,k_n]列，计算所有样本点的空间分布特性，通过调整第k次迭代得到的初始排列e_k，根据设计点空间分布性能指标选择能使所有样本点空间分布性能最优的迭代初始排列e_opt对应的设计矩阵，作为优化后的设计矩阵

步骤S400：将优化后的设计矩阵中各元素同时除以2^m+index，映射到[-1,1]ⁿ中，并加入所有样本点中，得到(2^m+index+2+1)×n的实验设计矩阵；

步骤S500：判断所得实验设计矩阵中的各采样点是否满足终止条件，如果满足，则退出采样，输出所得实验设计矩阵；如果不满足则将index+＝1后返回步骤300继续下一次迭代；

所述所有样本点包括拟加入的点和已有样本点。

2.根据权利要求1所述的序贯采样的拉丁超立方实验设计方法，其特征在于，2^m因子2^m+1+1或2^m+1水平正交拉丁超立设计矩阵T构造方法，包括以下步骤：

步骤S110：定义基矩阵：

$\begin{array}{cccc}I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]& R=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]& 1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]& B=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\end{array}---\left(1\right)$

e＝[123…2^m-12^m]^T

符号矩阵S和排列矩阵M为基矩阵的Kronecker积，定义如下：

给定任意整数k∈[1,2^m]，符号矩阵S和排列矩阵M第k列生成规则：

将k-1转化为m位二进制串，g_k为k-1的格雷码，b_k为k-1的二进制码，

$S_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\⊗}}f(g_k^{\left(i\right)},1,B)$

$A_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\⊗}}f(b_k^{\left(i\right)},I,R)---\left(3\right)$

M_k＝Ae

其中，表示g_k，b_k从高向低的第i位，f(j,x₁,x₂)定义如下：

$f(j,x_1,x_2)=\left\{\begin{array}{cc}{x}_1& j=0\\ x_2& j=1\end{array}\right.---\left(4\right)$

设计矩阵T为符号矩阵S和排列矩阵M的Hadamard积，Hadamard积的定义如下：

因此

按

$T_{(2^{m+1}+1)\×2^m}=\left[\begin{array}{c}{T}_{2^m\×2^m}\\ 0_{1\×2^m}\\ -T_{2^m\×2^m}\end{array}\right]---\left(8\right)$

扩充后得到(2^m+1+1)×2^m设计矩阵；

步骤S120：去掉(2^m+1+1)×2^m设计矩阵中的中心点后，并重新安排各水平，使各水平之间的距离相等，即为2^m+1×2^m设计矩阵：

$T_{2^{m+1}\×2^m}=\left[\begin{array}{c}{T}_{2^m\×2^m}^{\′}\\ -T_{2^m\×2^m}^{\′}\end{array}\right]---\left(9\right)$

其中，T′_ij＝sign(T_ij)×[abs(T_ij)-0.5]，sign()，abs()分别为符号和绝对值函数。